WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ «МАТЕМАТИКА» Лабораторные работы для студентов 1 курса по специальности «Математика» шифр 510100 Воронеж 2003 Утверждено научно-методическим советом математического факультета № 5 от 3 марта 2003 г.

Составители: Голованева Фаина Валентиновна, Панычева Светлана Борисовна Подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения.

3 ВВЕДЕНИЕ Настоящий лабораторный практикум предназначен для преподавателей, студентов, изучающих математический анализ, школьников старших классов, а также лиц, интересующихся использованием пакета «Математика».

Краткое описание лабораторных работ Лабораторная работа № 1. «Знакомство с пакетом «МАТЕМАТИКА».

Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований». Лабораторная работа состоит из двух частей. Целью первой части является освоение главных приемов работы с пакетом «Математика», знакомство с основными функциями пакета. Вторая часть посвящена изучению способов построения графиков функций с помощью элементарных преобразований. Студент самостоятельно должен сделать вывод о поведении графика функции в том или ином случае. Формируется умение анализировать, сравнивать, делать выводы. Рассчитана работа на 4 – 6 часов.

Лабораторная работа № 2. «Построение графиков функций с помощью полного их исследования» При изучении этой темы мы сталкиваемся с.

тем, что очень много времени при исследовании функций уходит на вычисление пределов, производных, преобразование выражений – действий, достаточно хорошо отработанных на предыдущих занятиях. В результате очень мало времени остается на само построение графика. Применяя пакет «Математика», мы автоматизируем вычисление пределов, производных, упрощение выражений.

При выполнении этой работы, исследовав функцию, студент строит эскиз графика функции, а затем проверяет свои предположения с помощью соответствующих функций пакета. Целью работы № 2 является дальнейшее освоение функций пакета «Математика», облегчение трудоемких преобразований. Но не только это. Выполняя задания, студент осознает, что некоторые функции пакета определены не так, как это нам бы хотелось, из-за чего результат не совпадает с тем, что должно быть. Это очень важно, т.к. у человека, работающего с компьютером, не должно быть слепого доверия к машине. Человек должен знать возможности программы, с которой он работает, и уметь поставить задачу так, чтобы получить правильный ответ. Ставится задача формирования математической культуры студента: умение поставить задачу, предварительно спрогнозировать конечный результат и проанализировать причины расхождения ожидаемого и полученного. Работа рассчитана на 4 часа.

Лабораторная работа № 3. «Построение графиков функций, заданных параметрически». Работа рассчитана на 4 часа.

В работе дана схема полного исследования функции, заданной параметрически.

Все работы проводятся с применением пакета «Математика».

Лабораторная работа № «ЗНАКОМСТВО С ПАКЕТОМ «МАТЕМАТИКА».

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ » ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! 1. Аргумент функции заключается в квадратные скобки.

2. Введя команду, нажмите сочетание клавиш SHIFT + ENTER для ее выполнения.

3. Знак % означает введенное ранее выражение, а N[%] - вычисление значения предыдущего выражения.

Задание 1. Ознакомьтесь с приведенными ниже функциями пакета «Математика». Выполните приведенные в таблице примеры на ПК.

Некоторые функции пакета «Математика» Таблица 1.Функция Общий вид Пример Результат Сложение + 2 + 3 Вычитание - 7 - 6 Умножение * 2 * 3 или « » (пробел) 3 х Деление / 22/7 (результат в виде обыкно22/7.

