WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электроники, колебаний и волн Высший Колледж Прикладных Наук CАРАТОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН Учебно-научная лаборатория «Нелинейная динамика (физический эксперимент)» А.Б. БЕСПЯТОВ, В.И. ПОНОМАРЕНКО СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА CХЕМЫ НА ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ КОНДЕНСАТОРАХ Учебно-методическое пособие Государственный учебно-научный центр «Колледж» Cаратов 1999 УДК 530.18 Б53 Б53 Беспятов А.Б., Пономаренко В.И. Сложная динамика схемы на переключаемых конденсаторах. Учебно-методическое пособие для студентов физического факультета. Саратов:

Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1998. 26 с.

Схема на переключаемых конденсаторах представляет собой замкнутую в кольцо цепь, содержащую блок выборки и хранения и нелинейный преобразователь. В 80-е годы, когда активное изучение динамического хаоса только начиналось, эти системы использовались как аналоговые вычислительные машины для исследования бифуркаций в системах, описываемых точечными отображениями.

В данной работе экспериментально исследуется схема на переключаемых конденсаторах с нелинейной характеристикой, имеющей один квадратичный максимум — аналоговая модель знаменитого квадратичного отображения, на котором впервые были изучены закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Демонстрируется влияние шумов и нестабильностей, присущих реальным системам, на классический сценарий перехода к хаосу; экспериментально оцениваются значения универсальных констант Фейгенбаума.

Работа предназначена для практических занятий по курсам «Нелинейные колебания», «Динамические системы и бифуркации» и «Динамический хаос» для студентов ВКПН и физического факультета Саратовского университета.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция», грант № 696.3.

Рецензент: д.ф.-м.н. Кузнецов А.П.

© А.Б. Беспятов, В.И. Пономаренко, 1999 © Изд–во ГосУНЦ “Колледж” Содержание Схемы на переключаемых конденсаторах. Свойства элементов реальной схемы. Схема экспериментальной установки и методика эксперимента. Практическое задание. Меры предосторожности и безопасности Контрольные вопросы Приложение 1. Аналоговые перемножители сигналов. Приложение 2. Квадратичное отображение и закономерности Фейгенбаума. Приложение 3. Прикладные возможности схемы на переключаемых конденсаторах. Список литературы Схемы на переключаемых конденсаторах.

В аналоговой технике, в отличие от цифровой, информация представляется не дискретным набором условных нулей и единиц, а величинами токов или напряжений, изменяющимися непрерывно в некотором интервале. При таком подходе запоминание значений сигналов обычно реализуют с помощью конденсаторов, в течение некоторого времени сохраняющих напряжение на своих обкладках. Типичным аналоговым запоминающим устройством является ячейка выборки-хранения, в простейшем случае состоящая из электронного ключа и конденсатора (рис.1) [1]. В режиме выборки конденсатор C с помощью ключа подключается к источнику сигнала и заряжается до напряжения Uвх. По команде (сигналу на управляющем электроде) ключ размыкается, и в течение некоторого времени на конденсаторе сохраняется напряжение, близкое к входному на момент размыкания ключа — осуществляется режим хранения. Напряжение с конденсатора обычно снимается через операционный усилитель. Он имеет большое входное и малое выходное сопротивление, что позволяет конденсатору не разряжаться, несмотря на малое сопротивление нагрузки, подключенной к выходу устройства. Операционный усилитель работает в режиме повторителя, так что напряжение на его выходе равно напряжению на конденсаторе.

Рис.1 Простейшая ячейка выборки-хранения.

На рис.2 представлена схема, сконструированная на основе двух ячеек выборки-хранения (1,2), управляемых противофазными логическими сигналами1 U1 и U, а также неупр упр линейного элемента (3) с передаточной характеристикой Uвых.=f(Uвх.) и предназначенная для моделирования дискретного одномерного отображения. Здесь тактовый генератор (5) задает периодический сигнал, управляющий схемой, а инвертор (4) обеспечивает изменение фазы управляющего сигнала.

