WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Государственный Комитет Российской Федерации по высшему образованию Воронежский государственный университет Геологический факультет Кафедра геофизики Элементы теории упругости Составители: С.Н. Закутский, К.Ю. Силкин ВОРОНЕЖ 2003 2 С ОДЕРЖАНИЕ Содержание...............................................................................................................................................1 Введение.....................................................................................................................................................2 Предварительные определения............................................................................................................3 1. Упругие деформации...........................................................................................................................4 2. Упругие напряжения...........................................................................................................................8 3. Связь между упругими напряжениями и деформациями...........................................................9 4. Волновое уравнение...........................................................................................................................11 4.1. Условия равновесия и движения среды....................................................................................11 4.2. Волновое уравнение в однородной изотропной среде............................................................12 5. Продольные и поперечные волны в однородной изотропной среде........................................14 6. Начальные и граничные условия...................................................................................................17 7. Сферические волны...........................................................................................................................17 7.1. Продольные сферические волны...............................................................................................7.2. Поперечные сферические волны...............................................................................................8. Профиль и запись волны..................................................................................................................8.1. Профиль волны............................................................................................................................8.2. Запись волны................................................................................................................................9. Фазовая и групповая скорости волн. Дисперсия скорости.......................................................10. Геометрическое расхождение и поглощение волн.....................................................................10.1. Геометрическое расхождение волн.........................................................................................10.2. Поглощение сейсмической волны...........................................................................................11. Плоские волны.................................................................................................................................12. Условие аппроксимации участка фронта сферической волны участком фронта плоской волны..................................................................................................................................................13. Основы геометрической сейсмики...............................................................................................13.1. Предварительные замечания....................................................................................................13.2. Поле времен сейсмической волны. Уравнение поля времен................................................13.3. Принципы Гюйгенса и Ферма..................................................................................................13.4. Истинная и кажущаяся скорости волн, связь между ними...................................................13.5. Принцип Френеля. Понятие об интеграле Кирхгофа, формуле Пуассона..........................14. Поверхностные волны....................................................................................................................Условные обозначения..........................................................................................................................Литература..............................................................................................................................................В ВЕДЕНИЕ При решении задач “Структурной геологии”, поисках и разведке нефтегазовых месторождений ведущим среди геофизических методов является сейсморазведка. Теоретические основы сейсморазведки вытекают из общих законов теории упругости. Согласно учебным планам специальности 011100 “Геофизика”, действующих в последнее десятилетие, элементы теории упругости изучаются студентами-геофизиками в рамках отдельной дисциплины, при этом предусматривается значительная доля самостоятельной работы. Вместе с тем, специальное пособие по этому предмету адаптированное для обучающихся, не имеющих высокого уровня математической подготовки, практически отсутствует, что, безусловно, осложняет процесс обучения. Частично указанная проблема отсутствия методического материала по рассматриваемой дисциплине решена в вышедших в предшествующие годы фундаментальных учебниках по “Теории поля”, “Полевой геофизике” и “Сейсмологии” [1-7]. Написанные на высоком методическом уровне, они, однако, сложны для самостоятельного изучения. Кроме того, обеспеченность этими учебниками в связи с прошествием времени оказывается, как правило, недостаточной. Именно последнее обстоятельство в значительной мере побудило авторов написать предлагаемое учебное пособие. Мы полагаем, что после знакомства с элементарными понятиями из области теории упругости и распространения упругих волн читатель сможет более плодотворно и углублено изучить соответствующие разделы физики, а также специальные разделы теории сейсмических волн.



В данном учебном пособии изложены основные понятия о напряжениях и возникающих под их действием деформациях, волновых уравнениях, характеризующих процесс распространения сейсмических волн, рассмотрены исходные положения геометрической сейсмики. При этом предполагается, что с ключевыми физическими законами, понятиями математического анализа и векторного исчисления читатель знаком из предшествующих дисциплин “Общей физики”, “Высшей математики”, “Теории поля”. Разделы 1–14 написаны Закутским С.Н., разделы 5, 8, 13 – совместно с Силкиным К.Ю., последним выполнена общая редакция и окончательное оформление пособия. Предлагаемое пособие, вероятно, не лишено определенных недостатков. Критические замечания по его содержанию авторы примут с большой благодарностью.

Авторы считают своим приятным долгом выразить признательность профессору кафедры геофизики Воронежского госуниверситета Таркову А.П. и доценту этой кафедры Дубянскому А.И.

за доброжелательные критические замечания и советы.

П РЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В твердых и жидких средах под действием внешних сил могут распространяться механические колебания слагающих тела частиц. В качестве источников внешних сил могут выступать ударные воздействия взрывов или специальных генераторов сейсмических колебаний (ГСК); естественным источником колебания частичек, слагающих земные недра, выступают землетрясения.

