WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Важную роль играют решения уравнения Шредингера = y(x)exp(-iEt / h), где E - константа (энергия). Так как при этом | |2 не зависит от t, такие решения описывают стационарные состояния. Для их нахождения имеем стационарное уравнение Шредингера h2 d y - +U (x) y = Ey 2m d x В этом уравнении есть естественный малый параметр h. Уравнение можно переписать в виде (10.1) с = h / 2m и V (x) = E -U (x). Если E -U (x) 0, то предельный переход при h 0 называют квазиклассическим. Этот термин берет свое происхождение оттого факта, чтозаконы классической механики можно получить предельным переходом при h 0 из соответствующих квантовомеханических законов.

Асимптотическое разложение для уравнения (10.1) носит также название ВКБ-асимптотики (по первым буквам фамилий физиков Г.Венцеля, Г.Крамерса, Л.Бриллюэна, применивших это разложение в задачах квантовой механики). Такое название не менее распространено, чем высокочастотная или квазиклассическая асимптотика.

Схема метода ВКБ. Изложим подход метода ВКБ с несколько иной точки зрения, чем ранее. Формальное асимптотическое решение ищем в виде n+ y(x, ) = eiS ( x)/ {a0(x) - i a1(x) +...+ (-i )n an(x) + O( )}, (10.2) где +0, причем функция a0(x) 0. Дифференцируя (10.2) по x, имеем nn-dy jj+1 n+ -i = eiS / {S ' (-i ) aj +(-i ) aj ' + O( )}, dx j=0 j=nn-d y 2 jj+=-eiS / {(S ')(-i ) aj + 2S '(-i ) aj ' dx2 j=j=n-1 n-j+1 j+2 n++ S '' (-i ) aj + (-i ) aj ''+ O( )} = j=0 j=n = eiS / {(S ')2 j (-i ) aj - i (2S ' a0 '+ S ''a0 ) + j =n-j +2 n++ (-i ) (2S ' aj+1 '+ S '' aj+1 + aj '') + O( )}.

j=Подставляя затем разложения для y и y '' в уравнение (10.1) и сокращая на exp(iS / ), получаем n j ((S ')2 -V ) (-i ) aj - i (2S 'a0 '+ S ''a0) + j=n-j+2 n+ + (10.3) (-i ) (2S 'aj+1 '+ S ''aj+1 + aj '') + O( ) = 0.

j= Равенство (10.З) имеет место тогда, когда равны нулю суммы слагаемых лишь при каждой фиксированной степени. При младшей степени получаем ((S ')2 -V )a0 = 0, откуда, так как a0(x) 0, (S '(x))2 -V (x)) = 0. (10.4) Уравнение (10.4), а точнее его многомерный аналог, в квантовой механике называется уравнением Гамильтона – Якоби, а в оптике – уравнением эйконала.

Отбросим в равенстве (10.3) слагаемые, перед которыми стоит j (S ')2 -V. Приравняв затем к нулю выражения при степенях, j =1,..., n, получим уравнения 2S 'aj '+ S ''a0 = 0, (10.5) 2S 'aj '+ S ''aj =-aj-1 '', j =1,..., n -1, (10.6) которые называются уравнениями переноса.

Таким образом, найдены уравнения, которым удовлетворяют функции S и aj, j = 0,...,n -1, входящие в разложение (10.2). Для дальнейшего анализа этих уравнений предположим, чтоу уравнения (10.1) на отрезке [ ; ] нет точек поворота, т.е. таких точек x = xn, где V (xn ) = 0. Следовательно, возможны два случая: V (x) > 0 или V (x) < 0 для всех x [ ; ]. Они принципиально отличаются друг от друга поведением решений (10.1).

Поэтому мы рассмотрим их отдельно.

1 случай. Пусть V (x) > 0. Тогда, решая (10.4), имеем x S(x) =± V ( )d, где x0 [ ; ], т.е. мы находимся в xрамках уравнения (3.17) и теоремы 3 из пункта 3. В терминах пункта 10 это соответствует построению ВКБ-приближений решений вида x Ci y±(x, ) = exp(± V ( )d )(1+ O( )), (10.7) 4 xV (x) удовлетворяющих уравнению (10.1) с точностью O( ). Здесь C - константа, +0. В зависимости отзнака + или - получаются два решения, которые линейно независимы.

В случае V (x) > 0 решения быстро осциллируют. Действительно, из формулы (10.7) получаем, x y+ + y+ | C | Re y+ == cos( V ( )d + ) + O( ), 4 xV (x) x y - y+ | C | Im y+ == sin( V ( )d + ) + O( ), 4 xV (x) где константа = argC.

