WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
Приоритетный национальный проект «Образование» Российский университет дружбы народов Л.А. Севастьянов, К.П. Ловецкий, Е.Б. Ланеев Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур Учебное пособие МОСКВА 2008 г.

Аннотация Учебное пособие посвящено методам устойчивого решения обратных задач в моделях взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с участками среды со сложной геометрией и сложным по составу диэлектрическим наполнением. Приоритетной задачей является применение этих методов для численного решения задач при проектировании оптических устройств. Пособие нацелено на применение теоретических знаний (регулярных методов решения некорректных задач) для разработки оригинальных методов и алгоритмов решения задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических элементов и устройств.

2 Общее описание курса Основы развития устойчивых приближенных методов решения некорректных задач были заложены в фундаментальной работе А.Н. Тихонова «Об устойчивости обратных задач» // ДАН СССР, 1943, т. 39, № 5, где был введен важный класс так называемых обратных задач, связанных с восстановлением количественных характеристик среды по порождаемым ею физическим полям, доступным для измерения.

Интенсивное развитие методов решения неустойчивых задач было предопределено широким внедрением компьютеров в математические исследования, что по законам обратной связи вызвало поток разнообразных задач, для решения которых потребовалось развитие новых приближенных методов. Одним из значимых сегментов обратных некорректных задач являются задачи компьютерной оптики, в частности, задач проектирования дифракционных оптических элементов и устройств.

Методы устойчивого решения обратных задач в моделях взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с участками среды со сложной геометрией и сложным по составу диэлектрическим наполнением занимают важное место в ряду регулярных методов решения некорректных задач.

Целью курса является обучение теоретическим основам регулярных методов решения некорректных задач. Теоретическое изложение при этом опирается на конкретные регулярные методы решения прикладных задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических элементов и устройств, оптических наноструктур.

Задача курса - обучение студентов умению и навыкам использования методов устойчивого решения обратных задач в моделях взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с участками среды со сложной геометрией и сложным по составу диэлектрическим наполнением.

Более того, приоритетной задачей является применение этих методов для численного решения задач при проектировании оптических устройств.

Они обязаны квалифицированно применять теоретические знания (регулярных методов решения некорректных задач) для разработки оригинальных методов и алгоритмов решения задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических элементов и устройств.

Инновационность курса Курс является инновационным по содержанию и литературе, он включает последние научные достижения в области решения задач дифракционной оптики, когда характерные размеры исследуемых объектов не превышают либо сравнимы с длиной волны оптического излучения. Эта область знаний интенсивно развивалась в последнее время, но лишь недавно были созданы устойчивые алгоритмы и разработаны численные методы решения задач для многослойных решеток. Следует отметить, что для оптических однослойных и многослойных решеток с характерными размерами больше длины волны оптического излучения устойчивые методы решения известны с середины прошлого века. Сейчас алгоритмы решения оптических задач в субволновой области распространяются на объекты со сложной геометрией, такие как двухмерные решетки с произвольным профилем, трехмерные решетки (фотонные кристаллы) и на анизотропные материалы. Они востребованы, поскольку позволяют создавать математические модели взаимодействия излучения с веществом в наномасштабах, а затем с их помощью проектировать новые эффективные устройства в высокотехнологичных областях медицины, энергетики, инфокоммуникаций и приборостроения.

В ходе проведения занятий по этому курсу разработчики предполагают использование традиционных методик преподавания, принятых в странах болонской системы образования, то есть с использованием кредитной системы оценки знаний.

Наряду с традиционными элементами преподавания математических методов решения прикладных задач разработчики курса предполагают воспользоваться хорошо зарекомендовавшим себя опытом МФТИ и подобных вузов. А именно, в рамках подпрограммы «Оптика наноструктур» осуществляется закупка уникального аналитического оборудования для измерения разнообразных характеристик оптических наноустройств с целью использования этого оборудования в учебном процессе и для проведения научно-исследовательских работ преподавателями, аспирантами и студентами.

По окончании магистратуры по направлению «Оптика наноструктур» выпускники Российского университета дружбы народов станут конкурентоспособными специалистами в области проектирования современных оптических устройств, которые не будут испытывать затруднений при последующем трудоустройстве.

Курс базируется на публикациях научных статей мировых лидеров исследований в данной области, диссертационных работах их учеников, включающих работы по непосредственному моделированию, дизайну и последующему изготовлению лабораторных образцов оптических элементов и устройств. В список дополнительной и рекомендуемой литературы включены все научно-исследовательские публикации, положенные в основу предлагаемого курса.



В качестве практических заданий, курсовых работ и тем рефератов слушателям магистерской программы будут предложены актуальные проблемы и задачи, решение которых востребовано современным уровнем развития высокотехнологичных отраслей промышленности и научноисследовательских лабораторий.

