WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет Математический факультет Кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей Специальный курс «Асимптотики решений дифференциальных уравнений» Методические указания для студентов 3-6 курсов всех форм обучения Составители:

А.В. Глушко, В.П. Глушко Воронеж 2002 2 В методических указаниях рассмотрен ряд методов построения асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Особое внимание уделено методу ВКБ.

1. Эвристические соображения.

Рассмотрим уравнение второго порядка y - k2q(x)y = 0 (1.1) на конечном отрезке I = [a; b]. Будем предполагать, чтоk > 0, функция q(x) вещественна, строго положительна и бесконечно дифференцируема при x I.

Нас интересует поведение решений уравнения (1.1) при k +. Такого рода задачи возникают в самых разных физических моделях, в частности в задачах о распространении звуковых, электромагнитных, упругих волн и в квантовой механике.

Если q - постоянная, то уравнение (1.1) имеет два линейно независимых решения y1,2 = e±k qx. Будем искать решение в виде экспоненты, умноженной на ряд по степеням1/ k :

11 y = ekS ( x)[a0(x) + a1(x) +... + an(x) +...].

kkn Сходимость ряда мы пока обсуждать не будем.

При вычислениях удобнее искать y в несколько ином виде x (t)(t) 1 n y = exp[ (k (t) + (t) + +... + +...)dt]. (1.2) x0 -1 0 kkn Сделаем в (1.1) подстановку1 y = w, (1.3) y тогда для w получим уравнение Риккати w + w2 = k2q(x). (1.4) Имеем из (1.2), (1.4) (x) 1 w = k (x) + (x) + +...

-10 k Подставим это выражение в (1.4):

2 k2 -1(x) + k[2 (x) (x) + (x)] +... = k2q(x) 0 -1 -1 и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях k :

1 Провести выкладки, связанные с подстановкой.

3 2 (x) = q(x), 2 (x) (x) + (x) = 0,...

-1 -1 0 -1 q (x) Отсюда находим =± q(x), =-,... ( (x) не зависит отвыбора -10 4q(x) знака корня), и можно затем последовательно найти (x), (x),...

1 Подставляя эти значения в (1.2) и учитывая, что x q (t)exp[- dt] =C exp[- ln q(x)] = C(q(x))-1/ 4, получаем (с точностью до c 4q(t)O(k-1)) два приближенных решения x y1,2 q-1/ 4(x)exp[±k q(t) dt] (k +) (1.5) c Отметим, что 1 q (x) 5 (q (x)) (x) = - 8 (q(x))3/ 2 32 (q(x))5/ (это отвечает выбору + q в экспоненте).

В последующих лекциях эти формальные соображения будут строго обоснованы. Асимптотические формулы (1.5) носят название ВКБ – приближение (по именам Г. Вентцеля, Г. Крамера, Л. Бриллюэнта, которые получили эти формулы в 1926 году в связи с задачами механики), или коротковолновое приближение.

2. Основные оценки.

Преобразование уравнения. Рассмотрим уравнение y - Q(x) y = 0 (2.1) на интервале I = (a; b), a < b, конечном или бесконечном.

Условие 1. Функция Q(x) имеет две непрерывные производные и не обращается в нуль при x I.

Уравнение (2.1) эквивалентно системе y 0 1 y = (2.2) Q(x) 0 y.

y С учетом введенного ранее обозначения 1 Q (x) 5 (Q (x)) (x) = - ; (2.3) 8 (Q(x))3/ 2 32 (Q(x))5/ нетрудно доказать с помощью непосредственных утверждений следующее утверждение Провести выкладки, связанные с получением (2.3) Лемма. Преобразование y(x) = u1(x) + u2(x) (2.4) 1 Q (x)1 Q (x) y (x) = ( Q(x) - )u1(x) - ( Q(x) +)u2(x) 4 Q(x)4 Q(x) приводит систему (2.2) к виду u1 1 01 01 1 u Q (x) = [ Q(x)] (2.5) u 0 -1 - 4Q(x) 0 1 + -1 -1 u2.

