WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование случайных величин Учебно-методическое пособие по специальности 010501 (010200) “Прикладная математика и информатика ” ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 21 июня 2005 г., протокол № 6.

Составители:

Голуб В.А.

Жукова Т.М.

Соколова М.А Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедретехнической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 4 курса дневного отделения специальности 010501 “Прикладная математика и информатика ” 3 Содержание 1. Моделирование последовательности случайных испытаний…………......4 2.Моделирование дискретных случайных величин……………………......….5 2.1.Общий алгоритм моделирования……………………………..………….….5 2.2.Моделирование случайной величины сбиномиальным распределением………………………………………….…………………...…...…6 2.3.Моделирование случайной величины, распределенной по закону Пуассона……………………………………………………………………………...6 2.4.Моделирование случайной величины, распределенной по геометрическому закону……………………………………………………….……7 3.Моделирование непрерывных случайных величин …………..………...…..8 3.1.Моделирование непрерывной случайной величины методом обратной функции……………………………….…………………………………..8 3.2.Моделирование случайной величины сзаданной гистограммой……….……………………...………………………………………...9 3.3.Моделирование непрерывной случайной величины стандартным методом исключения……………………………………………….10 3.4.Моделирование непрерывной случайной величины методом суперпозиции……………………………………………………………………….11 3.5.Моделирование гауссовской случайной величины методами обратной функции и суммирования…………………………...………………….12 3.6.Моделирование гауссовской случайной величины методами функционального преобразования, исключения и суперпозиции…………..…..3.7.Моделирование случайной величины сэкспоненциальным распределением…………………………………………………………………….3.8.Моделирование случайной величины с гамма- распределением……….…………………………………………………....3.9.Моделирование случайных величин с распределениями, Стьюдента, Фишера……………………………………………….………………..Задание на выполнение лабораторных работ по компьютерному моделированию случайных величин…… ………………………………...……...Пример. Моделирование случайной выборки, распределенной по экспоненциальному закону……………………………………………..……...Литература…………………………………………………………….……….. 1. Моделирование последовательности случайных испытаний [1] Последовательность независимых испытаний Пусть проводится последовательность k независимых испытаний, в результате каждого из которых может произойти одно из двух противоположных событий А и B = A с вероятностью (AP )= p, P(B)= 1 - = gp = P(A)..

Моделирование последовательности испытаний осуществляется следующим образом.

Получают последовательность значений,r r21,...,rk базовой случайной величины (БСВ) – величины, равномерно распределенной на интервале (0,1):

~ R (,0 1). Если < pr,i = 1,2,...,k, то считаем, что в i-том испытании наступило i событие А, если > pr, то считаем, что в i-том испытании наступило событие i B = A.

Эти допущения правомерны, т.к. если R ( 0~,1), то (0 < < pP ) = p, т.е.

( < pP ) = P(A). Также справедливо: (pP < < ) = 11 - p, т.е. ( > pP ) = P(A).

Теперь предположим, что результатом каждого из k независимых испытаний может быть появление одного из n несовместных событий AA,,, An, образующих полную группу. Вероятность появления каждого из событий известна (AP ) = pii = 1,,ni, и неменяется при переходе от одного к другому (т.к. все Аi n несовместны и образуют полную группу, то pi = 1).

i=Моделирование такой последовательности осуществляется следующим образом.

Разделим отрезок [,0 1] на n участков 21,,, n, длины которых соответственно равны pp,,, pn.

Получаем последовательность значений rr,,, rn случайной величины R ( 0~,1). Если r mi, то считаем, что в i-том испытании наступило событие Аm. Это допущение правомерно, т.к. ( ) = PP (Amm ), P( )= длина отрезка mm = = Pp (Am ).

m Пример. Пусть проводится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может произойти одно из трех несовместных событий A1, А2, А3, образующих полную группу, (AP )=,0 35, P(A21 )= 0,25, P(A3)= 0,4.

