WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ © К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 СОДЕРЖАНИЕ Числовые и степенные ряды…….. ……...…………………………………... 3 1 Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. …………………………………………………………………... 3 2 Ряды с неотрицательными членами… …..……………….…………... 3 3 Ряды с членами произвольного знака… ……………………….…….. 6 4 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Маклорена...……………….. 8 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ……………………………………….. 13 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………………. 14 ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 15 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ЧИСЛОВЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда Рассмотрим числовую последовательность an n =1,2,....

{ } • Выражение a называется числовым рядом, а последовательn n=1 n ность Sn = называется последовательностью частичных сумм ряда a k k =1 a.

n n=1 • Ряд называется сходящимся, если существует конечный преa n n=1 дел последовательности его частичных сумм lim Sn = S, в противном случае n ряд называется расходящимся.

• Если ряд сходится, то число S называется его суммой.

a n n=1 • Если ряд сходится, то lim an = 0 (необходимый признак схоa n n n=1 димости ряда).

• Если lim an 0 или этот предел не существует, то ряд расa n n n=1 ходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд 2n 1 100n++ 5.

n=1 Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2 + 2n +1 n lim an = lim = lim = 0.

n n100n + 5 n 100 + n Следовательно, ряд расходится.

2. Ряды с неотрицательными членами • Пусть и – ряды с неотрицательными членами. Если ряд a b n n n=1 n= b сходится, а an bn для всех значений n, начиная с некоторого номера, n n= то и ряд сходится. Если же ряд расходится, то и ряд расхоa a b n n n n=1 n=1 n=дится (признак сравнения).

• Пусть и – ряды с положительными членами. Если сущеa b n n n=1 n= an ствует конечный предел lim = c > 0, то ряды и сходятся или a b n n n bn n=1 n=расходятся одновременно (признак эквивалентности).

an+• Пусть – ряд с положительными членами. Если lim = q, a n n n=1 an то ряд сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Даламбера), a n n=а для q = 1 признак ответа не дает.

n • Пусть – ряд с неотрицательными членами. Если lim an = q, a n n n= то ряд сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Коши), а для a n n=q = 1 признак ответа не дает.

• Ряд сходится при p >1 и расходится при p 1.

p n n=ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- • Пусть – ряд с неотрицательными членами. Если существует a n n=неотрицательная монотонно убывающая функция (x) такая, что f (n)= an, то ряд сходится или расходится одновременно с интегралом f (x)dx a n n=(интегральный признак Коши).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд 2n.

a = n n5 +n=1 n=Решение. Рассмотрим сходящийся ряд b = n n=1 n=nи воспользуемся признаком эквивалентности:

3 an 2n n2 2n2 lim = lim = lim = lim = 2 0.

n bn n n n n5 +1+ n2 1+ nnСледовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд nn.

a = n n! n=1 n=Решение. По признаку Даламбера n n +1 n! n +an+1 ( )n+1 = lim ( )n = lim 1+ q = lim = lim = e > 1.

n an n n +1 !nn n nn n n ( ) Следовательно, ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- n2n.

a = n 5n + n=1 n=Решение. По признаку Даламбера 1+ an+1 (n +1) 2n+1 (5n + 3)= lim 2 (5n + 3)= n q = lim = lim n an n (5n+1 + 3) n 2n n (55n + 3) 21+ 5n = lim = < 1.

n 5 + 5n Следовательно, ряд сходится.

3. Ряды с членами произвольного знака • Ряд, члены которого могут иметь произвольные знаки, назыa n n= вается абсолютно сходящимися, если ряд an сходится.

n= • Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд a n n= an расходится.

n= • Рассмотрим ряд, члены которого являются знакочередующиa n n=мися. Если при n последовательность чисел an монотонно стремит{ } ся к нулю, то ряд сходится.

a n n=Другими словами, если, начиная с некоторого номера, выполнено соот ношение an > an+1 и lim an = 0, то ряд сходится (признак Лейбница a n n n=сходимости знакочередующихся рядов).

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- • Если ряд, члены которого являются знакочередующимися, a n n=сходится в соответствии с признаком Лейбница, то остаток ряда rn = S - Sn удовлетворяет соотношению rn = S - Sn < an.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд cos n.

a = n 2n n=1 n= Решение. Поскольку cosn = (-1)n, то an =. Воспользуемся 2n n=1 n= для исследования сходимости ряда an признаком Коши:

n=1 n n q = lim an = lim = < 1.

n n 2n Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд (-)n.

a = n n2 + n=1 n=Решение. Исследуем сначала на сходимость ряд an =.

n2 + n=1 n=Для этого рассмотрим расходящийся ряд b = n n=1 n=nи воспользуемся признаком эквивалентности:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2 an n3 n3 lim = lim = lim = lim = 1 0.

n bn n n n n2 + 1+ n3 1+ nn Следовательно, ряд an расходится, т.е. абсолютной сходимости у ис n=ходного ряда нет.

Перейдем к исследованию условной сходимости. Поскольку исходный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условию (-1)n lim = 0, n n2 + а члены ряда an = n2 + n=1 n=монотонно убывают, то исходный ряд удовлетворяет признаку сходимости Лейбница.

