WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электроники, колебаний и волн Высший Колледж Прикладных Наук CАРАТОВСКИЙ ФИЛИАЛ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН Учебно-научная лаборатория «Нелинейная динамика (физический эксперимент)» А.А. Короновский, В.И. Пономаренко МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ Учебно-методическое пособие Cаратов — 1998 Аннотация УДК 530.18 Короновский А.А., Пономаренко В.И. Модель генератора с туннельным диодом Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — с.

Аннотация Модель генератора с туннельным диодом представляет собой радиотехническую схему на с кусочно-линейным элементом, являющимся аналогом туннельного диода.

Генератор с туннельным диодом является одним из первых генераторов, для которого экспериментально была продемонстрирована возможность получения хаотических колебаний в системах с небольшой размерностью фазового пространства.

В данной работе экспериментально исследуется сложное поведение кусочнолинейного аналога генератора с туннельным диодом на основании анализа фазовых портретов и временных реализаций системы.

Работа предназначена для практических занятий по курсам «Нелинейные колебания», «Динамические системы и бифуркации» и «Динамический хаос» для студентов ВКПН и физического факультета Саратовского университета.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция», грант № 696.3.

Введение.

В данной лабораторной работе предлагается ознакомиться с механизмом возникновения хаотических колебаний и методами исследования нелинейных динамических систем на примере генератора с туннельным диодом.

Генератор с туннельным диодом является одной из первых радиотехнических моделей, в которых были обнаружены хаотические колебания. Более того, поскольку механизм возникновения детерминированного хаоса в этом генераторе может быть довольно наглядно объяснен на качественном уровне, этот генератор стал классическим образцом радиофизической системы с хаотической динамикой и вошел в учебники по теории колебаний (см., например, [1]). Первоначально, генератор на туннельном диоде был сконструирован, исследован и описан Кияшко С.В., Пиковским А.С. и Рабиновичем М.И. [2], [3], [4]. В натурном и численном экспериментах ими было показано, что в данном генераторе имеют место хаотические колебания. Позднее, в [5] экспериментальным путем была впервые получена подробнейшая карта динамических режимов на плоскости управляющих параметров для генератора с туннельным диодом, показывающая пути возникновения хаоса и закономерности переходов между различными типами сложнопериодических колебаний при изменении управляющих параметров. В [6] было проведено исследование той же системы, с тем лишь отличием, что вместо реального туннельного диода был использован его кусочнолинейный аналог, реализованный с помощью операционных усилителей. В этой работе было показано, что замена нелинейного элемента его кусочно-линейным аналогом не ведет для данной системы к качественному изменению ее динамики.

Генератор с туннельным диодом.

Генератор с туннельным диодом, исследуемый в данной лабораторной работе представляет собой LC–контур с последовательно включенными в него сопротивлением r и туннельным диодом (Рис. 1).

Рис. 1. Эквивалентная схема генератора на туннельном диоде - 3 - Параллельно туннельному диоду включена шунтирующая емкость C2, а параллельно емкости C – отрицательное сопротивление -R, реализованное с помощью операционного усилителя (Рис. 2), которое является источником энергии для генератора. Управляющими параметрами в данной модели являются шунтирующая емкость C2 и сопротивление r, которое отвечает за процессы диссипации энергии в системе.

Рис. 2. Отрицательное сопротивление -R, реализованное с помощью операционного усилителя Динамика генератора с туннельным диодом описывается тремя нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, полученными на основе законов Кирхгоффа:

dI L = -Ir + U - V, dt dU U C = -I -, (1) dt R dV C1 = I - Itd V, ( ) dt где Itd V определяет вольт-амперную характеристику (ВАХ) туннельного дио( ) да (См. Рис. 3). Как известно, вольт–амперная характеристика туннельного диода представляет собой N-образную нелинейность с падающим участком, который и определяет особенности поведения системы.

- 4 - Рис. 3. Безразмерная вольт–амперная характеристика туннельного диода и ее кусочно-линейная аппроксимация Нетрудно понять, что данная система обладает полутора степенями свободы и поэтому ее фазовое пространство будет трехмерным: по его осям будут отложены ток через индуктивность L, напряжение на конденсаторе C и напряжение на шунтирующем конденсаторе C1. В моменты времени, когда система находится на -ветви вольт-амперной характеристики туннельного диода (См.

Рис. 3), в среднем, за единицу времени, в колебательный контур LC от источника -R поступает большее количество энергии, чем рассеивается на диссипативных элементах, и амплитуда колебаний в контуре нарастает. В то же самое время, ток через туннельный диод возрастает, а напряжение на емкости C1, шунтирующей туннельный диод, изменяется незначительно (почему). Следовательно, поведению генератора в фазовом пространстве соответствует спираль, раскручивающаяся в плоскости «ток через индуктивность L – напряжение на конденсаторе C». Понятно, что соотношение между получаемой и рассеиваемой энергией зависит от выбора значений параметров системы, прежде всего сопротивления r и отрицательного сопротивления -R, а следовательно, от значений этих параметров зависит также и время нахождения системы на -ветви вольт-амперной характеристики туннельного диода. Чем больше будет значение параметра диссипации r, тем более длительное время будет раскручиваться спираль фазовой траектории в плоскости (I,U).



