WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования Российской Федерации “МАТИ” РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра “Высшая математика” Теория вероятностей и математическая статистика Методические указания к проведению практических занятий Составители доц Селиванов Ю В ст преп Выск Н Д Москва г ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для оказания помощи преподавателям в проведении прак тических занятий по высшей математике и для унификации требований предъявляемым к студен там Оно содержит методические указания к проведению занятий по теории вероятностей и мате матическая статистике Количество и темы занятий соответствуют утвержденной программе В пособии приведены варианты контрольной работы “Элементарная теория вероятностей” а также задание для курсовой работы “Статистическая обработка результатов измерений” Работа частично поддержана федеральной программой “Государственная поддержка инте грации высшего образования и фундаментальной науки” проект № ЗАНЯТИЕ Алгебра случайных событий Классическое определение вероятности Простейшие свойства вероятности Элементы комбинаторики Предложить студентам в качестве основного рекомендуемого задачника “Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике” Гмурман В Е “Высшая школа” М Напомнить понятия события вероятности события несовместных и равновероятных со бытий достоверного и невозможного событий полной группы событий а также понятия суммы произведения разности событий противоположного события Проиллюстрировать эти понятия на простейших примерах например рассмотреть ситуацию бросания игральной кости или гео метрическую ситуацию бросание точки на плоскость Разобрать со студентами одну или две за дачи на поле событий например ЗАДАЧА Среди студентов собравшихся на лекцию по теории вероятностей выбирают наудачу одного Пусть событие заключается в том что он юноша Событие в том что он не курит а событие в том что он живет в общежитии Описать событие При каком условии будет иметь место тождество = Когда будет справедливо соотношение Когда будет верно равенство = будет ли оно иметь место если все юноши курят ЗАДАЧА Пусть три произвольно выбранных события Найти выражения для событий состоящих в том что из а произошло только б произошли и но не произошло в все три события произошли г произошло хотя бы одно из этих событий д произошло хотя бы два события е произошло одно и только одно из этих событий ж произошло два и только два события з ни одно из событий не произошло и произошло не более двух событий Рассмотреть множество из элементарных исходов образующих полную группу равнове роятных событий из которых благоприятствуют событию Дать классическое определение вероятности по формуле = и сформулировать свойства вероятности Разобрать со студентами несколько задач на классическое определение вероятности на пример ЗАДАЧА В коробке лежат внешне одинаковые конфеты из которых штук с шоколад ной начинкой а с фруктовой Из коробки вынута одна конфета Найти вероятность того что она с шоколадной начинкой ЗАДАЧА Какова вероятность того что наудачу взятую кость домино можно приставить к данной ЗАДАЧА Пусть на кону лежит карта валет треф а козыри пики Найти вероятность то го что наудачу взятой из колоды картой карта лежащая на кону будет бита Задачи из задачника Обратить внимание студентов на то что решение задач на классическое определение веро ятности необходимо начинать с описания пространства элементарных исходов и выяснения того что является в данной задаче испытанием а что результатом испытания элементарным исхо дом Отметим что при изучении теории вероятностей студентам приходится осваивать достаточ но много новых для них понятий и ответы на указанные выше “простые” вопросы вначале вызы вают у них большие затруднения Поэтому преподаватель должен терпеливо раскрывать смысл этих понятий в каждой задаче дав вначале возможность студентам попробовать сделать это са мим Полезно рассмотреть следующие задачи ЗАДАЧА Некто купил два лотерейных билета Каковы вероятности того что выиграют или билета Объяснить что в этой задаче указанные три события не образуют пространство элементар ных исходов и вероятности этих событий не равны здесь пространство элементарных исходов большое оно определяется всем тиражом выигрышей ЗАДАЧА Одновременно бросаются две монеты Найти вероятность того что выпадет два “герба” “герб” и надпись две надписи Пояснить что вероятности этих событий тоже не равны поскольку хотя они и образуют полную группу событий но не являются равновероятными Написать формулы для числа размещений сочетаний и перестановок из комбинаторики Выполнить несколько примеров на эти формулы ЗАДАЧА Сколькими способами можно расставить в одну шеренгу человек ЗАДАЧА Каждая кость домино помечается двумя числами Кости симметричны так что числа в парах не упорядочены Сколько различных костей можно образовать используя числа ЗАДАЧА Числа расположены в случайном порядке Найти вероятность того что числа а и б и расположены рядом в указанном порядке ЗАДАЧА Найти вероятность того что из трех случайно выбранных цифр ровно две одна ноль будут повторяться Примерное домашнее задание №№ из задачника ЗАНЯТИЕ Геометрические вероятности Теорема сложения вероятностей Проверить выполнение студентами домашнего задания и разобрать у доски вместе с одним из студентов задачи вызвавшие наибольшие затруднения Объяснить недостаток классического определения вероятности которое неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов и напомнить геометрическое опреде ление вероятности При