Поскольку уравнение (10.1) линейное, функции Re y+, Im y+ также будут асимптотическими решениями этого уравнения. Так как они вещественнозначны, в ряде задач бывает удобно пользоваться именно ими, а не функциями (10.7).

2 случай. Пусть V (x) < 0. Тогда решением (10.4) будет функция x S(x) =±i |V ( ) |d, где x0 [ ; ].

xт.е. мы находимся в рамках уравнения (3.1) и теоремы 1 из пункта 3. В терминах пункта 10 это соответствует построению ВКБ-приближений решений вида x C y± (x, ) = exp(± |V ( ) |d )(1+ O( )), (10.8) 4 xV (x) В пункте 3 показано, что функции (10.8) удовлетворяют уравнению (10.1) с точностью O( y± ). Здесь C - константа, +0. В зависимости от знака + или - получаются решения, которые линейно независимы.

Из формулы (10.8) следует, что поведение решений (10.1) в случае V (x) < 0 существенно изменилось: при +0 они либо экспонециально убывают, либо экспоненциально растут. Отметим также, что поскольку функции (10.7), (10.8) имеют особенность при V (x) = 0, ВКБ-приближение вблизи точки поворота неприменимо.

Замечание 10.1. У уравнения (10.1) существуют точные решения (см. пункт 2, теорема 1), имеющие выписанные выше асимптотики. В пунктах 11 - приведены примеры задач, которые удается приближенно решить, используя метод ВКБ.

11. Задача на собственные значения для уравнения без точек поворота Рассмотрим простейшую задачу на собственные значения d y +V (x)y = 0, 0 < x < 1, dx (11.1) y(0) = 0, y(1) = 0, (11.2) где - параметр, а положительная на отрезке [0; 1] функция V (x)C ([0; 1]).

Собственными значениями называются такие числа, при которых имеются ненулевые решения задачи (11.1), (11.2) (собственные функции).

Собственные функции определяются, очевидно, с точностью до постоянного множителя. Для его нахождения ставится дополнительное условие нормировки. Мы потребуем, чтобы решение имело в L2([0; 1]) единичную норму:

y2(x) dx =1. (11.3) Такая задача на собственные значения детально изучена. Известно, в частности» что у задачи (11.1)-(11.3) имеется счетное множество положительных собственных значений =, n = 1,2,... причем 0 при n n n. Мы получим асимптотические формулы для собственных значений > 0 и для соответствующих собственных функций yn при больших n значениях номера n.

Приступим к их построению. Общее решение уравнения (11.1) записывается в виде линейной комбинации линейно независимых решений.

Воспользуемся функциями (10.7), в которых положим x0 = 0. Имеем x c1 i y(x, ) = exp( V ( )d )(1+ O( )) + 4 V (x) (11.4) x c2 i + exp(- V ( )d )(1+ O( )), 4 V (x) где константы c1, c2 подлежат определению. В силу свойств ВКБприближения эта функция удовлетворяет уравнению (11.1) с точностью O( ).

Для нахождения c1, c2 подставим (11.4) в граничные условия (11.2).

Получим систему c1(1+ O( )) + c2(1+ O( )) = 0, (11.5) ii c1 exp( V ( )d )(1+ O( )) +c2 exp(- V ( )d )(1+ O( )) = 0.

Как известно, для существования нетривиального решения систему линейных алгебраических уравнений, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю. Поэтому мы приходим к соотношению sin( V ( )d ) + O( ) = 0. (11.6) Оно служит для нахождения собственных значений =. Из (11.6) вытекает, n что V ( )d = n + O( ), где числа n- целые. (11.7) n n Выражая из соотношения (11.7), приходим к следующей формуле для n асимптотик собственных значений:

= V ( )d. (11.8) n n Здесь n +, n - целые. Из первого уравнения системы (11.5) имеем, что c2 =-c1(1+ O( )). Формула (7.4) позволяет записать выражение для асимптотик собственных функций x c Yn (x, ) = sin( V ( )d, (11.9) n 4 V (x) n где c = 2ic1 - константа. Положим 1 dx c =± 2(). (11.10) V (x) Справедлива 0 Лемма 11.1. Число и функция Yn(x, ), заданные формулами (11.8)n n (11.10), являются асимптотическим решением задачи (11.1)-(11.3) на собственные значения. А именно, при = функция Yn (x, ) удовлетворяет n n уравнению (1.1) с точностью O(n-2), граничным условиям (11.2) точно, а также условию нормировки (11.3) с точностью O(n-2). Здесь n+.

Доказательства требует лишь часть утверждения, касающаяся условия нормировки. Подставляя выражение (11.9) для Yn в условие (11.3), имеем 11 x c2 2 c2 1 dx Yn2(x, )dx = (1- cos( V ( )d ))dx =+ O(( )2 ) = 1, nn 2 V (x) V (x) n так как интеграл от быстро осциллирующей части решения мал.

