WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по разделу «Сигналы и спектры в системах подвижной радиосвязи» специальной дисциплины «Мобильные телекоммуникационные системы» по специальности 071900 – ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ ВОРОНЕЖ 2003 2 Утверждено научно-методическим советом факультета компьютерных наук – протокол № 5 от 22.05.2003г.

Составители: Нечаев Ю.Б, Кремер А.И., Воронков Б.Н.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры радиофизики ВГУ Струков И.Ф.

Лабораторный практикум подготовлен на кафедре информационных систем факультета компьютерных наук Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 4-го курса дневного отделения 3 С О Д Е Р Ж А Н И Е Предисловие………………………………………………………………….3 1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ………………….4 1.1. Основные положения…………………………………………………4 1.2. Периодические сигналы и ряды Фурье……………………………...5 1.3. Спектральная плотность сигнала…………………………………….6 1.4. Дискретное преобразование Фурье и его реализация в виде быстрого преобразования Фурье…………………………………….8 1.5. Преобразование Хартли и его связь с преобразованием Фурье….14 2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ…………………………………………...19 3. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ……………………………………………22 3.1. Лабораторная работа №1…………………………………………...22 3.2. Лабораторная работа №2…………………………………………...25 Библиографический список………………………………………………..27 Приложение………………………………………………………………...28 Предисловие Использование в современных системах подвижной радиосвязи широкополосных, шумоподобных сигналов, принципов частотного и кодового разделения каналов, а также схем оптимальной фильтрации [1 - 4] требует освоения обучающимися математических методов спектрального анализа.

Однако, у студентов факультета компьютерных наук, изучающих вопросы построения и особенности реализации телекоммуникационных систем, возникают значительные трудности при ознакомлении с методами спектрального представления сигналов. Это происходит из-за недостаточно четкого понимания смысла введения и необходимости использования аппарата обобщенных функций, а также вследствие отсутствия прочных навыков расчета и анализа амплитудных и фазовых спектров типовых видео- и радиосигналов.

В этой связи данные методические указания содержат краткие теоретические сведения о спектральных представлениях периодических и непериодических сигналов, о дискретном преобразовании Фурье и его алгоритмической реализации в виде быстрого преобразования Фурье, о непрерывном и дискретном преобразовании Хартли.

Дано описание лабораторных работпо темам:

расчет и построение графиков амплитудных и фазовых спектров периодических и непериодических видеосигналов;

расчет и построение графиков амплитудного и фазового спектров радиоимпульсов.

Семь вариантов заданий для каждой из лабораторных работ, а также более сорокаконтрольных вопросов дают возможность организовать как групповое (бригадами из двух-трех человек), так и индивидуальное обучение.

1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 1.1. Основные положения Сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи информации [5].

Для того чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчетов, вводят понятие математической модели сигнала т.е. его, математическое описание, например, в виде функции времени s(t) или частоты S( ).

Одной из широко применяемых математических моделей сигнала является функция включения или функция Хевисайда:

,0 t < 0, (1 t) = t = 0,, (1.1) 2 t > 01.

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы tU,( ) 1t. (1.2) -- 1t += 2 При любом выборе параметра площадь этого видеоимпульса равна единице, так как его ширина –, а высота -. Предел последовательности функций (1.2) при 0 носит название дельтафункции, или функции Дирака:

)( = (t, ). (1.3) limut Таким образом, можно записать t = 0,, t)( = (1.4),0 t 0, )( dtt = 1. (1.5) Символическое изображение дельта-функции приведено на рис. 1.

t - )( t Рис. 1.

Свойства дельта-функции присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций. Например:

n tn sin(nt) t)( = exp-, t)( = lim lim t.

2 n n Нарядусусловием нормировки (1.5), важным является фильтрующее свойство дельта-функции:

ts )( (t )d, (1.6) s( ) -= где s(t) – непрерывная функция.

Рассмотренная функция Диракане вписывается в рамки классической математики, где функция должна принимать какие-то конечные значения в каждой точке аргумента t. Расширение понятия функции как математической модели сигналаприводит кнеобходимости использовать обобщенные функции.

