WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Приравняем к нулю слагаемые порядка, входящие в (7.3). Если заменить d yпри этом на - y0, то для нахождения y1 получим уравнение d d y1 dy + y1 = 2 y0 + f ( y0, ). (7.4) dd dyОбозначим = -, f ( ) = 2 y0 + f (y0, ). Тогда уравнение примет вид d d y + y1 = F( ), (7.5) d где f ( ) -2 - периодическая функция. Выясним, когда такое уравнение имеет периодическое решение.

Лемма 7.1. Уравнение (7.5), где f ( ) - непрерывная, 2 пeриодическая функция, имеет 2 -периодическое решение тогда и только тогда, когда выполнены условия разрешимости f ( )cos d = 0, f ( )sin d = 0, (7.6) (означающие отсутствие в правой части (7.5) первой гармоники).

Доказательство. Уравнение (7.5) интегрируется в квадратурах (например, с помощью метода вариации постоянных):

y1( ) = sin F( )cos d - cos F( )sin d + a1 cos( - ), (7.7) где a1, - константы. Поэтому y1( + 2 ) - y1( ) = sin F( )cos d - cos F( )sin d Таким образом, условия (7.6) необходимы и достаточны для периодичности решения. Лемма доказана.

dyЕсли использовать коэффициенты разложения функции f (y0, ) в ряд d dyФурье f ( y0, ) = f0 (a) + fk,1(a)cosk + fk,2 (a)sin k ), то условия ( d k=разрешимости (7.6) запишутся в виде 2 a + f1,1(a) = 0, f1,2(a) = 0. Из этих уравнений находятся константы и a. Отметим, что в отличие от линейных уравнений амплитуда колебаний a в слабо нелинейном случае, вообще говоря, не является произвольной.

Далее находим периодическое решение уравнения (7.4) по формуле (7.7). Это решение может быть записано также в виде ряда Фурье y1( ) = Y0 + (Y cos k + Yk sin k ), k,1,k =коэффициенты которого определяются из уравнения (7.4):

Y0 + (-k + 1)(Yk cosk + Yk sin k ) = f0 + ( fk cosk + fk sin k ). (7.8),1,2,1,k=2 k =Откуда y1( ) = f0 + Y1,1 cos + Y1,2 sin + (1 -1k2 ) ( fk cosk + fk sin k ), (7.9),1,k=где Y1,1, Y1,2 - произвольные константы. Аналогично могут быть построены и следующие члены разложений (7.2).

Отметим, что при построении главного члена асимптотики yпришлось рассмотреть правую часть уравнения для y1. Так же обстоит делои для высших приближений: нахождение yn требует изучения правой части уравнения для yn+1. Этохарактерно для многих нелинейных задач с малым параметром.

Пример 7.1. Снова рассмотрим задачу Коши (5.7) для уравнения Дюффинга. Применим к ней метод Линдштедта - Пуанкаре. Согласно этому методу y0 = acos( - ), где в силу начальных условий y0 (0) = a, y0 (0) = константа = 0.

Далее, используя (5.9), для y1 получим уравнение d y1 a + y1 = 2 acos + (3cos + cos3 ) (7.10) d 2 1 с нулевыми начальными условиями, Константа в (7.10) находится из условия разрешимости. Приравняв к нулю слагаемые при cos в правой части, получим =-3a2 / 4. Второе условие разрешимости в (7.10) не возникает, так как в правой части отсутствует sin. Следовательно, начальная амплитуда a может быть произвольной, чтоявляется характерной чертой уравнения Дюффинга.

Формула (7.9) позволяет решить уравнение (7.10). Для периодического решения с нулевыми начальными данными имеем y1 = a3(cos - cos3 )/16.

Таким образом, асимптотическое решение задачи (5.7) примет вид a y(t, ) = acos + (cos - cos3 ) + O( ), (7.11) где = t (1 - 3a2 / 4 + O( )), а период колебаний равен 23a2 3a T = = 2 /(1 - + O( )) = 2 ++ O( )). (7.12) Формула (7.12) совпадает с асимптотикой периода точного решения (7.5).

Отметим, что разложение (7.11) справедливо и при больших временах t -1 -порядка с погрешностью O( ). Однако для t порядка разложение уже не применимо (поскольку тогда в (7.11) tO( ) = O(1) ). Существует зависимость между количеством членов в асимптотическом разложении и областью применимости асимптотики.

При изложении метода Линдштедта - Пуанкаре, а также последующих методов, мы ограничимся построением лишь формальных асимптотических решений. Часто даже их нахождение представляет достаточно сложную задачу.

