WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электроники, колебаний и волн Высший Колледж Прикладных Наук CАРАТОВСКИЙ ФИЛИАЛ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН Учебно-научная лаборатория «Нелинейная динамика (физический эксперимент)» М.Ю. БУГАЕВСКИЙ, В.И. ПОНОМАРЕНКО ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЦЕПИ ЧУА Учебно-методическое пособие Государственный учебно–научный центр «Колледж» Cаратов 1999 УДК 530.18 Б90 Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И.

Б90 Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.

Цепь Чуа — это простая электронная схема, демонстрирующая целый ряд бифуркационных явлений и аттракторов.

Цепь состоит из двух конденсаторов, катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора (обычно называемого диодом Чуа).

В лабораторной работе экспериментально исследуется хаотическое поведение цепи Чуа, ставшей одной из канонических схем, используемых для исследования нелинейных явлений.

Работа предназначена для практических занятий по курсам «Нелинейные колебания», «Динамические системы и бифуркации» и «Динамический хаос» для студентов ВКПН и физического факультета Саратовского университета Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция», грант № 696.3.

Рецензент: доцент кафедры электроники, колебаний и волн, к.ф.-м.н. А.А. Короновский © М.Ю Бугаевский, В.И. Пономаренко, 1999 © Изд–во ГосУНЦ «Колледж», 1999 Содержание Введение 4 Расчет номиналов экспериментальной модели цепи Чуа 6 Преобразователь отрицательного сопротивления 7 Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) 7 Основанный на УНИН преобразователь отрицательного сопротивления 8 Операционные усилители 10 Преобразователь отрицательного сопротивления на основе ОУ 11 Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ 18 Выбор комплектующих элементов 20 Приложение. Динамика системы Чуа Методика проведения эксперимента. Меры предосторожности и безопасности Контрольные вопросы Задание по лабораторной работе. Список литературы Введение.

По утверждению автора схемы, профессора Леона Чуа, широко известная теперь схема Чуа была придумана в 1983 г. после неудачного эксперимента с электронной моделью системы Лоренца. Автору схемы пришла в голову мысль, что поскольку основной механизм, приводящий к появлению хаоса в системах Лоренца и Ресслера — это наличие более чем одного неустойчивого положения равновесия (три для Лоренца и два для Ресслера), то можно придумать более простую систему, обладающую этими свойствами [1].

Рис.1. Схема Чуа.

В результате получилась схема, изображенная на рис.1 — это простая колебательная цепь, демонстрирующая ряд бифуркаций и переход к хаосу. Она содержит три линейных реактивных элемента (катушка индуктивности и два конденсатора), один линейный резистор R и один нелинейный резистор NR. Уравнение цепи имеет вид:

dvC C1 = G(vC - vC ) - g(vC ) 2 1 dt dvC C2 = G(vC - vC ) + iL (1) 1 dt diL L = vC dt где G=1/R, а g(v) — это кусочно-линейная функция, определенная как g(v) = m0v + (m1 - m0)[| v + Bp | - | v - Bp |]. (2) Это соотношение представлено графически на рис.2; наклоны внутреннего и внешнего участков есть m0 и m1, соответственно;

±Bp обозначают точки излома. Сопротивление резистора NR, называемого диодом Чуа, нелинейным образом зависит от напряжения на его выводах.

Рис.2. Кусочно-линейная характеристика нелинейного резистора NR в цепи Чуа.

Расчет номиналов элементов экспериментальной модели цепи Чуа.

Мацумото с соавторами [2] с помощью компьютерного моделирования соотношений (1) показал, что аттрактор типа “double scroll” появляется в цепи Чуа при следующих значениях параметров:

C1 =1/9; C2 =1; L=1/7; G =0.7; Bp =1; m0 =–0.5; m1 =–0.8.

В этих и более ранних примерах моделирования единицы измерения не приводились (не были необходимы) для переменных состояния vC, vC и iL, поскольку Мацумото просто модели1 ровал набор дифференциальных уравнений. Если мы перепишем уравнение в единицах СИ, то напряжения будут измеряться в вольтах (В), токи в амперах (А), емкость в фарадах (Ф), индуктивность в генри (Г), сопротивление в омах (Ом); величина, обратная сопротивлению и называемая проводимостью, измеряется в сименсах (См).

