WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Макроскопические свойства микронеоднородных материалов Пособие по специальности 010500-Механика и направлению 510300-Механика Воронеж-2004 2 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 20.05.2004 г., протокол № 7.

Составители: Иванищева О.И., Семыкина Т.Д., Щеглова Ю.Д.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной механики факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов и магистров 4, 5 курсов факультета ПММ по курсу «Композиционные материалы» 3 Содержание 1. Исследование статистических характеристик случайного поля модулей упругости многокомпонентных материалов...........................................……....3 2. Проектирование двухкомпонентного слоистого материала с изотропными слоями на основе точного решения..........................................................……... 5 3. Макроскопический тензор коэффициентов теплопроводности слоистого материала в корреляционном приближении............................................…….. 8 4. Построение зависимости макроскопического коэффициента теплопроводности пространственно неоднородного композиционного материала от характеристик компонентов на основе корреляционного приближения...............................................................................................……..13 Литература...................................................................................................……..14 В пособии рассматривается вариант статистического подхода к описанию структурной неоднородности композиционных материалов. Формируется алгоритм построения макроскопических характеристик на примере задачи теплопроводности. Предлагается методика проведения численного эксперимента для исследования макрохарактеристик многокомпонентного материала. Предложенный перечень лабораторных работ сопровождается примерами, методическими указанями и вариантами заданий.

Комбинирование различных веществ остается сегодня одним из основных способов создания новых материалов. Большинство современных конструкционных материалов представляет собой композиции, которые позволяют техническим изделиям обладать определенным сочетаниям эксплуатационных свойств. При этом совместная работа разнородных материалов дает эффект, равносильный созданию нового материала, свойства которого и количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих.

Одной из важных проблем в изучении свойств композиционных материалов является задача о нахождении макроскопических постоянных. В ней предполагаются известными физико-механические свойства компонентов, их объемные концентрации, вид армирования. Требуется определить свойства композита вцелом.

Ниже рассматриваются макроскопические коэффициенты упругости и теплопроводности материалов различной структуры, полученные на основе стохастической модели материала.

1. Лабораторная работа №1. Исследование статистических характеристик случайного поля модулей упругости многокомпонентных материалов.

Задание Для двухкомпонентного материала с заданными модулями Юнга,E E2 и концентрациями компонентов,c c2 исследовать зависимость математического ожидания E и центрального одноточечного момента второго порядка EE случайного поля E от характеристик и концентраций компонент.

Порядок выполнения.

1.При рассмотрении статистических характеристик E, EE воспользоваться следующим.

Выражение для одноточечной плотности распределения постоянных упругости двухкомпонентного материала имеет вид ij (m)ij (f ) cm ). (1.1) ( -= ij ij m=Vm Здесь Cm = - концентрация компонентов, V )1( 2( ), -тензоры модулей упругости составляющих, ij ij ( x )- дельта функция Дирака.

Математическое ожидание определяется следующим образом ij +.

= ( ) df ij ij ij ij Или с учетом (1.1) m( ) cm =. (1.2) ij ij m=Для дисперсии тензора упругих модулей справедливо соотношение + 0 ( - ) ( ) df, = ij ij ij ij ij ij которое с учетом (1.1) принимает вид 0 0 )1( 2( ) = cc ( - )2. (1.3) ij ij ij ij 2. Привести соотношения (1.1.)- (1.3) к безразмерному виду, введя переменные EE E E, = =, DE =, = cc,c21 = 1 - c.

E1 EE( )3. Получить и исследовать следующие зависимости 1) E = (E, ) ;

2) DE = (D, ).

E 4. Полученные в п.3 зависимости представить в графической форме.