По определению, формальным асимптотическим решением N дифференциального уравнения L(t,d / dt, y, ) y = 0 с точностью O( ) называется такая функция yN (t, ) порядка O(1), что при подстановке ее в d N уравнение возникает невязка L(t,, yN, ) yN = O( ).

dt За этапом построения следует этап обоснования формального асимптотического решения, т.е., доказательство того, что действительно существует точное решение уравнения, обладающее найденной асимптотикой. Задача обоснования, как правило, намного сложнее и требует привлечения совершенно иных математических методов, чем для построения формальных асимптотических решений. Этих методов мы касаться не будем.

Отметим лишь, чтодля уравнения Дюффинга можно непосредственно найти асимптотику решения, разлагая при 0 эллиптический интеграл - точное решение. В результате приходим к полученным с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре формулам (7.11), (7.12). Следовательно, формальное асимптотическое решение (7.11) для уравнения Дюффинга обосновано.

Подобный метод обоснования в более сложных задачах, как правило, не применим, поскольку в них формулы для точного решения отсутствуют.

8. Метод Крылова-Боголюбова Метод Линдштедта-Пуанкаре, позволяющий находить асимптотику периодических решений уравнения (7.1), не годится для изучения колебаний, амплитуда которых меняется современем, например, затухающих колебаний.

Для этого рассмотрим более сложный метод Крылова-Боголюбова.

При отсутствии возмущений, т.е. при = 0, всякое решение уравнения (7.1) имеет вид y = acos, где = t -, а амплитуда a и сдвиг фазы - константы. Следовательно, a' = 0, ' =1.

Наличие слабого нелинейного возмущения приводит к медленному изменению амплитуды a и частоты '. Поэтому будем искать асимптотическое решение уравнения (7.1) при 0 в виде nn+ y = y0 (a, ) + y1(a, ) +... + yn (a, ) + O( ). (8.1) Здесь y0 = acos ; y1(a, ),..., yn (a, ) являются 2 - периодическими функциями, величины a и определяются системой уравнений nn+a' = A1(a) +... + An (a) + O( ), (8.2) nn+' =1+ B1(a) +... + Bn (a) + O( ), причем входящие в эту систему функции A1,..., An, B1,...Bn также подлежат нахождению.

Для того, чтобы члены разложения (8.1) определялись однозначно, на них следует наложить дополнительные условия. А именно, потребуем, чтобы при n 1 функции yn (a, ) не содержали первой гармоники. Таким образом, первая гармоника присутствует только в главном члене асимптотики.

Ниже мы ограничимся построением лишь первого приближения.

Поэтому выкладки достаточно проводить с точностью O( ). При подстановке y = y0 (a, ) + y1(a, ) + O( ) в уравнение (8.1), получим 2 d y0 d y1 dy + y0 + ( + y1) + O( ) = f ( y0, ) + O( ). (8.3) dt2 dt2 dt В (8.3) приходится вычислять производные от функций вида y = y(, ). Имеем dy y y = a' + ', (8.4) dt a d y 2 y 2 y 2 y y y = (a')2 + 2a' ' + ( ')2 2 + a'' + ''. (8.5) dt2 a2 a a Следовательно, d y = (a''- a( ')2 )cos - (2a' '+ a '')sin. (8.6) dtДалее, в силу системы (8.2) 22 (a')2 = O( ), a ' ' = A1 + O( ), ( ')2 =1+ 2 B1 + O( ), a'' = ( A1)'+ O( ) = A'1(a)a'+ O( ), (8.7) '' = (1 + B1)'+ O( ) = B'1(a)a'+ O( ) = O( ).

Из формул (8.4)-(8.7) вытекает, что d y0 + y0 =-(1+ 2 B1 + O( ))acos - (2 A1 + O( ))sin + acos = dt= (-2aB1 cos - 2A1 sin ) + O( ), d y1 2 y1 dy+ y1 = + y1 + O( ), =-asin + O( ).

dt22 dt Подставим теперь эти равенства в (8.3) и приравняем к нулю слагаемые порядка. Получим уравнение 2 y ++ y1 = 2aB1 cos + 2A1 sin + f (acos,-asin ). (8.8) Это уравнение вида (8.5) с правой частью F( ) = 2aB1 cos + 2A1 sin + f (acos,-asin ), являющейся 2 -периодической функцией. Для разрешимости такого уравнения необходимо и достаточно выполнения условий разрешимости (8.6).

Разложим в ряд Фурье функцию f (acos,-asin ) = f0 (a) + fk,1(a)cos k + fk,2 (a)sin k ).

( k =Тогда условия разрешимости уравнения (8.8) примут вид A1(a) =- f1,2 (a)/ 2, B1(a) =- f1,1(a)/(2a).