Поскольку в электронных цепях легче реализовать токи порядка миллиампер, чем ампер, то первым шагом является уменьшение всех токов в 1000 раз, что ведет к уменьшению всех емкостей в 1000 раз и увеличению сопротивлений и индуктивностей во столько же раз. Таким образом, при vC и vC, измеряемых в 1 вольтах и iL,, измеряемом в миллиамперах, набор параметров Мацумото принимает вид:

C1 =1/910–3 Ф, C2 =110–3 Ф, L=1/7103 Гн, G =0.710–3 См.

Наклоны кусочно-линейной характеристики резистора составляют теперь –0.8 мСм (мА/В) и –0.5 мСм; точки излома остаются неизменными при Bp =1В.

Проще использовать емкости в нанофарадах и индуктивности в миллигенри, чем фарады и генри. Эффект перемасштабирования времени в (1) в k раз проявляется в умножении каждой ин дуктивности и емкости на тот же множитель k; на величины резисторов изменение масштаба времени не влияет. В частности, замедление времени в 2104 раз уменьшает C1, C2 и L во столько же раз. Измененные параметры принимают следующий вид:

C1 =1/1810–7 Ф = 5.56 нФ, C2 =1.210–7 Ф = 50 нФ, L=1/1410–1 Гн = 7.14 мГн, G =0.710–3 См = 0.7 мСм (что соответствует R=1428 Ом).

При перемасштабировании времени точки излома и наклона кусочно-линейного резистора NR не изменяются.



Выберем номиналы реальных элементов равными 18 мГн, 10 нФ, 100 нФ и 1800 Ом, близких к расчетным.

Проведя масштабирование тока и времени, мы конструируем диод Чуа: нелинейный резистор с вольт–амперной характеристикой, показанной на рис. 2. Его важным свойством является то, что он обладает двумя отрицательными наклонами m0 и m1.

Далее опишем методику конструирования диода Чуа с использованием операционных усилителей.

Преобразователь отрицательного сопротивления Существует множество путей для синтеза отрицательного сопротивления, один из которых состоит в подсоединении трех положительных линейных резисторов к управляемому напряжением источнику напряжения для формирования преобразователя отрицательного сопротивления. Это устройство привлекательно с экспериментальной точки зрения, поскольку легко осуществимо при помощи операционного усилителя (ОУ).

Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) является идеальным элементом цепи, который имеет два входа и два выхода (см. Рис. 3а). Он характеризуется двумя свойствами:

ток на входе равен нулю, а напряжение на выходе vout. является функцией разности потенциалов на входе vin.. Простейшая не тривиальная функциональная зависимость между входным и выходным напряжением УНИН имеет место, когда vout. линейно зависит от vin., т.е. vout.=Avin.. Это проиллюстрировано на рис. 3б.

Рис.3. Управляемый напряжением источник напряжения: графическое обозначение (а) и передаточная характеристика (б).

Основанный на УНИН преобразователь отрицательного сопротивления Теперь мы можем получить преобразователь отрицательного сопротивления с двумя выводами, подсоединяя три положительных резистора к УНИН, как показано на рис. 4а.

Предположим, что УНИН на рис. 4а является линейным, с функцией преобразования напряжения vout.=Avin..

По закону Кирхгофа для токов в узле 1 на рис. 4:

i = (v - vout.). (3) RНапряжения в контуре 1 — 3 — 0 — 1 связаны соотношением:

Rv = vin. + [ ]vout.. (4) R2 + RПередаточная функция для УНИН задается как vout. = Avin.. (5) Рис.4. Способ построения прибора с отрицательным сопротивлением: схема (а) и его вольтамперная характеристика (б).

R2 + (1+ A)RСледовательно, из (4) и (5) v = [ ]vout..

A(R2 + R3) A(R2 + R3) Или, что эквивалентно, vout. = [ ]v.

R2 + (1+ A)R(1- A)R2 + RПодставляя vout. в (3), получаем i = [ ]v.

R1[R2 + (1+ A)R3] RПри больших A i -[ ]v.

R1RДалее, выбирая R1=R2, получаем i - v.

RЭтот результат графически представлен на рис. 4б.

Таким образом, подключаясь ко входным зажимам элемента NR, мы наблюдаем сопротивление –R3.

