WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Министерство образования Российской Федерации Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А дисциплины «Вычислительная физика» для специальности 010400 «Физика» Специализация 010440 «Физические методы и средства защиты информации» Саратов 2002 Составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшей школы по специальности 010400 «ФИЗИКА» «ОДОБРЕНО» «УТВЕРЖДАЮ» Председатель учебно-методической Проректор по учебной работе СГУ комиссии физического факультета СГУ д.х.н., член-корр. РАЕН, профессор д.ф.-м.н., профессор В.Л. ДЕРБОВ С.П. МУШТАКОВА «» 2002 г. «_» _2002 г.

Зав. кафедрой общей физики СГУ д.ф.-м.н., член-корр. РАЕН, профессор А.А.ИГНАТЬЕВ "_"2002 г.

А В Т О Р :

к.ф.-м.н., доцент С.В. Овчинников 2 1. Пояснительная записка Цель курса «Вычислительная физика» заключается в первоначальном ознакомлении студентов с рядом основных вычислительных методов, применяемых при решении физических задач и при обработке данных эксперимента, способами их оптимальной реализации на компьютере, оценками погрешности результата проводимых расчетов.

Отметим, что практически все рассматриваемые в рамках настоящего курса методы вычислений реализованы в широко распространенных прикладных универсальных программных пакетах MATHCAD, MATHLAB и т.п. Однако физику, прежде всего, необходимо знать, как работает тот или иной алгоритм, какова область его применения, какую достоверность полученного результата обеспечивает тот или иной используемый вычислительный метод.

В процессе обучения студенты:

- знакомятся с теорией и построением вычислительных алгоритмов;

- учатся правильно ставить конкретную вычислительную задачу, выбирать оптимальный способ ее реализации на компьютере с учетом предварительного анализа вычислительного алгоритма на устойчивость и сходимость;

- знакомятся с возможными источниками погрешностей при компьютерном решении физических задач, способами численной оценки погрешности полученного результата.

На практических занятиях в дисплейных классах студенты приобретают навыки практического программирования, реализации конкретных вычислительных задач на компьютере с учетом требуемой точности вычислений, оптимизации процесса вычислений.

Для изучения курса «Вычислительная физика» студентам необходимо знание следующих основных дисциплин:

- курс общей физики (механика, основы молекулярной физики и термодинамики, электрические и магнитные явления);

- курс математического анализа;

- курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений;

- ЭВМ и программирование.

Трудоемкость: лекции – 18 час.

практические занятия – 36 час.

семинарские занятия – 18 час.

самостоятельная работа – 18 час.

2. Тематический план учебной дисциплины Наименование Максималь- Количество аудиторных часов при Самостояная учебная дневной форме обучения тельная нагрузка работа студентов, студентов, Всего, Лекцион- Практи- Семинарчас. час.

час. ная ческие ские нагрузка, занятия, занятия, час. час. час.

1 2 3 4 5 6 Введение Вычислительная задача и ошибки вычислительного процесса 6 4 2 1 1 Раздел 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений.

15 12 3 6 3 Темы 1.1- 1.Раздел 2 Практическое вычисление функций.

19 16 4 8 4 Темы 2.1- 2.Раздел 3 Численное интегрирование. 14 11 2 7 2 Темы 3.1-3.Раздел 4 Приближенные решения алгебраических и трансцендентных 14 11 3 6 2 уравнений.

Темы 4.1-4.Раздел 5 Численное решение обыкновенных дифференциальн 22 18 4 8 6 ых уравнений.

Темы 5.1-5.90 72 18 36 18 Всего:

3. Содержание учебной дисциплины Анализ вычислительной задачи. Источники погрешностей при Введение. компьютерных вычислениях. Понятие об устойчивости вычислительного алгоритма. Примеры неустойчивых алгоритмов.

Раздел 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Тема 1.1. Система линейных алгебраических уравнений. Условия плохой обусловленности и вырожденности. Метод последовательных исключений Гаусса (с выбором ведущего элемента). Уточнение решения.

Тема 1.2. Итерационный метод решения на примере метода Гаусса - Зейделя.

Приведение матрицы коэффициентов к виду, удобному для реализации итерационного процесса. Условие сходимости итерационного процесса и сравнительные характеристики методов.

Раздел 2. Практическое вычисление функций.