Тем самым функции A1(a), B1(a) найдены. Зная A1, B1, можно определить амплитуду a как решение уравнения с разделяющимися переменными a' = A1(a) + O( ) и затем, проинтегрировав уравнение ' =1 + B1(a) + O( ), найти функцию (t).

Далее разложим в ряд Фурье функцию y1(a, ) = Y0 (a) + (8.9) (Y (a)cos k + Yk (a)sin k ).

k,1,k =Тогда уравнение (8.8) запишется в виде (7.8), откуда однозначно определяются все коэффициенты ряда (8.9), кроме Y1,1, Y1,2 (см. (7.9)). Но они по условию равны нулю. Следовательно, y1(a, ) = f0 (a) + 1 -1k2 ( fk (a)cosk + fk (a)sin k ). (8.10),1,k =Итак, первое приближение полностью построено.

Аналогично находятся и высшие приближения при n 2. Уравнения для них имеют вид 2 yn + yn = Fn (a,, A1,..., An,B1,...,Bn, y1,..., yn-1), где fn - известные 2 - периодические по переменной функции. Из условий разрешимости Fn cos d = 0, Fn sin d = 0 получим систему уравнений для определения функций An (a), Bn (a). Затем однозначно находятся yn (a, ).

Замечание 8.1. В книге [Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974] приведено математическое обоснование метода Крылова-Боголюбова.

Пример 8.1. рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля со слабой нелинейностью y''+ y = (1 - y2 )y', (8.11) которое возникает при изучении автоколебательных систем. С помощью метода Крылова-Боголюбова построим первое приближение y = acos + y1 + O( ). Согласно (8.8) для нахождения y1 получим 2 yуравнение + y1 = 2aB1 cos + 2A1 sin - (1 - a2 cos2 )asin. Так как cos2 sin = (sin + sin3 )/ 4, это уравнение можно переписать в виде 2 y1 a3 a + y1 = 2aB1 cos + (2A1 - a + )sin + sin3. (8.12) Условиями разрешимости (8.12) будут равенства B1 = 0, A1 = a(4 - a2)/8, а периодическое решение, согласно формуле (8.10) имеет вид y1 =-(a3 sin3 )/32. Перейдем к нахождению амплитуды a и фазы. Имеем a a' = (4 - a2 ) + O( ). (8.13) Отбросим остаточный член и проинтегрируем получившееся уравнение с начальным условием a(0) = a0. В результате получим a(t) = 2 sign a0 (1 + 4/(a0 -1)e- t )-1/ 2.

Наконец, из уравнения ' =1+ O( ) найдем = t -. Здесь - константа.

0 Полученные формулы позволяют описать качественное поведение решения.

9. Метод усреднения Изучим задачу Коши для неавтономного уравнения со слабой нелинейностью dy = f (t, y), y(0) = y0 (9.1) dt (аналогично рассматриваются и системы уравнений). Нас интересует -поведение решения при 0 на большом интервале времени порядка.

Регулярное разложение (5.3) для решения такой задачи не применимо.

Для простоты предположим, что гладкая, вещественнозначная функция f (t, y) 2 - периодична по t. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье f (t, y) = fk ( y)eikt.

k=При непосредственном изучении точных решений неавтономного уравнения (9.1) возникают значительные трудности. Идея метода усреднения заключается в замене уравнения (9.1) усредненным уравнением dy = f0( y), (9.2) dt которое получается, если в правой части (9.1) отбросить все гармоники с k 0. Здесь f0( y) = f (t, y)dt.

Правая часть усредненного уравнения не зависит отt, т.е. оно сталопроще.

При этом решения задач Коши для исходного уравнения (9.1) и усредненного уравнения (9.2) с условием y(0) = y0 оказываются близки на интервале -порядка.

Пример 9.1. Рассмотрим уравнение y ' = (a + bcost), y(0) = 0, (9.3) где a и b - константы. Усредненное уравнение будет иметь вид y ' = a, y(0) = 0. (9.4) Эти задачи легко решаются: y(t) = at + bsin t, y(t) = at. Мы видим, что -на временах порядка точное решение отличается от решения усредненного уравнения лишь осциллирующей малой добавкой.

При переходе к усредненному уравнению (9.4) мы отбросили в правой части (9.3) величины такого же порядка, как и оставленные. На временах порядка как отброшенные, так и оставленные величины дают одинаковый эффект -порядка. Однако их влияние на временах порядка совершенно различно: оставленные члены приводят к систематическому дрейфу, а отброшенные - лишь к малому дрожанию.