Действительно, интегрируя дважды по частям и используя формулу для, n получаем xx n cos( V ( )d )dx =- sin( V ( )d )dx = V 0 2 (x) V (x) nn 1 (11.11) V (x) ( ) 1 n =- cos( V( )d )dx = O(( )2).

V (x) n V (x) V (x) n Таким образом, константа c найдена.

12. Асимптотическое решение краевой задачи Рассмотрим уравнение без точек поворота d y +V (x) y = 0, x (0; 1) (12.1) dxс граничными условиями y(0, ) = A, y(1, ) = B. (12.2) Здесь A, B - константы, вещественнозначная функция V (x)C([0; 1]). При решение такой задачи существует и единственно.

n I случай. Пусть V (x) > 0 на отрезке [0; 1]. Найдем асимптотическое решение задачи (12.1), (12.2) при +0,. Функцию y будем искать в n виде x ci y(x, ) = exp( V ( )d )(1 + O( )) + V (x) (12.3) x ci + exp(- V ( )d )(1 + O( )), V (x) Чтобы определить константы c1, c2, подставим выражение (12.3) в граничные условия (12.2). Получим систему уравнений c1 (1 + O( )) + c2 (1 + O( )) = A4 V (0), (12.4) ii c1exp( V ( )d )(1 + O( )) +c2exp(- V ( )d )(1 + O( )) = B V (1).

При однородная система (12.4), (12.5) имеет только тривиальное n решение, а, следовательно, (12.4), (12.5) однозначно разрешима. Домножим i уравнение (12.4) на exp( V ( )d. Вычитая затем из первого уравнения системы второе, получим i c2 = (A4 V (0) exp( V ( )d - B V (1) + O( )) /(2i), i где = sin( V ( )d ) + O( ). Таким образом, асимптотическое решение задачи (12.1), (12.2) имеет вид 1 x 1 i y(x, ) = {A4 V (0) exp( ( V ( )d - V ( )d )) 4 V (x)2i 1 xx ii - exp(- ( V ( )d - V ( )d )) + B4 V (1) exp( V ( )d ) x i - exp(- V ( )d ) + O( )} = {A4 V (0) sin( V ( )d ) + 0 4 x V (x) x + B4 V (1) sin( V ( )d ) + (O( )}.

Отметим, чтонайденная при +0 асимптотика y(x, ) справедлива лишь при условии | sin( V ( ))d | >>. Смысл этого условия состоит в той, чточисло не должно находиться слишком близко (на расстоянии порядка ) отсобственных значений. При этом расстояние между соседними n n собственными значениями в силу формулы (11.8) имеет порядок.

n 2 случай. Пусть V (x) < 0 на отрезке [0;1]. Тогда решение краевой задачи (12.1), (12.2) существует и единственно для всех > 0. Найдем асимптотическое решение такой задачи при +0.

Функцию y будем искать в виде линейной комбинации ВКБ-приближений (10.8). Чтобы решение при +0 было ограниченным на отрезке [0;1], функции y+ и y- также выберем ограниченными. Для этого в y- положим x0 = 0, а в y+ — x0 =1. Получаем x c1 y(x, ) = exp(- V ( )d )(1+ O( )) + 4 V (x) (12.6) x c2 + exp( V ( )d )(1+ O( )), 4 V (x) где c1, c2 - константы.

В силу свойств ВКБ-приближения y± удовлетворяет уравнению (12.1) с точностью O( y± ). Поэтому функция y(x, ) будет удовлетворять (12.1) с точностью O( y+) + O( y-). Таким образом, невязка строго внутри отрезка [0; 1] имеет оценку O( ), и лишь вблизи концов отрезка O( ).

Константы c1, c2 определяются из граничных условий. Подставляя выражение (12.6) в условие y(0) = A, получаем c1 = A4 |V (0) |(1+ O( )).

Аналогично, из условия y(1) = B вытекает, что c2 = B4 |V (1) |(1+ O( )). Итак, при V (x) < 0 асимптотическое решение краевой задачи (12.1), (12.2) имеет вид x V (0) y(x, ) = A exp(- V ( )d )(1 + O( )) + V (x) (12.7) x V (1) + B exp( V ( )d )(1 + O( )).

V (x) Из формулы (12.7) следует, что решение y экспоненциально убывает вне малых B окрестностей концов отрезка [0; 1], где y(x, ) резко изменяется отнуля до A или A B.

