WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

x x x J (x) J (x) Если же интеграл Qt) dt сходится, то решение y1(x) можно ( построить с помощью того же интегрального уравнения, что и решение y2(x) (см. раздел 2).

Вронскиан w решений y1(x), y2(x), как следует из (3.18) – (3.20), равен w =-2, и потому они линейно независимы.

В дальнейшем будем считать, что условие (3.9) выполнено.

Следствие. Пусть условие (3.5) выполнено. Тогда при x 1 решение y1(x) строго монотонно возрастает, решение y2(x) строго монотонно убывает, и lim y1(x) =+, lim y2(x) =0. (3.22) x x Действительно, из (3.18), (3.20) следует, что y2(x)/ y2(x) = Q(x)(1+ (x)), где (x) 0 при x. Пусть a> 0 таково, что| (x)| 1/ 2 при x a. Тогда xx ( ( ln y2(x) - ln y2(a) = Qt)(1+ (t))dt Qt) dt + (x ), aa Провести доказательство Доказать, что имеет место это так что y2(x) + при x. Аналогично14 доказывается второе из соотношений (3.22).

Итак, в условиях следствия уравнение (3.17) имеет убывающее при x решение y2(x). Все остальные решения, не пропорциональные этому, растут при x.

Пример 3.3. 15Доказать, что уравнение Эйри (см. пример 3.1) имеет решения такие, что x + при y3 = x-1/ 4 exp[(2/3)x2/3][1+ O(x-3/ 2)], y4 = x-1/ 4 exp[-(2/3)x2/3][1+ O(x-3/ 2)].

Решение, которое отличается от y4(x) лишь постоянным множителем, а именно, Ai(x) = y4(x), называется функцией Эйри и играет важную роль в задачах распространения волн.

Пример 3.4. 16Рассмотрим уравнение Вебера y + (x2 - a2)y = 0, a 0.

Его решения называются функциями Вебера или функциями параболического цилиндра. Доказать, что уравнение Вебера имеет решения такие, что при x :

2 y1(x) : x-1/ 2-a2 / 2ex / 2, y2(x) : x-1/ 2+a2 / 2e-x / 2..

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда уравнение y - (k2 +V (x))y = 0 (3.23) имеет линейно независимые решения вида y1,2(x) : e±kx (x +). (3.24) Доказательство. Решение y2(x) строится точно так же17, как и в теореме 2, а решение y1(x) определим формулой (3.21), где Q(x) = k2 +V (x).

x Тогда y1(x) = e-kx(1+ (x)) e2kt (1+ (t))dt, где (x) 0 при x +. Тем же 12 j a способом, что и выше, нетрудно показать, что интеграл из правой части этого равенства равен e2kx(1+ o(1)) при x +.

4. Асимптотика решений при больших значениях параметра Осциллирующие решения. Рассмотрим уравнение y + k2q(x) y = 0, (4.1) Доказать Решить пример Решить пример Построить решение где k > 0 - параметр, на конечном отрезке I = [a; b]. Исследуем асимптотическое поведение решений при k. Введем предположения:

1. q (x) непрерывна при x I ;

2. q(x) > 0 при x I.

Теорема 1. Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.1) имеет решение вида x (x,k) 1, y1,2 = q-1/ 4(x)exp{±ik q(t) dt}[1+ (4.2) ].

xk Для функций (x,k) справедливы оценки 1, | (x,k)| C (x I, k k0 > 0), (4.3) j где постоянная C не зависит отx, k.

Асимптотику (4.2) можно дифференцировать, т.е.

x % (x,k) 1, y1,2(x,k) =±ikq1/ 4(x)exp{±ik q(t) dt}[1+ (4.4) ].

xk % Для функций имеют место оценки вида (4.3).

j Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 из раздела 2. В данном случаеQ(x) =-k2q(x) ; положим Q(x) = ik q(x). Далее (см. (2.3), (2.9)) x (q )2(t) q (t) (a, x) Ck-1 a 2 + q5/ (t) q3/ 2(t)dt Ck- при k > 0, x I, так какq(x) 0, функция q (x) непрерывна. Следовательно, e2 (a,x)-1 Ck-1, (k k0 > 0, x I ), где k0 фиксировано, и из теоремы раздела 2 следует существование решения y такого, что y(x,k) -1 2Ck-1 при k k0, x I.

y1 (x, x0,k) Так как x y1 (x, x0,k) = Q-1/ 4(x)exp{ik q(t) dt}, Q-1/ 4(x) = k-1/ 2(-1)-1/ 4q-1/ 4(x), xгде q1/ 4(x) > 0, то решение y лишь постоянным множителем k-1/ 2(-1)-1/ отличается от искомого решения y1(x,k), (см. (4.2)). Формула (4.4) для производной y1(x,k) следует из (2.16). Аналогично доказывается существование решения y2(x,k). Вронскиан w(k) этих решений равен, как следует из(4.3), (4.4): w(k) =-2ik[1+ O(k-1)] (k +), и потому решения y1, y2 линейно независимы, если k > 0- достаточно велико18.

Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение y - k2q(x) y = 0. (4.6) Теорема 2. Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.6) имеет решения вида x (x,k) 1, y1,2(x,k) = q-1/ 4(x)exp{±k q(t) dt}[1+ ]. (4.7) xk Для функций справедливы оценки (4.3). Асимптотику (4.7) можно 1,дифференцировать, т.е.

x % (x,k) 1, y1,2(x,k) =±kq1/ 4(x)exp{±k q(t) dt}[1+ ], (4.8) xk % где для функций имеют место оценки вида (4.3).

1, Доказывается эта теорема точно так же, как и теорема 1.

Двойные асимптотики. Рассмотрим уравнение (4.1) на полуоси I = [0; ).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и сходится интеграл | (x)|dx <. (4.9) Тогда уравнение (4.1) имеет решения y1,2(x,k) вида (4.2), где для функций 1,справедливы оценки | (x,k)| C | (t)|dt (x I, k k0 > 0). (4.10) 1, x Если q (x) lim = 0, (4.11) x+ q3/ 2(x) % то асимптотику (4.2) можно дифференцировать, и для функций 1,справедливы оценки % | (x,k)| (x), (x I, k k0 > 0), lim (x) = 0. (4.12) 1,x Доказательство точно такое же, как и в теореме 1, с той лишь разницей, что вместо (x,a) следует взять (x,+). Это же замечание относится и к последующей теореме19.

Пояснить это утверждение.

Провести доказательство.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда уравнение (4.6) имеет решение x (x,k) y2(x,k) = q-1/ 4(x)exp{-k q(t) dt}[1+ ] (4.13) xk и для справедлива оценка (4.10). Если выполнено условие (4.11), то эту % асимптотику можно дифференцировать и для справедлива оценка (4.12)20.

Теоремы 3, 4 дают двойную асимптотику решений. Именно, остаточные члены (x,k)/ k стремятся к нулю и при x, k j фиксированном, и при k, x фиксированном, и при x, k.

Теория возмущений Некоторые методы построения локальных асимптотических разложений 5. Регулярная теория возмущений Начнем со случая, когда зависимость уравнения от малого параметра простейшая. Рассмотрим задачу Коши dy = f (t, y, ), y( ) = y, (5.1) dt где функция f и числа, y (начальное условие) заданы. Решение (5.1) обозначим y = y(t, ). Рассмотрим также задачу, которая получается из (5.1), если в ней формально положить = 0:

dy = f (t, y,0), y( ) = y. (5.2) dt решение этой задачи обозначим y = y0(t). Задача (5.2) проще исходной задачи (5.1). Иногда y0(t) удается даже вычислить в явном виде. Возникает естественный вопрос о близости на некотором отрезке I : t решений возмущенной (5.1) и невозмущенной (5.2) задач.

Ответ на этот вопрос содержит теорема о дифференцируемости решения по параметру, которая описывает поведение решений при 0.

Она доказывается в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М.: Наука, 1983). Мы ограничимся лишь формулировкой этой теоремы21.

Предположим, что функция f из (5.1) бесконечно дифференцируема по совокупности переменныхt, y,, когдаt I, y J,0. Здесь J - Провести доказательство.

Доказать.

некоторый отрезок, внутренней точкой которого является y, - константа.

Кроме того, пусть решение невозмущенной задачи (5.2) y0(t) существует и единственно на отрезкеI.

, Теорема 1. Если > 0 достаточно мало то при 0 < решение 0 задачи Коши (5.1) существует на всем отрезке I и при любом целом n справедливо разложение n y(t, ) = y0(t) + y1(t) +... + yn(t) + Rn(t, ), (5.3) Для остаточного члена при t I, 0 < справедлива оценка | Rn(t, )| Cn n+1,, (5.4) где постоянная Cn не зависит отt и. (Оценку (5.4) можно записать короче n+в виде Rn(t, ) O( ), +0).

Полагая n = 1 в (5.3), получаем, чтодля всех t I : y(t, ) = y0(t) + O( ).

Таким образом, предположения теоремы 1 оказываются достаточными для того, чтобы y0(t) былоглавным членом асимптотики решения задачи (5.1).