Тема 2.1. Схема Горнера. Приближение функций полиномами - задачи интерполяции и аппроксимации, метод наименьших квадратов. Цепные дроби. Метод последовательных приближений.

Тема 2.2. Понятие о специальных функциях математической физики. Способы вычисления специальных функций. Ускорение сходимости рядов.

Полиномиально – рациональные аппроксимации специальных функций.

Раздел 3. Численное интегрирование.

Тема 3.1. Интегрирование по формулам прямоугольника и трапеции. Формула Симпсона. Обобщенная формула Ньютона – Котеса. Оценка погрешностей.

Численное интегрирование сильно осциллирующих функций.

Тема 3.2. Метод Гаусса численного интегрирования. Сравнительные характеристики точности численного интегрирования. Интегрирование с заданной погрешностью.

Раздел 4. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Тема 4.1. Понятие корня. Разделение корней. Метод половинного деления. Метод хорд.

Тема 4.2. Метод простой итерации. Метод касательных и метод секущих.

Сравнительные характеристики методов, оценка скорости сходимости методов. Оценка устойчивости алгоритмов.

Раздел 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 5.1. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта (второго и четвертого порядков).

Тема 5.2. Явные методы решения (Адамса–Башфорта). Неявные и смешанные методы решения (Адамса - Моултона, прогноза и коррекции). Оценка погрешностей одно- и многошаговых методов.

Содержание практических занятий Введение. Исследование погрешности ограничения и округления при вычислении степенных сходящихся рядов.

Раздел 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Тема 1.1. Разработка программы, реализующей метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Тестовые вычисления. Оценка роста погрешности метода Гаусса с ростом числа уравнений.

Тема 1.2. Разработка программы, реализующей метод Гаусса - Зейделя.

Вычислительные примеры ее применения, анализ матрицы коэффициентов на возможность использования итерационных методов.

Раздел 2. Практическое вычисление функций.

Тема 2.1. Реализация на компьютере: 1) интерполяции таблично заданной функции по Лагранжу; 2) метода наименьших квадратов для полиномиальной аппроксимации таблично заданной функции; 3) интегрального метода наименьших квадратов.

Тема 2.2. Табуляция функций Бесселя первого рода и интеграла ошибок Гаусса при их вычислении различными способами. Оценка погрешности вычислений и выявление областей применимости таких способов.

Раздел 3. Численное интегрирование.

Тема 3.1. Реализация на компьютере алгоритмов численного интегрирования: формула прямоугольников, формула трапеции, формула Симпсона. Интегрирование известной функции с заданной точностью для сравнительного анализа требуемого числа интервалов. Разработка программы вычисления интегралов от сильно осциллирующих функций. Численное определение коэффициентов ряда Фурье.

Тема 3.2. Сравнение точности численного интегрирования по методу Гаусса и методам типа Ньютона - Котеса на конкретных примерах. Вычисление некоторых специальных функций на основе их интегральных представлений.

Раздел 4. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Тема 4.1. Реализация на компьютере метода половинного деления и метода хорд.

Решение известного характеристического уравнения, и сравнение полученных результатов с табличными.

Тема 4.2. Разработка программ, реализующих методы последовательных приближений и Ньютона. Сравнение на конкретных примерах вычислительных затрат и погрешностей различных методов.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Раздел 5.

Тема 5.1. Реализация на компьютере методов Эйлера Рунге - Кутта (четвертого порядка).

Тема 5.2. Реализация на компьютере метода прогноза и коррекции. Сравнение вычислительных затрат и погрешностей при использовании метода прогноза и коррекции и метода Рунге - Кутта на примере известного аналитического решения обыкновенного дифференциального уравнения. Численный анализ колебательного процесса.

Содержание семинарских занятий Введение. Распространение ошибок в алгебраических операциях. Вычисление рядов.

Раздел 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Тема 1.1. Метод последовательных исключений Гаусса. Примеры плохо обусловленных систем. Увеличение ошибки с ростом числа уравнений.

Тема 1.2. Приведение системы уравнений к виду, удобному для итераций. Системы уравнений с большим числом нулевых коэффициентов.

Раздел 2. Практическое вычисление функций.

Тема 2.1. Задачи приближения функций методом наименьших квадратов, построение типовых алгоритмов. Понятие о сплайн - функциях.

