WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Б.П. БЕЗРУЧКО, Д.А. СМИРНОВ ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО ХАОТИЧЕСКИМ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ Саратов 2000 CАРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет нелинейных процессов Кафедра электроники, колебаний и волн CАРАТОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН Учебно-научная лаборатория «Нелинейная динамика (физический эксперимент)» Поддержано ФЦП «Интеграция» (проект А0057/99) и грантом «Ведущие научные школы» (проект РФФИ (96-15-96536) Б.П. БЕЗРУЧКО, Д.А. СМИРНОВ ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО ХАОТИЧЕСКИМ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ Учебно-методическое пособие Государственный учебно-научный центр «Колледж» Cаратов, 2000 1 УДК 530.18 Б 39 Безручко Б.П., Смирнов Д.А.

Б 39 Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам. Учебно-методическое пособие, – Саратов: Издательство ГосУНЦ “Колледж”, 2000 – 39 с.

Рассматриваются подходы к построению динамических моделей с дискретным временем (точечных отображений) по скалярным временным рядам, не имеющим видимой закономерности. Описаны методы глобальной и локальной реконструкции отображений. Предлагается, пользуясь готовыми программами, получить хаотические временные реализации эталонных отображений, восстановить по этим временным рядам уравнения дискретной модели и оценить качество реконструкции (две практических работы).

Работы предназначены для практических занятий по курсу “Математическое моделирование” для студентов факультета нелинейных процессов и физического факультета Саратовского госуниверситета.

Рецензент: старший научный сотрудник Саратовского отделения института радиотехники и электроники РАН, к.ф.-м.н. Селезнев Е.П.

© Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов, 2000 © Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000 2 Содержание Введение........................................................................................................... 4 1. Конструирование динамической модели по временному ряду.................. 2. Критерии эффективности............................................................................. 3. Глобальные модели....................................................................................... 3.1.Методика глобальной реконструкции.................................................. 3.2. Практическое задание (работа № 1)..................................................... 3.3. Контрольные вопросы........................................................................... 4. Локальные модели......................................................................................... 4.1. Методика локальной реконструкции................................................... 4.2. Прямой и итерационный методы прогноза......................................... 4.3. Метод быстрого поиска ближайших соседей...................................... 4.4. Практическое задание (работа № 2)..................................................... 4.5. Контрольные вопросы........................................................................... Приложение 1. Описание программы MapSimulator................................. Приложение 2. Описание программы GlobalMap...................................... Приложение 3. Описание программы LLMap............................................ Литература..................................................................................................... Введение В отличие от статистического (вероятностного) подхода, оперирующего средними значениями или вероятностью обнаружения искомой величины в определенном интервале значений, динамический (детерминистический) подход к моделированию предполагает точное задание состояния объекта и однозначный прогноз его дальнейшего поведения. Это требует использования соответствующего математического аппарата. Классическим материалом для создания динамических моделей являются дифференциальные уравнения, для которых на уровне теоремы доказана единственность решения при заданных начальных условиях. Многими достоинствами обладают и однозначные отображения1, которые рассматриваются в данной работе:

xi+1 = G(xi ), (1) где x RD – вектор состояния 2, D — размерность динамической системы, i – дискретное время, G — D-мерное отображение.

Ранее, до становления в 70-е годы концепции динамического хаоса, детерминированность ассоциировалась с простотой (регулярностью) поведения маломерных систем. Сложность (тем более, беспорядочность) движений считалась присущей лишь системам с чрезвычайно большим числом элементов и говорила о неизбежности статистического рассмотрения [1]. Обнаружение хаотических решений систем всего лишь трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка и одномерных нелинейных отображений, доступных анализу на калькуляторе, подтолкнуло к поиску путей построения динамической модели даже по беспорядочному временному ряду.

Отображение – закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X сопоставляется однозначно определенный элемент другого множества Y (при этом X может совпадать с Y).

Т.е. вектор x в данный момент времени определяет совокупность скалярных величин x1,x2,...,xD в тот же момент времени, которые однозначно задают состояние системы. Здесь и далее векторные величины выделены жирным шрифтом.

Использование отображений для конструирования эволюционных моделей традиционно для популяционной биологии. В настоящее время сфера их приложений исключительно широка — отображения хорошо зарекомендовали себя для описания процессов в системах различной природы, в частности, физических, химических, социальных. Рекордсменом можно считать квадратичное одномерное отображение типа xn+1 = rxn (1- xn ), где x – динамическая переменная, r – параметр, n = 0, 1, 2, … – дискретное время. С его помощью были промоделированы и изучены универсальные закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. На моделировании эволюции квазипериодических движений и переходе к хаосу при их разрушении «прославилось» отображение окружности. Многие закономерности сложной динамики пространственно развитых систем моделируют решетки связанных отображений.



