WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

2 x r r r r r r r r Теперь вычислим второе слагаемое того же уравнения r 1 r - x x U x U U r2 - x = = 3, (II.33) r x r r r r r r x так как =.

x r Определяя аналогичным образом производные по y и по z получим выражение для лапласиана 2:

2 2 U U x2 U r - x= + ;

2 x2 r2 r r r 2 2 U U y2 U r - y= + ; (II.34) y2 r2 r2 r r 2 2 U U z2 U r - z= + ;

2 2 z2 r r r r Подставляя эти выражения в уравнение (II.26) получим:

2 U 2 U 1 (rU ) 2U = + = (II.35) r2 r r r rПодставив (II.35) в (II.), получим:

2 U c2 (rU ) =. (II.36) 2 t r r 2 U (rU ) Поскольку r =, имеем окончательно t r2 (rU ) (rU ) = c2. (II.37) t rЭто и есть волновое уравнение волны в сферической системе координат. Его общее решение имеет вид:

U = (r - ct) + (r + ct) (II.38) r r Вещественная часть этого решения имеет вид:

A r B r U = cost - + cost +, (II.39) r c r c где А и В — постоянные интегрирования, зависящие от начальных и граничных условий.

Так же как и в случае плоской волны, первый член в правой части уравнения (II.39) соответствует волне, распространяющейся от источника (прямой), второй член соответствует волне, бегущей в обратном направлении (отраженной). В безграничной среде отраженной волны не будет и уравнение (II.39) примет вид:

A r U = cost -. (II.40) r c §4. Акустическое давление и колебательная скорость плоской волны Введение понятия звукового потенциала U позволяет определить ряд важных параметров плоской волны. Потенциал U в безграничной среде определяется выражением:

x U = Acost -. (II.41) c Производная потенциала U по времени, умноженная на плотность среды, характеризует акустическое давление P плоской волны:

U x P = - = Asint - (II.42) t c Амплитуда акустического давления Pm равна: Pm = A. (II.43) Производная потенциала U по направлению x определяет колебательную скорость плоской волны:

U A x V = - = sint -. (II.44) x c c Амплитуда колебательной скорости Vm равна:

A Vm =. (II.45) c Величина = k называется волновым числом, показывающим c сколько длин волн укладывается на расстоянии x=2, т.е.

2f k = = =. (II.46) c c Сравнивая выражения (II.42) и (II.44), видим, что знаком синуса стоx ит одно и тоже выражение t -. Это значит, что в плоской волне c акустическое давление P и колебательная скорость V находятся в фазе.

Pm Pm Ac Взяв отношение, получим: == c ; таким образом, Vm Vm A Pm = c =. (II.47) Vm Полученное выражение называется акустическим сопротивлением (импедансом) среды.

Интенсивность I акустических колебаний плоской волны определяется из соотношения:

1 A 1 I = PmVm = A = kA2, т.е. I = kA2 (II.48).

2 c 2 Выражения (II.43), (II.45) и (II.48) показывают, что амплитуды акустического давления, колебательной скорости и интенсивности плоской волны не зависят от расстояния x, т.е. плоская волна в однородной непоглощающей среде (c=const, =0) распространяется без потерь. Это объясняется тем, что при постоянной скорости и бесконечной длине фронта, волновые поверхности при удалении от источника колебаний не увеличиваются.

В реальных средах при возбуждении колебаний в воде, или в твердых породах интенсивность акустических колебаний по мере удаления от источника возбуждений уменьшается. Это ослабление интенсивности вызвано главным образом геометрическим расхождением, т.е. увеличением фронта волновой поверхности при удалении от источника и рассеянием энергии ударного импульса на мелкомасштабных, соизмеримых с длиной волны неоднородностях среды. При наличии границ раздела энергии уменьшается также за счет частичного отражения волн от этих границ.

Рассеяние энергии акустического излучения за счет превращения ее в тепло обычно не принимается в расчет, ввиду слабого влияния этого фактора на величину поглощения. Таким образом, движение акустической волны в реальных средах рассматривается как адиабатический процесс, т.е. процесс, не сопровождающийся теплопередачей.

