WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет Преобразование Лапласа.

Свойства и применения пособие по специальному курсу для студентов по специальностям 010100 - математика и 510100 - математика Воронеж 2004 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 18 марта 2004 года Протокол № 8 Составители: Глушко А.В., Глушко В.П.

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Рекомендуется для студентов 3-6 курсов математического факультета всех форм обучения 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие написано на основе курсов лекций, прочитанных для студентов математического факультета в 2001-2003 годах. В первой лекции курса изучаются основные свойства преобразования Лапласа. Во второй лекции вычисляются преобразования Лапласа основных элементарных функций и вводится обратное преобразование Лапласа. В третьей лекции на основе первой и второй теорем разложения проводится вычисление обратного преобразования Лапласа для ряда функций.

Примеры решения задач для уравнений с частными производными с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа приводятся в четвертой лекции курса.

Наконец, заключительный раздел пособия содержит примеры двух заданий, которые обычно предлагаются студентам, прослушавших данных курс, для контроля усвоения материала. Здесь же приводятся решения предлагаемых заданий с соответствующими пояснениями.

При изложении материала и решении заданий широко используется пакет символьных программ Mathematica. Комментарии к используемым командам пакета Mathematica можно найти в справочных изданиях, указанных в конце пособия в списке рекомендуемой литературы.

Мы не затрагиваем в этом курсе вопросы, связанные с преобразованием Лапласа обобщенных функций. Читателю, интересующемуся этой проблемой, рекомендуем обратиться к книге В.С.Владимирова (см. список рекомендуемой литературы).

Лекция 1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.

Пусть f@tD -интегрируемая на (0,T) при любом T>0 функция, равная нулю при t>0: f@tD =0 при t<0. Если эта функция при t>0 удовлетворяет оценке t » f@tD» C, C > 0, 0, t > 0, (1.1) то можно рассмотреть интеграл -pt F[p]=‡ f@tD t, p =+, >, R (1.2) Действительно, справедлива оценка - t - t -H-L t »F[p]»‡ » f@tD» t = » f@tD » t С С t= < (1.3) 0 -H-L t H-L При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что »F[p]»0 s=Rep¶.

Функция F[p] является аналитической функцией комплесной переменной p в полуплоскости Rep>a. Для того чтобы это проверить, находим пока формально F -pt =‡ f@tDH-tL t (1.4) p Как и при выводе (1.3), находим F@pD » » p -С 0 » f@tD - t » t -H-L t tС0 t -H-L t t= 0 t t -H-L t t H-L -С С -H-L t (t ) » -0 -H-L t t)= H-L H-L Последнее означает, что интеграл равномерно по Rep>a сходится и, „ F@ следовательно, производная ppD существует при Rep>a, и формула (1.4) „ справедлива при Rep>a.

Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции f[t] и обозначается L[f]. В этом случае функция f[t] называется оригиналом, а функция L[f]=F[p] -изображением.

Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье.

Действительно, из (1.2) имеем -H+ L t - t - t L[f][p]=‡ f@tD t = Hf@tD L t = - t g@tD t, -s t где g[t]= f @tD ‰ при t0 и g[t]=0 при t<0 ( преобразование Фурье берётся со знаком -).

В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком "".

‡ Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t]=1 при t0 и q[t]=0 при t<0. Заметим, что оценка (1.1) для функции Хэвисайда q[t] выполняется при С=1 и a=0. Следовательно, преобразование Лапласа функции Хэвисайда существует и является аналитической функцией при Rep>0.

L[][p]=‡ @tD -pt t = -pt t = p В пакете Mathematica функции Хэвисайда q[t] обозначается UnitStep[t] Plot@UnitStep@tD, 8t, -10, 10

В силу свойств интеграла -pt -pt L[1f1+2f2]=‡ H1f1@tD +2f2@tDL t =1‡ f1@tD t+ 0 -pt 2 ‡ f2@tD t =1L[f1]+2L[f2] 2.2. Дифференцирование изображения mF -pt =‡ f@tDH-tLm t, m=1,2,...; Rep> pm Для m=1 свойство 2.2 уже установлено. Для любого m свойство доказывается аналогично.

