WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
СИСТЕМА MATHCAD В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ • Издательство ТГТУ • Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет СИСТЕМА MATHCAD В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ Часть 2 Лабораторные работы по курсу "Системы автоматизированных расчетов" для студентов 2 курса дневного и 3 курса заочного отделений специальностей 072000 и 210200 Тамбов Издательство ТГТУ 2004 УДК 025.4.03 ББК 973-018.2 С312 Р е ц е н з е н т Кандидат технических наук, доцент И. В. Милованов С312 Система MathCAD в инженерной практике. В 2 ч.: Лабораторные работы / Сост.: А.Ю. Сенкевич, А.А. Чуриков. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. – Ч. 2. – 20 с.

Даны лабораторные работы, методические указания и индивидуальные задания для освоения студентами аналитических (символьных) расчетов, способов численного решения дифференциальных уравнений, а также для приобретения практических навыков обработки данных в системе автоматизированных расчетов MathCAD.

Предназначены для студентов дневного и заочного отделений специальностей 072000 и 210200.

УДК 025.4.03 ББК 973-018.2 © Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2004 Учебное издание СИСТЕМА MATHCAD В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ Лабораторные работы Составители: Сенкевич Алексей Юрьевич, Чуриков Александр Алексеевич Редактор Т.М. Глинкина Компьютерное макетирование Е.В. Кораблевой Подписано в печать 09.03.04 Формат 60 84 / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная Гарнитура Тimes New Roman. Объем: 1,16 усл. печ. л.; 1,1 уч.-изд. л.

Тираж 100 экз. С. 201М Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета, 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14 Лабораторная работа № 4 СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В MATHCAD Цель работы.

1 Ознакомиться с основными видами символьных (аналитических) вычислений, производимых в MathCAD.

2 Приобрести практические навыки выполнения символьных расчетов в MathCAD.

Задание.

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Произвести символьные вычисления в соответствии с вариантом задания (табл. 1).

Методические указания Долгое время математические компьютерные программы (Eureka, Mercury, ранние версии MathCAD и MatLab) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (MathCAD, Maple, MatLab и др.). Им стали доступны такие интеллектуальные виды аналитических (символьных) вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных интегралов, разложение функций в ряд, подстановки, комбинирование и т.д. Результаты символьных вычислений представляются в аналитическом виде, т.е. в виде формул [1].

Для выполнения символьных расчетов в MathCAD используется меню символьных вычислений "Symbolics" или палитра "Символьные вычисления" (рис. 1).

Основным в данной палитре является оператор "Символический знак равенства" (кнопка ).

Если при помощи него вместе знака "=" в выражениях использовать символ "", то MathCAD будет производить аналитические вычисления, вместо численных. К таким операциям относятся, например, нахождение сумм рядов, производных, определенных и неопределенных интегралов, пределов функций (рис. 2).

Замечание. Если система не может выполнить символьное вычисление, то в качестве результата в этом случае выдается исходное выражение! Рис. 1 Меню символьных вычислений "Symbolics" и палитра "Символьные вычисления" Рис. 2 Примеры символьных вычислений Рассмотрим на примерах ряд операторов палитры "Символьные вычисления" (рис. 1):

• simplify – упростить выражение, например • expand – разложить по степеням какой-либо переменной, раскрыть выражение, например • factor – разложить выражение на множители (операция, обратная expand), например • coeffs – нахождение полиномиальных коэффициентов. Эта операция аналогична команде expand с той лишь разницей, что она возвращает коэффициенты результирующего полинома в виде вектора.

• substitute – замена переменной в выражении (подстановка).

• series – разложить функцию в ряд Тейлора по указанной переменной, например В данном примере второй параметр, равный 4, определяет количество членов ряда, оставляемых при разложении.

• parfrac – разложить выражение на простые дроби, например • solve – решить уравнение или неравенство относительно указанной переменной. Пусть, например, необходимо решить уравнение 2x2 + x -10 = 0. Для этого в MathCAD введем следующую формулу:

Однако многие уравнения подчас не имеют аналитического решения. В таких случаях приходится применять численные методы. В MathCAD для приближенного отыскания корня функции F(x) используется встроенная функция root(F(x), x), перед вызовом которой необходимо задать начальное приближение. На рис. 3 приведен пример нахождения корня функции F(x)= -64 + 25x - 8x2 + 2x3. В нем сначала определяется функция F(x), затем задается начальное приближение x = 1 и находится корень x1.

Рис. 3 Приближенное нахождение корня функции Интегральные преобразования MathCAD предоставляет пользователю возможность выполнять следующие виды интегральных преобразований:

• fourier и invfourier – прямое и обратное преобразования Фурье;

• laplace и invlaplace – прямое и обратное преобразования Лапласа;

• ztrans и invztrans – прямое и обратное преобразования Z-преобразования.

Например, преобразование Лапласа:

Символьные преобразования над матрицами В палитре "Символьные вычисления" имеются следующие кнопки для выполнения символьных преобразований над матрицами:



• – получение транспонированной матрицы;

• – получение обратной матрицы;

• – вычисление определителя квадратной матрицы.

