WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Воронежский государственный университет Математический факультет Кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по высшей математике для студентов 1 курса дневного отделения геологического факультета Специальность: экология, гидрогеология Составители : Ю. Б. Савченко, С.А.Ткачева Воронеж – 2002 2 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентовзаочников геологического факультета и являются продолжением «Методических указаний по высшей математике. Часть I». Пособие содержит необходимые теоретические сведения и подробное решение типичных примеров по разделу «Математический анализ. Интегральное исчисление функций одной переменной».

1. Неопределенный интеграл П.1. Первообразная и неопределенный интеграл Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F(x), производная которой равна данной функции / xF )( = f (x).

Обозначение xf )( dx F(x) += C, / где xF )( = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x)dx - подынтегральным выражением.

П.2. Свойства неопределенного интеграла 1о. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

/ xf )( dx f (x); d f (x)dx == f (x)dx.

2о. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

dF x)( F(x) += C.

3о. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k =const 0, то kf x)( dx = k f (x)dx.

3 4о. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности П.3. Таблица основных интегралов xn+1 n 1. dxx = nC + -1, ;

n +1 dx 2. ln += Cx ;

x dx 3. arctgx += C = -arcctgx + C1 (a 0; ) ;

1+ xdx 4. arcsin += Cx = -arccos x + C1; (a > 0) ;

1- xax 5. dxax += (0, < aC 1) ;

ln a 6. dxe exx += C ;

7. sin xdx -= cos x + C ;

8. cos xdx sin x += C ;

dx 9. tgx += C ;

cos2 x dx 10. -= ctgx + C ;

sin2 x dx 1 - ax 11. = ln, (aC + 0) ;

2a + ax x - adx 12. ln += xx + k + C ;

+ kx dx x 11 x 13. arctg += C = - arcctg + (aC 0, ) ;

a a a a x + adx x x 14. arcsin += C = -arccos +, (aC > 0).

a a - xa П.4. Непосредственное интегрирование Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Примеры.

xx +- 32 xdx x -= + 32 )dxx = x22 dx - 2 xdx + ( x1.

x3 3 dx =+ - + 3xx + C 1 1- 1-= + dx dx -= 2 x dx + x-- dx = xx2 x2.

1 2xx -+ x-- + C = x + - + C 3 x 3x 1 dx 3. ctg2xdx -= 1dx -= dx = -ctgx - x + C sin x sin22 x dx cos + sin22 xx dx dx = += = 4.

sin cos22 xx sin + cos22 xx sin2 x cos2 x ctgx +- tgx + C x 1 1 cos2 dx += cos1 x)dx = dx + cos xdx = 2 2( 2 5.

1 += sin xx + C 2 П.5. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала Если xf )( dx F(x) += C и u = (x), то uf )( du F(u) += C.

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала 1. dx = d(x + b), b = const 2. dx (axd += b) a = const 0, a 3. xdx d(x2 += b) 4. sin xdx = -d(cos x) 5. cos xdx = d(sin x) В общем случае / )( dxx = d (x).

Примеры. Найти интегралы 1. + ( )2dxx На основании преобразования 2 дифференциала имеем dx d( x += 32 ) 1 1 ( x + 32 )2 C =+ 32 dxx =+ x + 32 d(2x + 3)= ( ) 2( )22 2 ( += 32 )2 + Cx 1 dxx =+ (x + 44 )2 d(x + 4)= (x + 4)2 + C = 2.

+= 4( ) xx + 4 + C axd + b)( dx (1 axd + b) a 3. = = ln ax += b + C ax + b ax + b a ax + b 2 xdx 1 (xd + 2) 1 (xd + 2) 4. = = ln( += 2)+ Cx 2 2 x2 +1 x2 + 2 x2 + sin x (cos xd ) 5. tgxdx dx == - = -ln cos + Cx cos x cos x x x xx 6. cos dx = cos4 d sin4 += C 4 44 dx 1 1 2( xd ) 7. = dx = arctg2x += C + 41 + (1 2xx )22 + (1 2x)2 П.6. Метод подстановки Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано по формуле / xf )( dx = f [ (t)], (t)dt где x = (t) - дифференцируемая функция переменной t.