2.3. Преобразование Лапласа производных L@fHmL@tDD = pm L@fD@pD - Hpm-1 f@+0D + pm-2 fH1L@+0D +... + fHm-1L@+0DL Для m=1 с помощью интегрирования по частям находим L@fH1L@tDD = fH1L@tD -pt t = f@tD -pt -‡ f@tD t -pt t = ‡ 0 p ‡ f@tD -pt t - f@+0D = p L@fD - f@+0D При этом мы учли, что выполняются оценки - t »f@tD -pt»=»f@tD» - t =»f@tD » -H-L t С -H-L t 0 при > и t. Для любого m свойство 2.3 устанавливается по индукции.

2.4. Сдвиг преобразование Лапласа p0 t L@fD@p - p0D =L@f D@pD, Rep>+Rep Доказательство свойства 2.4. очевидно.

2.5. Преобразование Лапласа и преобразование подобия При любом k>0 спрведливо тождество p L@f@ktDD@pD = L@f@tDD@ D k k p k L@f@ktDD@pD = f@ktD -pt t = ‡ f@D -p = L@f@tDD@ D ‡ k k k 0 2.6. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа -pt L@f@t - t0DD@pD = L@f@tDD@pD, t0 > L@f@t - t0DD@pD = f@t - t0D -pt t = f@D -p -pt0 = L@f@tDD@pD -pt‡ ‡ t0 Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t-2].



LaplaceTransform@UnitStep@t - 2D, t, pD -2p p 2.7. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа t LA‡ f@D E@pD = L@f@tDD@pD p Доказательство. Обозначим t g[t]=‡ f@D Очевидно, что g'@tD = f @tD и g@+0D = 0.

Поэтому с помощью интегрирования по частям находим L@fD@pD = g '@tD -pt t = ‡ -pt g@tD -‡ g@tD t -pt t = p g@tD -pt t = p L@g@tDD@pD ‡ 0 При этом мы учли, что g@+0D = 0 и в силу условия H1.1L t t -pt - t - t g@tD f@D C = ‡ ‡ 0 C t - t H - 1L C -H-L t 0 при t, ->0, > t -pt - t - t g@tD f@D Ct 0 при t, ‡ > 0, =Отсюда находим t LA‡ f@D E@pD = L@g@tDD@pD = L@f@tDD@pD p 2.8. Преобразование Лапласа от дроби f@tD t L@f@tDtD@pD = F@zD z, F@zD = L@fD@zD ‡ p Доказательство. Обозначив F@pD = L@f@tDtD@pD, найдём p F@pD = L@H-tL f@tDtD@pD =-L@f@tDD@pD =-F@pD.

Последнее равенство проинтегрируем по любому пути от p до любой точки z = Rez = ¶ @pD -@D = F@zD z ‡ p Учитывая, что в силу H1.3L F@¶D = 0, получаем требуемое свойство 2.2.9. Преобразование Лапласа свёртки f * g.

L@f@tD gD@pD = L@f@tDD@pD L@gD@pD, t где Hf gL@tD = f@t -D g@D ‡ Доказательство. Обозначим t @tD = f@t -D g@D ‡ Очевидно, что y@tD = 0 при t < 0, и справедлива оценка при t ¶ t C t @tD C2 ‡ Ht-L = C2 t H+L t при любом ¶ > 0. Для доказательства последнего неравенства мы использовали также оценку -¶ t -¶ t t ‰ § max t ‰ =. Отсюда при Rep >a+ ¶ ‰ ¶ 0§t<¶ C - t L@@tDD@pD @tD t ‡ -H--L t t = ‡ 0 C, - - > H - - L Таким образом, при Rep >a t -pt -pt @pD = @tD t = ‡ f@t -D g@D t = ‡ ‡ 0 0 i j‡ f@t -D -pt z ty g@D = j z ‡ k { i -p j‡ f@sD -ps z sy g@D = L@f@tDD@pD L@gD@pD j z ‡ k { 0 Здесь мы воспользовались теоремой Фубини и поменяли порядок интегрирования.

Лекция 3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций t 3.1. f@tD =. Rep > Re, t -pt L@f@tDD@pD = t = -Hp-L t t = ‡ ‡ p 0 3.2.f@tD = Sin@ tD, По формулам Эйлера имеем t - t Sin@ tD = H - L Поэтому с помощью 3.1.

L@Sin@ tDD@pD = t - t HL@ D@pD - L@ D@pDL = 1 1 y j z i - = j z p - p + 2 k p2 +{ L@Sin@ tDD@pD = p2 +p 3.3.f@tD = Cos@ tD, L@Cos@ tDD@pD = p2 +Доказательство аналогично.