Рис.2. Схема на переключаемых конденсаторах (принцип работы).

Проиллюстрируем идею ее работы с помощью временных диаграмм рис.3. Управляющее напряжение («меандр») от тактового генератора подается непосредственно на управляющий электрод первой ячейки выборки-хранения, а на управляющий вход второй — через инвертор 4, изменяющий фазу (1 на 0 и наоборот) (рис.3а,б). Для первой ячейки время с момента t1 до момента t1 соответствует периоду выборки, а с t1 до t2 — периоду хранения. Для второй — наоборот, время с момента t1 до момента t1 соответствует периоду хранения, а с t1 до t2 — периоду выборки.

Логическим называют сигнал, в котором различают только два различных уровня. Каждому из них условно присвоено значение некоторой цифры. Например, напряжениям, меньшим порогового, присваивается логический 0, а больше порогового —логическая 1.

Рис.3. Временные диаграммы напряжений на элементах кольцевой схемы.

Предположим, что в начальный момент времени напряжение на выходах схем выборки и хранения 1 и 2 равно (Uвых.1=0; Uвых.2=0). На входе нелинейного элемента напряжение также составляет U0=0, а на выходе — U1=f(U0)=f(0). В момент времени t1 ячейка 1 производит выборку значения напряжения на выходе нелинейного элемента U1. При этом на выходе ячейки 2 сохраняется значение напряжения U0=0.

В момент времени t1 происходит переключение режимов ячеек (первая переходит в режим хранения, а вторая — в режим выборки). При этом конденсатор С2 заряжается до напряжения U1, и на входе нелинейного элемента 6 появляется значение напряжения U1. Соответственно на выходе нелинейного элемента формируется значение напряжения U2=f(U1)=f(f(U0)). В момент времени t2 ячейка 1 переключается в режим выборки, и конденсатор С1 заряжается до напряжения U2. Таким образом, с течением времени на выходе нелинейного элемента формируется последовательность значений напряжения Un+1=f(Un), где n=0,1,2,...... — дискретное время, измеряемое в единицах периода тактового генератора.



Можно ожидать, что эта радиотехническая система ведет себя аналогично рекуррентному соотношению (одномерному точечному отображению) с таким же видом нелинейности xn+1=f(xn). Однако степень идентичности поведения простой математической модели и радиотехнической системы, объединившей в себе большое число элементов и «живущей» по законам материального мира, ограничена. Для определения места модели необходимо сопоставление результатов физического эксперимента и численного исследования.

Свойства элементов реальной схемы.

Схема, представленная на рис.2, может быть реализована с помощью радиотехнических элементов — конденсаторов, резисторов и полупроводниковых микросхем, в каждой из которых содержится большое число транзисторов, диодов и резисторов. Множество свойств этой совокупности конструктивных элементов шире, чем у рассмотренной идеализированной схемы. Так, кроме уже отмеченных процессов заряда и разряда конденсатора в ячейках выборки и хранения имеют место следующие явления:

1) Напряжение на заряженном и отключенном от источника конденсаторе ячейки выборки-хранения реально уменьшается из-за утечек, вызванных неидеальностью диэлектрика между обкладками и конечностью входного сопротивления элемента, к которому подключен выход ячейки. Это приводит к изменению запомненного значения Un и уменьшению точности запоминания.

2) Увеличение емкости конденсатора снижает влияние токов утечки на сохраняемое значение напряжения, но увеличивает длительность процессов заряда и разряда — ограничивает быстродействие ячейки выборки-хранения. При больших частотах тактового генератора это приведет к невозможности обеспечить равенство Uвх = Uвых., а следовательно исказится запоминаемое значение сигнала. Чем меньше емкость конденсатора, тем быстрее его можно зарядить; это увеличивает быстродействие устройства, но снижает точность.

3) Электронный ключ, в качестве которого может быть использован полевой транзистор либо специализированная микросхема, при наличии на управляющем входе логического сигнала меняет сопротивление не от 0 до бесконечности, а с малого на большое (с величин порядка десятков Ом на величины порядка 1 Гом для КМОП-ключевых микросхем).