Примеры. Найти интеграл x1. xe dx dt Положим x2 = t, тогда xdx dt,2 xdx ==, подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим dt 1 1 t xe dx etx == dte = et + C = ex + C.

2 2 2 Этот пример можно решить и по-другому (см.п.5) 22 2 1 1 xe dx exx d(x )== ex d(x22 )= ex + C 2 2 2. xx - 2dx Чтобы избавиться от корня, положим 2 =- tx Возводя в квадрат это равенство, найдем x :

tx +=,2 dx = 2tdt.

Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, получим xx dx =- t + 22 2tdt = 2t42 + 4t2)dt = ( )t ( 5 tt 2 dtt += 42 t24 dt = 2 + 4 + = (xC - 2)2 + (x - 2)2 + C 5 3 5 cos x 3. dx + 41 sin x Положим 41 sin =+ tx, откуда 41 sin =+ tx, 4cos xdx = 2tdt, cos xdx = tdt.

Следовательно, tdt cos x 1 1 dx == dt = t + C = + 41 sin x + C.

t 2 2 + 41 sin x ln7 x 4. dx x Положим ln tx, dx == dt, следовательно, x ln7 x t ln88 x dx t7dt == + C = + C.

x 8 dx 5.

sin cos xx Разделим числитель и знаменатель на cos2 x, получим 1 cos2 x cos2 x ==.

sin cos xx sin cos xx tgx cos2 x dx Положим tgx = t, тогда = dt.

cos2 x Таким образом dx dx dt cos2 x == = ln + Ct = ln tgx + C.

sin cos xx tgx t dx 6.

sin x x Полагая = t, получаем x d dx dx dt x == == ln tgt + C = ln tg + C.

xx xx sin x sin costt sin2 cos sin cos 2 2 2 Тригонометрические подстановки 1) Если интеграл содержит радикал - xa, то полагают x = a sin t, отсюда xa =- a cost.



2) Если интеграл содержит радикал - ax, то полагают a x =, отсюда cost ax =- atgt.

3) Если интеграл содержит радикал + ax, то полагают x = atgt, отсюда a ax =+.

cost x2 +Пример. Найти dx.

xdt Положим x = tgx, следовательно, dx = cos2 t x2 +1 tg2t +1 dt cos cos2 tt dt dx = = = x2 tg t cos22 t sin t cos22 t dt sin + cos22 tt dt cost == dt += dt = cost sin2 costt sin costt sin22 t.

1 (sin td ) 1 ln tgt += + = ln tgt + - + C = cost cos sin xt sin2 t 1+ tg2t x2 +ln tgt += 1+ tg2t - =+ ln xC + x2 +1 - + C tgt x П.7. Интегрирование по частям Если u = (x) и v = (x) - дифференцируемые функции, то udv uv -= vdu. ( 7.1.) Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

Примеры.

1. Найти ln xdxx.

dx xПолагая u = ln x, dv = xdx, имеем du, == xdxv =.

x Отсюда x dxx x2 xln xdxx ln x -= = ln x - + C.

2 x 2. Найти sin xdxx Полагаем x = u, sin dx = dv, отсюда, du = dx, v = -cos x, получим sin xdxx x(-= cos x) - (- cos x)dx = -x cos x + sin x + C.

3. Найти sin xdxex Имеем sin xdxe exx d(-= cos x) = -ex cos x + ex cos xdx =.

-= cos xe + exx d(sin x) = -ex cos x + ex sin x - ex sin xdx Следовательно, sin xdxe exx sin x -= ex cos x - ex sin xdx.

Откуда sin2 xdxe exx (sin x -= cos x) + C.

ex x sin xdxe (sin -= cos xx ) + C П.8. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен 1о. Интеграл вида dx px2 qx ++ r путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле px2 qx ++ r = p[(x + k)2 ± a2] сводится к одному из двух интегралов du 1 u arctg += C, ( 8.1. ) a a u + adu 1 - au = ln + C ( 8.2. ) 2a + au u - aгде u = x + k.