Популярности точечных отображений не мешает даже то, что они оперируют значениями переменной в дискретные моменты времени, не описывая состояние объекта в промежутках между отсчетами, и в этом смысле уступают дифференциальным уравнениям. Во-первых, для многих объектов значения характеризующих величин по своему смыслу определены лишь в дискретные моменты времени и использование отображений для их описания очень естественно. Например, суммарное (годовое) количество пятен на Солнце измеряется ежегодно [1], курсы валют устанавливаются с суточным интервалом, числовые отсчеты появляются на выходе аналого-цифровых преобразователей тоже с некоторой частотой. Во-вторых, при решении некоторых задач информация о поведении между отсчетами не важна, например, если требуется просто классифицировать движения: периодическое квазипериодическое и т.п. В-третьих, дискретные модели «понятны» цифровым ЭВМ – для анализа отображений не требуется осуществлять непростой переход к разностным схемам, временные затраты при их численном исследовании минимальны.

Далее мы познакомимся с необходимыми для этого процедурами, ограничившись скалярными рядами и одномерными моделями. В разделах 1 и 2 будут рассмотрены основные этапы процедуры моделирования по временным рядам. Раздел 3 посвящен глобальному моделированию (при котором модель описывает поведение объекта во всем фазовом пространстве). В разделе 4 рассматриваются проблемы локального моделирования, когда модель описывает поведение системы «по кускам» в отдельных (локальных) областях фазового пространства. В приложения вынесены описания программ и частные вопросы.

Учитывая, что построение отображения не требует, по сравнению с дифференциальными моделями, предварительной обработки экспериментального ряда (в частности, сглаживания перед дифференцированием), что экономит время для объяснения, в данной работе повышенное внимание уделяется тестированию – оценке качества получающихся моделей.

1. Конструирование динамической модели по временному ряду Разнообразие моделируемых объектов и условий их функционирования неизбежно отражается на проявлении специфических моментов и акцентов при создании соответствующих целям моделирования динамических систем. Тем не менее, можно выделить общие для всех случаев этапы работы с временными рядами. Представим их с помощью следующей блок-схемы рис.1.

Моделирование начинается с выбора структуры модели и базисных функций (этап 1). На этом этапе на основании априорных данных, по оценке размерности множества, восстановленного в фазовом пространстве по скалярному временному ряду {vi}, или интуитивно выбирается размерность D модельного отображения, а также вид функций, с помощью которых (комбинацией которых) будет осуществляться аппроксимация, т.е. выбирается некоторый функциональный базис.С 1987 года (c пионерских работ Кратчфилда и Макнамары [2], Кремерса и Хюблера [3], Фармера и Сидоровича [4]) разрабатываются универсальные способы построения динамических моделей по временным рядам Исследователь может применять эти способы автоматиРис.1. Схема процедуры моделирования по временному ряду.

На следующем этапе (этап 2) тренировочная часть временного ряда преобразуется в соответствии с выбранной структурой модели (числом переменных): ослабляются шумы, с необходимой частотой выбираются точки, восстанавливаются дополнительные переменные (если D > 1, исходный ряд – скалярный, и необходим переход к векторному ряду {xi }4) и т.п. Далее, используя подготовленный временной ряд { xi }, подбирают функцию G, аппроксимирующую зависимость xi+1 от xi [2,4,7-10] Для этого искомую функцию представляют, например, в виде суммы выбранных на первом этапе базисных функций с неизвестными коэффициентами. Затем вычисляют значения коэффициентов, которые обеспечивают наилучшее соответствие модели и экспериментальных данных (подгонка модели к временному ряду).

чески, не задумываясь над выбором вида (структуры) модельных уравнений. Хотя, многие авторы отмечают, что учет дополнительной априорной информации о системе может существенно облегчить построение модели и сделать сами модельные уравнения более эффективными. Однако универсальных рекомендаций для включения в модель априорной информации об объекте дать, по-видимому, невозможно.

Процедуру построения («восстановления») по скалярному временному ряду {vi} ряд векторов состояния {xi} называют реконструкцией фазовой траектории [5,6].

На третьем этапе результаты предсказания по полученной модели сравниваются с данными тестовой части ряда. При этом критерии качества, эффективности определяются целями моделирования. Например, критериями могут служить прогностические возможности модели или качественное сходство ее поведения с поведением объекта. Если модель работоспособна, то процесс моделирования прекращается, а если нет – процедура повторяется с измененной структурой уравнений и/или новыми базовыми функциями.

Не вдаваясь в подробности описанной схемы, остановимся на некоторых важных моментах:





1) При переходе к векторному ряду для восстановления дополнительных координат (величин xi ) весьма удобен метод временных задержек. Т.е. координатами вектора состояния системы служат последовательные значения наблюдаемой v в моменты времени, разделенные некоторым временем задержки [2-7,9]:

v(ti ) v(ti + ) x(ti ) =. (2)...

v(ti + (D -1) ) Причем время задержки можно выбрать практически любым [6].