Задания для самостоятельной работы В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом три задания.

1 Найти предел, производную, интеграл или сумму ряда, используя операции символьных вычислений MathCAD.

2 Решить аналитически (при помощи символьной функции solve) уравнение в MathCAD. Построить график заданной функции. Для одного из найденных корней повторить процедуру, но уже численным способом (посредством функции root), выбрав в качестве начального приближения любую точку в окрестности этого корня.

3 Для функции f (t) найти ее изображение, используя прямое преобразование Лапласа, а для функции F(s) найти ее оригинал при помощи обратного преобразования Лапласа.

Таблица № Задание 1 Задание 2 Задание варианта x - xlim( x + a - x) = 0 f (t)= sin(2t)cos t x ln x +1 d ex x3 + x2 - x F(s)= + s - 5 - sdx -1 = 1+ xdx cos x - ln x - f (t) = et t 4x - 3 - x2 - 0,125 = x4 - x3 s2 +d 4x5 + F(s)= s(s +1)(s + 2) dx 3x4 - 5x2 + 2 = sint x3 ln x f (t) = 5 = (k +1) t k =1 3x + 3s cos x - sin x - 3x5 + x4 F(s)= lim 6 x cos2x (s2 +1) - 2x2 + x + 1 = ln2 x arccos x -eat - ebt dx = 7 f (t)= x2 +t x n x4 - 2x3 + 3x2 F(s)= (2n +1)! (s +1)3(s + 3) - x +1 = n=Продолжение табл. № Задание 1 Задание 2 Задание варианта e2x -1+ b sin(2 at ) x2 ln(1+ x)dx f (t)= x + = 0 a a x2 +s +x + 2x3 + 5x2 F(s) = lim arctg - x s2(s -1)(s + 2) x + 2 4 - 0,5x +15 = sin x - ln x k + f (t)= sin t sh t k ! - 0,5 = k =b xs2 +x2 - 2 x + 1 dx F(s)= x6 + 4 (s2 + 4)(s2 + 9) -1 = a 0,5e3x + x sin 7t sin 3t d x2n -= 0 f (t)= 13 arccos t dx x(1- 2x)x2n +x + 1 -1xarctg x dx - 2 x -1 = 0 F(s)= s2 + s4 + s2 +Лабораторная работа № ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В MATHCAD Цель работы.

1 Научиться решать в MathCAD дифференциальные уравнения численным способом.

2 Ознакомиться со способом численного решения систем дифференциальных уравнений в MathCAD.

Задание.

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Решить в MathCAD дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений в соответствии с вариантом задания (табл. 2).

Методические указания Численное решение дифференциального уравнения n-го порядка an y(n) + an-1y(n-1) +... + a1y + a0 y = f (x) с начальными условиями ( y(n-1)(x0) = y0n-1), … y (x0) = y0, y(x0) = yна отрезке x [x0, xK ] в MathCAD может быть найдено при помощи функции odesolve (x, xK, steps). Здесь x – переменная дифференцирования; xK – правая граница отрезка, на котором ищется решение; steps – необязательный параметр, определяющий число шагов разбиения интервала [x0, xK ] для нахождения решения дифференциального уравнения.

Ввод дифференциального уравнения и начальных условий производится в блоке, начинающемся с директивы given ("дано").

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y + 2y + 3y = sin x с начальными условиями y (0) = 1 и y(0) = 0 на отрезке x [0, 20].

Решение данного уравнения проиллюстрировано на рис. 4.

Рис. 4 Пример решения дифференциального уравнения Замечания к решению дифференциального уравнения (рис. 4).

1 Ввод знака равенства в дифференциальном уравнении и в начальных условиях производится при помощи кнопки палитры "Сравнения и отношения".

2 Знак производной ("штрих") вводится кнопкой клавиатуры. При этом, если необходимо ввести четвертую производную, то необходимо ввести четыре "штриха", пятую – пять "штрихов" и т.д.

Численное решение системы из n дифференциальных уравнений первого порядка y0 = f0(x, y0, y1,..., yn-1);

y f1(x, y0, y1,..., yn-1);

=...

yn-1 = fn-1(x, y0, y1,..., yn-1) с начальными условиями y0(x0) = y0,0;

(x0) y = y0,1;

...

yn-1 =y0,n-(x0) на отрезке x [x0, xK ] в MathCAD может быть найдено при помощи функции rkfixed (y, x0, xK, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом таблицу решения системы.

При этом начальные условия необходимо задать в виде вектора y, а правые части системы уравнений – в виде вектора F; n – число точек разбиения заданного интервала [x0, xK ].

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений 2 y0 = µy0(x)- y1(x)-[y0 y (x) (x)+ (x)]y0(x);

2 y1(x) = µy1(x)+ y0(x)-[y0 (x)+ y1 (x)]y1(x) с начальными условиями y0(0) = 0;

(0) = 1, yа параметр µ = -0,1. Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интервале x [0, 20].

Рис. 5 Решение системы дифференциальных уравнений Решение данной задачи в MathCAD представлено на рис. 5.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n = 0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй – переменной y0, а третий – y1 (рис. 5).