Определим скалярное произведение вещественных сигналов f и :

,( ) = ff (t) (1.7) (t)dt.

Соотношение (1.7) можно рассматривать как некоторый функционал на множестве известных пробных функций (t). Если этот функционал непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций (t) задана обобщенная функция f(t). Важно отметить, что интеграл в (1.7) нужно понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать фильтрующее свойство функции Дирака (1.6):

(( - ), st ( )) = s(t).

Полагая пробные функции финитными, то есть равными нулю за пределами конечного отрезка t1

fd t)( td )( td )( ( ))(, ft (t) t) dt = - f (( t), ).



(t) -= f ( td - td td В частности, (1 td ) td )( td )( ( ))(, -= (1(tt ), ) = - dt = )0( = (, ), dt dt td то есть (1 td ) = t).( (1.8) dt Равенство (1.8) необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, так как в классическом смысле производная от разрывной функции 1(t) при t=0 просто не существует.

Аналогично можно определить и производную дельта-функции:

,( ) = -(, ) = - (0).

1.2. Периодические сигналы и ряды Фурье Периодическим называют сигнал s(t), обладающий свойством ts )( = s(t + nT ), n=1,2,…, где Т – период сигнала. Спектральное разложение данного сигналав ряд Фурье представляетсобой соотношение [4, 5]:

ats )( += cos( na t + bn sinn 00 t), (1.9) n n=где 0= - основная частота последовательности, T T a = ts )( dt, T -T T an = ts )( cos( n t) dt, T -T T bn = ts )( sin( n t ) dt.

T -T Таким образом, периодический сигнал содержит постоянную составляющую, которая не зависит от времени, и бесконечный набор гармонических колебаний, называемых гармониками с частотами = n, n кратными основной частоте последовательности.

Часто используют еще две формулы рядаФурье:

a ts )( += cos(nA t + (1.10) ), 0 nn n=где aA += bn tg = -bn an,, nn n An - амплитуда - начальная фаза n -ой гармоники;

, n & & ts )( C = exp( in t ), (1.10 а) n n -= T & &n)( == CC & & ts )( exp(-in t)dt n 0, (1.10 б) T -T Cn где точканад коэффициентами означаетих комплексный характер.

Последнее соотношение для s(t) носит название ряда Фурье в комплексной форме.

1.3. Спектральная плотность сигнала Прямое преобразование Фурье оригинала s(t) носит название спектральной плотности сигнала - ti iS )( s(t) = dt, (1.11) e где [рад/сек] – угловая частота, =2f, f[Гц] – циклическая частота.

Спектральную плотность называют также спектральной функцией или Фурье-образом сигнала Для нахождения спектральной плотности.

необходимо и достаточно абсолютной интегрируемости сигнала то есть, существования интеграла ts )( dt <.

Данное условие значительно сужает класс допустимых сигналов.

Например, в этом случае невозможно вычислить спектральную плотность гармонического сигнала u(t)=Umcos( t), существующего на всей бесконечной оси времени. Однако, введение аппарата обобщенных функций позволяетпреодолеть подобные затруднения.

Существует взаимно-однозначное соответствие между прямым и обратным преобразованиями Фурье 1 ti ts )( = S i )( d. (1.12) e Таким образом, один и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели – функцию во временной области и функцию в частотной области.

Часто целью спектрального представления сигналов является упрощение его математической модели, а также облегчение анализа прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.

Важное место в задачах спектрального представления сигналов занимаетобобщенная формулаРэлея 1 *,( vu ) ) d == (1.13) V U i )( (i U V ),(, 2 где U(i ) и V(i )- спектральные плотности комплексно- значных, в общем случае оригиналов u(t) и v(t), звездочка (*) означает знак комплексного сопряжения.

То есть скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента 1/2 пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

На основании формулы (1.13) можно ввести обобщенное понятие спектральной плотности. Пусть сигнал v(t) – абсолютно интегрируемая функция. Тогда V(i ) – обычная классическая функция частоты. Пусть сигнал u(t) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в классическом смысле прямое преобразование Фурье U(i) не существует.