После того, как амплитуда колебаний в контуре LC нарастает до определенной величины, соответствующей точке переключения туннельного диода, система переходит на -ветвь вольт-амперной характеристики, напряжение на емкости C1 возрастает, что соответствует выходу фазовой траектории из плоскости «ток через индуктивность L – напряжение на конденсаторе C» в фазовое пространство. Соответственно, потери в системе возрастают, энергия, рассеиваемая в контуре, оказывается больше энергии, поступающей в колебательный контур, амплитуда колебаний уменьшается, система переходит на -ветвь вольт-амперной характеристики туннельного диода, а фазовая траектория возвращается в плоскость (I,U), после чего все повторяется сначала. Времена, в течение которых система находится на - и -ветвях вольт-амперной характери - 5 - стики туннельного диода, определяются значениями параметров системы; соответственно, в зависимости от соотношения этих времен, в генераторе могут реализовываться как периодические колебания, когда фазовая траектория, возвращаясь в плоскость (I,U), попадает в свой «хвост», так и хаотические колебания, при которых фазовая траектория каждый раз возвращается в новую точку плоскости (I,U).

Совершенно очевидно, что необходимо каким-либо образом классифицировать режимы, реализующиеся в данной системе при различных значениях управляющих параметров. Периодические режимы удобно классифицировать с помощью соотношения двух целых чисел (m:n), как это было сделано, например, в работе [5]: первое число m соответствует целому числу витков фазовой траектории, лежащих в плоскости «ток через индуктивность L – напряжение на конденсаторе C», а второе число n – числу витков траектории, выходящих из плоскости (I,U) в пространство (I,U,V).

Плоскость управляющих параметров (r,C1) оказывается разделенной на характерные зоны колебаний, каждая из которых содержит области как периодического, так и хаотического поведения. Переход от периодических колебаний к хаотическим внутри зон происходит с увеличением параметра r по сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоения периода. Внутри области хаотических движений существуют узкие окна, в которых реализуются периодические колебания с большими периодами.

При рассмотрении поведения генератора на всей плоскости управляющих параметров (r,C1) можно выявить следующие закономерности: с увеличением параметра r зоны колебаний повторяют друг друга с тем отличием, что при переходе от одной зоны к другой, фазовый портрет приобретает дополнительный оборот в плоскости (I,U) (вполне понятно, что система с большими потерями дольше раскачивается до установления порогового значения тока Im через туннельный диод, при котором происходит переход системы с одной ветви характеристики на другую). Так, с увеличением значения параметра диссипации r последовательно сменяют друг друга зоны колебаний, соответствующие базовым режимам (0:1), (1:1), (2:1), (3:1) и т.д. Таким образом, при переходе от зоны к зоне, происходит добавление периода на единицу, зоны по мере увеличения параметра r становятся все более узкими, а эквидистантный спектр субгармоник сменяется другим эквидистантным спектром с числом субгармоник, большим на единицу.

Увеличение емкости C1 приводит к постепенному сближению зон колебаний и смещению их в сторону больших значений параметра диссипации r. При этом на плоскости управляющих параметров образуются складки, что соответствует неоднозначному поведению генератора: при одних и тех же значениях управляющих параметров в системе могут существовать, в зависимости от начальных условий, различные колебательные режимы.

Как уже было отмечено выше, замена туннельного диода на кусочнолинейный аналог не ведет к качественным изменениям динамики системы. В то же самое время, результаты численного моделирования безразмерных уравнений - 6 - dx = 2x + y - gz, d dy = x - y, (2) d dz = x - f z, ( ) d полученных из (1), хорошо соответствуют результатам натурных экспериментов как для генератора с туннельным диодом, так и для генератора с кусочноt линейным аналогом туннельного диода. В (2) = – безразмерное время, а LC I C U V x =, y =, z =. (3) Im L Im Vm Безразмерные параметры,,, выражаются через размерные следующим образом:

Vm r C C R C C =-, g =, = -, = g. (4) 2 L Im L 2 L C Размерные параметры Im, Um, которые задействованы в соотношениях (2), (3), (4) – это характерные нормирующие величины тока и напряжения для туннельного диода. Безразмерный параметр g определяет степень влияния туннельного диода на процессы, протекающие в контуре, – параметр, пропорциональный паразитной емкости туннельного диода (и дополнительной емкости) C1, и – параметры, определяющие соответственно диссипацию и подкачку энергии соответственно. Безразмерная кусочно-линейная аппроксимация туннельного диода была выбрана в виде 11.765z,.

z 0085, 1f z = 2.108 z - 0.085, 0085 < z 05,(5)..

( ) ( ) 0125 + 175 z - 05, z >....

( ) Дискретное отображение как модель потоковой системы.