2о. Интеграл mx + n dx px2 qx ++ r сводится к интегралу вида (8.1) или (8.2) и интегралу udu 1 (ud ± a22 ) = ln ±= au + C. ( 8.3. ) 2 u ± a22 u ± aПримеры.

1.

dx 1 dx = = 5 25 7 2 52 xx +- 2 - xx + -+ 4 16 2 xd x 1 1 = = arctg C =+.

2 2 31 5 x - + 4 4 2 x - = arctg + C 31 x + 2. dx x2 + 4x + Выделим в знаменателе полный квадрат xx ++ 94 = (x + 2)22 + 5.

Сделаем подстановку x + 2 = t, откуда x = t - 2, dx = dt, поэтому x + 56 x + 56 (6 t 2) +- 5 t - = dx = dt = dt = xx ++ 94 (x )22 ++ 52 t2 + 5 t2 +.

2tdt dt 7 t = 3 - 7 ln3 ( += 5)- arctgt + C t + 5 t22 + Возвращаясь к переменной x, получаем x + 56 7 x + dx ln3 (x2 += 4x + 9)- arctg + C.

5 x2 + 4x + 3о. Интеграл dx px2 qx ++ r сводится к одному из интегралов:

du u arcsin += C, ( 8.4. ) a - ua du ln += uu + a + C. ( 8.5. ) + au 4о. Интеграл вида px2 qx ++ rdx сводится к одному из двух интегралов u k 22 ku du =+ + ku + ln + uu + k + C, ( 8.6. ) u ua 22 2 ua du =- - ua + arcsin + C. ( 8.7. ) 22 a 5о. Интеграл вида mx + n px2 qx ++ r сводится к разобранным выше интегралам.

Примеры.

dx 1 dx 1 x - 3. = = arcsin + C 2 32 -+ 2xx 25 x - 16 x + 3 1 x + 22 dx dx = dx + 2 = 4.

xx ++ 22 xx ++ 22 (x )2 ++ += xx + 22 + 2ln x +1+ x22 + 2x + 2 + C 1 + x 5. 21 -- xx dx = 2 - (1 + x)22 d(1 + x)= 21 -- xx + 1+ x + arcsin + C 6о. Интегралы вида dx mx n)( px2 ++ qx + r с помощью обратной подстановки = t приводятся к интегралам mx + n вида 5о.

dx Пример 6. Найти ( ) xx ++ 1 dt Полагаем x 1 =+, dx = - Имеем t tdt dx dt t= -= = 2 ( ) xx ++ 11 21 +- 2tt - + tt 1 dt 1 1 -= -= ln - + tt - t + + C =.

2 2 t - 1 + 2 1 +- 21 (xx +1) -= ln + C 2 x +П.9. Интегрирование рациональных функций 1о. Метод неопределенных коэффициентов.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби xP )(, ( 9.1. ) xQ )( где P(x) и Q(x) - целые многочлены, причем степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x).

Если xQ )( = (x - a) (x - l), где a,,l - различные действительные корни многочлена, Q(x) и,, натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби ( ) на простейшие дроби:

xP )( A A21 A L L= + ++ ++ + + xQ )( - ax - lx ( - ax )2 ( - ax ) ( - lx )2. ( 9.2. ) L ++ ( - lx ) Для вычисления неопределенных коэффициентов AA,,, L обе 1 части тождества (9.2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях (первый способ). Можно также определить эти коэффициенты, полагая в равенстве (9.2), или ему эквивалентном, равным подходяще подобранным числом (способ 2).

Если многочлен Q(x) имеет комплексные корни a + ib кратности k, то в разложении (9.2) дополнительно войдутпростейшие дроби вида xM + N11 xM + Nkk ++, ( 9.3. ) 2 k pxx ++ q ( pxx2 ++ q) где pxx ++ q = [x - (ai + b)][x - (a - ib)] и NM,,, M, Nk - 1 1 k неопределенные коэффициенты, определяемые способами, указанными выше.