Уравнение плоской волны с учетом поглощения морской воды имеет вид:

2 2 U U 4 U = c2 +. (II.49) 2 t x2 3 x2t Здесь — коэффициент сдвиговой вязкости, зависящий от температуры и солености морской воды. Он уменьшается с увеличением температуры и увеличивается с увеличением солености. Последний член в правой части уравнения (II.49) и определяет поглощающие свойства среды.

Вещественная часть этого уравнения имеет вид:

x U = Ae-x cost -, (II.50) c Где А — амплитуда колебаний источника в начальный период времени t=0, - коэффициент поглощения, измеряемый в неперах, или в обратных единицах длины, или в децибелах и имеет размерность (см-1). При этом 1мп/см = 8,686 дб/км (II.51).

Согласно Стоксу коэффициент поглощения по амплитуде равен:

2 8 f == Af (II.52) 3aОтсюда видно, что поглощение пропорционально квадрату частоты и коэффициенту вязкости среды. Последний измеряется в пуазах и имеет размерность г/см сек.

Из формулы (II.50) можно заключить, что амплитуда акустического колебания плоской волны уменьшается с расстоянием x по экспоненциальному закону (рис. 16).

В соответствии с полученным выражением (II.50) формулы для амплитуд акустического давления, колебательной скорости и интенсивности для поглощающей среды примут вид:

Pm = Ae-x A Vm = e-x (II.53) c I = kA2e-x Таким образом, плоская волна в поглощающей среде будет характеризоваться затуханием пропорционально члену e-x.

Анализ формулы Стокса (II.52) показывает, что поглощение увеличивается с увеличением частоты колебаний. В сейсмическом диапазоне частот, т.е. при f = 51000 гц, коэффициент поглощения в морской воде близок к нулю.



В твердых средах он зависит от плотности, пористости и размеров зерен породы. Например, в осадочных породах выше, чем в кристаллических (базальтовых, гранитных). При этом величина коэффициента поглощения на высоких частотах обусловлена, главным образом, текстурными неоднородностями пород (пористостью, размером зерен, тонкой слоистостью и т.д.). На низких частотах зависит от крупномасштабных неоднородностей разреза.

В морской воде поглощение наиболее ощутимо для высокочастотных колебаний (порядка десятка килогерц). Оно обусловлено вязкостью воды, а также насыщенностью воды микроэлементами органического и неорганического происхождения (фито- и зоопланктон, взвесь, пузырьки воздуха и т.д.).

Теоретический коэффициент поглощения для чистой пресной воды в децибелах на км равен: = 7,4 10-11 f2, (II.54) т.е. коэффициент поглощения растет пропорционально квадрату частоты. Это весьма важный метод, на котором основан выбор частоты измерения гидроакустических систем.

На основании изучения распространения волн от атомных взрывов для частот от 16 Гц до 60 кГц для коэффициента поглощения в морской воде получена следующая эмпирическая формула:

= 0,036 f дб / км, (II.55) где f — частота в кГц.

С учетом поглощения интенсивность акустических колебаний в морской воде определяется из следующего выражения:

I = I0 10-0,1x, (II.56) где I0 - интенсивность в источнике, I - интенсивность на расстоянии x от источника.

§5. Акустическое давление и колебательная скорость сферической волны Колебательная скорость и акустическое давление сферической волны определяются также как и для плоской волны.

Найдем колебательную скорость прямой волны:

U A r A r A r V = = cost - =- cost - + sint - = r r c 2 c rc c r A r A r sint - - cost - rc c 2 c r (II.57) Полученное выражение показывает, что амплитуда колебательной скорости в сферической волне в отличие от плоской волны имеет две A A составляющие — и, первая из которых убывает обратно rc rпропорционально расстоянию r, вторая - квадрату расстояния r2. Отсюда следует, что на расстояниях r, больших по сравнению с длиной волны, второе слагаемое становится малым по сравнению с первым им можно пренебречь:

A r V = sint -. (II.58) rc c Акустическое давление сферической волны определяется из выражения U A r A r P =- =- cost - = sint - t t r c r c (II.59) A r = sint - r c Для случая r>> отношение акустического давления к колебательной скорости равно:

P = c, (II.60) V т.е. вдали от источника акустическое сопротивление сферической волны равно акустическому сопротивлению плоской волны.

Следовательно, для больших расстояний от источника, равных десяти длинам волн, сферичностью фронтов можно пренебречь и рассматривать сферические волны как плоские.