При моделировании отрезок [,0 1] делят на три участка. Генерируют двухразрядные числа ri.Например, r1 =,0 15 – это число попало на первый участок, значит в первом испытании произойдет А1, = 0r,34,следовательно, во втором испытании тоже произойдет А1; = 0r,71, значит в третьем испытании произойдет А3 и т.д.

Последовательность зависимых испытаний Пусть проводится последовательность зависимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие А или непроизойти ( = AB ).

Моделирование осуществляется следующим образом:

1. Получаем значение r1 случайной величины R ( 0~,1). Если < Pr (A), где (AP )– вероятность наступления события А в первом испытании, то считаем, что в 1-ом испытании произошло событие А. Если Pr (A), то фиксируется непоявление события А (т.е. событие В). Допустим, что в первом испытании появилось событие A.

2. Получаем следующее значение r2. Если < Pr (A \ A), где (AP \ A) – ус22 ловная вероятность появления во втором испытании события А при условии, что в 1-вом испытании произошло событие А, то фиксируем появление во втором испытании события А, если Pr (A\ A), то считаем, что во втором испытании произошло B = A. Допустим произошло В.



3. Получаем следующее значение r3. Если < Pr (A \ AB)– вероятность наступления в третьем испытании события А, при условии наступления в первом – события А и во втором – события В, то считаем, что в третьем испытании появилось событие А, в противном случае В и т.д.

Этот алгоритм легко может быть обобщен на случай недвух, а k событий.

2.Моделирование дискретных случайных величин [1] 2.1. Общий алгоритм моделирования Если случайная величина дискретная, то её моделирование (получение последовательности её значений) можно свести кмоделированию независимых испытаний. Действительно, пусть имеется ряд распределения x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Обозначим Ai событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение хi.

Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной в результате испытания, сводится копределению того, какое из событий AA,,, An появится. Т.к. эти события несовместны, образуют полную группу и вероятность появления каждого из них неменяется от испытания к испытанию, то для моделирования значений можно использовать процедуру моделирования последовательности независимых испытаний. Существуют и другие специальные алгоритмы.

2.2. Моделирование случайной величины с биномиальным распределением Биномиальное распределение определяется соотношением -mn (mP ) Cnn pmm (1 -= p), m=0,1,2,…n, (2.2.1) где (mP )– вероятность того, что в n испытаниях случайное событие появится n m раз, p - вероятность появления события в одном испытании.

Введем случайную величину – число появлений событий в i-том испытании. Очевидно, что эта величина может принимать только два значения: 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью (1- p). Определение значения случайной величины m - числа появлений события в n испытаниях, возможно по следующей процедуре.

1. Получают последовательность значений rr,,, rn случайной величины R (,0 1).

2. Для каждого числа ri, i = 1, 2,, n, проверяют выполняется ли неравенство < pr. Если неравенство выполняется, то полагают = 1, в противном слуi i чае считают = 0 ;

i 3. Находят сумму значений n случайных величин i (это и будет значение случайной величины m).

Повторяя эту процедуру, получают последовательность значений mm,, случайной величины сбиномиальным законом распределения.

Пример. Найдем последовательность значений случайной величины m сбиномиальным законом распределения, если =,7 pn = 0 3,.

Из таблицы случайных чисел R (,0 1) берутся 7 значений, например r1 =,0 15, r2 =,0 34, r3 =,0 71, r4 =,0 06, r5 =,0 28, r6 =,0 36, r7 =,0 78. Три числа непревосходят p = 0,3. Следовательно, m = 3. Потом берутся ещё 7 случайных чисел R (,0 1) и вновь определяется, сколько из них не превосходит p = 0,3 ; это дает следующее значение m и т.д.

2.3. Моделирование случайной величины, распределенной по закону Пуассона Распределение Пуассона m Pm = e-, m=0,1,2,…n, (2.3.1) m! где = np – среднее число появления события в n испытаниях, используют в том случае, когда число n независимых испытаний велико, и вероятность p появления события в каждом испытании мала.

Обычно распределение Пуассона вместо биномиального применяют, если n порядка нескольких десятков-сотен, а np <10. Практически обычно задано, а неn и p. Алгоритм моделирования следующий:

1. Выбирают n такое, чтобы вероятность p = была мала (p <,0 01).

n 2. Получают последовательность значений rr,,, rn случайной величины R (,0 1).