Кроме функций решения дифференциальных уравнений odesolve и rkfixed, в MathCAD существует и ряд других, например, rkadapt и bulstoer.

Задания для самостоятельной работы В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания.

1 Найти численное решение дифференциального уравнения в MathCAD на интервале x [0, 20]. Построить график решения.

2 Численно решить систему дифференциальных уравнений в MathCAD на интервале x [0, 50]. Построить графики решения.





Таблица № вари- Задание 1 Задание анта 1 y - 4y + 3y = 0, dx = y - 7x;

x(0)= -1;

y(0)= 6, y (0) = 10 dt dy y (0)= + 2x + 5y = 0, dt 2 y + 4y + 29y = 0, dx = x - 3y;

x(0)= -1;

y(0)= 0, y (0)=15 dt dy (0)= y 1.

= 3x + y, dt 3 4y + 4y + y = 0, dx = x2 - 4y;

x(0)= -1;

y(0)= 2, y (0)= 0 dt dy (0)= y - y, = x dt 4 y = -y, dx = 2x + y;

x(0) = 1;

y(0)= 2, y (0)= 0, dt dy y (0)= y (0)= -= 3x + 4y, dt yV = y, dx = 3x - 5y;

x(0) = 0;

dt y(0)= 0, y (0)=1, dy (0)= y - y, = 2x y (0)= 0, y (0)= 1, dt yIV(0)= y + 2y + y + 2e-2x = 0 dx = x;

x(0)= 5;

dt, dy y (0)= y(0)= 2, y (0)=1, = x + y, dt y (0)= 7 - y = 3(2 - x2), dx y = x - y + z;

x(0) = dt -1;

y(0)=1, y (0)= 1, dy (0)= = x + y - z;

y 1;

y (0)= dt z (0)= dz 2x - y, = dt Продолжение табл. № вари- Задание 1 Задание анта dx 8 y + 9y = 0, = x - ;

x(0)= 0;

dt y y(0)= 3, y (0)=1, dy (0)= y = 2x - y, y (0)= - dt 9 y + y - 2y = 0, dx = 2x + y - 3z;

x(0)= 1;

dt y(0)= 0, y (0)=dy (0) = x2 - 3y;

y = 2;

dt z (0)= dz x + y + z, = dt 10 4y - 20y + 25y = 0, dx = x + 2x2;

x(0)= 0, dt y(0)= 4, y (0)= dy (0)= y 0.

- 3y, = x dt 11 y + 2y +1 = 0, dx = x + y3 + 4z;

x(0)= 2;

dt y(0)= 2, y (0)=1, dy (0)= = x + + 5z;

y 3;

y (0)= dt y z (0)= dz x + 2y + 0,5z, = dt 12 dx yIV + y + y = 0, = x3 - 5y;

x(0) = 1;

dt y(0)= 3, y (0)= 2, dy (0) y = - y)2, = (x y (0)= 1, y (0) = dt dx 13 y + y + y + y = ex, = x - 3y;

x(0)= 2;

dt y = y(0)= 0, y (0) = -2, dy (0) = 3x + y, y (0)= dt dx 14 y + 2y + y -1 = 0, = 3x + 2y - z;

x(0) = 1;

dt y(0)= -2, y (0)= 3, dy (0)= = y - z; y 10;

y (0)= dt z (0)= dz x + 2y, = dt Лабораторная работа № ОБРАБОТКА ДАННЫХ В MATHCAD Цель работы.

1 Изучить способы проведения интерполяции табличных данных в MathCAD.

2 Ознакомиться с функциями построения уравнений регрессии в MathCAD.

Задание.

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Выполнить интерполяцию табличных данных и получить модель заданного вида с помощью регрессионного анализа в соответствии с вариантом задания (табл. 3).

Методические указания Интерполяция При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x):

x x1 x2 x3 … xn-1 xn y y1 y2 y3 … yn-1 yn При этом число заданных точек этой зависимости ограничено.

Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией [2]. В MathCAD имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.

При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интерполяции используется функция linterp(VX, VY, x), где VX и VY – векторы, задающие узловые точки исходной табличной зависимости, а x – аргумент результирующей интерполяционной функции.

Например, на рис. 6 исходная табличная зависимость y(x) задается векторами VX и VY (по 5 точек).

Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i(x), которая позволяет для любого значения аргумента x определить искомую величину функции y. График этой функции представлен на рис. 6 (пунктир) вместе с узловыми точками (крестики). Из рис. 6 видно, что в узловых точках VXi значения функции f_i(x) совпадают с табличными VY.

Рис. 6 Проведение кусочно-линейной интерполяции в MathCAD Как видно из рис. 6, результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе узловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в целях повышения точности целесообразнее использовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.

Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCAD имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:

• cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

• pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

• lspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) определяет для найденного ранее вектора вторых производных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y(x) интерполяционную сплайновую функцию.

Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCAD производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех функций (cspline, pspline или lspline), а на втором – определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp. Пример дан на рис. 7.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.