Стоит отметить, что описание нелинейной системы с помощью дифференциальных уравнений, как это было описано выше, не единственно возможный способ: хорошо себя зарекомендовало в теории динамических систем описание нелинейных объектов с помощью дискретных отображений. Этот подход имеет ряд преимуществ, к которым, прежде всего, относятся простота и быстро - 7 - та анализа дискретных отображений по сравнению с анализом потоковых систем. Более того, динамика дискретных отображений, как правило, более понятна и наглядна, чем поведение потоковой системы. Вследствие этого, понять сущность процессов, происходящих в системе, гораздо проще на основе дискретного отображения, нежели системы нелинейных дифференциальных уравнений. К сожалению, несмотря на всю привлекательность и продуктивность этого метода, не существует каких-либо общих формальных рецептов, каким образом можно перейти от потоковой системы к дискретному отображению, записанному аналитически в явном виде, хотя иногда для отдельных потоковых систем такой переход осуществить удается, как это было сделано, например в [7] для неавтономного релаксационного генератора, когда поведение системы удалось описать с помощью несколько модифицированного отображения окружности на себя.





Как правило, переход к отображениям возможен при определенных допущениях, сужающих область рассмотрения систем.

Возможен еще один подход к описанию потоковых систем с помощью отображений, когда отображения не выводятся аналитически, а «конструируются», исходя из каких-либо соображений, основанных на анализе поведения системы. Безусловно, при таком подходе можно говорить, прежде всего, о качественном подобии исходной системы и полученного отображения, но, тем не менее, этот способ дает иногда хорошие результаты (См., например, [8]).

Для генератора с туннельным диодом также оказалось возможным описать его динамику с помощью дискретных отображений, полученных из исходных дифференциальных уравнений [9,10,11]: раскручивание системы на одной ветви вольт-амперной характеристики туннельного диода, скачкообразный переход на другую ветвь и последующее возвращение в состояние, близкое к первоначальному. Впоследствии, в [12] удалось «сконструировать» отображение, динамика которого качественно соответствует поведению генератора с туннельным диодом на всей плоскости управляющих параметров.

Рис. 4. Отображение (6) для угла поворота =–0.2 (=0.05) В качестве базового было выбрано отображение, предложенное в [10], затем, оно было аппроксимировано явно заданной непрерывной функцией, зави - 8 - сящей от двух параметров таким образом, чтобы при изменении значений этих параметров построенное отображение демонстрировало динамику, аналогичную динамике генератора с кусочно-линейным аналогом туннельного диода:

xn+1 = f, xn. (6) ( ) Сущность этого отображения заключается в том, что одним из параметров, от которых зависит отображение, является угол поворота графика отображения относительно какой-либо опорной точки (в данном случае относительно начала координат (0; 0)). Для «нулевого» угла поворота описываемое отображение (см.

Рис. 4) имеет вид f0, x = y1 x y2, x - y1 x + ( ) ( ) ( ) ( ) () + y2, x y1 x - y2, x, (7) ( ) ( ) ( ) () где функции y1 x, y2, x определены как ( ) ( ) y1 x = 125x, (8) ( ) y2, x = 285 045 + + x - 085 - 03,.... (9) ( ) ( )2 ( )а 0, x < x = x = 0 (10) ( ) 1 x > функция Хевисайда. Несмотря на сложный вид отображения (7), принцип, по которому это отображение устроено, довольно прозрачен: (8) описывает линейный участок отображения, который соответствует нахождению потоковой системы на -ветви характеристики кусочно-линейного аналога туннельного диода, (9) представляет собой ветвь гиперболы и соответствует нахождению генератора на -ветви характеристики, а (10) «сшивает» y1 x и y2, x в точке их пере( ) ( ) сечения и обеспечивает непрерывность функции (7). Численные значения в соотношениях (8), (9) подобраны таким образом, чтобы обеспечить сходство динамики отображения и исходной потоковой системы.

- 9 - Рис. 5. Отображение (6) для угла поворота =–0.5 (=0.05). Видно, что функция f, x становится неоднозначной ( ) Теперь, для того, чтобы получить одномерное отображение f, x при ( ) другом значении параметра, необходимо осуществить поворот графика отображения f0, x на этот угол относительно начала координат. В соответст( ) вии с общепринятой терминологией, угол поворота считается положительным, если вращение осуществляется против часовой стрелки. Ясно, что для любого угла поворота 0 отображение f, x в явном виде (в общем случае) запи( ) сано быть не может. Более того, при поворотах на угол (<0, > *, f0 x, ( ), * =- arcctg lim* (11) x+ x x где x* определяется из соотношения y1 * y2 *, функция f, x стано( ) (x )= (x ) ) вится неоднозначной (см. Рис. 5). В этом случае возможно:

1. Исследовать поведение f, x как поведение отображения с гистерезисом.

( ) 2. Рассматривать поведение f, x как однозначного отображения, выбрав ка( ) кую-либо одну ветвь функции, как было сделано в данном случае: если для отображения f, x при некотором значении x возможно два значения ( ) f, x, соответствующие ветвям y1 x и y2, x, то в качестве значения ( ) ( ) ( ) f, x выбирается минимальное значение, соответствующее ветви y2, x.

( ) ( ) Подобный выбор ветви отображения обусловлен видом одномерного отображения, полученного из численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику генератора с кусочно– линейным аналогом туннельного диода (см. [6]).

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.