венной дроби) 3.14286 (результат в виде десятичной дроби) Возведение ^ 2^3 в степень Нахождение 1. Exp[<выражение>] 1. Exp[3] 1. eэкспоненты 2. N[%] 2. N[%] 2. 20.Вычисление Log[<выражение>] Log[E^2] натурального логариф ма Вычисление Log[,<выражение>] Log[10, 100] логарифма по основанию b Продолжение таблицы 1.Функция Общий вид Пример Результат Вычисление Sin[<выражение>] Sin[Pi] синуса угла Вычисление Cos[<выражение>] Cos[2*Pi/3] - косинуса угла Cos[2*Pi/3.] -0.Вычисление Tan[<выражение>] Tan[Pi/4] тангенса угла Вычисление Cot[<выражение>] 1. Cot[1/2^(1/2)] 1. Cot[ ] котангенса угла 2. N[%] 2. 1. Вычисление ArcSin[<выражение>] ArcSin[3^(1/2)/2] арксинуса угла Вычисление ArcCos[<выражение>] арккосинуса угла Придумайте примеры самостоятельно Вычисление ArcTan[<выражение>] и произведите вычисления арктангенса угла Вычисление ArcCot[<выражение>] арккотангенса угла Вычисление <выражение>/.{x число} -(x-x^2)^3/.{x2} значения выражения при заданном х Вычисление Sqrt[<выражение>] Sqrt[4] квадратного корня Sqrt[-4] 2i Вычисление Sinh[<выражение>] Sinh[Log[3]] гиперболического синуса Продолжение таблицы 1.Функция Общий вид Пример Результат Вычисление Cosh[<выражение>] Cosh[Log[3]] гиперболи- ческого косинуса Вычисление Tanh[<выражение>] Tanh[Log[3]] гиперболи- ческого тангенса Вычисление Coth[<выражение>] Coth[Log[3]] гиперболического ко- тангенса Построение Plot[f[x], {x, x1, x2}] Plot[x^2, {x, -2, 2}] графика функции f(x) на уча- стке [x1, x2] Результат про смотрите с помощью системы Построение Plot[{f[x], g[x]}, {x, x1, Plot[{x^2,x}, {x,-3, «Математика» графиков x2}] 3}] двух функций f(x) и g(x) в одной системе координат на участке [x1, x2] Совместный Show[%,%%] показ двух Осуществите одновременный показ графиков, трех графиков, построенных по отпостроен- дельности, в одной координатной ных по от- плоскости дельности Примеры записи некоторых выражений с помощью пакета «Математика»:



Таблица 2.Обычная запись Запись в пакете «Математика» et sin 2t Exp[t]*Sin[2t] et sin2 2t Exp[t]*(Sin[2t])^et sin t2 Exp[t]*Sin[t^2] 3t^2/(8(-1+t)) – t^3/(8(-1+t)^2) t3 t (8 1 +- t) (8 1 +- t) 2log4sin x 2^(Log[4, Sin[x]) Log[5,Abs[1-2^(-x)]] log5|1 – 2-x| Sqrt[1 - (Sin[x])^2] - sin1 x 3 (x^2-3x+2)^(1/3) 3x x +- Задание 2. С помощью пакета «Математика» постройте графики функций, заданных в п. 2.2 – 2.8. Кроме особо оговоренных случаев, f(x) = x3, g(x) = cos x. Перенесите эскизы чертежей в тетрадь с помощью цветных карандашей.

Надпишите каждый из графиков. Сформулируйте и запишите выводы о преобразованиях графиков функций.

Пример выполнения задания 2.1. Построим график функции y = f(ax). Рассмотрим случаи 01.

Порядок действий:

a) In[1]:= Plot[x^3,{x,-3,3},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.3]}] SHIFT+ENTER b) In[2]:= Plot[(2*x)^3,{x,-3,3},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.6]}] SHIFT+ENTER c) In[3]:= Plot[((1/2)*x)^3,{x,-3,3},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.9]}] SHIFT+ENTER d) In[4]:= Show[%,%%,%%%] SHIFT+ENTER Опция PlotRange задает наибольшее и наименьшее значение, указываемое на оси OY, что позволяет наглядно представить различие в графиках функций.

Опция PlotStyle формирует различные способы представления графика путем задания графических директив, среди которых упомянем Thickness[d], определяющую относительную толщину линии, Hue[d], определяющую цвет линии и установку Dashing[{d1,d2,…}] (при необходимости применить пунктирную линию), определяющую размеры последовательных сегментов прерывистой линии (размеры повторяются циклически). Числа d, di заключены между 0 и 1.

y = g(ax). Рассмотрите случаи 01.

Порядок действий:

e) In[4]:= Plot[Cos[x],{x,-4*Pi,4*Pi},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.3]}] SHIFT+ENTER f) In[5]:= Plot[Cos[2*x],{x,-4*Pi,4*Pi},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.6]}] SHIFT+ENTER g) In[6]:= Plot[Cos[(1/2)*x],{x,-4*Pi,4*Pi},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.9]}] SHIFT+ENTER h) In[7]:= Show[%,%%,%%%] SHIFT+ENTER Действия (d) и (h) позволяют показать на одном рисунке все три введенных ранее графика в одной координатной плоскости.