Таким образом, после разложения на простейшие слагаемые интегрирование правильной рациональной дроби сводится к нахождению интегралов вида dx I1 =, ( 9.4. ) ( - ax )n + NM x I2 =. ( 9.5. ) m ( pxx ++ q) Интеграл (9.4) при n = 1 имеет вид dx ln -= ax + C (см. п.5), - ax при n > dx - ax )1-n + C (см. п.4, п.5).

-= ax = ( )-n ( 1+ n ( - ax )n Интеграл (9.5) при m =1 является интегралом вида (2о) (см. п.8), при m >1 применяется метод понижения (см. пример 2 п.9).





Примеры.

xdx 1. Найти ( )(xx +- 11 )Решение. Имеем x A B B= + +.

( )(xx +- 11 )2 x - x +11 (x +1)Отсюда Ax (x += )2 + B1(x -11 )(x +1)+ B2(x -1). ( 9.6. ) А) Первый способ определения коэффициентов.

Перепишем последнее тождество в виде (Ax + B1)x2 + (2A + B2)x + (A - B1 - B2).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим + BA = BA =+ 12, BA -- B21 = 1 1 отсюда, BA == -, B21 =.

4 4 Б) Второй способ определения коэффициентов.

Полагая x = 1 в тождестве (9.6), будем иметь 1 = A 4, то есть 1 A =. Полагая x = -1, получим - = -B2 21, то есть B2 =. Далее, 4 полагая [= 0, будем иметь 0 = - BA - B2, то есть AB -= B21 = -.

Следовательно, 1 dx dx 1 dx I = - + = x -14 x + 1 (x + 1).

1 1 1 1 1 x -ln -= 1 - ln xx + 1 - C =+ - + ln + C 4 4 (2 x + 1) (2 x + 1) 4 x + Mx + N 2. Найти интеграл dx m = 2( 3,, ).

m ( pxx ++ q) Выделим полный квадрат из выражения pxx ++ q :

p q -+ p2, выражение 2 pxx pxx ++ q = x + ++ q - не имеет p2 pдействительных корней, то есть q >- 0 ; положим q =- a2, 4 p2 p qa -=, вводя новую переменную x =+ t, находим 4 Mp dx dt x += px + q = t22 + a2,, Mx + N = Mt + N -.

Интегрируя, получаем Mp Mt N -+ Mx + N dt = dx = mm ( pxx ++ q)( + at22 ). ( А ) 2tdtM Mp dt = N -+ mm 2 22 2 ( + at ) ( + at ) Первый из интегралов вычисляется подстановкой at =+ u 2; tdt = du tdt du 12 == - + C = () m -umm um-+ at. ( В ) 1 -= + C m-m -( + at ) Второй интеграл можно найти по рекуррентной формуле 1 z m -12 Im+1 = + Im, ( С ) 2ma2 + az 22 m 2m a( ) где dz Im = (m =,1 2 3,, ). ( D ) m ( + az ) Формула (С) получается с помощью метода интегрирования по частям. Положим, dzu == dv, m ( + az ) тогда 2mzdz du -=, = zv.

m+( + az ) На основании формулы интегрирования по частям имеем z dzz Im = + 2m. ( Е ) mm ( 22 ( + az ) + az ) Преобразуем последний интеграл 2 dzz az -+ z2 dz = = 1 ++ 1 mmm ()()() 22 22 + az + az + az. ( F ) dza - -= aI Imm +m+( + az ) Подставляя выражение (F) в (Е ), получим z Im = mI -+ 22 ma2Imm. ( G ) +m+( + az ) Откуда и получается формула (С).

Зная интеграл 1 z I1 = arctg a a (мы берем одно из его значений), по этой формуле при m =1 находим 1 z 1 z I2 = + arctg. ( Н ) 2a z22 + a2 2a3 a Полагая в формуле (С) m = 2, получим 1 z 3 1 z I3 = I2 =+ + 4a2 + az 22 4a22 4a2 + az 22 () () ( К ) 3 z 3 z + + arctg 8a z24 + a2 8a5 a и т.д. Таким путем можно вычислить интеграл Im для любого натурального m.