3. Для каждого числа ir =1,, 2,, n, проверяют, выполняется ли неравенi ство < pr, если это неравенство выполняется, то полагают = 1, в противном i i случае считают = 0.

i n 4. Вычисляют – это и есть значение случайной величины, распределен i i=ной по закону Пуассона.

2.4. Моделирование случайной величины, распределенной по геометрическому закону [2] Рассмотрим алгоритм моделирования дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону:

( pp )x,1 если x - {0,1, 2,....}, { xP }== (2.4.1),0 противномв случае.

где p (,0 1) - заданный параметр распределения.

Распределение (2.4.1) часто встречается в приложениях: описывает число безуспешных попыток, предшествующих первой успешной попытке в схеме независимых испытаний, при условии, что вероятность успеха в отдельном испытании равна p.

Рассмотрим два основных метода моделирования случайной величины.

Первый метод заключается в моделировании полной счетной системы случайных событий: { = } { =10 },,,{ = x},.

Второй метод основан на следующем утверждении.

Если R~ ( 0,1), т.е. – БСВ, то случайная величина = [ln ln(1 - p)], (2.4.2) где [z]– целая часть z имеет распределение (2.4.1).

Формула (2.4.2) определяет моделирующий алгоритм второго метода.

3. Моделирование непрерывных случайных величин [2] 3.1. Моделирование непрерывной случайной величины методом обратной функции Для моделирования непрерывной случайной величины с фиксированной плотностью распределения (xf ) методом обратной функции определим функцию распределения непрерывной случайной величины x (xF )= f00 (y)dy, (3.1.1) -которую будем предполагать строго монотонно возрастающей. Через (yF ) обозначим обратную функцию; она находится при решении уравнения (xF )= y (3.1.2) -относительно x: = Fx (y).

Если - БСВ, то случайная величина = F0-1( ) (3.1.3) имеет функцию распределения (xF ) F0(x).

Формула (3.1.3) определяет моделирующий алгоритм. Недостатком описанного метода являются аналитические трудности при вычислениях (3.1.1), (3.1.2). Отметим, что в «чистом виде» метод обратной функции редко используется на практике как для многих распределений (например, нормального), так -даже (xF ) (неговоря уже о (yF )) невыражается через элементарные функ0 -ции, а табулирование (yF ) существенно усложняет моделирование. На практикеметод обратной функции дополняют аппроксимацией (yF ) или сочетают с другими методами.





Пример. Рассмотрим применение метода обратной функции для моделирования случайной величины сравномерным распределением на отрезке[,a b].

Для такой случайной величины функция распределения:

,0 x < a, - ax (xF )= x, [a,b], (3.1.4) - ab,1 x > b.

- ax Полагая (xF ) = r, имеем = r. Отсюда = ax + r(b - a).

b - a Последовательности значений rr, случайной величины R(,0 1) соответствует последовательность значений = ax + r11 (b - a) x2 = a + r2(b - a),, величины, равномерно распределенной на отрезке[ ba, ].

3.2. Моделирование случайной величины с заданной гистограммой В приложениях часто возникает задача моделирования непрерывной случайной величины в условиях априорной неопределенности: плотность распределения неизвестна. В такой ситуации проводится серия наблюдений (экспериментов) над, по результатам которых вычисляется гистограмма – оценка неизвестной плотности.

Общий вид гистограммы с К ячейками K (xf )= I[ z -1i,zi )(x), (3.2.1) c i=1i где z[,zi )- i-я ячейка, ci - значение гистограммы в i-й ячейке.

-1i Для моделирования случайной величины, плотность распределения которой полагается совпадающей с гистограммой (xf ), применим метод обратной функции. Обозначим j Pp { = zii,[ zi )}, b01 = 0, bj = pi, j =1, K. (3.2.2) - i=Из (3.2.1) и условия нормировки следует, что cp (zi -= zi-1) i = 1,, K, bK =1. (3.2.3) ii Согласно (3.1.1), (3.2.1) – (3.2.3) вычислим функцию распределения,0 если zx, (xF )= cb (x -+ z ), если xz < z, j = 1,K, 0 1j j j-- 1 j-1 j,1 если zx, K причем [zx,z ) F01 jj (x)[bj--,bj).