При этом имеется нелинейная зависимость сопротивления от проходящего через ключ тока, и кроме того, замыкание и размыкание ключа происходит не мгновенно, а определяется как характеристиками ключа, так и конструкцией и элементами схемы. В итоге оказывается, что конструирование схемы на переключаемых конденсаторах, которая с заданной точностью моделирует точечное отображение, представляет собой определенный компромисс между точностью и быстродействием.

Другим фрагментом схемы, сильно влияющим на ее свойства, является нелинейный элемент с заданным видом передаточной характеристики. Его основой является электронный перемножитель сигналов, который может быть использован для выполнения математических операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения квадратного корня, что необходимо для создания нелинейных элементов [2] (см. приложение 1). Конструирование нелинейного элемента, с необходимой точностью обеспечивающего вид характеристики, представляет достаточно сложную задачу. При расчете его схемы приходится учитывать ряд противоречивых требований. Например, чем меньше значения напряжений в схеме, тем больше влияние температуры и других дестабилизирующих факторов на работу схемы; с другой стороны, диапазон изменения напряжений не должен превышать предела, допустимого для элементов схемы.

И, наконец, даже при идеальном обеспечении требований быстродействия и точности при выборке, хранении и аппроксимации остается еще один очень важный и принципиально неустранимый фактор — реальные системы, сконструированные из полупроводниковых и металлических элементов, обладают шумами. Шумы выводят систему из неустойчивых положений (состояний равновесия или движений по неустойчивым орбитам), так что система переходит в некоторое устойчивое состояние. Устойчивые движения менее критичны к действию шумов, но так или иначе система реагирует на случайное воздействие — например, нарушается идеальная периодичность и узкие пики (в идеале выбросы) в спектре «расплываются». Так, в системах, демонстрирующих последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний при переходе к хаосу, шумы ограничивают число бифуркаций удвоения, предшествующих хаосу, уничтожают узкие области периодичности в закритической области параметров, где развивается хаос. Чем больше уровень шума, тем меньше наблюдается бифуркаций удвоения периода в системе.

Целью работы является экспериментальное исследование схемы на переключаемых конденсаторах с нелинейным элементом, передаточная характеристика которого имеет один квадратичный максимум, так что данная система представляет собой аналоговую модель одномерного квадратичного отображения.

Схема экспериментальной установки и методика эксперимента.

Блок–схема лабораторной установки и принципиальная схема экспериментальной модели отображения приведена на рис.4.





Поведение этой схемы соответствует динамике отображения вида:

xn+1=-xn2, (1) c некоторым масштабным множителем, необходимость которого объясняется ниже.

Экспериментально моделируемое отображение, в котором значения переменной y соответствуют напряжениям в точках схемы, имеет следующий вид:

yn+1=–yn2/5, (2) где =5, yn =5xn.

Рис.4. Кольцевая схема с квадратичной нелинейностью и блок-схема лабораторной установки Для логистического отображения (1) известно, что допустимые пределы изменения параметра нелинейности составляют от 0 до 2. В этих пределах изменения параметра в системе существует устойчивый аттрактор. При <0 устойчивая неподвижная точка отображения становится неустойчивой, а при >2 хаотические колебания не имеют конечного решения. При изменении параметра от 0 до 2 переменная xn может принимать значения от – 2 до +2. Если экспериментальную схему рассчитать в соответствии с этими значениями, то напряжения в схеме будут изменяться в пределах от -2 до 2В, что значительно меньше полного динамического диапазона, предоставляемого элементами схемы. В этом случае возрастает влияние шумов и различного рода нестабильностей на динамику всей системы. Таким образом, для уменьшения влияния шумов необходимо преобразовать дискретное отображение вида (1) так, чтобы динамическая переменная изменялась в пределах от +10 до –10. Это можно сделать, введя замену переменных yn=5xn. Тогда (1) преобразуется к следующему виду: yn+1/5=–yn2/25, или yn+1=–yn2/5, где =5, yn=5xn (что соответствует соотношению (2)) Таким образом, при такой замене переменных новая динамическая переменная yn изменяется в пределах от –10 до +10В при изменении нового параметра нелинейности в пределах от до 10В, что позволяет использовать полный динамический диапазон схемы на переключаемых конденсаторах.