На изучении механических колебаний горных пород основан сейсмический метод разведки. Теоретические основы сейсморазведки вытекают из общих законов теории упругости. При этом горные породы как физические тела рассматриваются в виде непрерывной совокупности отдельных частичек – сплошные среды с макроструктурой. В этом случае процессы, происходящие в горных породах при распространении механических колебаний, можно охарактеризовать законами классической механики.

В спокойном (невозбужденном) состоянии слагающие землю частицы удерживаются внутренними силами взаимодействия. В этом состоянии они находятся на таких расстояниях друг от друга, которые энергетически соответствуют минимальным значениям их потенциальной энергии.

Под действием приложенных (внешних) сил в горной породе происходит изменение взаимного положения частиц, которое сопровождается, в свою очередь, изменением внутренних сил, стремящихся уравновесить действие внешних сил.

После прекращения силового воздействия на среду возможны два варианта ее состояния. В одном случае, когда смещения частиц оказались настолько большими, что внутренние силы не способны вернуть их в прежнее положение, наблюдается нарушение первоначальной структуры среды (уплотнение или разрушение ее). В другом случае смещения частичек могут оказаться настолько малыми, что под действием внутренних сил сцепления частички возвращаются в первоначальное положение.

Любые смещения частичек, вызывающие изменения некоторого объема среды или его формы, называются деформациями. Это понятие происходит от латинского слова “deformatic” (искажение). Силовое поле, возникающее в среде при приложении к ней внешних сил и уравновешивающее внешнее воздействие, называется напряжением.

Если в результате деформаций происходят необратимые изменения первоначальной структуры среды, то такие среды и происходящие в них деформации называются неупругими. Если же первоначальная структура среды полностью восстанавливается, то сама среда и возникающая в ней деформация называются упругими. Реальные геологические среды можно рассматривать в качестве упругих только тогда, когда происходящие в них смещения (а, следовательно, и деформации) очень малы. Последнее возможно либо на больших удалениях от источника внешнего воздействия, либо при небольшой интенсивности внешних сил.

Передача малых деформаций и связанного с ними поля напряжений в средах происходит в виде упругих или сейсмических волн. Основу уравнений, характеризующих процесс распространения таких волн, составляют понятие деформаций и напряжений, рассматриваемых ниже.

1. У ПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ Рассмотрим идеально упругую однородную непрерывную изотропную среду. Положение произвольной материальной точки M, отождествляемой с частичкой среды, в декартовой системе координат X, Y, Z определим при помощи радиус-вектора R (рис. 1). Область среды в окрестности точки M будет находиться в состоянии деформации, если под действием приложенной системы сил расположенные внутри этой области частицы переместятся.

Пусть две близкие частицы среды P(R) и Q(R+ R) в результате действия приложенных сил R+I+ переместятся в близкие положения P'(R+I) и Q'(R+ I). Векторы смещений для P и Q равны I и I+I соответственно. Компоненты вектора смещений I по осям X, Y, Z обозначим через u, v, w. Компоненты вектора I, очевидно, являются также функциями координат: u=u(x, y, z), v=v(x, y, z), w=w(x, y, z). Пользуясь разложением в ряд Тейлора, значения компонент смещения в точке Q могут быть выражены через значения компонент смещения в точке P:

u u u u + du = u + x dx + y dy + z dz v v v (1) v + dv = v + dx + dy + dz x y z w w w w + dw = w + dx + dy + dz x y z В уравнениях (1) смещения приняты такими, чтобы можно было пренебречь членами разложения, представленные производными выше первого порядка. Частные производные u x =, v y =, w z = eZZ выражают относиe e XX YY тельные растяжения (или сжатия) среды в направлении осей X, Y, Z. Другими словами, эти деформации связаны с изменением объема. Показать это можно на следующем примере (рис. 2). Пусть нижняя грань прямоугольного бруса закреплена в плоскости XOY. К верхней грани, параллельной плоскости XOY, вдоль оси Z приложена нормальная сила F. Под действием этой силы брус удлинится. Рассмотрим в состоянии деформации два сечения бруса на расстояниях z и Рис. 1. Положение частичек упругой среды z +z от нижней грани бруса. Смещение частичек в первом в пространстве слое будет равно w, во втором w +w. Абсолютное растяжение бруса между сечениями w +w - w. Относительное растяжение равно w ( -w - w z -z - z. Для сечений, расположенных на бесконечно малых расстояниях, оче) ( ) видно, справедливо уравнение:





w w lim = =.

e ZZ z z Таким образом, по геометрическому смыслу эта частная производная определяет относительное удлинение (или укорочение, если сила направлена внутрь объема) стороны бруса вдоль оси Z. Аналогично может быть установлен смысл частных производных eXX и eYY, характеризующих относительные удлинения (укорочения) вдоль осей X и Y.