В этом случае можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что U(i ) является обобщенной функцией. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что U(i ) – функционал, который, действуя на известную функцию V(i ), дает следующий результат:

VU ),( = 2 (u,v).

Спектральный метод широко используется для анализа прохождения сигналов через линейные цепи. Это связано с существованием хорошо разработанного численного метода дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и его алгоритмической реализации в виде быстрого преобразования Фурье (БПФ).

1.4. Дискретное преобразование Фурье и его реализация в виде быстрого преобразования Фурье Формулу (1.6) часто называют динамическим представлением сигнала s(t), посколькуона выражаетмгновенное значение сигналав произвольный момент времени t в виде взвешенной суммы бесконечно узких импульсов (t), сдвинутых друг относительно друга во времени. Роль весовых коэффициентов в этой сумме выполняют величины s()d.

Перейдем к случаю дискретного сигнала sD(t), когда некоторый процесс мы описываем не непрерывной функцией s(t), а бесконечным одномерным массивом чисел sk, k=0, ±1, ±2,…. Числа sk являются дискретными значениями сигнала, снятыми через постоянный промежуток времени, то есть sk= s(k·). Для дискретного сигнала sD(t) формула (1.6) преобразуется в выражение )( = (tt - k ), (1.14) ss kD k -= то есть отинтеграламы переходим ксумме, а вместо d записываем.

Рассмотрим спектральное представление конечного дискретного сигнала который задан своими N значениями, снятыми в моменты, времени 0,, 2, …, (N-1). В соответствии с (1.14), динамическое представление такого сигналаесть N -)( = (tt - k ). (1.15) ss kD k =Длина интервала времени Т, на котором определен этот сигнал, составляет T=(N-1). Однако, для использования дискретного преобразования Фурье (ДПФ) необходимо, чтобы T равнялось N. Для того чтобы при T = N число отчетов сигналане стало равным N+1, а осталось равным N, правая концевая точка интервала которой, соответствуетнеизвестное нам значение Sn, отбрасывается.





Метод расчета спектральных плотностей дискретных сигналов вида (1.15) состоит в том, что набор дискретных значений Sk мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате дискретный сигнал становится периодическим (рис. 2), а формула(1.15) описываетсигнал в пределах лишь одного периода.

К периодическому сигналуможно применить разложение в ряд Фурье & & Cn (1.10) и найти коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образуетспектр дискретного периодического сигнала. При этом i nt T & & eC sD(t) =, T = N, = ;

n T n -= T 2 T N-i- nt -i nt T T & ts )( e dt = (ts k - = )e dt Cn = D k T T k=0 T 2 2 nk N-1 N-N --i nt i - kn -i 1 T T N ts -= k = es = )( e dt es k k k N N N k=0 k=k =Окончательно 2 nk N --i N & & C = es kn (1.16) N k =Формула (1.16) определяет последовательность коэффициентов, образующих ДПФ сигнала sD(t).

СвойстваДПФ 1. ДПФ есть линейное преобразование, то есть линейной комбинации сигналов отвечаетсоответствующая линейная комбинация их ДПФ.

2. Коэффициент С0 является средним арифметическим значением всех отсчетов сигнала и имеетсмысл постоянной составляющей сигнала:

sk N-C0 =.

sk N k=&,...,, 10 & & & CC CN-1 равно числу 3. Число различных коэффициентов дискретных значений сигнала за период. Если положить n=N, получим = CC.

N N -4. Если N – четное число, то C = -1( )k – действительное число.

skN N k =5. Пусть значения дискретного сигнала являются действительными числами, а число N – четное. Тогдакоэффициенты ДПФ, номера которых N располагаются симметрично относительно, образуют комплексносопряженные пары чисел. Действительно, рассчитывая коэффициенты в порядке убывания их номеров, находим, что N -1 N -k (2 Ni -- n)k N 11 i * N & & & & C es == es = Cn -nN k k N N k =0 k =Вернувшись к формулам (1.10а, 1.10б), легко заметить, что, заменяя на * & & C-n = CC ( - ), мы получаем, то есть коэффициенты, комплексно-nn & & Cn, соответствуют отрицательным сопряженные коэффициентам частотам в спектре периодического непрерывного сигнала.