При выполнении последующих заданий действуйте аналогично.

2.2. y = -f(x), y = -g(x).

y = f(-x), y = g(-x).

2.3. y = f(x) + a, y = g(x) + a.

y = f(x + a), y = g(x + a). Рассмотрите случаи a<0, a>0.

2.4. y = f(|x|), y = |f(x)|. В данном случае возьмите f(x) = х +3, пределы изменения х: [-12; 12]. Пределы изменения y: [-13, 13].

2.5. y = f(ax+b). Самостоятельно рассмотрите графики функций при различных значениях a и b.

2.6. y = sgn(f(x)), y = sgn(g(x)). Обратите внимание, что график этой функции система «Математика» построила не совсем верно. Зарисуйте в тетрадь график, нарисованный системой «Математика» и такой, каким он должен быть.

2.7. Постройте функции y1 = x, график функции y2 = cos x, график функции y(x) = y1(x) + y2(x). Покажите все три графика на одном чертеже.

Сделайте вывод.

2.8. Постройте график функции y1 = x, график функции y2 = cos x, график функции y(х) = y1(х) y2(х). Покажите все три графика на одном чертеже. Сделайте вывод.

При выполнении следующих заданий график каждой функции стройте на отдельном рисунке, используя различные стили линий. Затем все графики совместите на одном рисунке. Сделайте выводы.

2.9. Построить графики функций y = xn при n = 3; 5; 7.

2.10. Построить графики степенной функции y = xn при n = 2; 4; 6.

m 2.11. Построить графики функций y = x при m = 2; 4.

m 2.12. Построить графики функций y = x при m = 3; 5.

Обратите внимание, что в системе «Математика» не определен корень нечетной степени из отрицательного числа. Как же все-таки построить нужные нам графики 2.13. Построить графики функций y = ax при а = ; 1; 2; e; 10.

2.14. Построить графики функций y = logax при а = ; 2; e; 10.

В следующих заданиях график каждой функции изображайте на отдельном рисунке 2.15. Построить графики функций y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x.

2.16. Построить графики функций y = arcsin(sin x), y = arcsin(cos x), y = arctg(tg x), y = arcos(cos x). Объясните получившиеся результа- ты.

Вопросы для самопроверки 1. Как получить график функции y=f(x+a) из графика функции y=f(x) при a>0 и при a<0 2. Как получить график функции y=f(x)+a из графика функции y=f(x) при a>0 и при a<0 3. Как получить график функции y=f(-x), используя график функции y=f(x) 4. Как получить график функции y=-f(x), используя график функции y=f(x) 5. Как получить график функции y= f(x) из графика функции y=f(x) при >1, при 0< <1, при <0 6. Как получить график функции y=f( x) из графика функции y=f(x) при >1, при 0< <1, при <0 7. Как получить график функции y= f(x) из графика функции y=f(x) 8. Как получить график функции y=f( x ) из графика функции y=f(x) 9. Укажите периоды функций: y=cos(2x), y=2cos(x), y=cos(x+2), y= cos(x), y=cos( x) 10. Запишите цепочку преобразований графика функции y=f(x) в график функции y=f(ax+b).





11. Записать цепочку преобразований графика функции y=х2 в график функции y=ax2+bx+c.

12. На всех приведенных ниже рисунках пунктирной линией изображен график функции f(x), сплошной линией – график функции f1(x), полученный из графика функции f(x) путем некоего элементарного преобразования. Приведены также способы задания функции f1(x). Установите соответствие между графиками и формулами.

1. A. 6. F.

f1(x) = f(x)+a f1(x) = f(x)+a (a<0) (a>0) 2. B. 7. G.

f1(x) = -f(x) f1(x) =a•f(x) (a>1) 3. C. 8. H.

f1(x) = -f(x+a) f1(x) = a•f(x) (a>0) (0

f1(x) = f(x+a) f1(x) = f(x+a) (a<0) (a>0) 5. E. 10. J.

f1(x) = f(a•x) f1(x) = f(a•x) (01) 6.

