WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

Она уже не может быть решена в элементарных функциях. Однако можно рассмотреть упрощенный вариант решения, предложенный Л. М. Бреховских (1957).

Обозначим звуковые потенциалы падающей и один и два раза отраженной волн в виде:

jk ( x sin -z cos ) U1 = Be ;

(III.69) jk ( x sin +z cos ) U2 = RAe ;

j где А и В — произвольные постоянные, через R = R e коэффициент отражения от дна.

Рассмотрим с учетом граничных условий отношение звуковых потенциалов падающей к отраженной волне на нижней и верхней границах.

На нижней границе z=0 имеем:

UA A = ezjkz cos =. (III.70) U1 z=0 B B Отношение (III.70) поскольку оно удовлетворяет граничным условиям должно равняться коэффициенту отражения от дна, т.е. :

A = R (III.71) B На верхней границе z=h имеем:

UB B = e-2 jkz cos = e- j2kh cos. (III.72) U2 z=h A A z=h Для удовлетворения граничным условиям отношение (III.72) должно равняться коэффициенту отражения от верхней границы, т.е.

B = e- jk 2h cos = R2, (III.73) A Перемножая правые и левые части равенств (III.71) и (III.73), получим R1R2 = e- jk 2h cos, или R1R2ejk 2h cos = 1. (III.74) Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений для любых = i (i=1,2,3...).

Проанализируем предельные случаи. Представим (III.74) в виде:

R1R2 = e- j 2kh cos (III.75) Коэффициент отражения от свободной поверхности воды равен R2=-1, т.е.

- R1 = e- j 2kh cos (III.76) В случае нормального падения волны на дно (=0) - R1 = e- j 2kh, т.е. коэффициент отражения зависит от глубины моря, с ростом которой он уменьшается и при h R10, т.е. звуковая энергия уйдет на глубину и не вернется.

§5. Нормальные волны в мелкой воде Как было показано в § 1 настоящей главы, в реальной модели мелкого моря движение волны происходит не только в вертикальном направлении, но образуется и бегущая волна, которая распространяется вдоль слоя в обе стороны от источника возбуждения. В этом случае на амплитуду колебания будет оказывать влияние не только мощность слоя и коэффициент отражения от границы вода-дно, но и угол падения волны на эту границу.

Будем рассматривать дно как абсолютно отражающую границу, поверхность моря - как свободную границу, граничные условия в этом случае имеют вид:

U приz = =. (III.77) z приz = h U = Волновое поле в слое воды будет представлять собой сумму плоских волн, отраженных от поверхности моря и от дна:

x cos x cos +z sin -z sin i t - i t - c c U = Ae + Be, (III.78) где — угол между границей и нормалью к фронту волны.

Дифференцируя U по z и приравнивая полученное выражение к нулю, согласно первому граничному условию находим, что А=В:

x cos i( t -cos ) i t - U iA sin iB sin c c =+ e = 0. (III.79) e z c c z=В самом деле, условие (III.79) выполняется в том случае, если А=В.

Это означает, что отражение от верхней и нижней границы слоя воды происходит без изменения амплитуды волны. С учетом выводов (III.79) преобразуем решение (III.78):

x cos iz sin -iz sin i t - c U = Ae. (III.80) e c + e c Выражение в квадратной скобке согласно формуле Эйлера равно z sin 2cos c и решение (III.78) принимает вид:

x cos i t - z c U = 2 A cos sine, (III.81) c c где = c0 — кажущаяся скорость распространения волны вдоль cos поверхности дна. Подставляя в решение (III.80) второе граничное условие, нетрудно видеть, что оно удовлетворяется, если выражение в квадратной скобке будет равно нулю, т.е. с учетом = c 2h cos sin = 0. (III.82) z=h 2h ( ) Последнее имеет место, если: sin = 2n + 1 ; (n = 0,1,2,3...).(III.83) В последнем выражении (III.83) выразим sin через cos и, учиc тывая, что = c0, где c0 - кажущаяся скорость, получим:

cos c c0 =. (III.84) 1- (2n + 1)16hВыражение (III.84) является дисперсионным уравнением кажущейся скорости для волны, распространяющейся вдоль границы вода-дно. Оно показывает, что скорость меняется от соотношения длины волны к толщине слоя воды. Если длина волны больше 4h, h то при h=0, c0 будет мнимой. Этот случай соответствует распространению поверхностных волн Лява SH.

Для критической частоты кр получаем: к р = 4h, что соответстcвует частоте f =.