Через относительные удлинения (укорочения) сторон можно выразить изменение всего элементарного объема упругой среды. Для этого вводится понятие дилатации (от латинского “dilatio” – расширяю ). Под дилатацией понимают предел отношения измененного элементарного объема, вызванного деформацией, к его первоначальной величине. Рассмотрим малый параллелепипед со сторонами x, y, z. После деформации его стороны, очевидно, окажутся равными:

x + u x, y + v y, z + w z. Первоначальный объем параллелепипеда равен x y z, объем после деформации будет равен x y z 1+ u x 1+ v y 1+ w z, следовательно, отно( ) ) ) ( ( сительное изменение объема Рис. 2. Деформации растяжения (а) и сдвига (б) xy z 1+ u x 1+ v y 1+ w z ( ) ) ).

( ( = lim x,y,zxy z Пренебрегая произведениями производных (т. к. рассматриваются только малые деформации), получим u v w = + + = divI. (2) x y z Дивергенция вектора смещений будет отрицательной, если нормальные силы ориентированы внутрь объема, и положительными – в противном случае. Функция =divI является, таким образом, количественной мерой деформации объема, которая передается в упругой среде в направлениях действующих сил, то есть в тех же направлениях, в которых происходят смещения.

Рассмотрим физический смысл других частных производных от компонент вектора смещения. Частные производные u y =, u z =, v x =, v z =, w x =, ee ee e XY XZ YX YZ ZX w y = имеют физический смысл сдвигов, т. е. выражают изменения формы. Пусть сила F|| e ZY приложена по касательной к грани (рис. 2, б). Под действием этой силы частицы будут перемещаться вдоль оси Y. С удалением от плоскости приложения силы величина смещения будет уменьшаться вследствие трения между частицами. Для малых перемещений связь между смещением частицы и координатой можно считать линейной. В этом случае для тангенса угла сдвига v v v справедливо соотношение tg2 = 2, или в пределе 2 = lim =.

Y Y Y zx x x Если сила F|| действует вдоль внешней грани, параллельной плоскости XOZ, то сдвиг будет u u удовлетворять соотношению 2 = lim =. Таким образом, общий сдвиг в плоскости XOY X yy y v u будет 2 = 2( + ) = +. Аналогичным образом можно определить сдвиги в плоскостях XY X Y x y w u w v XOZ и YOZ: 2 = + ; 2 = +.

XZ YZ x z y z Вернемся к уравнению (1). Первые его члены (u, v, w) – это компоненты смешения точки M.

Остальные члены, как показано выше, выражают деформации в окрестности M – растяжения и сдвиги. В классической теории упругости доказывается, что деформацию, определяемую уравнениями типа (1), можно произвольным образом разложить на сумму произвольного числа деформаций. Возьмем сумму последних трех членов из первого уравнения системы (1):

u = x dx + u dy + u dz. Преобразуем эту сумму, прибавляя и вычитая величины 1 v dy y z 2 x 1 w и dz :

2 x u 1 u v 1 u v 1 u w 1 u w dz + dz.

= + + + - dy dy + + x 2 y x 2 y x 2 z x 2 z x Вводя ранее принятые обозначения для производных смещения, последнее выражение можно переписать в виде:

=eXXdx + dy + dz + dz - dy = du. (3) ( ) Y Z XY XZ Аналогично преобразуются последние три слагаемые во втором и третьем уравнениях системы (1):

=eYYdy + dx + dz + dx - dz = dv, ( ) Z X YX YZ =eZZdz + dx + dy + dy - dx = dw, () X Y ZX ZY где 1 w v 1 u w 1 v, = - u = XYZ, = 2 z - x.

2 y z 2 x y В уравнениях (3) первые члены выражают деформацию объема: растяжения и сжатия (чистая деформация); члены в круглых скобках – вращение этого объема в пространстве (чистое вращение). Проходящие через точку M ортогональные оси можно выбрать так, чтобы компоненты деформации сдвига отсутствовали. Эти оси называют главными осями деформаций. В последнем случае чистая деформация в окрестности точки M сводится только к главным растяжениям (сжатиям) по осям X, Y, Z – eXX, eYY, eZZ, а вторая составляющая деформаций (повороты) определитrot I r ся через ротор вектора смещений =.

Поместим начало координат в точку M. В этом случае dx=x, dy=y, dz=z, du=u, dv=v, dw=w.

Теперь уравнения (3) можно переписать в виде:

u = x + y + z + z - y, ( ) e XXY Z XY XZ v = y + x + z + x - z, (4) () e YYZ X YX YZ w = z + x + yz + y - x.

e () ZZX Y ZX ZY Три скалярных уравнения системы (4) можно заменить одним векторным:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.