WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 38 |

Для любого непустого подмножества J множества C(X, I) введем обозначение rJ = supJ IX, и назовем функции такого вида scфункциями. Произвольной функции IX соответствует замкнутый идеал J() = {f C(X, I) : f } в Cp(X, I).

Предложение 1. Для произвольного идеала J полукольца Cp(X, I), любых функций, IX и f, g C(X, I) выполняются следующие свойства:

1) rJ(), J(rJ) = J, rJ = rJ, 2) rJ rI J I; если J I, то rJ < rI;

3) если, то J() J(); rJ() = rJ() J() = J();

4) J(f) J(g) = J(f g).

Теорема 2. Замкнутые идеалы в полукольце Cp(X, I) в точности совпадают с идеалами J() по различным sc-функциям IX.

В частности, в топологическом полукольце I идеалы это в точности множества [0, r) и [0, r], а замкнутые идеалы множества [0, r] по всем значениям r I.

В полукольцах C(X, I) все классы по любой конгруэнции выпуклые. Конгруэнция называется замкнутой, если множество {(f, g) :

fg} замкнуто в тихоновском произведении X X. Критерием замкнутости конгруэнции будет Предложение 2. Конгруэнция топологического полукольца Cp(X, I) замкнута тогда и только тогда, когда множество [f] замкнуто в Cp(X, I) для любой функции f C(X, I).

Любой функции IX соответствует следующая замкнутая конгруэнция () на Cp(X, I) : для любых функций f, g Cp(X, I) положим f()g тогда и только тогда, когда g(x) = h(x) для всех точек x X, где (g h)(x) > (x).

Теорема 3. Замкнутые конгруэнции полукольца Cp(X, I) совпадают с конгруэнциями () по всем sc-функциям IX.

54 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции В случае топологического полукольца I получаем ровно четыре типа конгруэнций, определяемых следующими разбиениями отрезка [0, 1] на классы:

1) (0, r) : (0, r), {0}, {{x} : x r} для 0 < r 1;

2) (0, r] : (0, r], {0}, {{x} : x > r} для 0 < r 1;

3) [0, r) : [0, r), {{x} : x r} для 0 < r 1;

4) [0, r] : [0, r], {{x} : x > r} для 0 r 1.

Замкнутыми будут в точности конгруэнции последнего типа.

Дадим далее полукольцевые характеризации некоторых топологических свойств пространств X (см. также [1]).

Предложение 3. Для любого топологического пространства X эквивалентны следующие утверждения:

1) X есть F -пространство;

2) все главные идеалы полукольца C(X, I) замкнуты в Cp(X, I).

Предложение 4. Для всякого тихоновского пространства X равносильны следующие условия:

1) X дискретное пространство;

2) все sc-функции на X непрерывеные;

3) все замкнутые идеалы топологического полукольца Cp(X, I) главные.

Литература [1] Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика.

1998. Т. 4, № 2. С. 493–510.

[2] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Van Nostrand, Princeton, 1976.

[3] Вечтомов Е.М., Лубягина Е.Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных [0, 1]значных функций // Известия вузов. Математика. 2012. № 1 (в печати).

[4] Смирнова (Подлевских) М. Н. Замкнутые идеалы в полукольцах непрерывных функций с топологией поточечной сходимости // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Математика, информатика, физика. 1996. Вып. 1. С. 16–18.

Алгебра О НЕИДЕМПОТЕНТНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОЛУКОЛЬЦАХ С НЕКОММУТАТИВНЫМ СЛОЖЕНИЕМ Лубягина И.В.

Данная работа посвящена изучению строения циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением. Строение бесконечных циклических полуколец с коммутативным сложением было получено Е. М. Вечтомовым. Изучение конечных циклических полуколец с коммутативным сложением ведется А. С. Бестужевым. О строении конечных циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением автором доложено на конференции в КФУ. Теперь рассмотрим конечные циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом.

Пусть далее S = (a) – неидемпотентное циклическое полукольцо типа (k, n) c некоммутативным сложением и условием k n. Цикл C полукольца S изоморфен прямому произведению подполутел C + e и e + C порядков m и h соответственно. Тогда n = m · h, где m и h – взаимно простые натуральные числа.

Рассмотрим разложения натурального числа z, где 0 z k+ +n - 1:

z = hi1 + mj1, где 1 mj1 n, (1) z = hi2 + mj2, где 1 hi2 n (2) для i1, i2, j1, j2 Z.