определении вероятности попадания точки в область рассмотреть не сколько случаев выбора области отрезок плоская фигура пространственная фигура Проиллюст рировать формулы геометрической вероятности на примерах задачи Предложить студен там самостоятельно решить задачи Давать указания по ходу решения а затем вместе с одним из студентов разобрать каждую задачу у доски После этого разобрать у доски решение за дачи Сформулировать теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий Обратить внимание студентов на тот факт что последняя теорема может служить определением независимости событий Проиллюст рировать указанные теоремы на примере задачи из задачника Разобрать со студентами решение задачи Предложить для самостоятельного решения задачи Проверить их выпол нение Разобрать у доски задачи вызвавшие наибольшие трудности Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Условная вероятность Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Проверить домашнее задание и ответить на вопросы студентов Напомнить формулу = условной вероятности события при условии Напомнить теорему умножения вероятно стей а также условие независимости событий = Рассмотреть со студентами задачи на условную вероятность ЗАДАЧА Студент пришел на экзамен зная лишь из вопросов программы Экзаме натор задал студенту вопроса Используя понятие условной вероятности найти вероятность то го что студент знает все эти вопросы ЗАДАЧА Разыскивая специальную книгу студент решил обойти три библиотеки Для каждой библиотеки одинаково вероятно есть в ее фондах книга или нет И если книга есть то оди наково вероятно занята она другим читателем или нет Что более вероятно достанет студент кни гу или нет если известно что библиотеки комплектуются независимо одна от другой Предложить студентам решить самостоятельно какие нибудь из задач Проверить выполнение Напомнить формулу полной вероятности Решить модельную задачу на эту тему ЗАДАЧА Пусть имеются урны с белыми и черными шарами В первой урне содержатся черных и белых шара во второй черных и белых а в третьей черных и белых Науда чу выбирается урна и из нее наудачу выбирается шар Найти вероятность того что выбранный шар белый Предложить студентам самостоятельно решить задачи Давать указания по ходу ре шения а затем вместе с одним из студентов разобрать каждую задачу у доски Обратить внимание студентов на необходимость правильного выбора событий в качестве гипотез Гипотезы должны составлять полную группу событий и относится к одному и тому же испытанию Все события должны быть конкретны Нельзя например в задаче рассматривать событие “выбран белый шар” не уточняя при каком испытании т е из какой урны Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Формула Байеса Формулы Бернулли и Пуассона Проверить домашнее задание ответить на вопросы студентов и разобрать задачи вызвав шие наибольшие затруднения Напомнить формулу Байеса Объяснить что она применяется для переоценки вероятностей гипотез в предположении что некоторое событие произошло Решить модельную задачу на формулу Байеса ЗАДАЧА Пусть имеются урны с белыми и черными шарами В первой урне содержатся черных и белых шара во второй черных и белый в третьей черных и белых Наудачу выбрана урна и из нее наудачу выбран шар Этот шар оказался черным Какова вероятность того что была выбрана третья урна Предложить студентам для самостоятельного решения задачи Проверить вы полнение Объяснить схему независимых повторных испытаний схему Бернулли Напомнить форму лу вероятности появления события ровно раз в опытах формулу Бернулли Разобрать пример типа ЗАДАЧА Монету бросают раз Найти вероятность того что “герб” выпадет три раза Преподавателю полезно учесть что студенты иногда дают неверный ответ Далее можно решить со студентами еще две задачи №№ После этого напомнить формулу Пуассона как предел формулы Бернулли напомнив усло вия ее практического использования Предложить для решения задачи Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Контрольная работа На этом занятии рекомендуется провести контрольную работу по пройденному материалу Тема контрольной работы “Элементарная теория вероятностей” Дадим примерные варианты ВАРИАНТ Из роз и георгинов нужно составить букет содержащий розы и георгина Сколь ко можно составить различных букетов Из колоды в карты извлекаются наудачу карты Найти вероятности следующих со бытий = в полученной выборке все карты бубновой масти = в полученной выборке ока жется хотя бы один туз Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех выстрелах равна Найти вероятность попадания при одном выстреле По каналу связи передается одна из трех последовательностей букв или СССС вероятности которых равны соответственно и Буква принимается правильно с вероятностью вероятность ее приема за другую и буквы искажаются независимо друг от друга Найти вероятность того что передано если получено Отрезок длина которого см разделен точкой в отношении На этот отрезок наудачу брошены пять точек Найти вероятность того что три из них окажутся левее точки и две правее Предполагается что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна дли не отрезка и не зависит от его расположения Найти вероятность того что в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха появятся успехов причем из них в трех последних испытаниях ВАРИАНТ Множество содержит первых букв русского алфавита Сколько различных алфави тов из трех букв можно составить из данного множества букв Какова вероятность того что слу чайно выбранный алфавит будет содержать букву В лотерее выпущено билетов