5. Варианты заданий:

1) Построить поверхности E = (E, ), DE = (D, );

E 2) Построить в одной координатной плоскости кривые E = ( ) при e = h i,i = 0,1,2,...5,h = 0.2 ;c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0. 3) Построить водной координатной плоскости кривые DE = (D ) при E e = h i,i = 0,1,2,...5,h = 0.;c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0.4) Построить в одной координатной плоскости кривые E = ( ) при e = h i,i = 5,6,..10,h = 0.2 ;c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0. 5) Построить водной координатной плоскости кривые DE = (D ) при E e = h i,i = 5,6,..10,h = 0.2 c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0.6) Построить в одной координатной плоскости кривые E = ( ) при e = h i,i = 0,1,2,...,10,h = 0.;c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0. 7) Построить в одной координатной плоскости кривые DE = (D ) E приe = h i,i = 0,1,2,...,10,h = 0.2; c = j k, j = 0,1,2,...,10,k = 0.6. Ответить на следующие вопросы:

1) Чем отличаются зависимости E = (E, ) при [0e ;1] и e > 2) Каковы границы возможных значений 7. Спроектировать варианты композиционных материалов с заданными значениями.



8. Рассмотреть п.п.5,6 для DE = (D, ).

E 2. Лабораторная работа №2. Проектирование двухкомпонентного слоистого материала с изотропными слоями с заданными макроскопическими постоянными теплопроводности на основе точного решения.

Задание. Рассмотреть двухкомпонентный слоистый материал с изотропными i( ) ( ) и концентрации слоями, коэффициенты теплопроводности a i = 1, c,1 - c которых считать заданными. Исследовать зависимость компонентa1 и a3 макроскопического тензора коэффициентов теплопроводности от характеристик компонент и их концентраций. Здесь a1, - макроскопические aкоэффициенты теплопроводности вдоль слоев и в поперечном направлении соответственно.

Порядок выполнения.

1.Воспользоваться следующими соображениями.

Так как слоистый материалсоставлен из изотропных слоев, т.е. в каждой точке тензор a имеет вид = aa, то макроскопические jk jk jk коэффициенты теплопроводности вдоль слоев и в поперечном направлении -1. Для материалов, имеющих будут соответственно = aa, = 1a / a 1 i( ), объемные концентрации и коэффициенты теплопроводности слоев,c a i одноточечная плотность распределения определяется соотношением n i( ) n (f x ) ci1 = ( a - a ), где -число слоев с различными свойствами.

i =Поэтому статистические средние имеют вид n n ci i( ) ca = a, /1 a = i (i). Теперь точное решение задачи о i=1 i=1 a нахождении макроскопических постоянных теплопроводности двухкомпонентного слоистого материала с изотропными слоями принимает вид )3( cc ( a ) = aa ; aa -= (2.1) 1 j )3( (ca -+ c12 ) a )3( a = a( )1 - a( )2.

i( ), a i = 1,2 c,1 - c 2.Выразить a через и с помощью соотношения n i( ) aa = f ( a ) da a = ci1 a, (2.2) i= 3. Привести (2.1) к безразмерному виду.

Для этого сделать следующее:

1( ) 1) разделить обе части каждого из соотношений (2.1) на a ;

1( ) 1( ) 2) ввести переменные /a a = a1 3 /a a = a3,, 2( ) 1( ) /a a = k ;

3) сформулировать зависимости (2.1) в новых переменных, т.е. установить вид функций = aa ( k,c ), = aa ( k / c ).

11 4. Получить графическую форму зависимостей из п.3):

: 1) Построить и исследовать поверхности = aa ( k,c ) = aa ( k / c ) ;

2) Построить в одной координатной плоскости кривые = aa ( c ) для двух случаев • 0 < k • k 3) Построить в одной координатной плоскости кривые, = aa ( c ) для двух случаев • 0 < k • k 5. Провести анализ полученных зависимостей и ответить на следующие вопросы:

Как зависит скорость изменения = aa ( k ), = aa ( k ) от 11 концентрации с Как влияет вариант выбора композиции на ее макроскопические характеристики ( по результатам п.п. 3) и 4) ).

Пример. На рис.4.2.1. приведены кривые зависимости компонент макроскопического тензора теплопроводности слоистого материала, состоящего из изотропных слоев, от концентрации. Кривые получены на основе точного решения. Как видно, при всех значениях концентрации величина коэффициента теплопроводности в направлении слоев больше, чем в поперечном направлении. При значениях концентрации, превышающих 0,5,скорость изменения компоненты a3 значительно увеличивается с ростом c. Очевидно, существует некоторое значение c, при котором разница между a1и a3становится максимальной.

0.0.0.a1(с,0.2) ) a1( c, 0.0.0.а3(с,0.2) a3( c, 0.2 ) 0.0.0.0.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 c Рис.4.2.1.