0 1 x 13. Задача рассеяния Рассмотрим уравнение d y 2 + V (x)y = 0, x Ў1, (13.1) dxгде положительная функция V (x)C (Ў1) и существует такое число l :0 < l <, что V (x) 1 при | x | > l. При x <-l у уравнения (13.1), очевидно, имеется два линейно независимых решения y = exp(±ix / ).

Обозначим через y1,± определенные на всей оси решения (13.1), равные exp(±ix / ) при x <-l. Аналогично, определенные на всей оси решения (13.1), равные exp(±ix / ) при x > l, обозначим через y2,±.

Так как функции y1,± образуют фундаментальную систему решений (13.1), то y2,± можно представить в виде линейной комбинации y1,±. Имеем y2,± = a( )y1,+ + b( )y1,-. (13.2) Применив к (13.2) операцию комплексного сопряжения, получим y2,- = b ( ) y1,+ + a( ) y1,-. Коэффициенты 1/ | a( )|2 и 1/ | b( )|2 называются коэффициентами прохождения и отражения соответственно. Выясним, какой физический смысл они имеют.

Для этого рассмотрим функцию y = y2,+ / a( ). В силу формулы (13.2) для такого решения (13.1) имеем b( ) e + e-ix при x <-l, ix // a( ) y(x, ) = (13.3) eix /при x > l.

a( ) Следовательно, функция y(x, ) описывает рассеяние плоской волны exp(ix / ), идущей из x =-, на неоднородностях среды в области | x | < l.

При этом часть волны с множителем 1/ a проходит через область с неоднородной средой и уходит на x =+.

Наша задача – найти асимптотические представления для функций a( ) и b( ) при 0.

Лемма 13.1. При 0 имеют место соотношения i a( ) = exp(- ( V (x) -1)dx) + O( )); b( ) = O( ). (13.4) Доказательство. Рассмотрим ВКБ-приближение (10.7), в котором положим x0 =-l; c =1:

x 1 i y± (x, ) = exp(± V (x)dx)(1+ O( )). (13.5) -l V (x) Так как при | x | > l V (x) 1, в этой области функция S(x) является линейной, а решения уравнений переноса не зависят от x. Действительно, x x при x <-lV ( )d = x + l, а при x > l V ( )d = + x - l, где -l -l l = V ( )d. Следовательно, -l e±i( x+l )/ (1 + O( )) при x <-l, y± (x, ) = (13.6) e±( +x-l )/ (1 + O( )) при x > l.

Отметим, чтоВКБ-приближение в области | x | > l (где V (x) 1) является точным решением уравнения (13.1) и применимо на всей прямой.

Будем искать приближенное решение задачи рассеяния в виде линейной комбинации функций (13.5): y(x, ) = c1y+ (x, ) + c2 y- (x, ), а значит, в силу (13.6) cei( x+l)/ (1 + O( )) + c2e-i( x+l )/ (1 + O( )) при x <-l, y(x, ) = (13.7) cei( + x-l)/ (1+ O( )) + c2e-i( +x-l )/ (1 + O( )) при x > l.

Ранее для функции y уже было получено выражение (13.3). Добьемся совпадения формул (13.3) и (13.7) с точностью до слагаемых O( ). Для этого приравняем в (13.3) и (13.7) коэффициенты при exp(ix / ). Получим c1eil / (1 + O( )) =1, c1ei( -l ) (1 + O( )) =1/ a, откуда c1 = exp(-il / ) + O( ), i a = exp(i(2l - ) + O( ) = exp(- ( V ( ) -1)d ) + O( ).

Если положить c2 = O( ), b( ) = O( ), то и коэффициенты перед exp(-ix / ) станут порядка O( ). Лемма доказана.

Литература 1. Найфэ А. Введение в методы возмущений // М.: Мир, 1984, -535 с.

2. Перескоков А.В. Асимптотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений // 1997, -108 с.

3. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики // М.: Изд-во МГУ, 1982, 296 с.

4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.:

Наука, 1985, -448 с.

Содержание 1. Эвристические соображения…………………………………………... 2. Основные оценки……………………………………………………….. 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента…………. 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра…………. 5. Регулярная теория возмущений……………………………………….. 6. Точное решение уравнения Дюффинга……………………………….. 7. Метод Линдштедта – Пуанкаре……………………………………….. 8. Метод Крылова-Боголюбова…………………………………………... 9. Метод усреднения……………………………………………………… 10. Применение и трактовка метода ВКБ………………………………… 11. Задача на собственные значения для уравнения без точек поворота.. 12. Асимптотическое решение краевой задачи…………………………... 13. Задача рассеяния……………………………………………………….. 14. Литература……………………………………………………………… Составители: Глушко Андрей Владимирович, Глушко Владимир Павлович Редактор Тихомирова О.А.

Заказ № от 2002 г. Тираж 100 экз.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.