2 Доказательство. Самостоятельно. Замечание. Поясним смысл и конструкцию преобразования (2.4) на примере уравнения y - k2q(x)y = 0, где k - большой параметр. Так как Q(x) = k2q(x) в данном случае, то (x,k) = O(k-1), и матрица системы (2.5) диагональная, с точностью до малых членов порядкаO(k-1). Система (2.2) имеет вид y 0 Y = A(x,k)Y, Y =, A =.

yk2q(x) Будем вначале искать преобразованиеY = T0(x)Z, приводящее систему к почти диагональному виду с точностью доO(1). Эта подстановка приводит к dT системе Z = (T0-1AT0 - T0-1 )Z, откуда видно, чтов качестве T0(x) следует dx взять матрицу, приводящую матрицу A(x,k) к диагональному виду.

Собственные значения этой матрицы равны ±k q(x) (и различны при всех x I, так как q(x) 0 ), а собственные векторы (столбцы) равны (1; ± q(x))T, так что можно положитьT0 =. Тогда получим систему q(x) - q(x) dT0(x) Z = [k(x) - T0-1(x)]Z, где (x) - диагональная матрица с dx диагональными элементами q, - q. Итак, система приведена к диагональному виду с точностью до членов порядкаO(1). Чтобы диагонализировать ее с точностью доO(k-1), сделаем Провести доказательство.

подстановкуZ = (I + k-1T1(x))U. Так как (I + k-1T1(x))-1 = I - k-1T1(x) + O(k-2), то полученная система примет вид dT0(x) U = [k(x) + (T1(x)(x) -(x)T1(x) - T0-1(x)) + O(k-1)]U.

dx Матрицу T1(x) можно найти из условия, чтобы заключенная в круглые скобки матрица была диагональной. Эти соображения и приводят к подстановке (2.4).

Оценка решений. Если в системе (2.5) отбросить члены, содержащие (x), то система распадется на два независимых уравнения.

Укороченная система имеет решения j u (x) = y0(x0, x)ej, j =1,2, (2.6) j где обозначено e1 = (1; 0), e2 = (0; 1), y1,2(x0, x) = Q-1/ 4(x)e± S ( x0,x), (2.7) x S(x0, x) = Qt) dt. (2.8) ( x Покажем, что при условиях, которые будут сформулированы ниже, система (2.5) имеет решения, близкие к u1, u2. Тогда, воспользовавшись соотношениями (2.4), получим приближенные формулы для решений уравнения (2.1). Обозначим x (x0, x) =| | (t)|dt |. (2.9) x0 Предположение 2. Существует дважды непрерывно дифференцируемая при x I ветвь корня Q(x), такая, что Re Q(x) 0, x I.



Во всех последующих формулах фигурирует именно эта ветвь.

Замечание. Если функция Q(x) вещественна, то предположение следует из условияQ(x) 0, x I. ПустьQ(x) > 0; искомая ветвь есть Q(x) > 0. Если же Q(x) < 0, то Q(x) - чистомнимое число и в, качестве искомой ветви можно взять Q(x) = i| Q(x) |.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1,2 и (a, x) <, x I. (2.10) Тогда уравнение (2.1) имеет решение y1(x) такое, что y1(x) -1 2 (e2 (a,x) -1), x I. (2.11) y1 (x0, x) Доказательство. Подстановка uj (x) = y1 (x0, x)v (x), j =1,2 приводит j систему (2.5) к виду v1 = (x)(v1+ v1), v2+ 2 Q(x) v2 =- (x)(v1+ v2). Решим эту систему, считая правые части известными функциями; тогда получим систему интегральных уравнений x v1 = C1 + (t)(v1(t) + v2(t))dt, x1 x v2 = C2 exp{-2S(x0, x)}- exp{2S(x,t)} (t)(v1(t) + v2 (t))dt.

i xПоложим C1 =1, C2 = 0 и x1 = x2 = a, тогда получим систему x v1(x) =1+ (t)(v1(t) + v2(t))dt, a (2.12) x v2(x) =- exp{2S(x,t)} (t)(v1(t) + v2(t))dt.

a Покажем, что на интервале(a, x), по которому ведется интегрирование, выполняется оценка | exp{2S(x,t)}| 1. (2.13) Действительно, Re Q(x) 0 при x I и так как a < t x, то x ( Re S(x,t) =- Re Qt ) dt 0, t откуда следует(2.13).

Применим метод последовательных приближений к системе (2.12), положив v1 (x) =1; v0 = 0;

x n+1 n v1 (x) =1+ (t)(v1 (t) + vn(t))dt, 1 a x n vn+1(x) =- exp{2S(x,t)} (t)(v1 (t) + vn(t))dt.