к р 4h Это значит, что если длина волны меньше критической, то волны распространяются без затухания. Если длина волны больше критической, то волны распространяются с затуханием. Затухание волн в случае абсолютно отражающего дна происходит в результате интерференции падающих и отраженных волн. скорость c0 по мере увели чения стремиться к скорости в безграничном пространстве.

h §6. Отражение звука от дна глубокого моря В глубоком море, т.е. когда отношение << 1 прямая и отраh женная волны от верхней и нижней границ водного слоя приходят раздельно, т.е. не интерферируют между собой. В этом случае представляет интерес рассмотреть отношение отраженной и падающей волн с целью выявления причин изменения амплитуды первоначальной волны после прохождения слоя воды и отражения от дна.

Учитывая тот факт, что расстояние между границами много больше длины волны, можно от сферических перейти к плоским волнам.

Напишем выражение для акустических потенциалов в верхнем слое, опуская везде фактор e-it :

U1 = eik (x sin -z cos ) ; (III.85) U2 = Reik (x sin + x cos ) Их отношение будет равно:

U= Re2ikz cos. (III.86) UПодставляя значения z=h на границах слоя воды имеем:

U2 U= R; = Re2ikh cos. (III.87) U1 z=0 U1 z=h Учитывая, что углы падения близки к нулю, а R везде вещественен, cтак как << получим:

cU= Re2ikh. (III.88) UФормула (III.88) позволяет определить R по соотношению амплитуд смещений прямой и отраженных волн U R = e-2ikh. (III.89) UЕсли h — глубина моря, а поглощением звука в воде можно пренебречь, то U R =. (III.90) U§7. Отражение звука от слоя донных осадков в океане Рассмотрим задачу об отражении плоской волны от однородного слоя толщиной h, падающей под горизонтальным углом i на верхнюю и нижнюю границу слоя (рис. 23). Будем полагать, что среды 1 и 3, разделяемые слоем h, также являются однородными, т.е.



распределение скорости и плотности в них по z и по x постоянны.

Решение ее впервые было изложено в работе Л. М. Бреховских (1957). Им мы и воспользуемся.

Эта задача имеет важное приложение для сейсмоакустики и гидроакустики. В частности таким слоем можно аппроксимировать толщу океанических осадков, подстилаемых базальтовым фундаментом, что справедливо для волн низкой частоты, соизмеримых с мощностью осадочной толщи, либо с каким-нибудь верхним слоем осадков, например, до первой отражающей границы (горизонт А).

Мощность этого неконсолоидированного слоя в океане в среднем меняется в пределах 150-300 м.

При прохождении волны через слой происходит интерференция (сложение) колебаний от верхней и нижней границ слоя. Поэтому для результирующего акустического поля в слое h можно написать следующее выражение:

2 2 U2 = W2e-ik z cos2 + R2eik z cos2 eik x sin 2. (III.91) () Ранее было показано, что отношение акустического давления к колебательной скорости при нормальном падении плоской волны на границу раздела двух сред характеризует волновое сопротивление (импеданс) среды (c). При произвольном падении P c = =. (III.92) V cos Здесь мы обозначим акустический импеданс буквой, чтобы не путать с координатой z.

При смене направления распространения волны cos меняет знак и P =-. (III.93) V В соответствии с этим будем считать, что среды (1,2,3) (рис. 23) характеризуется импедансом:

j cj =, где j=1,2,3... (III.94) i cos j Найдем акустическое давление и колебательную скорость, создаваемые результирующим полем U2 в слое h (Бреховских, 1957):

U2 2 V2 =- = ik2 cos2 W2e-ik z cos2 - R2eik z cos2 eik sin 2 ;

() z (III.95) 2 2 P2 =-iU2 =-i W2e-ik z cos2 + R2eik z cos2 eik x sin () PВ соответствии с формулой (III.92) отношение на границе z=Vдолжно равняться импедансу среды 1, т.е.

P2 W2 + R2ei2k z cos2 W2 + R= =, (III.96) V2 2 - R2ei2k z cos2 2 W2 - RW z=P2 W2 + R2 R2 - 1 откуда, = = или =. (III.97) V2 1 2 W2 - R2 W2 + 1 На верхней границе слоя, т.е. при z=h из выражений (III.95) имеем:

2 P2 We-ihk cos2 + R2eihk cos ==, (III.98) 2 V2 z=h 2 cos2 - R2eihk cosWe-ihk RПодставляя в (III.98) значение из (III.97) после простых преобраWзований с учетом формулы Эйлера: cos ± i sin = e±i (III.99) получим:

- i tgk2h cos1 = =. (III.100) 1 вх - i tgk2h cos2 2 Здесь через вх мы обозначим входной импеданс на верхней границе слоя. Теперь найдем звуковое поле в среде 3. Соответствующие выражения для давления и колебательной скорости имеют вид:

P3 = W3ei (z-h)k3 cos3 + R3ei( z-h) k3 cos3 eik x sin 3, [] (III.101) V3 = W3ei (z-h)k3 cos3 + R3ei( z-h) k3 cos3 eik x sin [] PПри z=h отношение должно быть равно входному импедансу Vслоя 3, т.е.