2) На практике, однако, выбор оптимального значения является отдельной задачей 5. В данном пособии мы не будем касаться этой проблемы. Будем считать время задержки равным интервалу выборки t (для рассматриваемых далее в практическом задании временных рядов соседние значения наблюдаемой меняются резко, поэтому такой выбор времени задержки целесообразен):

Существует несколько вариантов выбора времени задержки. Так в [3] использовался первый ноль автокорреляционной функции. В настоящее время в качестве времени задержки часто используется (см., например, [11,12]) первый минимум функции взаимной информации наблюдаемого процесса.

vi vi+xi =. (3)...

vi+D-3) Выбор размерности модели D можно осуществить на основе предварительного анализа временного ряда6. Однако, здесь мы рассматриваем другой подход. Попытаемся сначала построить модель низкой размерности. Если эффективную модель получить не удается, то размерность следует увеличить на единицу и повторить процесс построения модели. И так далее, пока не будет найдена удовлетворительная модель.

Для примера на рис.1 показан вариант формирования 11-мерного вектора при = t.

4) Выбор метода восстановления векторов состояния и функционального базиса для аппроксимации определяет вид (структуру) модельных уравнений.

Далее задача моделирования сводится лишь к нахождению оптимальных значений коэффициентов, входящих в модельные уравнения (подгонке модели). Так, при указанной реконструкции вектора состояния методом задержек с = t модельное отображение (1) сводится к более простому виду:

x1(t ) = x2 (t ), j+1 j x2 (t ) = x3(t ), j+1 j (4)..., xD (t ) = G(x1(t ), x2 (t ),..., xD (t )).

j+1 j j j Что можно эквивалентно переписать как v = G(v,v,...,v ). (5) j+D j j+1 j+D- Для оценки размерности использовались различные методы: метод ГрассбергераПрокаччиа [12], метод ложных ближайших соседей [11], метод главных компонент [13].

Так, если отображение одномерное (D = 1, а значит x(t ) = v ), то функция G отображает j j точку из некоторого отрезка в точку того же отрезка. График такого отображения представляет собой линию на плоскости v,v. В случае D = 2 ( x(t ) = (v,v )T ) двумерное отоj j+1 j j j+бражение (5) действует уже на точку плоскости v,v, а графиком функции G является неj j+которая поверхность.

Функцию G, аппроксимирующую зависимость v от v,v,...,v, можно j+D j j+1 j+D-попытаться записать с помощью одной формулы (выражения). И затем вычислить (оценить) по временному ряду значения коэффициентов, входящих в эту формулу.

5) Полученная формула будет определять функцию G во всем фазовом пространстве — глобально. На этом основана методика так называемой глобальной реконструкции, описанию которой посвящен раздел 3, где предлагается практическое задание на применение данной процедуры.

6) Другим возможным подходом является локальная реконструкция. При этом отыскиваются выражения для функции G «по кускам» — отдельно для каждой достаточно малой области фазового пространства (т.е. локально). В разделе 4 изложен алгоритм конструирования локальных линейных моделей и приведено практическое задание на применение этого алгоритма.

2. Критерии эффективности модели После того, как модель построена (значения всех коэффициентов вычислены), необходимо проверить ее работоспособность. Как уже говорилось, критерии эффективности модели определяются целями моделирования. Мы же для иллюстрации будем использовать несколько критериев:

• дальность прогноза, обеспечиваемого моделью, • качественное соответствие поведения модели и объекта;

• в некоторых примерах (где это возможно) будем также сравнивать полученные значения коэффициентов с их истинными значениями.

Обсудим каждый из перечисленных критериев.

1) Для расчета дальности прогноза используем подход Фармера и Сидоровича [4]. Рассчитаем среднеквадратичную ошибку прогноза, обеспечиваемого моделью, на определенное число шагов вперед, причем для проверки будем использовать различные участки тестового временного ряда.

Зададим начальные условия модели, используя первые значения наблюдаемой из тестового ряда: x1 = v(tNtrain+1), x2 = v(tNtrain+2 ),…, xD = v(tNtrain+D ).

Итерируя модельное отображение (5) Ltest раз, получим временную реализацию модели Рис.2. Иллюстрация к вычислению дальности длиной Ltest шагов. Эта реализапрогноза по тестовому временному ряду. Здесь светлыми кружками показана временная реация содержит предсказанные лизация объекта, черными — прогноз для отдельных участков. В данном случае выбрано значения v в моменты времени значение размерности модели D = 5 (первые tNtrain+D+1,tNtrain+D+2,...,tNtrain+D+Ltest.

значений исходной и модельной реализаций одинаковы для каждого тестового участка).

Сравним ее с соответствующим Длина одного тестового участка Ltest = 16, общее количество тестовых участков Ktest = 4, участком тестового ряда (рис.2).

сдвиг между соседними участками Stest = 23, Обозначим предсказанное с подлина тестового ряда Ntest = 90.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.