21 a xx Имеем | v1(x) -1| | (t)|dt = (a, x), | v1 (x)| | (t)|dt = (a, x).

aa Последняя оценка следует из (2.13). Покажем по индукции, что (2 (a, x))n | vn(x) - vn-1(x)|, j =1,2. (2.14) jj n! При n =1 оценка доказана; совершим переход индукции отn к n +1. Имеем x n+1 nn n-| v1 (x) - v1 | | (t)|[| v1 (t) - v1 (t)| + | vn(t) - vn-1(t)| ] dt 1 2 a 2n x (2 (a, x))n+ | (t)| 2{ (a,t)}n dt =, a n!(n +1)! так какd (a,t) =| (t)| dt. Точно так же4 доказывается оценка (2.14) при j = 2;

в этом случае необходимо учесть оценку (2.13).

n+ Рассмотрим ряды v (x) = (v (x) - vn(x)), j =1,2. Из оценки (2.14) jjj n=и условия (2.10) следует, чтоэти ряды сходятся абсолютно и равномерно на любом интервале вида (a; x), x < b и что | v1(x) -1| exp{2 (a, x)}-1; | v2(x)| exp{2 (a, x)} -1. (2.15) Из (2.4) находим y1 = y1 (x0, x) [v1(x) + v2(x)], так что y1(x) -1 | v1(x) + v2(x) -1| | v1(x) -1| + | v2(x)| y1 (x) и из (2.15) следует (2.11). Теорема доказана.

Получим оценку для y1(x). Из соотношения (см.(2.4)) Q (x) Q (x) y1(x) = y1 (x0, x) Q(x)[(1- )v1(x) - (1+ )v2(x)] 4Q3/ 2(x)4Q3/ 2(x) и оценки (2.15) вытекает Следствие 1. Справедлива оценка y1(x) Q (x) Q (x) -1 + 41+ 4Q3/ 2(x)4Q3/ 2(x)(exp{2 (a, x)}-1). (2.16) Q(x)y1 (x0, x) Сравнивая (2.11), (2.16) и учитывая, что (a, x) 0 при x a, получаем Следствие 2. Решение y1(x) удовлетворяет краевому условию Q (x) lim y1(x)[( Q(x) - )y1(x)]-1 = 1, (2.17) xa 4Q(x) если Q (x)/ Q3/ 2(x) 0 при x a.

Построим решение y2(x). Точно так же, как и теорема 1, доказывается Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 с той лишь разницей, что (x,b) <, x I. (2.18) Тогда уравнение (2.1) имеет решение y2(x) такое, что Доказать (2.14) при j = 2.

Доказать теорему 2.

y2(x) -1 2 (exp{2 (x,b)} -1), x I. (2.19) y2 (x0, x) Далее, выполняются оценки y2(x) Q (x) Q (x) +1 + 41+ 4Q3/ 2(x)4Q3/ 2(x)(exp{2 (b, x)}-1) (2.20) Q(x)y2 (x0, x) и краевое условие Q (x) lim y2(x)[( Q(x) + )y2(x)]-1 =1. (2.21) xb 4Q(x) 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента Осциллирующие решения. Рассмотрим уравнение y + Q(x) y = 0 (3.1) на полуоси x 0. Введем условия:

1. Q(x)> 0 при x x0 0.

2. Q > 0 непрерывна при x 0.

3. Сходится интеграл | (x)|dx <. (3.2) Функция выписана в лекции № 1 (см. (1.6)).

Теорема 1. Пусть условия 1 – 3 выполнены. Тогда уравнение (3.1) имеет решения y1(x), y2(x) вида x y1,2(x) = Q-1/ 4(x)exp{±i Qt) dt}(1+ (x)) (3.3) ( 1, xи для функций (x) справедливы оценки j | (x)| C | (t)|dt, j =1,2, (3.4) j x где C - постоянная.

Из условия 3 следует, что (x) 0 при x +, так что, в частности, j справедлива асимптотическая формула x y1,2(x) : Q-1/ 4(x)exp{±i Qt) dt} (x ) (3.3 ) ( x Доказательство. Воспользуемся теоремой 2 из раздела 2.