Интенсивность сферической волны вдали от источника определяется из выражения:

I = PmVm, (II.61) где Pm и Vm - амплитуды акустического давления и колебательной скорости прямой сферической волны вдали от источника. Из (II.58) и (II.59) видно, что A A Pm = ; Vm = (II.62) r rc или A2 P A2kP I ==. (II.63) 2r2c 2r Таким образом, интенсивность сферической волны в однородной непоглощающей среде убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. С физической стороны это соответствует увеличению волновой поверхности при удалении от источника.

Мощность, переносимая сферической волной вдали от источника, определяется как произведение интенсивности на сферическую поверхность S.

W=IS, (II.64) A2kP так как S = 4r2, I =, k =, то 2r 4 A2P W = (II.65) Следовательно, мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды и обратно пропорциональна длине излучаемой волны.

Комплексная форма записи основных соотношений плоской и сферической волны Общее решение волнового уравнения содержит с действительными членами и мнимые, как в выражении для прямой так и для отраженной волны. В частности, общее решение волнового уравнения для плоской волны (II.34) имеет вид:

x x x x U (x,t) = A cost - + iA sint - + B cost + + iB sint + (II.66) c c c c Воспользуемся формулой Эйлера для преобразования выражения (II.66), cos m i sin = e±i (II.67) Следовательно, с учетом (II.67) получим:

x x i t - i t + c c U (x,t) = Ae + Be Полагая, k = перепишем последнее выражение c U (x,t) = Aeite-ikx + Beiteikx (II.68) Это и есть комплексная форма записи решения однородного уравнения плоской волны, первое слагаемое которого есть прямая волна, а второе — отраженная волна.

В дальнейшем мы будем пользоваться этой формой записи, так как она более компактна и удобна при проведении различных математических операций. Приведем в комплексной форме полученные выражения для основных соотношений плоской и сферической волн.

С учетом (II.68) решение для прямой сферической волны имеет вид:

A A U (t,r) = eite-ikr = ei(t -kr) (II.69) r r Для давления и скорости в прямой плоской волне получаем:

U P = = iAei(t -kx) (II.70) t U V = - = ikAei(t -kx) (II.71) x Соответственно для сферической волны:

iA P = ei(t -kr) r A iAk V = - ei(t -kr) + ei(t -kr) (II.72) r r A V = ei(t -kr) r + ik (II.73) r Напомним, что в среде с поглощением полученные выражения должны быть домножены на экспоненциальный множитель e-x в плоской волне и e-r -в сферической. Их потенциалы соответственно перепишутся в виде:

U (t, x) = Ae-xei(t -kx) (II.74) A U (r,t) = e-rei(t -kr) r Найдем полное акустическое сопротивление сферической волны, разделив почленно (II.72) на (II.73):





2 P k r + ikr z = = c (II.75) 2 V 1+ k r Выделим действительную и мнимую части полученного выражения:

2 k r Re = c2 (II.76) 1+ k rkr Im = ic (II.77) 2 1+ k r Разделив числитель и знаменатель соответственно на k2r2 и kr получим:

c Re = 1 + 2r (II.78) jc Im = 2r 1 + Отношение общего сопротивления z к активному сопротивлению Re z равно = Re 2r т.е. между давлением и скоростью имеется сдвиг фаз на угол = arctg (II.79) 2r Модуль сопротивления zопределяется из выражения:

z = Re 2 + Im2 = c = ccos (II.80) 1+ tgСледовательно, полное волновое сопротивление сферической волны меньше волнового сопротивления плоской волны на величину cos.

Лишь при tg0, что достигается для r34, сопротивление сферической волны равно сопротивлению плоской волны, т.е. z=c.

Глава III Отражение и преломление упругих волн на границах раздела в океане §1. Отражение звука поверхностью моря В практике морских сейсмических исследований имеет большое значение выбор оптимальной глубины погружения источника колебаний и приемников (гидрофонов, сейсмокос и т.д.).

При работах методом отраженных волн источник колебаний и приемники обычно размещаются в пределах одной-двух длин регистрируемых волн друг от друга. При работах по методу преломленных волн эти расстояния могут достигать многих километров.