На рис.4.2.2. представлены кривые зависимости компоненты aмакроскопического коэффициента теплопроводности слоистого двухкомпонентного композиционного материала от безразмерной характеристики k при различных значениях концентрации c. Все кривые имеют монотонный характер. При (0k,1) существует некоторое значение, при котором разброс между величинами коэффициента теплопроводности 1.2.1.1.а3(к,0.2) 1.1.1.1.a3t ( k, 0.2 ) а3(к,0.4) 1.1.a3t ( k, 0.4 ) 1 ( a3t k, 0.6 ) а3(к,0.6) 0.a3t ( k, 0.8 ) 0.0.0.а3(к,0.8) 0.0.0.0.0.0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.0 1.25 2.0 k 2. Рис.4.2.2.

Кривые зависимости компоненты a3макроскопического коэффициента теплопроводности слоистого двухкомпонентного композиционного материала от безразмерной характеристики k.

Прерывистая линия соответствует составляющей тензора коэффициентов теплопроводности вдоль слоев, сплошная линия – составляющей впоперечном направлении.

3. Лабораторная работа №3. Макроскопический тензор коэффициентов теплопроводности слоистого материала (корреляционное приближение).

Задание. Исследовать макроскопические характеристики тензора коэффициентов теплопроводности двухкомпонентного слоистого материала с изотропными слоями, полученные в корреляционном приближении.

Порядок выполнения.

1.Воспользоваться приближенным методом решения задачи. Для композиционных материалов, состоящих из изотропных компонентов, выражения для математического ожидания компонент вектора потока тепла и уравнение теплопроводности относительно флуктуаций температуры имеют вид -= aq - a,j j j, = -(a a00 ( (3.1) + ))k,.

kk, k,,k Введем корреляционные функции x( y )+ a00 ( x ) = S( y ) (a x y )+ a00 ( x ) = K( y ), (3.2) которые в силу однородности рассматриваемых случайных полей зависят только от разности координат двух точек y. Первое из уравнений (3.1) при этом можно записать ввиде -= aq - Sij( 0 ). (3.3),j j Умножим второе из уравнений (3.1), взятое в точке x, на (x x + y )и проведем статистическое осреднение. Пренебрегая моментами третьего порядка, т.е. ограничиваясь корреляционным приближением, получаем дифференциальное уравнение относительно функции (yS ) Sa = -K,kk (3.4) kk,,k Поскольку корреляционные связи между рассматриваемыми случайными функциями, взятыми в различных точках, убывают с увеличением расстояния между ними, то функции S( x ),K( x ) 0 при x.





Таким образом, для определения макроскопических коэффициентов теплопроводности необходимо найти решение уравнения (3.4) при нулевых условиях на бесконечности и подставить его в (3.3).

В случае слоистой структуры материала, когда коэффициент теплопроводности является случайной функцией одной переменной, корреляционные функции S( x ),K( x ) будут зависеть только от координаты y3. Выражение (3.3) примет вид -= aq - S (0 ), (3.5) j j, 3, jа дифференциальное уравнение (3.4) становится обыкновенным Sa -= K,3. (3.6) 33,,Интегрируя его, находим (K 0 ) (S 0 ) -=. (3.7) 3,,a Теперь из (3.5), (3.7) получаются зависимости между средними тепловыми потоками и градиентами температуры -= aq ; -= aq,3 ( j = 1,2 ), (3.8) 1j, j где макроскопические коэффициенты теплопроводности имеют вид (K 0 ) = aa1, aa -=. (3.9) a Если материал составлен из двух компонентов с объемными )1( )2( концентрациями и коэффициентами теплопроводности,c a,c2,a, соответственно, то, пользуясь плотностью распределения и соотношениями (3.9), получаем )1( )2( 1( ) ca a += c2a ;K( 0 ) = cc ( a - a( 2 ) )2. (3.10) 1 1 1 Точные решения для двухкомпонентной для двухкомпонентной слоистой среды можно представить следующим образом:

(K 0 ) = aa, aa -=. (3.11) 1 )3( (a c -- c12 ) a Для этого рассмотреть математическое ожидание компонент вектора теплового потока -= aq - a0 соотношения,j j j, )1( )2( 1( ) ca a += c2a ;K( 0 ) = cc ( a - a( 2 ) )2, (3.12) 1 1 1 (K 0 ) = aa, aa -=. (3.13) 1 )3( (a c -- c12 ) a 1. Привести (3.12), (3.13) к безразмерному виду Для этого сделать следующее:

1( ) 1) разделить обе части каждого из соотношений (3.13) на a ;

1( ) 1( ) 2) ввести переменные /a a = a1 3 /a a = a3,, 2( ) 1( ) /a a = k ;

3) сформулировать зависимости (3.13) в новых переменных, т.е. установить вид функций = aa ( k,c ), = aa ( k / c ).