П.10. Интегрирование тригонометрических функций 1о. Интегралы вида sinax cosbxdx, sin axsinbxdx, cosax cosbxdx находятся с помощью тригонометрических функций sin sinba [cos(a -= b) - cos(a + b)] cos cosba [cos(a -= b) + cos(a + b)].

sin cosba [sin(a -= b) + sin(a + b)] 2о. Интегралы вида = sin xI cosnm xdx,,nm где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени 1 1 sin ( -= cos1 2xx ), cos22 x = 1( + cos2x), sin xcos x = sin 2x.

2 2 Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1) +sin xI cosnk xdx == - sin2k xcosn d(cos x) =,nm.

k -= - cos1 (cos x) () cosn xdx Примеры.

1 1 1. sin9 sin xdxx cos8x -= cos10x]dx = sin8x - sin10x + C.

2[ 16 2. cos 3 sin42 3xdxx cos3xsin 3x)2 sin2 3xdx == ( sin2 6 - cos1 6xx = dx sin 6x -= sin22 6xcos6x)dx = 4 2 8(.

1 - cos1 12x dx = = - sin2 6 cos6xx 8 1 sin12xx -= - sin3 6 + Cx 28 24 3. sin10 cos3 xdxx sin10 x(1 -= sin2 x)d(sin x) =.

sin11 sin13 xx -= + C 11 3о. Если m = -, n = - - целые отрицательные числа одинаковой четности, то dx I == tgxd )( =,nm sin cos sin xcos -2 x xx + -1.

- 1 1 + tg x) 1 += ( tg x) d(1 tgx) =+ tgxd )( ( tg x tg x В частности, к этому случаю сводятся интегралы x d xd + dx 1 dx 2 = и =.

-xx sin x cos x 2 sin cos sin x + Примеры.

dx 1 4. tgxd )( == 1 + tg x)d (tgx) = tgx + tg32 x + C.

( cos x cos24 x dx 1 dx 1 dxx -5. == tg = xx x sin x sin cos33 cos2 2 x 1 + tg 1 dx 2 x 2 x x 2 tgd - = = + + tg =.

tg x x x 8 tg cos23 tg 2 2 x tg 1 1 x + ln2 tg + + C -= x 4 2 2tg 4о. Интегралы вида (sin xR cos x)dx, где R - рациональная функция от sin x и cos x, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью x подстановки tg = t, при этом 2t 1 - t2 2dt sin x = cos, x =, dx =.

1 + t2 1 + t 1 + tЕсли R(-sin x,cos x) = R(sin x,cos x), то целесообразно применить подстановку tgx = t, при этом t 1 dt sin x = cos, x = arctgtx,, dx ==.

1 + t1 + t 1 + tПримеры.

dx 6.

sin3 ++ cos xx Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией x от sin x и cos x. Применяем подстановку tg = t dx 1 2t 1+ t2 2dt = = = sin3 ++ cos xx 2t 1- t2 1 + t2 ( tt ++ 22 ) 1 + t3 + + 1 + t2 1 + ttd + t + dt dt = = = = arctg C =+.

22 7 tt ++ 1 t + 1 t + + + 2 2 x 2tg + 2 t + 12 = arctg =+ arctgC + C 7 7 dx 7.

5cos x + 9sin22 x Подынтегральная функция не меняется от замены sin x на (-sin x), cos x на (-cos x), то есть R(-sin x,cos x) R(sin x,cos x).

Применим подстановку dx 1 + t2 dt dt 1 3( td ) = = = = cos5 + 9sin22 xx + 95 t 1 + t22 5 + 9t2 3( + t)2.

)2 (1 1 3t 1 3tgx = arctg + = arctgC + C 5 5 3 5 П.11. Определенный интеграл Пусть функция f (x) определена на отрезке a x b и = xa < x1 < < xn = b - произвольное разбиение отрезка на n частей.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.