F. 11. K.

f1(x) = f(|x|) f1(x) = |f(x)| 12. Записать цепочку преобразований графика функции y= в график функции х ax + b y =.

cx + d 13. Следующие выражения записать для использования в пакете «Математи+ cos1 x ка»: log1/2(x – 1)2; ; ln x - х2 ; cos32x; 2cos3x; 2cos x3.

sin x Лабораторная работа № «ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОЛНОГО ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ» Схема исследования функции Что можно узнать о графике функции по самой функции 1. Область определения функции.

При симметричности области определения функции относительно началакоординат (т. O(0;0)) провести исследования функции, рассмотренные в пункте (2).

2. Исследование функции на четность и нечетность.

Если f(x)= -f(-x) при всех значениях х из области определения функ- ции, то функция нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

Если f(x) = f(-x) при всех значениях х из области определения функции, то функция четная. Ее график симметричен относи- тельно оси OY.

3. Исследование функции на периодичность.

Если существует константа T 0, такая, что при всех х из области определения функции верно равенство f(x)=f(x+T), то функция перио- дична с периодом Т.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции:

С Оу: f(0) = y0; точка (0; y0) С Ох: f(x) = 0 при x = х0; точка х(х0; 0).

Найти х, при которых: f(x) > 0; f(x) < 0.

Поведение функции в граничных точках области определения.

5. Асимптоты графика функции (в случае их существования).

Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если рас- стояние между точками данной прямой и точками, лежащими на графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении по графику от начала координат.

Вертикальная асимптота: если при x a, f(x), то прямая х = а является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: если при х, f(x) b, то прямая f(x)=b является горизонтальной асимптотой.

Наклонная асимптота возможна в случае, когда при x ; f(x).

(f )x Если существуют пределы lim = a и lim[ f ( x ) - ax ] = b, то пря- x x x мая y = ax + b является наклонной асимптотой к кривой.

Может ли график функции пересекать собственную асимптоту Ответ обосновать.

Что можно узнать о графике функции по ее производным 6. Точки экстремума функции и интервалы ее монотонности. Значения функции в точках экстремума.

Порядок исследования функции на экстремум:

Способ 1: Если 1. Функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности u (x0). Точка х0 такая, что (f x ) = 0 или не существует, тогда х0 - критическая точка – точка возможного экстремума;

2. f(x) имеет конечную производную x(f ) в области u (x0);

3. Производная x(f ) сохраняет определенный знак слева от х0 и справа от х0.

Тогда поведение функции будет определяться таблицей:

Таблица 2. Знак производной и монотонность функции Вывод x < x0 x > xЗнак про- Моно- Знак про- Моноизводной тонность изводной тонность I. + + Экстремума нет II. + - МАКСИМУМ III. - + минимум IV. - - Экстремума нет (f x1 ) = 0 - или не существует - (f x2 ) = x(f ) знак + - + х1=max х2=min xf )( < 0 (f x2 ) > f(х1) = f(х2) = Способ 2: Если функция f(x) дважды дифференцируема и в некоторой точке хвыполнены условия (f x ) = 0 и (f x ) 0, 0 то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно:

МАКСИМУМ при (f x0 ) < и минимум при (f x0 ) > 0.

Способ 3: Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности u(x0) производ- 1n )n( ные (f x ),..., f x( ) и в точке х0 производную (f x0 ), причем k( ) n( ) (f x0 ) = 0 при (k=1;( n-1)), (f x0 ) 0.

Тогда: если n четное, то функция f(x) имеет экстремум, а именно:

)n( МАКСИМУМ при (f x0 ) < n( ) и минимум при (f x0 ) > 0 ;

если n нечетное, то функция f(x) в точке х0 экстремума не имеет.

7. Точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции. Значения функции в точках перегиба.

Достаточное условие точки перегиба: точка х0, для которой либо (f x ) = 0, либо (f x ) не существует, есть точка перегиба, если (f x ) меняет свой знак при переходе через точку х0.

Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутке I, если при всех х I (f x ) < 0; выпукла вниз на промежутке I, - если при всех х I (f x ) >0.

(f x3 ) : =0 - или не - (f x4 )=(f x) + - + вып. х3=т.п. вып. х4= т.п. вып.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.