P3 W3 + R= =. (III.102) V3 z=h 3 W3 - R3 вх Следовательно, коэффициент отражения на верхней границе будет равен:

R3 - вх R32 = =. (III.103) W3 + вх Подставляя сюда выражение (III.100) для вх получим:

2 + ( )( - e-ik h cos2 + - + eik h cos) ( )( ) 1 2 2 3 1 2 2 R32 =. (III.104) 2 + + e-ik h cos2 + - - eik h cos( )() ( )() 1 2 2 3 1 2 2 Это и есть выражение для коэффициента отражения от слоя толщиной h.

Определим теперь амплитуду прошедшей через слой h волны.

Поле этой волны в среде 1 будет:

U1 = We-i(k z cos1 -k1x sin 1). (III.105) Согласно условиям непрерывности смещений, давлений и скорости на границе раздела z=0 смещение U1 должно быть равно смещению U2, определенному выражением (III.91):

2 2 We-i(k z cos1 -k1x sin 1) = We-ik z cos2 + R2eik z cos2 eik z sin 2. (III.106) () Полагая z=0 и учитывая закон Снеллиуса k1x sin1 = k2z sin2 получаем:

W1 = W2 + R2. (III.107) Аналогично из условий непрерывности U на границе z=h согласно выражениям (III.91) и (III.101) получаем:

2 W3 + R3 = W2e-ik h cos2 + R2eik h cosRили с учетом R12 = ;

W2 W3 1+ R12 = W2 e-ik h cos2 + R2 eik h cos2. (III.108) ( ) Разделим (III.107) на (III.108) и в полученное выражение подставим Rзначения R12 и :

WW1 1 W = =. (III.109) 2 W3 1 - - eik h cos2 + + + e-ik h cos ( )( ) ( )( ) 2 2 3 1 2 2 Полученная формула характеризует коэффициент прозрачности слоя.

Проанализируем теперь полученные выражения для R32 и W.

Если слой имеет нулевую мощность (h=0), то формулы (III.104) и (III.109) переходят в обычные выражения для коэффициента отражения и преломления от границы полупространства:

- 1 R32 = ; (III.110) + 1 W =. (III.111) + 1 - - 1 3 2 Полагая = R12, = R23 (III.112) + + 1 3 2 и подставляя их в формулы (III.104) и (III.109) получим обобщенные выражения для коэффициента отражения и прозрачности слоя h:

R23 + R12e2ihk cosR =, (III.113) 1+ R23R12 e2ihk cos1 W =. (III.114) 2 e-ihk cos2 + R12R23eihk cos + + ( )( ) 1 2 2 Если волна падает вертикально на поверхность слоя, что соответствует случаю глубокого моря, то полагая в формуле (III.104) cos2=и заменив экспоненциальные множители согласно формуле Эйлера e±ik h = cosk2h ± i sin k2h после простых преобразований получим:

R23 + R12 + i R12 - R23 tgk2h () ( ) R =. (III.115) 1+ R23R12 + i R23R12 - 1 tgk2h () () Разделив R на действительные и мнимые члены, получим для квадратного модуля R = a + b2, где a=ReR, b=УmR, окончательно получим выражение для (R=a+ib) коэффициента отражения от слоя при нормальном падении волны:





R23 + R12 - 4R23R12 sin2 k2h () R =. (III.116) 1+ R23R12 - 4R23R12 sin2 k2 h () Наличие в выражении для R функции sin2k2h свидетельствует, что модуль коэффициента отражения от слоя есть периодическая функция. Максимумы и минимумы осцилляции R легко находится обычным путем:

R23 + R() R =, (III.117) max 1+ R23R() n что имеет место при sin2k2h=0, т.е. если k2h=n, откуда h = ;

(n=0,1,2...) 2 R23 + R12 - 4R23R12 R23 - R() ( ) R = =, (III.118) min 2 1+ R23R12 - 4R23R12 1- R23R() () ( ) что имеет место при sin2k2h=1, т.е. если k2 h = 2n + 1, откуда ( ) 2n + h =. Таким образом, если 3<2<1, то R23R12>0 и коэффициент отражения имеет максимум при отражении от слоя, толщина которого h кратна целому числу полуволн и минимум, если толщина слоя кратна нечетному числу четверти длины волны. В первом случае R23 + R( ) R = ; (III.119) max 1+ R23R() во втором R( - R12 ) R =. (III.120) min 1- R23R() Из последнего выражения видно, что если R23=R12, то отражение от слоя будет отсутствовать совсем. Подставляя в это равенство выражение для импедансов сред:

- - 1 3 2 R12 = R23 = = ;

+ + 1 3 2 получим =. (III.121) 3 1 Таким образом, если между двумя любыми средами поместить четверть волновой слой с импедансом, равным среднему геометрическому импедансу этих сред, то отражение от слоя будет отсутствовать совсем.

Можно показать, что коэффициент отражения от слоя с поглощением представляет по прежнему осциллирующую функцию. Однако размах осцилляции уменьшается с увеличением мощности слоя h и при больших h величина R становится постоянной величиной, равной модулю коэффициента отражения от верхней границы слоя.

Это значит, что в толстом слое с поглощением волны затухают не доходя до нижней границы слоя и, следовательно, не образую интерференцию с отраженной от этой границы волной.

Период осцилляции R тот же, что и в слое без поглощения с той лишь разницей, что амплитуда осцилляции затухает с увеличением мощности слоя. Следует отметить, что аналогичный эффект поглощения в слое обеспечивается умножением модуля R на экспоненту, учитывающую фактор поглощения :

R = R e-2h (III.122) Исследование поведения коэффициентов отражения в функции h или частоты в слоях позволяет определить важнейшие характеристики среды такие как скорость звука и поглощение в глубоководных осадочных слоях, что было найдено нами (Орленок, 1977) (см. гл. VI).

Глава IV Лучевая теория распространения звука в море §1. Условия применимости лучевого приближения Изложенные выше принципы интерпретации материалов сейсмопрофилирования основаны главным образом на использовании импульсной формы записей нормально-отраженных волн — амплитудно и частотно-временных зависимостей сигнала. Кинематика отражений ограничивается при этом лишь регистрацией времен прихода волн от различных границ раздела под дном океана.

В этом смысле материалы ГСЗ являются более информативными, т.к. дают пространственно-временные характеристики отраженных и преломленных волн. Это позволяет получать годографы и, следовательно, данные о скоростях распространения волн в слоях океанической коры. В основе кинематической интерпретации волновой картины ГСЗ лежат известные принципы геометрической сейсмики (лучевое приближение). Согласно принципу Гюйгенса траектории лучей всюду перпендикулярны к фронту волны. Следовательно, в однородной среде эти лучи будут представлять прямые линии;

в неоднородной среде они будут искривлены.

Применение лучевого приближения в сейсмоакустике возможно лишь при соблюдении следующих условий:

1. Радиус кривизны лучей не должен быть больше длины волны;

2. Коэффициенты отражения и преломления существенно не меняются в пределах длины волны;

3. Изменение амплитуды сигнала и условий на границе должно быть мало в пределах длины волны;

4.Линейные размеры неровностей границ сред (шероховатость границы) должны быть меньше длины волны.

В практике морской сейсмоакустики, имеющей дело с инфразвуковыми частотами, нам приходится иметь дело с большими длинами волн (порядка десятков, сотен метров), в сравнении с которыми многими неоднородностями разреза можно пренебречь.

На высоких звуковых частотах соблюдение указанных условий значительно затруднено. Однако и здесь принципы лучевой теории находят широкое применение.

§2. Уравнение годографа отраженной волны При работах по методу ГСЗ с использовании группы судов при смещающихся расстояниях взрыв-прибор регистрируются три основные группы волн (рис.10) — отраженные, преломленные (головные) и рефрагированные.

Рассмотрим вначале характер распространения сейсмических волн под дном океана.

Пусть скорость звука увеличивается с глубиной по линейному закону c = c0 (1+ az) (IV.1) где C0 - некоторые постоянные значение скорости звука, измеренное в приповерхностном слое осадков на глубине h0; c1 - на глубине h1.

Тогда отношение c1 - c0 c= = gradc, (IV.2) h1 - h0 hбудет определять величину вертикального градиента скорости звука в воде. С учетом (IV.1) величина a в выражении (IV.1) будет равна gradc a =. (IV.3) cЕсли разбить градиентный слой на бесконечное множество тонких слоев, то на границе каждого из них падающий луч испытывает преломление согласно известному закону sini ci = = n(x, z). (IV.4) sini+1 ci+Время пробега вдоль луча OMX0 определится из выражения xt = (IV.5) n(x,z)dx.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.