Упругие волны от источника колебаний, помещенного в толще воды, распространяются по двум лучам, часть колебаний движется непосредственно к приемнику, так называемые прямые волны, а часть колебаний отражается поверхностью моря и уже после этого подходит к приемнику (рис. 17).

При этом происходит сложение прямой и отраженной от поверхности моря волн. Представляет практический интерес оценить влияние глубины погружения источника и приемника, а также расстояния между ними на величину акустического давления.

Запишем вещественную часть общего решения волнового уравнения для сферической волны с учетом расстояния r и r' в виде:

A r B r' U = cost - + cost +. (III.1) r c r' c Здесь r' характеризует расстояние до мнимого источника, расположенного над уровнем моря на высоте h1 (рис. 17) Найдем выражение для акустического давления:

U A r B r' p =- =- sint - + sint + t r c r' c так как коэффициент отражения от поверхности моря равен 1, т.е.

амплитуда отраженной волны равна падающей (A=B) получим:

1 r 1 r' p = A sint - + sint +. (III.2) r c r' c Рассмотрим случай, когда R>>h1 и R>>h2, т.е. когда глубина погружения источника и приемника много меньше расстояния между ними. Этот пример является характерным для наблюдения методом преломленных волн, а также при обнаружении подводных объектов с подводных лодок и наоборот — подводных лодок с надводных кораблей.

Из И' П' П' имеем:

(h2 + h1)2 h1 + h2 2 r' = R2 + (h2 + h1 )2 = R2 1+ = R 1+. (III.3) R R Аналогично из ОИП получаем:

h - h1 2 r = R2 + (h2 - h1)2 = R 1+ (III.4) R Воспользуемся известной формулой разложения в ряд функции вида 1 1 (1+ x) = 1+ x - x +...

2 2 h1 + h и разложим в ряд по степеням выражения (III.3) и (III.4), R ограничиваясь лишь вторым членом разложения. В результате получим 1 h1 + h2 r' = R 1+ ; (III.5) 2 R h1 - h1 r = R 1+. (III.6) 2 R h1 + hСогласно условию R>>h и h2. Поэтому членами и 2 R h1 - h можно пренебречь ввиду их малости. В итоге получим 2 R 1 1 r'rR и = =. (III.7) r r' R С учетом (III.7) формула (III.2) принимает вид:

A r r p = (III.8) sint - - sint + c R c После тригонометрических преобразований имеем:

A p = cost sin r (III.9) R В полученном выражении амплитуда акустического давления определяется членом A p0 = sin r. (III.10) R Анализ этого выражения позволяет определить при каких r акустическое давление достигает максимальных и минимальных значений 2 sin r = 0 при r=n, откуда n r = (III.11) Из выражения (III.11) видно, что акустическое давление является минимальным при расстояниях r между источником и приемником кратным целому числу полуволн.

2 sin r = 1, при r = (2n + 1), откуда r = (2n + 1). (III.12) Следовательно, максимальные значения акустического давления достигаются при расстояниях между источником и приемником кратном нечетному числу четвертей длины волны.

Для того, чтобы выяснить зависимость амплитуды давления от глубины погружения выразим r через h1 и h2. Для этого выражение (III.8) запишем в таком виде:

A r r' p =.

sint - - sint + c R c Преобразуем его через тригонометрическую формулу половинного угла, получим:

r + r' r'-r p =-2 cost - sin. (III.13) 2c 2c Согласно (III.3) и (III.4) r + r'=2R.

2h1hr'-r =.

R Подставим полученные значения в (III.13) 2A 2h1hR p =- sin cost -. (III.14) R R c 2A 2h1hЗдесь величина p0 = sin определяет амплитуду акустичеR R 2h1hского давления. Очевидно, что p=0, если p0=0, т.е. sin = 0, что R 2h1hимеет место при = n, откуда R h1hn =. (III.15) R Таким образом, когда отношение произведения глубины погружения приемника и источника к расстоянию между ними кратно целому числу полуволн, акустическое давление для данной длины волны =const будет нулевым.

2h1hС другой стороны, p0=1, если sin = 1, что имеет место при R 2h1h2 h1h (2n + 1) = (2n + 1), откуда = (III.16) R 2 R Следовательно, давление максимально, если отношение произведения глубины погружения источника и приемника к расстоянию между ними кратно нечетному числу четвертей длины волны.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.