Считая функцию y0(t) известной, найдем следующие члены асимптотического разложения (5.3). Для этого подставим (5.3) в уравнение (5.1) nn dyi dyi in+1 in+ + O( ) = f (t, + O( ), ) dtdt i=0 i=и разложим правую часть по степеням с точностью до слагаемых n+порядкаO( ). Приравнивая затем к нулю выражения при различных степенях, получаем задачи для определения функций y0, y1,.... Для y0(t) будем иметь задачу (5.2). Для функции y1(t) получим dy1 f f = (t, y0(t),0)y1 + (t, y0(t),0), y1( ) = 0. (5.5) dt y Это задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка, решение которого на отрезке t I существует, единственно и может быть вычислено в явном виде22.

В следующих приближениях также получим задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Они имеют вид dyi f = (t, y0(t),0)yi + Fi (t, y0,..., yi-1), yi ( ) = 0, (5.6) dt dy где i 2, Fi - известные функции. Решения этих задач yi(t) при t I Почему и как существуют, единственны и записываются в квадратурах.

Замечание 1. Разложение (5.3), полученное приt I, может оказаться непригодным для больших значений t, что существенно ограничивает область его применимости.

Теорема 1, сформулированная для скалярного уравнения, справедлива и в случае задачи Коши для системы из N уравнений первого порядка, имеющей вид (5.1), где y(t) - вектор-функция. К таким системам сводятся скалярные дифференциальные уравнения N -го порядка. Для векторфункций, описывающих члены асимптотического разложения, получаются системы линейных дифференциальных уравнений с переменными f коэффициентами вида (5.5), (5.6), - матрица Якоби. Все эти системы y различаются лишь правыми частями.

Пример 5.1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Дюффинга y + y - 2 y3 = 0, y(0) = a, y (0) = 0, (5.7) где константа a 0, > 0 - малый параметр, характеризующий степень нелинейности системы. Так как мало, то (5.7) есть уравнение со слабой кубической нелинейностью. Оно описывает, например, малые колебания маятника вблизи положения равновесия.

Построим асимптотическое решение задачи (5.7) в виде y(t, ) = y0(t) + y1(t) + O( ). Подставляя это разложение в уравнение, имеем y0 + y0 + ( y1 + y1 - 2y0 ) + O( ) = 0.

Откуда для нулевого приближения y0(t) получаем задачу Коши y0 + y0 = 0, y0(0) = a, y0(0) = 0, решение которой есть y0(t) = a cost. Для функции y1(t) имеем задачу y1 + y1 = 2a3 cos3 t, y1(0) = y1(0) = 0. (5.8) Поскольку cos3 t = cos3t + cost, (5.9) y1(t) можно найти как сумму частных решений, соответствующих каждому из слагаемых в правой части (5.9). Таким образом, получаем 3 a y1(t) = a3t sin t + (cos t - cos3t). Аналогично определяются и следующие члены разложения (5.3).

Уже на этом примере видны некоторые закономерности, характерные для многих задач со слабой нелинейностью. Во-первых, с увеличением точности асимптотического разложения (5.3) в нем возрастает количество гармоник. Действительно, нулевое приближение y0 содержит только гармонику частоты 1, первое приближение y0 + y1 coдержит гармоники с частотами 1 и 3, и т.д. Во-вторых, возникают члены, которые неограничены на полуоси t > 0. Например, первое приближение содержит (3a3 t sint)/ 4.

Такие члены принято называть вековыми или секулярными*). Этим названием мы обязаны тому обстоятельству, что в астрономических приложениях величина оказывается обычно крайне малой. Поэтому произведение st начинает играть заметную роль в расчетах лишь по истечению очень большого промежутка времени t, например, порядка столетия.

Появление секулярных членов свидетельствует о том, что при t -порядка (т.е. при больших временах) построенное асимптотическое разложение уже не применимо, так как поправки перестают быть малыми.

Поэтому, разложения, пригодные при больших t (этотребуется для многих физических задач), приходится строить в ином, более сложном, чем (5.3) виде.

Чтобы определить, какие изменения следует внести в вид асимптотики, найдем точное решение задачи Коши для уравнения Дюффинга (5.7). Его анализ позволит понять, почему разложение (5.3) непригодно при больших значениях t.

6. Точное решение уравнения Дюффинга Чтобы проинтегрировать уравнение Дюффинга, умножим его на 2y (t).

Получим ((y )2 + y2 - y4 ) = 0, откуда с учетом начальных условий для решения задачи Коши (1.7) имеем ( y )2 + y2 - y4 = a2 - a4, y(0) = a. (6.1) Порядок уравнения понизился. Далее, выражая y через y, приходим к уравнению с разделяющимися переменными Провести выкладки.

y =± (a2 - y2 )(1 - a2 - y2 ), которое интегрируется в квадратурах.