11 3. Получить графическую форму зависимостей из п.3):

1) Построить и исследовать поверхности = aa ( k,c ) = aa ( k / c ) ;

2) Построить на одной координатной плоскости кривые = aa ( c ) для двух случаев • 0 < k • k 3)Построить на одной координатной плоскости кривые, = aa ( c ) для двух случаев • 0 < k • k 4. Сравнить результаты корреляционного приближения с точными и найти условия, при которых эти результаты совпадают Пример. На рис. 4.3.1., 4.3.2. представлены кривые зависимости компоненты макроскопического тензора теплопроводности a3t и a3k от концентрации cдля слоистого двухкомпонентного материала построенные на основе, точного решения и корреляционного приближения.

0.0. а3т(с,0.5) 0. 0.a3t( c, 0.2 ) 0.a3k( c, 0.2 ) 0.а 3к(с,0.5) 0.0.0. 0.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 c 0 0.5 с Рис.4.3.1.

Прерывистая кривая соответствует точному решению, сплошная линия представляет результат корреляционного приближения.

0.0.0.а3т(с,0.2) a3t(c, 0.5) 0.0.0.a3kc, ( а3к(с,0.2) 0.5) 0.0.0.0.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 0.5 Рис. 4.3.2.

Анализ показывает, что при одинаковых значениях концентрации компонент решения совпадают. При (0c,0 5. ) корреляционное приближение дает заниженные значения компоненты тензора коэффициентов теплопроводности, при (0c.5,1.0) - завышенные (при заданном значении k ). Сравнение кривых на рис. 4.3.1. и 4.3.2. показывает, что различие между точным и приближенным решениями стремится к нулю при уменьшении разброса между значениями компонент 4.Лабораторная работа № 4. Построение зависимости макроскопического коэффициента теплопроводности пространственно неоднородного композиционного материала от характеристик компонентов на основе корреляционного приближения.

Задание. Рассмотреть случай материалов зернистой структуры или армированных искривленными или разнонаправленными волокнами.

Количество компонентов равно двум. Построить зависимость макроскопического коэффициента теплопроводности от концентрации и характеристик компонентов.

Порядок выполнения.

1.Рассмотреть общий случай пространственной неоднородности коэффициента теплопроводности, воспользовавшись предположением о хаотическом характере ориентации зерен и волокон. Тогда случайное поле коэффициентов теплопроводности будет статистически изотропным и его корреляционная функция зависеть только от расстояния между точками, а макроскопический тензор коэффициентов теплопроводности можно определять соотношением (K 0 ) aa -=, (4.1) a1( ) 2( ); 1( ) ca a += c2a K(0 ) = cc ( a - a( 2 ) )2.

1 1 2. Привести (4.1) к безразмерному виду аз(к,0.7) 1.355 1.51.1. 1.2 1.а 3в(к,0.7) 1. a3z ( k, ) 0.7 0.0.а 3с(к,0.7), ) 0. a3v ( k 0.7 0.a3s ( k, 0.7 ) 0. 0.0.0. 0.0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.k 2.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2. к Рис.4.4.1.

Кривые компонент коэффициента теплопроводности материалов зернистой, волокнистой и слоистой структуры.

Для этого сделать следующее:

1( ) a • разделить обе части каждого из соотношений (4.1) на ;

1( ) • ввести переменные /a a(1) = a 2( ) /a a = k ;

, сформулировать зависимости (4.1) в новых переменных, т.е. установить вид функций = aa ( k,c ) ;

3.Построить и исследовать поверхность = aa ( k,c ) ;

4.В результате визуального анализа ответить на следующие вопросы:

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.