WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» – Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра «Высшая математика» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания к проведению практических занятий Составители Выск Н Д Селиванов Ю В Москва Данные методические указания предназначены для оказания помощи преподавателям в проведении практических занятий по теории вероятностей и математической статистике и для унификации требований предъявляемых к студентам Они могут также помочь студентам лучше усвоить теоретиче ский и практический материал В пособии приведены варианты контрольной работы по теории вероятностей и задание для курсовой работы по математи ческой статистике Методические указания могут использоваться на всех факультетах и спе циальностях где ведется курс теории вероятностей и математической стати стики ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для оказания помощи преподавателям впервые приступающим к проведению практических занятий по высшей ма тематике а также для унификации требований предъявляемых к студентам Оно содержит методические указания к проведению занятий по теории веро ятностей и математической статистике Эти методические указания могут также помочь студентам лучше усвоить теоретический и практический мате риал Количество занятий и тема каждого занятия соответствуют утвержден ной программе по направлению «Прикладная механика» В пособии приведены варианты контрольной работы «Элементарная теория вероятно стей» и задание для курсовой работы «Статистическая обработка результатов измерений» Пособие может использоваться на всех факультетах и специаль ностях где ведется курс теории вероятностей и математической статистики Работа частично поддержана федеральной программой «Государствен ная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» проект № ЗАНЯТИЕ Алгебра случайных событий Классическое опре деление вероятности Простейшие свойства вероятности Эле менты комбинаторики Предложить студентам в качестве основного рекомендуемого задачника «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» Гмурман В Е «Высшая школа» М Напомнить понятия события вероятности события несовместных и равновероятных событий достоверного и невозможного событий полной группы событий а также понятия суммы произведения разности событий противоположного события Проиллюстрировать эти понятия на простейших примерах например рассмотреть ситуацию бросания игральной кости или геометрическую ситуацию бросание точки на плоскость Разобрать со сту дентами одну или две задачи на поле событий например ЗАДАЧА Среди студентов собравшихся на лекцию по теории вероят ностей выбирают наудачу одного Пусть событие заключается в том что он — юноша Событие в том что он не курит а событие в том что он живет в общежитии Описать событие = При каком условии будет иметь место тождество Когда будет справедливо соотношение Когда будет верно равенство = будет ли оно иметь место если все юноши курят ЗАДАЧА Пусть — три произвольно выбранных события Найти выражения для событий состоящих в том что из а произошло только б произошли и но не произошло в все три события произошли г произошло хотя бы одно из этих событий д произошло хотя бы два события е произошло одно и только одно из этих событий ж произошло два и только два события з ни одно из событий не произошло и произошло не более двух событий Рассмотреть множество из элементарных исходов образующих пол ную группу равновозможных событий из которых благоприятствуют событию Дать классическое определение вероятности по формуле = и сформулировать свойства вероятности Разобрать со студентами несколько задач на классическое определение вероятности ЗАДАЧА В коробке лежат внешне одинаковые конфеты из которых штук с шоколадной начинкой а — с фруктовой Из коробки вынута одна конфета Найти вероятность того что она с шоколадной начинкой ЗАДАЧА Какова вероятность того что наудачу взятую кость домино можно приставить к данной ЗАДАЧА Пусть на кону лежит карта — валет треф а козыри пики Найти вероятность того что наудачу взятой из колоды картой карта лежащая на кону будет бита Задачи из задачника Обратить внимание студентов на то что решение задач на классическое определение вероятности необходимо начинать с описания пространства элементарных исходов и выяснения того что является в данной задаче испы танием а что — результатом испытания элементарным исходом Так как при изучении теории вероятностей студентам приходится осваивать много новых понятий и ответы на эти «простые» вопросы могут вызвать у них за труднения преподаватель должен терпеливо раскрывать смысл этих понятий дав вначале возможность студентам попробовать сделать это самим Полезно рассмотреть следующие задачи ЗАДАЧА Некто купил два лотерейных билета Каковы вероятности того что выиграют или билета Объяснить что в этой задаче указанные три события не образуют про странство элементарных исходов и вероятности этих событий не равны здесь пространство элементарных исходов большое оно определяется всем тиражом выигрышей ЗАДАЧА Одновременно бросаются две монеты Найти вероятность того что выпадет два «герба» «герб» и надпись две надписи Пояснить что вероятности этих событий тоже не равны поскольку хотя они и образуют полную группу событий но не являются равновероят ными Написать формулы для числа размещений сочетаний и перестановок из комбинаторики Выполнить несколько примеров на эти формулы ЗАДАЧА Сколькими способами можно расставить в одну шеренгу человек ЗАДАЧА Каждая