Тема 2.2. Ошибка в вычислениях степенных рядов с факториальным знаменателем.

Представление некоторых специальных функций математической физики приближающими выражениями.

Раздел 3. Численное интегрирование.

Тема 3.1. Применение формулы Ньютона - Котеса. Интегрирование с помощью равномерной и неравномерной сеток.

Тема 3.2. Алгоритм Гаусса численного интегрирования. Построение алгоритма интегрирования с оценкой погрешности вычислений.

Раздел 4. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Темы 4.1 – Построение вычислительных алгоритмов с контролем погрешности 4.2. вычислений.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Раздел 5.

Тема 5.1. Задача о движении тела в вязкой среде. Построение алгоритма на основе методов Эйлера и Рунге-Кутта. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 5.2. Исследование свободных и вынужденных колебаний с помощью смешанных методов. Задача о колебаниях физического маятника.

Перечень контрольных работ.

Контрольная работа №1 Поэтапное решение (с помощью калькулятора) заданной ( Раздел 1 ) системы из 4-х алгебраических уравнений методом Гаусса и методом Гаусса - Зейделя с предварительным приведением матрицы коэффициентов к необходимому виду.

Контрольная работа №2 1) Аппроксимация и интерполяция табличных значений ( Раздел 2 ) полиномами 3-й, 4-й и 5-й степеней с проверкой оптимальности выбранного значения степени по критерию Гаусса (для задачи аппроксимации).

2) Исследование возможности аппроксимации полиномом целой степени распределения Гаусса по данным работы «Статистические закономерности» Общего физического практикума.

Контрольная работа №3 1) Численное интегрирование с заданной погрешностью ( Раздел 3 ) функции ошибок Гаусса и сравнение результатов с табличными данными.

2) Определение площади кривой, заданной таблицей значений, с помощью численного интегрирования разными способами.

Контрольная работа №4 1) Численное определение корней функций Бесселя первого ( Раздел 4 ) рода и сравнение этих значений со значениями, вычисленными по аппроксимационным представлениям.

2) Определение корней трансцендентных уравнений дисперсионного типа.

3) Задача египетских жрецов.

Контрольная работа №5 1) Анализ одномерного движения шара в вязкой среде.

( Раздел 5 ) 2) Анализ «артиллеристской» задачи при учете сил сопротивления движению снаряда.

3) Анализ затухающих колебаний обобщенного маятника.

Виды самостоятельной работы студентов 1) Исследование распространения ошибок округления на примере алгебраических действий с несколькими действительными числами, представимыми четырехразрядной мантиссой. Округление с отбрасыванием и округление симметричное.

2) Знакомство с итерационными методами решения больших разряженных систем линейных алгебраических уравнений.

3) Оценка с помощью ручных вычислений скоростей сходимости решений алгебраической системы из трех уравнений методом простых итераций и итераций по Гауссу - Зейделю.

4) Подробное ознакомление с методом наименьших квадратов. Построение разрешающей системы уравнений для аппроксимирующей функции в виде линейной комбинации полинома второго порядка и экспоненциальной функции.

5) Знакомство с интерполяцией рациональными функциями и тригонометрическими полиномами.

6) Проблемы численного интегрирования несобственных интегралов.

7) Знакомство с математическим пакетом ФОРТРАН (PS-4, PS-6).

4. Перечень литературы и средств обучения Основная литература:

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: 1970.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х томах. М.: 1966.

3. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. М.: 1990.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: 1989.

5. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ. под ред. А.А. Абрамова. М.: 1986.

6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Сигала. М.: Наука, 1979.

Дополнительная литература:

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн - функций. М.: 1980.

2. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе / Пер.

с англ. под ред. Б.Н. Наймарка. М.: 1977.

3. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHCAD: математический практикум. М.: 1999.

4. Янке Э., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с нем. под ред. Л.И. Серова. М.: 1977.

5. Светозарова Г.И., Мельников А.А., Козловский А.В. Практикум по программированию на языке БЕЙСИК / Под ред. С.В. Емельянова. М.: 1988.

6. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке БЕЙСИК для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1989.

Средства обучения:

а) персональные компьютеры типа IBM (дисплейный класс кафедры общей физики СГУ), б) языки программирования - БЕЙСИК, Паскаль, ФОРТРАН, С.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.