Таким образом, исходный ряд сходится условно.

4. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Маклорена • Ряд вида an x - x0 называется степенным рядом.

( )n n=• Значения x, для которых степенной ряд сходится, составляют область сходимости степенного ряда.

• Число R, которое можно вычислить по формуле an R = lim n an+или по формуле R = lim, n n an ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- называется радиусом сходимости степенного ряда an x - x0.

( )n n= • Если R > 0, то ряд an x - x0 сходится для всех значений x, ( )n n=принадлежащих интервалу x0 - R, x0 + R, и расходится для всех значений ( ) x, таких, что x - x0 > R.

• Интервал x0 - R, x0 + R называется интервалом сходимости сте( ) пенного ряда.

• В концах интервала сходимости x = x0 - R и x = x0 + R требуется специальное исследование ряда an x - x0 на сходимость.

( )n n= • Если f (x) = an x - x0, то ряд an x - x0 называется рядом ( )n ( )n n=0 n=Тейлора функции f (x) в окрестности точки x0.

• Степенной ряд вида anxn называется рядом Маклорена.

n=• В следующей таблице представлены ряды Маклорена для элементарных функций:

xn ex =, | x | < ;

n! n= x2n+n sin x = (-1) (2n +1)!, | x | < ;

n= x2n n cos x = (-1) (2n)!, | x | < ;

n= = xn, | x | < 1;

1 - x n=ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- n-ln(1+ x) = (-1) xn, | x | < 1.

n n=Пример 7. Разложить функцию f (x) = arctg2x в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 и найти область сходимости ряда.

Решение. Заметим, что (arctg2x) = 1+ 4xи воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

1- t n = t = 1+ t + t2 +..., t < 1.

1- t n=Произведя в этой формуле замену переменного t = -4x2, получим = 2 4x2 +16x4 - 64x6 +... (-4 x2n.

)n (1- )= 1+ 4xn=Поэтому x x 2dx arctg2x = = 2 4x2 +16x4 - 64x6 +..... = (1- )dx 1+ 4x2 8x3 32x5 128x7 x 8x3 32x5 128x= 2x - + - +... = 2x - + - +... = 3 5 7 0 3 5 x2n+= 2 (-4)n 2n +n=Ряд x2n+2(-4)n 2n +n=сходится в области 4x2 <1. Следовательно, область сходимости исходного ряда имеет вид: x <.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-x Пример 8. Разложить функцию f (x) = в ряд Тейлора в окрестности x - точки x0 = 7 и найти область сходимости ряда.

Решение. Преобразуем сначала функцию f (x) к другому виду:

x x - 3+ 3 3 3 f x = = = 1+ == 1+.

( ) x - x - 3 x - 3 x - 7 + 4 1+ Совершив в разложении n = t 1 - t n=замену переменного x - t = -, получим искомое разложение функции f (x) в ряд:

n n f (x) =1+ (-1) x - 7.

4 n=Найдем область сходимости этого ряда:

x - t < 1 < 1 x - 7 < 4 3 < x < 11.

Пример 9. Вычислить значение cos0,8 с точностью 0,001.

Решение. Воспользовавшись разложением функции cos x в ряд Маклорена, получаем 0,8 0,8 0,( )2 + ( )4 - ( )6 +....

cos0,8 = 12! 4! 6! Поскольку это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, то можно оценить остатки этого ряда. Так как ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-0,( )6 = 0,00036 < 0,001, 6! то, с искомой точностью, cos0,8 = 1- 0.32 + 0,0171 = 0,697.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что такое числовой ряд 2. Что такое сумма числового ряда 3. Как определяется понятие сходимости числового ряда 4. В чем состоит необходимый признак сходимости числового ряда 5. В чем состоит признак сравнения для числовых рядов 6. В чем состоит признак эквивалентности для числовых рядов 7. В чем состоит признак Даламбера 8. В чем состоит признак Коши 9. В чем состоит интегральный признак Коши 10. В чем состоит признак Лейбница 11. Что такое абсолютная сходимость числового ряда 12. Что такое условная сходимость числового ряда 13. Что называется степенным рядом 14. Что такое область сходимости степенного ряда 15. Каким свойством обладает область сходимости степенного ряда 16. Как найти радиус сходимости степенного ряда 17. Что называется рядом Тейлора 18. Что называется рядом Маклорена ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ А. Исследовать на сходимость ряды:

n2 +1. ;

n3 +n= n! 2..

en n=Б. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

cos(n) 3. ;

n n= (-)n.

4.

n n n=В. Разложить в ряд Маклорена функцию:

x5. f (x) = 1+ 9xи найти радиус сходимости полученного ряда.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ЛИТЕРАТУРА Основная:

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие./Под ред. Беклемишева Д.В. – М.: Физматлит, 2005.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике:

Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003.

4. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Издательство «Лань», 2005.

Дополнительная:

5. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – М.: Физматлит, 2005.

6. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнеий и вариационного исчисления. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006.

7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004.

8. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.

9. Шипачев B.C. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2002.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.