из которых выигрышные Куплено билетов Найти вероятность того что из билетов хотя бы один выигрышный Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий если известно что для второ го орудия эта вероятность равна Известно что всех мужчин и всех женщин дальтоники Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом Какова вероятность того что это мужчина Считать что мужчин и жен щин одинаковое число На отрезке наудачу поставлены две точки разбившие его на три отрезка Найти ве роятность того что из этих отрезков можно построить треугольник В урне белых и черных шаров Вынули подряд шара причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают Какова вероят ность того что из четырех вынутых шаров окажется два белых ВАРИАНТ Сколькими способами можно выбрать человек из ти если данные человека не мо гут быть выбраны вместе Из колоды в карты извлекаются наудачу карты Найти вероятность того что будет получен следующий состав валет дама и два короля Вероятность того что наудачу названный студент сдаст первый экзамен равна вто рой экзамен и третий Найти вероятность того что студент сдаст хотя бы один экзамен считая экзамены независимыми друг от друга В первой урне белых и черных шара а во второй белых и черный шар Из первой урны во вторую переложили два шара а затем из второй урны вынули наугад один шар Опреде лить вероятность того что вынутый шар белый Какова вероятность того что сумма трех наудачу взятых отрезков длина каждого из ко торых не превосходит будет больше В семье пять детей Найти вероятность того что среди этих детей три девочки и два мальчика Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми ВАРИАНТ В теннисном турнире участвуют мужчин и женщин Сколькими способами можно составить смешанные пары В лотерее выпущено билетов из которых выигрышные Куплено билетов Найти вероятность того что из билетов ровно один выигрышный В первом ящике белый красных и синих шара во втором белых красных синих шара Из каждого ящика вынули по шару Найти вероятность того что среди вынутых ша ров нет синих Производится независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с го рючим Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью Если в резервуар попал один сна ряд то горючее воспламеняется с вероятностью если два снаряда с полной достоверностью Найти вероятность того что при выстрелах горючее воспламенится Найти вероятность того что монета радиусом см брошенная на бесконечную шахмат ную доску с клетками шириной см пересечет не более одной стороны клетки В классе мальчиков и девочек На каждый из трех вопросов заданных учителем ответили по одному ученику Какова вероятность того что среди ответивших было два мальчика и одна девочка ЗАНЯТИЕ Закон распределения дискретных случайных величин Многоугольник распределения Функция распределения Плотность распределения В начале занятия провести анализ контрольной работы и ответить на вопросы студентов Затем напомнить студентам следующие понятия случайная величина дискретная случайная вели чина закон распределения и многоугольник распределения дискретной случайной величины Ре шить со студентами задачи Напомнить понятие функции распределения случайной величины ее свойства и формулу для вероятности попадания в интервал Дать определение непрерывной случайной величины Ре шить задачи В задачах воспользоваться формулой < < = - В этих задачах полезно построить график функции В задаче на графике необходимо правильно изобразить стрелки Напомнить понятие плотности распределения случайной величины ее свойства и фор мулы связывающие плотность с функцией распределения и вероятностью попадания в интервал Решить задачи Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Равномерное и нормальное распределения В начале занятия проверить домашнее задание и ответить на вопросы студентов Напом нить определение случайной величины равномерно распределенной в интервале Дать фор мулу для плотности равномерного распределения и график этой плотности Разобрать со студен тами задачу При решении этой задачи в качестве случайной величины можно выбрать момент подхода пассажира к остановке который равномерно распределен в интервале равном минутам Далее решить со студентами задачи Напомнить понятие случайной величины распределенной по нормальному закону Выпи сать на доске формулу для плотности нормальной случайной величины а также формулу выра жающую вероятность попадания такой случайной величины в интервал через функцию Лапласа Напомнить правило “трех сигм” Решить со студентами задачи и следующую задачу ЗАДАЧА Случайная величина подчинена нормальному закону с параметрами = и Вероятность попадания этой случайной величины на участок - равна Найти и написать выражение для плотности распределения случайной величины При решении этой задачи воспользоваться таблицей значений функции Лапласа см приложение в задачнике Примерное домашнее задание №№ ЗАНЯТИЕ Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин Проверить домашнее задание и ответить на вопросы студентов Напомнить формулы для вычисления математического ожидания дисперсии среднего квадратического отклонения и моментов случайной величины рассмотрев случаи дискретной и непрерывной случайных вели чин Дать определение центрированной случайной величины Выписать формулы = = = = - = - + Напомнить чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины распреде ленной равномерно в интервале и случайной величины распределенной по нормальному закону Решить со студентами задачи Примерное домашнее задание №№
Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.