3.4.f@tD = Sinh@ tD, По определению гиперболических функций Sinh@w tD = w t -w t H‰ -‰ L2. Поэтому L@Sinh@ tDD@pD = 1 1 1 y t - t j z HL@ D@pD - L@ D@pDL = i - = j z j z 2 2 p - p + p2 - k { L@Sinh@ tDD@pD = p2 - 3.5.f@tD = Cosh@ tD, p L@Cosh@ tDD@pD = p2 - Доказательство аналогично.

t 3.6. f@tD = tm. Rep > Re,, m = 1, 2,...

По свойству 2.2 имеем t -pt L@f@tDD@pD = tm t = ‡ m t -pt t H-1Lm ‡ H-tLm t = H-1Lm L@ D@pD = pm m 1 m ! y j z H-1Lm i = j z z pm j p k { -Lm+ Hp m ! L@f@tDD@pD = m Hp -L m! В частности, L@tmD = Hl=0L.

pm 3.7. f@tD = tm Sin@ tD. Rep > 0,, m = 1, 2,...

f@tD = tm Cos@ tD. Rep > 0,, m = 1, 2,...

w t Как и в примере 3.6., находим для функции g@tD = tm ‰ L@g@tDD@pD = m t t H-1Lm L@H-tLm D@pD = H-1Lm L@ D@pD = pm m H-1Lm L@Cos@ tD + Sin@ tDD@pD = pm m p y j z H-1Lm i + = j z z pm j p2 +2 p2 +k { m 1 1 Hp + Lm+y j z H-1Lm i = m ! = m ! z pm j - p k { Hp2 +2Lm+Hp - Lm+Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции вещественной и мнимой части, считая p вещесвенным и положительным.

Hp + Lm+L@tm Cos@ tDD@pD = m ! ReA E H3.1L Hp2 +2Lm+Hp + Lm+L@tm Sin@ tDD@pD = m ! ImA E H3.2L Hp2 +2Lm+ Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом, равенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме.

Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с помощью пакета Mathematica. Приведём пример.

‡ Найти преобразования Лапласа L@t6 Cos@w tDD и L@t6 Sin@w tDD. Для этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2).

Hp + LComplexExpandA E Hp2 +2Lp7 21 p5 2 35 p3 4 7p - + - + Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2Li 7p6 35 p4 3 21 p2 5 7 y j z - + - j z k Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 { L@t6 Cos@ tDD@pD = p7 21 p5 2 35 p3 4 7p6 y j z 6! i - + - z j k Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 { L@t6 Sin@ tDD@pD = 7p6 35 p4 3 21 p2 5 7 y j z 6! i - + - z j k Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 { Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform LaplaceTransform@t6 Cos@ tD, t, pD LaplaceTransform@t6 Sin@ tD, t, pD H720 p Hp6 - 21 p4 2 + 35 p2 4 - 7 6LL Hp2 +2L-H720 H-7p6 + 35 p4 2 - 21 p2 4 +6LL Hp2 +2LСравним полученные ответы i p7 21 p5 2 35 p3 4 7p6 y z j z SimplifyA6! j - + - j z j z Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2Lk { H720 p Hp6 - 21 p4 2 + 35 p2 4 - 7 6LL Hp2 +2L E i 7p6 35 p4 3 21 p2 5 7 y z j z SimplifyA6! j - + - + j z j z Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2L7 Hp2 +2Lk { H720 H-7p6 + 35 p4 2 - 21 p2 4 +6LL Hp2 +2L E 3.8. Пусть функция f[t]=0 при t<0 и является периодической с периодом Т>0 при t>0. Обозначим g[t]=f[t] при 0§t§Т и g[t]=0 при t<0.

Очевидно, f[t]=g[t]+f[t-Т].

-pT L[f[t]][p]=L[g[t]][p]+L[f[t-Т]][p]=L[g[t]][p]+‰ L[f[t]][p] Отсюда находим -p T (1- )L[f[t]][p]=L[g[t]][p] L@g@tDD@pD L[f[t]][p]= -pT H1- L Т 1 -pt L@f@tDD@pD = ‡ f@tD t -pT H1- L ‡ Приведём пример такой функции. Положим t t f38@t_D = IfAt 0, CosA J - IntegerPartA ENE, 0E;





2 Plot@f38@tD, 8t, -0.5, 6.5<, PlotRange 80, 10, в которой функция f[t] дифференцируема, справедлива формула представления + pt f[t]= 1 ‡ F@pD p, > (4.1) 2 - -s t Доказательство. Рассмотрим функцию g[t]=f[t]*‰ (s>a). Очевидно, функция g[t] интегрируема на (0,¶) и дифференцируема в точке t>0.