Операционные усилители В реальных устройствах имеется некоторый рабочий диапазон, в котором можно говорить о соответствии поведения модели и реального прибора. Операционный усилитель — это электронный прибор, который в некотором диапазоне входных напряжений дает аппроксимацию источника напряжения, управляемого напряжением.

Рассмотрим цепь, показанную на Рис. 5а. Она состоит из операционного усилителя и связанных с ним источников питания – V+ и V. Напряжение, приложенное между неинвертирующим и инвертирующим входами (обозначенными “+” и “–”), вырабатывает разность потенциалов между выходом и опорным выводом (обычно общая точка источников питания). Этот реальный схемный модуль с ОУ имеет небольшой входной ток iin.; будем считать iin.=0.

Когда дифференциальное входное напряжение vin. реального ОУ достаточно велико по модулю и отрицательно, на выходе мы имеем практически постоянное напряжение –Esat–; эта область называется областью отрицательного насыщения. Когда на входе небольшое напряжение, то выходное напряжение изменяется почти линейно в зависимости от входного; эта область называется линейной. Коэффициент усиления в линейной области обычно превышает 105. Кроме того, характеристика отстоит от начала координат на входное напряжение смещения vos (оно может быть отрицательным или положительным, присущим одному конкретному устройству), которое обычно составляет несколько милливольт. Когда входное напряжение велико и положительно, напряжение на выходе принимает максимальное значение Esat+; эта область называется областью положительного насыщения. Таким образом, функция преобразования постоянного напряжения для Мы рассматриваем только случай, когда напряжения на неинвертирующем и инвертирующем входах относительно опорного вывода находится внутри рабочей области операционного усилителя.

реального ОУ хорошо аппроксимируется трехсегментной кусочно–линейной характеристикой, как показано на Рис. 5б.

Рис.5. Операционный усилитель: графическое изображение (а) и передаточная характеристика (б).

Поскольку реальный ОУ содержит компенсирующие и паразитные емкости, полная модель устройства будет включать реактивные элементы. Однако, мы предположим, что ОУ ведет себя как резистор в диапазоне частот, в котором будет работать схема Чуа. Это всегда можно обеспечить соответствующим масштабированием времени, как это было показано ранее. Таким образом, мы пренебрегаем всеми частотно–зависимыми эффектами в ОУ и работаем с ним как с чисто активным устройством.

Можно предположить также, что выходной импеданс ОУ достаточно мал, так что им можно пренебречь.

Таким образом, в наших целях выход ОУ выглядит как идеальный источник напряжения, а вход — как разрыв цепи. Поэтому мы можем моделировать ОУ как УНИН: iin.=0; vout.=f(vin.), где f(v) имеет вид, представленный на Рис. 5б.





Преимуществом данной кусочно-линейной модели является то, что мы теперь можем определить поведение цепи, содержащей ОУ и другие компоненты, анализируя каждый линейный участок работы (отрицательное насыщение, линейная область и положительное насыщение) отдельно.

Преобразователь отрицательного сопротивления на основе ОУ Как показано на рис. 6б, ОУ моделируется как УНИН с трехсегментной характеристикой преобразования напряжения. В данной модели учитываются ненулевое постоянное смещение vos, конечное усиление A в линейной области и (возможно различные) уровни насыщения –Esat– и Esat+.

Рис.6. Преобразователь отрицательного сопротивления на основе операционного усилителя: (а) принципиальная схема; (б) ВАХ преобразователя в предположении, что характеристика ОУ имеет вид, представленный на рис.5б.

Отрицательное насыщение vout.=–Esat– Esat vin. - A - + Линейный участок vout. = Avin.

Esat Esat - vin.

A A + Положительное насыщение vout.=Esat+ Esat vin.

A По закону Кирхгофа для токов на неинвертирующем входе ОУ (узел 1) на рис. 6а записываем:

i = (v - vout.). (6) RНапряжения в контуре 1 — 3 — 0 — 1 связаны соотношением:

Rv = vin. + [ ]vout. (7) R2 + RРассмотрим по отдельности три линейных участка характеристики преобразователя.

ОУ в положительном насыщении vout.=Esat+ 1 + Затем, подставляя vout. в (6), получаем i = v - Esat R1 R+ Esat ОУ находится в положительном насыщении при vin.

A Это соотношение является условием области положительного Rнасыщения. Нам известно, что v = vin. + [ ]vout.