Положим I = (x0; ), так что a = x0, b = и (x,) = | (t)|dt. Так как этот x интеграл сходится, то (x,) 0 при x и потому | exp{2 (x0,)}-1| C1 (x,) при достаточно больших x. Поэтому оценку (2.19) можно записать в виде y2(x) -1 C (x,).

y2 (x0, x) Из этой оценки и определения функции y2 (x0, x) (см. (2.7), (2.8)) следует существование решения y2(x), для которого справедливы формулы (3.3), (3.4). Чтобы доказать существование решения y1(x), достаточно заметить, что если y(x)- решение уравнения (3.1), то y(x) - также решение.

Следствие. Пусть выполнено условие Q (x) lim = 0. (3.5) x Q3/ 2(x) Тогда решения y1(x), y2(x) линейно независимы и их асимптотику можно дифференцировать, т.е.

x y1,2(x) : ±iQ1/ 4(x)exp{±i Q(t) dt} (x ). (3.6) x Доказательство. Из оценки (3.20) и условия (3.5) следует (3.6) для y2(x); аналогично доказывается формула (3.6) для y1(x). Из(3.3), (3.6) получаем, что x 1 вронскиан w(x) решений y1(x), y2(x) равен при 1+ o(1) 1+ o(1) w(x) = i =-2i + o(1).

1+ o(1) -1+ o(1) Так как вронскиан6 от x не зависит, то устремляя x к бесконечности,, получаем w(x) =-2i, (3.7) и линейная независимость построенных решений доказана.





Вместо y1,2(x) можно взять вещественные решения y3,4(x) со следующими асимптотиками при x :

x y3(x) = Q-1/ 4(x)[cos Qt) dt + o(1)], ( xx y3(x) =-Q-1/ 4(x)[sin Qt) dt + o(1)], ( xx y4(x) = Q-1/ 4(x)[sin Qt) dt + o(1)], ( x Что такое вронскиан, почему он не зависит от x Последний факт – с доказательством.

x y4(x) = Q-1/ 4(x)[cos Q(t) dt + o(1)].

xИх вронскиан равен w =1.

Полученные асимптотические формулы показывают, что все решения уравнения (3.1) осциллируют при больших x.

Обсудим одно из важнейших условий теоремы 1 – условие 3. Пусть Q(x) = Cx (здесь и ниже Cj - постоянные), C1 > 0, тогда = C2x-2- / 2 и 1 интеграл (3.2) сходится, если >-2. При >-2 выполняется также условие (3.5). В частности, если Q(x)- многочлен (с положительным коэффициентом при старшей степени), то все условия теоремы и следствия выполнены.

Нетрудно проверить, чтоесли Q(x) есть функция вида C3(ln x), C4 eC x, где Cj > 0, > 0, -любое вещественное число, то все условия теоремы 1 и следствия выполнены.7 Эти условия выполняются также, если асимптотика функции Q(x) имеет один из указанных выше типов и ее можно дважды дифференцировать. Например, -1 - Q(x) : ax, Q (x) : a, Q (x) : ( -1)ax, a > 0, >-2 (x +).

Отметим также, что во всех этих случаях, Q(x) dx =+. (3.9) x Условие (3.2) означает, что функция Q(x) «не слишком быстро убывает при x » (медленнее, чем x-2 ) и достаточно правильно ведет себя на бесконечности.

При условии (3.9) решения y3(x), y4(x) имеют бесконечно много положительных нулей, и если xn, xn+1 - соседние нули одного из решений, то xn+ Qt) dt = + o(1), (n ). (3.10) ( xn Пример 3.1. 8 Доказать, что уравнение Эйри y - xy = 0 имеет решения, такие, что x - при y1(x) =| x |-1/ 4 [cos( | x |3/ 2) + O(| x |-3/ 2)], y2(x) =| x |-1/ 4 [sin( | x |3/ 2) + O(| x |-3/ 2)].

Проверить все высказанные утверждения о выполнении условия 3.

Решить пример Пример 3.2.9 Доказать, что приведенное уравнение Бесселя -1/ z + (1- )z = 0x имеет решения такие, что x + :

при x z1(x) = cos x + O(x-1); z2(x) = sin x + O(x-1).