Рассматривая F[p] как преобразование Фурье функции g[t], применим формулу обращения преобразования Фурье + 1 t - t pt g[t]= ‡ F@+ D = 1 ‡ F@pD p 2 2 - - s t После умножения последнего равенства на ‰ получаем (4.1).

Формула (4.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа, или формулой Меллина.

Теорема 4.1 обладает тем недостатком, что для её примения требуется предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала f[t]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение F[p].

Теорема 4.2. Пусть F[p] аналитическая в полуплоскости Rep>a функция, удовлетворяющая условиям 4.2.1. При любом s>a существует интеграл J1=‡ » F@+ D » 4.2.2. Для GR = 8z » ; » z » = R; Rez ss0 >a<-дуги окружности радиуса R с центром в точке (s,0) MR = maxpGR »F[p]»0 при R• Тогда F[p] есть изображение функции f[t], представленной формулой (4.1) (ss0>a).

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур G[s1,s2,r] (см.

рис.4.1). По теореме Коши интеграл J[s1,s2,r] по контуру G[s1,s2,r] равен нулю. Перейдём к пределу в J[s1,s2,r] при r¶. Легко убедиться, что интегралы по верхней и нижней сторонам прямоугольника стремятся к нулю при r¶, а интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом, интеграл (4.1) не зависит от выбора ss0>a.

Докажем, что построенная по формуле (4.1) функция f[t] действительно является оригиналом заданной функции F[p]. Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка t »f[t]» ‡ F@+ D Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по t(0,Т) сходится.

Докажем, что f@tD =0 при t<0. Для этого рассмотрим интеграл JR по замкнутуму контуру gR в полуплоскости Rep s0 (s0>a), состоящему из дуги окружности GR радиуса R и отрезка прямой (см. рис.4.2). По теореме Коши pt F@pD p = ‡ R В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при t<0 и R¶. Оставшийся интеграл в пределе переходит в интеграл по прямой Rep=s, равный нулю при t<0. Следовательно, f@tD =0 при t<0.

Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке p=q (Req>a) совпадает с F[q]. С помощью формулы Коши находим при a 0 и СR+ - полуокружность радиуса R в полуплоскости Rez0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Rez 0, » z … R0 > + 20 MR = maxzСR » g@zD » 0 R • Тогда -zt g@zD z 0 при R ¶ ‡ СR+ Доказательство леммы будет приведено в дальнейшем.

5. Пример на вычисление преобразования Лапласа Задача. Найти преобразования Лапласа функции f@tD = t-b, 0 < b < @1 -D L@f@tDD@pD = H5.1L p1 Здесь введена гамма - функция @zD = tz-1 -t t, Rez > 0.

‡ Рассмотрим вначале L@f@tDD@pD при р > 0. С помощью простой замены переменной находим ¶ ¶ pb ¶ L[f[t]][p]=0 t-b *‰-p t „ t= t-b *‰-t „t= t-1+H1-bL *‰-t „ t = 0 p p1-b G@1-bD p1-b j Пусть далее p и Rep>0. Для определённости будем считать p=r‰, p p 0

Далее имеем [1-]=lim0‡ t- -pt t =lim0 r HpsL- -HpsL HpsL = r p1-*lim0 s- -p s s, (5.2) @,D -j где g[¶,R]-отрезок луча r*‰, ¶§r

Лекция В начале лекции мы приведём доказательство леммы Жордана, а также несколько эквивалентных формулировок этой леммы.

Лемма Жордана. Пусть t > 0 и СR+ - полуокружность радиуса R в полуплоскости Rez0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Rez 0, » z » R0 > + 20 MR = maxzСR » g@zD» 0 R -zt g@zD z 0 при R ‡ СR + j Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования z=R‰ p p (- §j§ ). Тогда справедлива оценка интеграла -zt -tRCos@D » g@zD z» MR R‡ = ‡ СR + - 2 -tRCos@D -tRSin@D 2MRR =2 MRR ‡ ‡ 0 p Как известно, при 0§j§ Sin[j] j. Продолжим оценку интеграла p MR -zt -tR -t R g@zD z » 2 MR R = H1 - L ‡ ‡ t СR + MR t при R¶. Лемма доказана.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.