Тогда получаем моделирующий алгоритм:

= + ( - bz ) c, если < bb,1 j K (3.2.4) 1j j-- 1 j -1 jj Иногда гистограмма строится так, что = bp - biii = const =1 K. При этом -вычисления по (3.2.4) упрощаются, так как для j имеется явное выражение = [Kj ]+ 1.

3.3. Моделирование непрерывной случайной величины стандартным методом исключения Рассмотрим алгоритм моделирования непрерывной случайной величины с фиксированной плотностью распределения (xf ).

Метод исключения (метод режекции, метод Дж. Неймана) основан на трех следующих теоремах.

1. Если (, )- двумерный случайный вектор, равномерно распределенный в области = {(xF y):, 0 y f00 (x)} 2.

(xp,y)= IF, (x,y), (3.3.1), то компонента этого вектора имеет плотность распределения (xf ).

Определим теперь мажорирующую функцию = gy (x):

(xg ) f0(x) 0 (3.3.2) и область = {(xG,y): 0 y g(x)} F0.

),, 2. Если ( (, ), – независимые случайные векторы, равномерно 11 2 распределенные в G, то случайный вектор (, ):

,, F0}, = = = mink {N :( ) (3.3.3), где k k NN распределен равномерно в F0.

),...,, Векторы ( (, ), непопавшие в F0, называются исключенны11 k 1 k-- ми, а процедура нахождения (, kk ) - исключением. Отсюда и название метода.

3. Пусть случайная величина имеет плотность (xg )/ mes(G), а случайная величина при условии = x имеет плотность распределения (yp x)= I[,0 g(x)](y)/ g(x). Тогда случайный вектор (, ) распределен равно мерно в G.

Моделирующий алгоритм заключается в последовательности шагов.

1. Подбирается мажорирующая функция (xg ) (3.3.2).

2. При помощи п.3 каким-либо методом моделируется случайный вектор ( )G, ; реализация (, )обозначается (,x y).

3. Если > fy (x), то (,x y) исключается и вновь повторяется шаг 2; если же fy (x), то значение x принимается в качестве реализации.

Повторяя алгоритм n-кратно, можно получить n реализаций, моделирующих результаты наблюдений над в n экспериментах.

Методу исключения свойственен характерный недостаток. Моделирующий алгоритм описывается формулой = (,, ), где,..., - независи21 мые БСВ; () - функция счетного множества аргументов. Последний факт предъявляет жесткие требования к псевдослучайным числам.

Если (xf ) задана на бесконечном интервалеили неограничена, принципиально возможно построить мажорирующую функцию непосредственно. Однако более удобно подобрать преобразование = ( ) так, чтобы случайная величина имела ограниченную плотность на конечном интервале моделируют ;

-методом исключения, тогда = ).

( 3.4.Моделирование непрерывной случайной величины методом суперпозиции Метод суперпозиции моделирования непрерывной случайной величины с фиксированной плотностью распределения (xf ) основан на формуле полной вероятности. Пусть и – случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве; (zF )- функция распределения ; (xp z) - условная плотность распределения при условии = z. Тогда безусловная плотность распределения равна (xf ) = p (x z)dF (z). (3.4.1) В частности, если – дискретная случайная величина со множеством значе ний { cc,,,cN }и вероятностями { { cP }== pii i =1:, N, N }, p (x ci )= fi (x), то (3.4.1) принимает вид N (xf )= p fii (x). (3.4.2) i=Моделирующий алгоритм заключается в следующем:

1. Определяется вспомогательная случайная величина так, чтобы имело место (3.4.1) или (3.4.2).

2. Моделируется ; пусть z – реализация.

3. Моделируется при условии = z ; получаем x – реализацию случайной величины.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.