Поясним работу нелинейного элемента, образованного перемножителем [2] и суммирующим усилителем. Для используемой в данной схеме интегральной микросхемы перемножителя типа 525ПС2 выходное напряжение равно Uвых.=Uвх.1Uвх.2/10 (напряжение измеряется в вольтах). Деление на 10 предусмотрено при разработке данной схемы и необходимо для того, чтобы значения напряжений на выходе не выходили за пределы динамического диапазона аналогового перемножителя. Напряжение на выходе перемножителя указанного типа не должно превышать ±10В (динамический диапазон этого умножителя). Деление позволяет возводить в квадрат напряжения, имеющие на входе умножителя величины до 10 В, а не 10 В, как это было бы без деления. Это улучшает условия эксперимента, т.к. при изменении напряжений в малых пределах возрастает влияние шумов и различных нестабильностей, связанных с изменением параметров элементов в зависимости от температуры, времени, влажности и т.д.

Суммирующий усилитель выполнен по типичной схеме суммирующего инвертирующего усилителя на базе операционного усилителя. Его выходное напряжение вычисляется по формуле Uвых.=-(K1Uвх.1 + K2Uвх.2+K3Uвх.3). На первый вход подается напряжение с выхода перемножителя, равное yn2/10. На второй вход подается отрицательное постоянное напряжение, регулируемое резистором R1 и соответствующее параметру нелинейности со знаком «-». На третий вход подается напряжение с выхода генератора шума. Когда Uвх.3=0, на динамику схемы влияют только внутренние шумы, и передаточная характеристика всего нелинейного элемента имеет вид Uвых.нэ=-K1yn2/10-K2(-). Для соответствия с формулой (2) подбором резисторов выбираем коэффициенты усиления K1=2 и K2=1. Таким образом, передаточная характеристика нелинейного элемента задается соотношением Uвых.нэ=-yn2/5, что соответствует формуле (2).

При Uвх.30 на динамику системы влияет напряжение, подаваемое с выхода генератора шума. Этот режим работы предназначен для исследования влияния шума на динамику отображения (2).

При экспериментальном исследовании напряжения со входа и выхода нелинейного элемента подаются на входы осциллографа. В режиме временной развертки на экране осциллографа можно наблюдать временную реализацию сигнала, поданного на один из его входов. Четкой картины можно добиться при наблюдении периодических колебаний в режиме периодической развертки с внутренней синхронизацией. Для этого следует подбирать период развертки и уровень синхронизации.

При выключенной внутренней развертке осциллографа картина на его экране соответствует фазовому портрету исследуемой системы: в периодических режимах это набор точек, в хаотическом — сплошные полосы. Для наблюдения на экране фазового портрета в восстановленном двумерном фазовом пространстве на входы X и Y осциллографа подаются напряжения с двух точек схемы.

Цифровой вольтметр используется для точного измерения напряжения, соответствующего величине управляющего параметра. Генератор шума формирует шумовой сигнал с нормальным распределением, уровень (дисперсия) которого может регулироваться. Он предназначен для введения дополнительного шума в схему. Переменный резистор R1, предназначенный для изменения параметра нелинейности модели, выведен на переднюю панель прибора.

Методика экспериментальных исследований и практическое задание.

1) Включить измерительную установку.

• Включить осциллограф, анализатор спектра и цифровой вольтметр тумблерами «сеть», находящимися на передней панели приборов.

• Включить лабораторный макет тумблером на задней панели.

2) Пользуясь анализатором спектра и осциллографом при изменении параметра (регулировка осуществляется изменением величины R1, находящимся на передней панели лабораторного макета):

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.