Поскольку при переходе к y усредненному уравнению в (9.1) были отброшены величины того же порядка малости, что и оставленное слагаемое y f0, этот переход требует более обоснованной формы. Совершим в уравнении (9.1) замену переменных ( y = + f%t, ) (9.5) где - новая переменная, а -eikt eikt f%t, ) = fk ( ) + fk ( ).

( ikik k=- k=Оператор ~ называется интегрирующим, поскольку f%t, ) ( = f (t, ) - f0( ). (9.6) t Дифференцируя (9.5), имеем dy d f%t, ) d f%t, ) ( ( = + (). (9.7) + dt dt dt t Подставляя (9.5)-(9.7) в (9.1), получаем d f%t, ) d ( ( + + ( f (t, ) - f0( )) = f (t, + f%t, )), dt dt откуда d f%-) = (1+ ) ( f0( ) + f (t, + f% - f (t, )). (9.8) dt Мы нашли уравнение, которому удовлетворяет (t). Разлагая затем f%-(1+ ) и f (t, + f% - f (t, ) по степеням, получим ) d = f0( ) + O( ).

dt Таким образом, правая часть (9.8) отличается отправой части усредненного уравнения (9.2) на величину O( ). А поскольку точные решения уравнений (9.1) и (9.8) связаны формулой (9.5), главным членом асимптотики будет y - решение усредненного уравнения (9.2). Метод усреднения, один из наиболее глубоких асимптотических методов, применим и в гораздо более общих ситуациях. Необходимым условием его применимости является существование у правой части уравнения среднего по времени T f ( y) = lim f (t, y) dt. (9.9) T + T Если f - 2 - периодична по t, то среднее по времени совпадает сосредним по периоду:

2 n f ( y) = lim f (t, y) dt = f (t, y) dt = f0( y).

n 2 n Среднее по времени (9.9) существует для более широкого, чем периодические, класса функций (например, для почти - периодических функdy ций). Усредненным уравнением будет = f ( y).

dt Замечание 9.1. Построение высших приближений, условия применимости, а также математическое обоснование метода усреднения имеются в [Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974].

Пример 9.2. Снова рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля (8.11) и найдем асимптотику с помощью метода усреднения. Для этого запишем уравнение Ван-дер-Поля в виде системы y ' = u, u ' = (1- y2)u - y. (9.10) Дополним ее начальными условиями y(0) = y0, u(0) = 0. (9.11) Если ввести новые переменные a и по формулам y = a cos(t - ), u =-a sin(t - ), задача (9.10), (9.11) примет вид a' = (a(4 - a2) - 4acos2(t - ) + a2 cos4(t - ))/8, a(0) = y0, ' = (-2(2 - a2)sin2(t - ) + a2 sin4(t - ))/8, (0) = 0.

Получилась неавтономная система, к которой применим метод усреднения. Запишем усредненную систему:

a ' = a(4 - a )/8, a(0) = y0, ' = 0, (0) = 0.

Следовательно, (t) 0, а амплитуда а удовлетворяет уравнению (8.13).

Таким образом, мы снова приходим к асимптотическому решению, полученному ранее с помощью метода Крылова - Боголюбова.

10. Применение и трактовка метода ВКБ Постановка задачи. Построим асимптотическое решение уравнения d y +V (x)y = 0, x [ ; ], dx (10.1) при 0. Здесь, - константы, -, +, вещественнозначная функция V (x)C([ ; ]). Такое линейное уравнение с малым параметром при производной является модельным при изучении многих более сложных математических задач. Кроме того, к нему сводится целый ряд моделей математической физики.

Рассмотрим, например, задачу о малых поперечных колебаниях струны.

Величину отклонения струны отположения равновесия в точке x в момент времени t обозначим через u(x,t). Функция u(x,t) удовлетворяет волновому уравнению 2u 2u = c2(x).

t2 xБудем искать периодические по времени решения: u(x,t) = y(x)exp(i t).

Тогда для амплитуды колебаний y(x) получим уравнение c2(x) y ''+ y = 0.

-Мы пришли к уравнению (10.1), где V (x) = c-2(x), =. Параметр 0, если частота колебаний +. Поэтому и асимптотика при + называется высокочастотной (или коротковолновой).

Уравнение (10.1) возникает также в квантовой механике. Движение квантовой частицы в потенциальном поле U (x) описывается волновой функцией (x,t), которая удовлетворяет уравнению Шредингера h2 ih =- +U (x).

t 2m xЗдесь m - масса частицы, h - постоянная Планка. Физический смысл волновой функции заключается в том, что | (x,t)|2 является плотностью вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке x.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.