По аналогии с этим в случае дискретного сигналаи ДПФ можно считать, & & & & & & CC,...,, CN-1 отвечают отрицательным частотам, что коэффициенты NN 2 2++ & &,...,, 21 CN & & & & CC тогда как коэффициенты соответствуют положительным частотам.

Обратное ДПФ Вернемся к формулам (1.10а, 1.10б), положив = и T = kt k = 0,,,1 2,.... Тогдадля дискретного сигнала 2 kn N &ei & ks )( = s = Cnk n -= &, образующие ДПФ, заданы. Тогда, учитывая, что & Cn Пусть коэффициенты &, & Cn суммируя существует всего лишь N различных коэффициентов конечное число членов ряда, мы получим формулуобратного ДПФ:

N -N &ei2 k. (1.17) & = Cs nk n=Формулы (1.16) и (1.17) образуют пару дискретных преобразований Фурье.

Быстрое преобразование Фурье [7, 8, 9] Быстрым алгоритмом называется некоторая неочевидная вычислительная процедура, которая в вычислительном отношении более эффективна, чем та или иная очевидная процедура [9]. Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых обеспечивает существенную экономию вычислительных операций ДПФ, в особенности наиболее сложных – операций комплексного умножения.

В общем случае (при комплексных входных массивах) непосредственное вычисление ДПФ по формулам (1.16), (1.17) требует примерно N2 умножений и N2 сложений комплексных чисел. Это значит, что при больших N непосредственное вычисление ДПФ требуетбольших затрат машинного времени. Для перехода от ДПФ к БПФ необходимо, чтобы число дискретных значений сигнала было составным, то есть разлагалось на множители, к примеру – N=8=2*2*2 или N=60=3*4*5. В зависимости от состава и числа множителей удается получить разные алгоритмы БПФ. Наиболее распространены алгоритмы для N=2m, N=4m или N=8m, где целое число m>0.

&, где N – составное число:

& Cn Рассмотрим N – точечное ДПФ N -1 & nk & C = Ws exp -= iW kn N, n=0, 1, …, (N-1); N.

N N k =Если N=N1N2, то индексы k и n можно преобразовать следующим образом:

k=N1k2 + k1, k1, n1 = 0, …, (N1 – 1), n=N2n1 + n2, k2, n2 = 0, …, (N2 – 1).

&, получаем & Cn Подставляя k и n в выражение для N1-1 N2 -& kN n1 1 nk 12 2 & C = WW s WN kN nnN n2 N N kN ++ k12 N k1=0 k2 =или, учитывая, что NN exp -= iW = WN =WW N и, 1 N N N N1-1 N2 -& nk nk 11 1 2 & C = WW s WN nk nN n2 N1 N kN ++ k1 2.

12 N k1=0 k2 =Отсюдаследует, что N1N2 – точечное ДПФ можно рассматривать как WN nk ДПФ массива (N1N2), за исключением фазовых множителей.

& выполняется в три этапа:

& Cn Таким образом, вычисление & & D - сначалавычисляются N1 преобразований, соответствующих,nk N1 различным значениям k1 :

N -& & = sD WN nk.

,nk N1 k + k1 21 k = & & D WN nk Затем умножаются на фазовые множители и, наконец,,nk & получаются вычислением N2 N1 – точечных преобразований:

& Cn N1-nk & & 21 & & C = WD WN nk nN +n2 k1,n2 N.

12 N k1=Эти вычисления могут выполняться и в обратном порядке, при этом сначала выполняются умножения на фазовые множители, затем - два последовательных преобразования Фурье. В этом случае N2 -1 N1-& nk 22 21 & C = sW WN nk )( WN nk nN n2 N2 kN ++ k1.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.