Получающееся таким образом решение не выражается через элементарные функции. Однако оно может быть записано с использованием эллиптических функций Якоби, которые возникают в большом числе задач и детально изучены (см., например, [Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979] ).

Напомним, что эллиптический синус u = sn(,k) на отрезке [-K; K], где dz K(k) =, | k | < 1, (1 - z2 )(1 - k2z2 ) определяется путем обращения эллиптического интеграла u dz =.

(1 - z2 )(1 - k2z2 ) Этовозможно, так как на этом отрезке sn(,k) строго монотонно возрастает от -1 до 1. Продолжим затем sn(,k) на отрезок [K; 3K] четно относительно точки К : sn(,k) = sn(2K -,k) sn(, k ) - K 0 K 2K 3K -и, наконец, на всю ось, считая функцию sn(,k) 4К - периодической по.

Определенная так функция u = sn(,k) будет удовлетворять дифференциальному уравнению du ( )2 = (1 - u2 )(1- k2u2 ). (6.2) d К такому же уравнению сводится и уравнение Дюффинга. Действительно, после замены y = au, t = / 1 - a2 задача (6.1) примет вид du ( )2 = (1 - u2 )(1- k2u2 ), u(0) =1, (6.3) d где параметр (модуль) k = a2 /(1- a2). (6.4) Поскольку уравнение (6.2) автономное, функция u = sn( + c,k), где С – произвольная постоянная, также будет его решением. Из условия u(0) =вытекает, что c = K(k), так как sn(K,k) =1. Следовательно, решение задачи Коши (6.3) имеет вид u( ) = sn( + K(k),k). Возвращаясь к исходным переменным t, y, получаем, что функция y(t) = asn( 1 - a2t + K(k),k), где k определяется (6.4), является точным решением задачи Коши для уравнения Дюффинга.

Так как функция sn(,k) имеет период 4K(k), период точного решения y(t) 4K(k)4 dz есть T ==. Для периода при 1 - a2 1 - a2 0 (1 - z2 )(1- k2z2 ) справедливо разложение a2 dz a2 z2 dz T = 4(1 + + O( ))( + + O( )) = 1 - z2 0 2 1 - z2 (6.5) a2 3a= (4 + 2 a2 + O( ))( ++ O( )) = 2 ++ O( ).

2 Члены (6.5) зависят от. Следовательно, и угловая частота = 2 /T также зависит от, а не является тождественно единицей, как предполагалось при построении разложения (5.3). Именно в этом кроется причина непригодности (5.3) для уравнения Дюффинга при больших временах t. Угловая частота всякого разложения, пригодного равномерно по t, должна зависеть от. В следующем параграфе будет изложен простейший из методов, учитывающих это обстоятельство.

7. Метод Линдштедта - Пуанкаре Метод Линдштедта - Пуанкаре мы рассмотрим на примере автономного уравнения второго порядка сослабой нелинейностью общего вида d ydu + y = f (y, ). (7.1) dt2 dt Здесь f - гладкая функция. При = 0 уравнение (7.1) описывает линейные колебания с частотой 1. Предположим, что и при малых уравнение (7.1) имеет периодические решения. Требуется найти асимптотические разложения таких решений.

Основу метода Линдштедта - Пуанкаре составляет переход от переменной t к новой независимой переменной = ( )t, такой, что функция y = y(, ) станет 2 - периодической по. При этом подлежат определению не сами функции ( ) и y(, ), а их асимптотические разложения по степеням nn+( ) =1 + +... + + O( ), 1 n (7.2) nn+y(, ) = y0( ) + y1( ) +... + yn ( ) + O( ) Здесь 0,,,..., - константы, 1 2 n y0 ( ), y1( ),..., yn ( ) - 2 - периодические функции.

В уравнении (7.1) введем новую переменную :

d ydy ( ) + y = f ( y, ( ) ). (7.3) dd Далее подставим в (7.3) вместо функций ( ) и y(, ) их асимптотики (7.2), разложим получившееся выражение по степеням и приравняем к нулю слагаемые при одинаковых степенях. Получатся уравнения для определения функций y0 ( ), y1( ),..., yn ( ), в которые войдут также числа,,...,. Эти числа находятся из условия отсутствия секулярных членов в 1 2 n разложении y(, ). Подчеркнем, чтоименно введение новой переменной позволяет исключить секулярные члены. Ограничимся построением первого d yприближения. Уравнение для y0 имеет вид + y0 = 0, общее решение dtкоторого y0 ( ) = acos( - ) является 2 - периодической функцией при любых константах a и.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.