Тема 1. Системы уравнений с неточно заданными коэффициентами и правой частью 1.1. Влияние неточности исходной информации Если какая-либо практическая задача сводится к системе линейных уравнений, то коэффициенты и свободные члены системы, как правило, известны не точно, а с некоторыми погрешностями. Кроме того, как было сказано выше, запись исходных данных и вычисления связаны с некоторыми ошибками округления, влияние которых равносильно некоторому искажению коэффициентов и свободных членов.

Избежать указанных искажений мы не можем, но можем, во-первых, оценить получаемую погрешность, а, во-вторых, постараться выбрать такой метод решения системы, который не увеличивал бы неопределнность результата, уже заложенную в самой системе.

Мы будем стоять на следующей точке зрения: задана система линейных уравнений Ax b, (1.1) которую мы будем называть исходной, или невозмущнной системой.

Рассматривается ещ одна система, называемая возмущнной системой, про которую известно, что е коэффициенты и свободные члены лежат в заданных интервалах (aij aij, aij aij), (bi bi, bi bi), (1.2) где aij и bi - коэффициенты и свободные члены исходной системы.

Погрешностью решения мы будем называть разность между решениями исходной и возмущнной систем. (При этом предполагается, что каждая из систем имеет единственное решение.) Согласно этому определению погрешность - столбец, и оценить погрешность можно только по какой-либо норме в арифметическом пространстве. В примерах этого параграфа рассматривается исключительно евклидова норма.

Рассмотрим простейший случай – систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Невозмущнная система имеет вид ax by c, (1.3) a1x b1y c1, и пусть известно, что коэффициенты при переменных заданы точно, а возмущены только свободные члены, т.е. a b a1 b1 0.

Геометрически каждое уравнение невозмущнной системы изображается прямой линией на плоскости. Соответствующее уравнение возмущнной системы – параллельной ей прямой, которая лежит внутри некоторой полосы. Для первого уравнения, например, полоса ограничена прямыми ax by c c и ax by c c.

Таким образом, решения возмущнной системы лежат внутри параллелограмма, являющегося пересечением полос.

Погрешность решения изображается вектором ( x, y), длина которого может достигать половины длины наибольшей диагонали параллелограмма. Поэтому искажающее влияние возмущений свободных членов системы при полосах одинаковой ширины тем больше, чем меньше угол между прямыми (1.3).

В общем случае, когда и коэффициенты истинной системы отличаются от коэффициентов исходной, прямые, изображающие уравнения, не только сдвигаются, но и поворачиваются. Параллелограмм заменяется более сложной фигурой, но общий результат остатся тот же:

чем меньше угол между прямыми (1.3), тем, как говорится, хуже обусловлена система, т.е. такое же возмущение коэффициентов может вызывать большую погрешность решения.

1.2. Почти вырожденные матрицы Возмущение коэффициентов системы линейных уравнений может не просто немного исказить е решение, а иметь более серьзные последствия.

Система линейных уравнений x 0,99y 1,01, x 1,01y 0,имеет единственное решение, но за счт изменения е коэффициентов и свободных членов на 1% можно получить как противоречивую систему, так и систему, имеющую бесконечно много решений.

Сейчас нам следует подчеркнуть принципиальную важность этого явления. Если числа не могут быть заданы точно, то стирается чткая грань между вырожденными и невырожденными матрицами. Появляется класс почти вырожденных матриц, границы которого зависят от принятой в данном конкретном исследовании меры точности. Про почти вырожденную матрицу нельзя сказать, вырождена она или нет, так как, изменяя е элементы в пределах заданной точности, можно получить как вырожденную, так и невырожденную матрицу. Поэтому при приближнных вычислениях надо с большой осторожностью относиться к фразам типа: «пусть матрица A невырождена…», которыми пестрит курс линейной алгебры.

Если в системе линейных уравнений матрица оказалась почти вырожденной, то лучше вернуться к постановке той задачи, которая привела к рассматриваемой системе линейных уравнений, для того чтобы получить дополнительную информацию о системе. Может случиться, например, что по смыслу задачи решение должно быть единственным. В действительности, надо чтко представлять себе, что количественная неопределнность исходной информации в этом случае оказывает качественное влияние на решение, и правильнее будет сосредоточить усилия не на решении системы, а на уточнении постановки задачи.

1.3. Обусловленность систем уравнений Пусть дана исходная система линейных уравнений Ax b, (1.4) где A – квадратная матрица порядка и det A 0. Рассмотрим n возмущнную систему (A A)y b b. (1.5) Прежде всего, не ясно, будет ли система (1.5) иметь единственное решение так же, как и (1.4). Ниже мы наложим на A достаточное для этого условие. Наша ближайшая задача – оценить при этом условии норму разности решений обеих систем.





Предложение 1. Пусть матричная норма квадратной матрицы B удовлетворяет условию B 1. Тогда существует матрица (E B) и (E + B) (1 ).

Доказательство. Из оценки спектрального радиуса матрицы вытекает, что все собственные значения матрицы B лежат в круге, т.е.

внутри круга сходимости разложения функции (1 ) по степеням.

Это гарантирует существование матрицы (E + B), равной сумме ряда E B + B2....