кость домино помечается двумя числами Кости симметричны так что числа в парах не упорядочены Сколько различных костей можно образовать используя числа ЗАДАЧА Числа расположены в случайном порядке Найти вероятность того что числа а и б и расположены рядом в указанном порядке ЗАДАЧА Найти вероятность того что из трех случайно выбранных цифр ровно две одна ноль будут повторяться Примерное домашнее задание №№ из задачника ЗАНЯТИЕ Геометрические вероятности Теорема сложения вероятностей Проверить выполнение студентами домашнего задания и разобрать у доски вместе с одним из студентов задачи вызвавшие наибольшие затрудне ния Объяснить недостаток классического определения вероятности которое неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов и напомнить геометрическое определение вероятности При определении веро ятности попадания точки в область рассмотреть несколько случаев выбора области отрезок плоская фигура пространственная фигура Проиллюстри ровать формулы геометрической вероятности на примерах задачи Предложить студентам самостоятельно решить задачи Давать ука зания по ходу решения а затем вместе с одним из студентов разобрать каж дую задачу у доски После этого разобрать у доски решение задачи Сформулировать теоремы сложения вероятностей несовместных и со вместных событий и теорему умножения вероятностей независимых собы тий Отметить что последняя теорема может служить определением незави симости событий Проиллюстрировать указанные теоремы на примере зада чи из задачника Разобрать со студентами задачу Предложить для само стоятельного решения задачи Проверить их выполнение Разо брать у доски задачи вызвавшие наибольшие трудности Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Условная вероятность Теорема умножения вероят ностей Формула полной вероятности Проверить домашнее задание и ответить на вопросы студентов Напом нить формулу = условной вероятности события при условии Напомнить теорему ум ножения вероятностей а также условие независимости событий = Рассмотреть со студентами задачи на условную вероятность ЗАДАЧА Студент пришел на экзамен зная лишь из вопросов программы Экзаменатор задал студенту вопроса Используя понятие ус ловной вероятности найти вероятность того что студент знает все эти вопро сы ЗАДАЧА Разыскивая специальную книгу студент решил обойти три библиотеки Для каждой библиотеки одинаково вероятно есть в ее фондах книга или нет И если книга есть то одинаково вероятно занята она другим читателем или нет Что более вероятно — достанет студент книгу или нет если известно что библиотеки комплектуются независимо одна от другой Предложить студентам решить самостоятельно какие нибудь из задач Проверить выполнение Напомнить формулу полной вероятности Решить модельную задачу на эту тему ЗАДАЧА Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами В пер вой урне содержатся черных и белых шара во второй — черных и белых а в третьей — черных и белых Наудачу выбирается урна и из нее наудачу выбирается шар Найти вероятность того что выбранный шар — бе лый Предложить студентам самостоятельно решить задачи Давать указания по ходу решения а затем вместе с одним из студентов разобрать каждую задачу у доски Обратить внимание студентов на необходимость правильного выбора событий в качестве гипотез Гипотезы должны составлять полную группу со бытий и относиться к одному и тому же испытанию Все события должны быть конкретны Нельзя например в задаче рассматривать событие — «выбран белый шар» не уточняя при каком испытании т е из какой урны Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Формула Байеса Формулы Бернулли и Пуассона Проверить домашнее задание ответить на вопросы студентов и разо брать задачи вызвавшие наибольшие затруднения Напомнить формулу Байеса Объяснить что она применяется для пере оценки вероятностей гипотез в предположении что некоторое событие произошло Решить модельную задачу на формулу Байеса ЗАДАЧА Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами В пер вой урне содержатся черных и белых шара во второй — черных и белый в третьей — черных и белых Наудачу выбрана урна и из нее нау дачу выбран шар Этот шар оказался черным Какова вероятность того что была выбрана третья урна Предложить студентам для самостоятельного решения задачи из задачника Проверить выполнение Объяснить схему повторных независимых испытаний схему Бернулли Напомнить формулу вероятности появления события ровно раз в опытах формулу Бернулли Разобрать пример типа ЗАДАЧА Монету бросают раз Найти вероятность того что «герб» выпадет раза Преподавателю полезно учесть что студенты в этой задаче иногда дают неверный ответ Далее можно решить со студентами еще две задачи №№ После этого дать формулу Пуассона как предел формулы Бернулли на помнив условия ее практического использования Предложить для решения задачи Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Контрольная работа На этом занятии рекомендуется провести контрольную работу по прой денному материалу Тема контрольной работы «Элементарная теория вероят ностей» Дадим примерные варианты ВАРИАНТ № Из роз и георгинов нужно составить букет содержащий розы и георгина Сколько можно составить различных букетов Из колоды в карты извлекаются наудачу карты Найти вероятно = сти следующих событий в полученной выборке все карты бубновой = масти в полученной выборке окажется хотя бы один туз Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четы рех выстрелах равна Найти вероятность попадания при одном выстре ле По каналу