R2 + RТогда условия принимают вид + Esat R3 + R2 + (1+ A)R3 + v + Esat, v [ ]Esat A R2 + R3 A(R2 + R3) Это соответствует правому сегменту на ВАХ на рис.6б. Точка излома определяется как R2 + (1+ A)R3 + + Bp = sat E, A(R2 + R3) а наклон — как m0=1/R R+ + Для больших A, Bp sat R + R3 E.

ОУ в области отрицательного насыщения.

Подстановка vout.=–Esat– вместо vout.=Esat+ для приведенного выше анализа дает крайний левый сегмент ВАХ на рис. 6б. m0=1/R1, как и раньше, и условие отрицательного насыщения имеет вид:

R2 + (1+ A)R3 - Bp = sat E A(R2 + R3) Это верхняя граница области отрицательного насыщения.

Линейная область ОУ.

В линейной области vout. = Avin..

Подстановка vout. в (6) дает соотношение 1 i = v - Avin.. (8) R1 RТеперь из (7) R3 R3 R2 + (1+ A)Rv = vin. + vout. = vin. + Avout. =.

R2 + R3 R2 + R3 R2 + R3 vin.

Выражая vin. через v, получаем R2 + Rvin. = (9) R + (1+ A)R3 v.

Подстановка vin. в зависимости от v в (8) дает:

(1- A)R2 + Ri = R [R2 + (1 + A)R3]v.

RДля больших A, i - v.

RR- + Esat Esat ОУ работает в линейной области, когда - vin..

A A Или, подставляя выражение для vin. из (9), - + Esat R2 + R3 Esat - vin. = R + (1+ A)R3 v A.

A Следовательно, ОУ работает в линейной области, когда R2 + (1+ A)R3 - R2 + (1 + A)R3 + sat sat E v E.

A(R2 + R3) A(R2 + R3) Для больших A уравнение сводится к виду:

R3 R- + sat sat R + R3 E v R + R3 E.

2 Рассмотрим еще раз рис. 6б. Мы имеем:

(1- A)R2 + Rm1 = R [R2 + (1+ A)R3].

RПри больших значениях A, получаем: m1 -.

RRВольт-амперная характеристика является кусочно-линейной и состоит из трех сегментов. Как и прежде, мы предполагаем, что A велико. Тогда центральная часть имеет наклон m1-R2/(R1R3), а внешние области (соответствующие насыщению ОУ — вследствие пассивности в общем) имеют наклоны m0=1/R1. Если мы положим R2=R1, тогда m1=1/R3.

В дальнейшем мы предполагаем, что уровни насыщения ОУ равны по величине. Таким образом, Esat+=Esat ; -Esat– =–Esat в со ответствии с предположением, а точки излома расположены в ± (R3/(R2+R3))Esat.

Преобразователь отрицательного сопротивления (ПОС) на ОУ будет основным блоком диода Чуа.

Для того, чтобы получить нелинейную характеристику, представленную на рис.2, необходимо соединить параллельно два таких ПОС, как это показано на Рис. 7.

Рис.7. Параллельное соединение двух кусочно-линейных резисторов.

Пусть оба управляются напряжением. Ток i1, протекающий через резистор NR, когда к его выводам приложено напряжение v1, определяется зависимостью i1 = f1(v1). Точно так же ток i2 = f (v ) течет в NR. Общий ток задается функцией i=g(v), где 2 g (v)=f1 (v)+f2(v).

Таким образом, параллельное соединение двух (или более) управляемых напряжением нелинейных резисторов также является управляемым напряжением нелинейным резистором. Определить форму g (v) можно графически сложением i1 и i2 для всех v, как показано на рис. 8.

Этот способ позволяет сконструировать пятисегментный физически реализуемый кусочно–линейный резистор, требуемый для схемы Чуа, путем параллельного соединения двух преобра зователей отрицательного сопротивления с ВАХ соответствующей формы.

Рис.8. Графическое сложение двух вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ На Рис. 9 изображена реализация цепи Чуа на ОУ. Нужная для диода Чуа ВАХ задается двумя управляемыми напряжением преобразователями отрицательного сопротивления NR и NR, 1 соединенными параллельно.

Рис.9. Принципиальная схема системы Чуа. Дополнительные ОУ включены в схему для устранения влияния измерительных приборов на динамику системы Чуа.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.