Для частичной суммы этого ряда имеем оценку KK K SK BK B.

Отсюда переходом к пределу при k и получаем требуемое неравенство.

Перейдм теперь к оценке нормы возмущения решения, т.е.

x y x, где y – решение системы (1.5), x – решение (1.4). Для этого вычтем (1.4) и (1.5). Мы получим (A A)(x x) Ax b, или (A A) x Ax b. (1.6) Запишем A A в виде A(E A A) и предположим, что A A 1. (1.7) 1 Тогда A A и, согласно предложению 1, матрица E A A имеет обратную. Следовательно, 1 1 1 (A A) (E A A) A, и из (1.6) 1 1 1 1 1 x (E A A) A b (E A A) A Ax.

Отсюда x A b A A x.

Из равенства (1.4) следует, что b A x. Усилим неравенство, умножив первый член правой части на A x / b. Тогда c(A) x b c(A) x A x, 1 b 1 A где c(A) A A. (1.8) Разделим на x и учтм, что A A A c(A).

A Мы получим окончательную оценку x A b c(A).

A x A b 1 c(A) A Число c(A), введнное формулой (1.8), называется числом обусловленности матрицы A в рассматриваемой норме.

Теперь мы можем сформулировать следующий результат.

Предложение 2. Пусть матрица коэффициентов и столбец свободных членов системы (1.4) получили возмущения A и b, причм в некоторой матричной норме A A 1. Тогда возмущнная система имеет единственное решение, и относительное возмущение x / x решения системы (1.4) оценивается через относительные возмущения A / A и b / b матрицы системы и столбца свободных членов формулой x c(A)( ), (1.9) x 1 c(A) где c(A) – число обусловленности матрицы A в рассматриваемой норме.

Примечательно, что в правую часть (1.9) входят только относительные возмущения A и b. Матрица A представлена только своим числом обусловленности, а столбец b не входит совсем.

1.4. Псевдорешения и псевдообратные матрицы В практических задачах часто бывает нужно найти решение, удовлетворяющее большому числу возможно противоречивых требований.

Если такая задача сводится к системе линейных уравнений, то система оказывается, вообще говоря, несовместной. В этом случае задача может быть решена только путм выбора некоторого компромисса – все требования могут быть удовлетворены не полностью, а лишь до некоторой степени. Поясним это следующим примером.

Пусть из физических соображений можно считать, что в некоторой y x области их изменения величины и связаны линейной зависимостью вида y kx b, а коэффициенты должны быть установлены m экспериментально. Экспериментальные данные представляют собой точек на координатной плоскости (x1, y1),...,(xm, ym).

Если эти пары значений действительно связаны искомой зависимостью, то подстановка их в уравнение приводит нас к системе из m линейных уравнений для двух неизвестных k и b:

yi kxi b, i 1,...,m.

При любых различных xi и x пара точек (xi, yi) и (xj, y ) определяет j j прямую. Но другая пара точек определяет другую прямую, и у нас нет оснований выбрать какую-нибудь одну из всех прямых.

Если экспериментальные данные в достаточной степени заслуживают доверия, то несовместность системы служит основанием для того, чтобы отвергнуть гипотезу о линейной зависимости. Вопрос о совместимости экспериментальных данных с гипотезой линейной зависимости решается статистическим анализом.

Пусть точность исходной информации допускает существование линейной зависимости. В этом случае то, что в действительности нужно, - это найти такую прямую на координатной плоскости, которая, может быть, не проходит ни через одну пару экспериментальных точек, или даже ни через одну из точек, но в каком-то смысле возможно более близко расположена ко всем точкам.

Обычно в этой задаче удалнность точки от прямой измеряют не расстоянием, а разностью ординат yi kxi b, и выбирают прямую так, чтобы сумма квадратов всех таких разностей была минимальна.

Коэффициенты k0 и b0 уравнения этой прямой дают некоторое решение стоящей перед нами задачи, которое отнюдь не является решением системы линейных уравнений (вообще не имеющей решений). Можно считать числа k0 и b0 обобщнным решением системы или, как говорят, псевдорешением. Точное определение этого понятия будет дано ниже.

Мы будем рассматривать систему линейных уравнений Ax b, (1.10) с матрицей A размеров. Буква r будет обозначать ранг этой матрицы.

m n Никаких условий на mn и r, вообще говоря, не накладывается.

, Поскольку - столбец высоты, а b - столбец высоты m, для x n геометрической иллюстрации естественно будет использовать арифметические пространства Rn и Rm. Под нормой столбца с x элементами x1,..., xn мы будем понимать его евклидову норму, т.е. число x xT x (x1)2... (xn)2.

x Невязкой, которую дат столбец при подстановке в систему уравнений (1.10), называется столбец u b Ax.

Решение системы – это столбец, дающий нулевую невязку.

Если система (1.10) несовместна, естественно постараться найти x столбец, который дат невязку с минимальной нормой, и если такой столбец найдтся, считать его обобщнным решением системы. Разумеется, если система несовместна, е решение будет также и обобщнным решением.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.