связи передается одна из трех последовательностей букв или вероятности которых равны соответственно и Буква принимается правильно с вероятностью вероятность ее приема за другую — и буквы искажаются независимо друг от друга Найти вероятность того что передано если получено Отрезок длина которого см разделен точкой в отношении На этот отрезок наудачу брошены пять точек Найти вероятность того что три из них окажутся левее точки и две — правее Предполагается что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения Найти вероятность того что в испытаниях по схеме Бернулли с ве роятностью успеха появятся успехов причем из них в трех последних испытаниях ВАРИАНТ № Множество содержит первых букв русского алфавита Сколько различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв Какова вероятность того что случайно выбранный алфавит будет со а держать букву В лотерее выпущено билетов из которых выигрышные Куплено билетов Найти вероятность того что из билетов хотя бы один выиг рышный Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий если известно что для второго орудия эта вероятность равна Известно что всех мужчин и всех женщин дальтоники Нау гад выбранное лицо страдает дальтонизмом Какова вероятность того что это мужчина Считать что мужчин и женщин одинаковое число На отрезке наудачу поставлены две точки разбившие его на три отрезка Найти вероятность того что из этих отрезков можно построить тре угольник В урне белых и черных шаров Вынули подряд шара причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают Какова вероятность того что из четырех выну тых шаров окажется два белых ВАРИАНТ № Сколькими способами можно выбрать человек из ти если дан ные два человека не могут быть выбраны вместе Из колоды в карты извлекаются наудачу карты Найти вероят ность того что будет получен следующий состав валет дама и два короля Вероятность того что наудачу названный студент сдаст первый экза мен равна второй экзамен — и третий — Найти вероятность того что студент сдаст хотя бы один экзамен считая экзамены независимыми друг от друга В первой урне белых и черных шара а во второй — белых и черный шар Из первой урны во вторую переложили два шара а затем из второй урны вынули наугад один шар Определить вероятность того что вы нутый шар — белый Какова вероятность того что сумма трех наудачу взятых отрезков длина каждого из которых не превосходит будет больше В семье пять детей Найти вероятность того что среди этих детей — три девочки и два мальчика Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми ВАРИАНТ № В теннисном турнире участвуют мужчин и женщин Сколькими способами можно составить четыре смешанные пары В лотерее выпущено билетов из которых выигрышные Купле но билетов Найти вероятность того что из билетов ровно один выигрышный В первом ящике белый красных и синих шара во втором — белых красных синих шара Из каждого ящика вынули по шару Найти вероятность того что среди вынутых шаров нет синих Производится серия независимых выстрелов зажигательными снаря дами по резервуару с горючим Каждый снаряд попадает в резервуар с веро ятностью Если в резервуар попадает один снаряд то горючее воспламе няется с вероятностью если два снаряда — с полной достоверностью Найти вероятность того что при выстрелах горючее воспламенится Найти вероятность того что монета радиусом см брошенная на бес конечную шахматную доску с клетками шириной см пересечет не более одной стороны клетки В классе мальчиков и девочек На каждый из трех вопросов за данных учителем ответили по одному ученику Какова вероятность того что среди ответивших было два мальчика и одна девочка ЗАНЯТИЕ Закон распределения дискретных случайных вели чин Многоугольник распределения Функция распределения Плотность распределения В начале занятия провести анализ контрольной работы и ответить на вопросы студентов Затем напомнить студентам следующие понятия случай ная величина дискретная случайная величина закон распределения и много угольник распределения дискретной случайной величины Решить со студен тами задачи Напомнить понятие функции распределения случайной величины ее свойства формулу для вероятности попадания в интервал Дать определение непрерывной случайной величины Решить задачи В задачах воспользоваться формулой < < = - В этих задачах полезно построить график функции В задаче на графике необходимо правильно изобразить стрелки Напомнить понятие плотности распределения случайной величины ее свойства и формулы связывающие плотность с функцией распределения и вероятностью попадания в интервал Решить задачи Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Равномерное и нормальное распределения В начале занятия проверить домашнее задание и ответить на вопросы студентов Напомнить определение случайной величины равномерно рас пределенной в интервале Дать формулу для плотности равномерного распределения и график этой плотности Разобрать со студентами задачу При решении этой задачи в качестве случайной величины можно выбрать момент подхода пассажира к остановке который равномерно распределен в промежутке времени равном интервалу движения автобусов мин Далее решить со студентами задачи Напомнить понятие случайной величины распределенной по нормаль ному закону Выписать на доске формулу для плотности нормальной случай ной величины а также формулу выражающую вероятность попадания такой случайной величины в интервал через функцию Лапласа Напомнить правило «трех сигм» Решить
Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.