Приведем еще один важный результат об асимптотике решений уравнений типа (3.1):

y + (k2 -V (x))y = 0. (3.11) Теорема 2. Пусть k > 0 - постоянная, функция V (x) непрерывна при x 0 и выполнено условие |V (x)|dx <. (3.12) Тогда уравнение (3.11) имеет линейно независимые решения вида y1,2(x) : e±ikx (x ). (3.13) Доказательство. Представим уравнение10 в виде y + k2 y = V (x)y и решим его, считая правую часть известной функцией. Тогда получим интегральное уравнение y(x) = C1 eikx + C2 e-ikx + sin[k(x - t)]V (t)y(t)dt. (3.14) x k Положим C1 =1, C2 = 0 и применим метод последовательных приближений:

y0(x) = eikx, yn+1(x) = eikx + sin[k(x - t)]V ( y) yn(t)dt.

x k n(x)Докажем по индукции оценку | yn(x) - yn-1(x)|, (x) = |V (t)|dt.

x n! k При n =1 имеем | y1(x) - y0(x)| |V (t)|dt =(x). Совершим переход отn k кn+1. Имеем | yn+1(x) - yn(x)| | sin k(x - t)||V (t)|| yn(t) - yn-1(t)|dt x k 11 n+1(x) n(t) |V (t)|dt =, x n!(n +1)! k так как |V (t)|dt = kd(t). Следовательно, n | y(x)|=| y0(x) + (y1(x) - y0(x)) +...+ (yn(x) - yn-1(x)) +...| n(!x) e(0), n= Решить пример Привести соответствующие правила построения решения и построить решение и поэтому последовательность yn(x) равномерно сходится к функции y(x) на полуоси x 0. Так как, по доказанному, функция y(x) ограничена, то из (3.14) находим | y(x) - eikx | |V (t)|dt. Правая часть этого неравенства x стремится к нулю при x +, в силу условия (3.12), и решение y1(x) построено. Аналогично строится решение y2(x).Допустим, что эти решения линейно зависимы, тогда c1y1(x) + c2 y2(x) 0 при x 0. Еслиc1 0, тоy1(x)/ y2(x) -c2 / c1. Но из (3.13) следует, чтоy1(x)/ y2(x) : e2ikx (x ), так что eikx : -c2 / c1 (x ). Это невозможно, так как предел левой части этого равенства при x не существует.

Следствие 1. В условиях теоремы 2 справедливы оценки | y1(x) - eikx | C |V (t)|dt, | y2(x) - e-ikx | C |V (t)|dt. (3.15) xx Следствие 2. Если limV (x) = 0, тоасимптотические формулы (3.13) x можно дифференцировать y1,2(x) : ±ik e±ikx (x +). (3.16) Для доказательства достаточно продифференцировать уравнение (3.14).

Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение y - Q(x) y = 0. (3.17) Теорема 3. Если условия теоремы 1 выполнены, то уравнение (3.17) имеет решения вида x y1,2(x) = Q-1/ 4(x)exp{± Qt) dt}(1+ (x)), lim (x) = 0, j = 1,2. (3.18) 1,2 j ( x0 x Справедлива оценка | (x)| C | (t)|dt. (3.19) x Если, кроме того, выполнено условие (3.5), то x y1,2(x) : ±Q1/ 4(x)exp{± Q(t) dt} (x ) (3.20) xи решения y1(x), y2(x) линейно независимы.

Провести выкладки для y2 (x) Доказательство. Существование решения y2(x) и оценка (3.19) доказываются точно так же, как и в теореме 1.12 Пусть интеграл Q(x) dx =, т.е. выполнено (3.9). Функция x - y1(x) = y2(x) Qt) y2 (t)dt (3.21) ( a есть13 решение уравнения (3.17). Пусть a> 0 настолько велико, что | (x)| 1/ 2 при x a, тогда интеграл из (3.21) можно представить в виде xt ( I (x) = Qt) exp{2 Q(t ) dt }(1+ (t))-2 dt.

axxt Докажем, что x+ : I (x) : J (x) = Q(t) exp{2 Q(t ) dt }dt.

при axТем самым представление (3.18) будет доказано для решения y1(x), так как xx x J (x) = exp{2 Qt) dt}|a : exp{2 Qt) dt} при x+. Так как ( ( x0 xJ (x) + при x+, то можно применить правилоЛопиталя:

I(x) I (x) lim = lim = lim(1+ (x))-2 =1.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.