Следующая теорема дает необходимые условия для сложения на полукольце S.

Теорема. Сложение в полукольце S = (a) обладает следующими свойствами:

amj +n, если mj1 - hi1 < k;

1) 1 + az = 1 amj или amj +n, если mj1 - hi1 k;

где z удовлетворяет (1);

ahi +n, если hi2 - mj2 < k;

2) az + 1 = 2 ahi или ahi +n, если hi2 - mj2 k;

где z удовлетворяет (2).

56 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Следующие четыре предложения дают некоторые связи для аддитивной структуры полукольца S = (a).

Рассмотрим целые числа hi1, mj1, hi2, mj2, удовлетворяющие системе:

1 hi1 < k;

1 mj2 < k;

1 hi1 + mj1 < k; (3) 1 hi2 + mj2 < k;

hi + mj1 < k.

Предложение 1. Пусть в S = (a) выполняются равенства 1 1 2 1 + ahi +mj1 = amj и ahi +mj2 + 1 = ahi +n, причем имеет место система (3). Тогда:

(1) если hi2 + mj2 < mj1, то 2 1-mj2+n 1 + a-hi +(mj1-mj2) = amj ;

(2) если hi2 + mj2 > mj1, то 2 ahi +(mj2-mj1) + 1 = ahi +n.

Предложение 2. Пусть в S = (a) выполняются равенства 1 1 2 1 + ahi +mj1 = amj +n и ahi +mj2 + 1 = ahi, причем имеет место система (3). Тогда:

(1) если hi2 < hi1 + mj1, то 1-hi2)+mj1 1+n 1 + a(hi = amj ;

(2) если hi2 > hi1 + mj1, то 2-hi1)-mj2-hi1+n a(hi + 1 = ahi.



Пусть теперь целые числа hi1, mj1, hi2, mj2 удовлетворяют системе:

Алгебра 1 mj1 n;

1 mj2 n;

(4) 1 hi1 + mj1 < k;

1 hi2 + mj2 < k.

Тогда верны утверждения:

Предложение 3. Пусть в S = (a) для некоторых hi1, mj1, hi2, mj2 таких, что hi1 + mj1 < hi2 + mj2, имеет место система (4) и 1 выполняется 1 + ahi +mj1 = amj +n. Тогда 2-hi1)+(mj2-mj1) 2-mj1) если mj2 - mj1 0, 1 + a(hi = amj, то 1 1 + ahi +mj2 = amj +n;

2-hi1)+(mj2-mj1) 2-mj1+n 2) если mj2 - mj1 < 0, 1 + a(hi = amj, то 1 1 + ahi +mj2+n = amj +n.

Предложение 4. Пусть в S = (a) для некоторых hi1, mj1, hi2, mj2 таких, что hi1 + mj1 > hi2 + mj2, имеет место система (4) и 1 выполняется 1 + ahi +mj1 = amj +n.

Тогда:

1-hi2)+(mj1-mj2) 1-hi1) если 0 hi1 - hi2 n, a(hi + 1 = ahi, то 1 1 + ahi +mj2 = amj +n;

1-hi2)+(mj1-mj2) 1-hi2-n 2) если hi1 - hi2 > n, a(hi + 1 = ahi, то 1 1 + ahi +mj2-n = amj +n;

1-hi2)+(mj1-mj2) 1-hi2+n 3) если -n hi1 - hi2 < 0, a(hi + 1 = ahi, то 1 1 + ahi +mj2+n = amj +n;

1-hi2)+(mj1-mj2) 1-hi2+2n 4) если hi1 - hi2 < -n, a(hi + 1 = ahi, то 1 1 + ahi +mj2+2n = amj +n.

58 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции ДВА НАИБОЛЬШИХ ПОРЯДКА ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСТЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП В ХАРАКТЕРИСТИКЕ Лыткин Д.В.Пусть G конечная простая группа лиева типа над полем характеристики p. Обозначим p через ch(G). Предположим, что G задана как подгруппа в GLn(q), порожденная некоторым множеством матриц X. Одной из задач вычислительной теории групп является нахождение ch(G) по X за полиномиальное время.

В [1] разработан алгоритм Монте-Карло для решения этой задачи, основанный на следующем свойстве простых групп лиева типа над полями нечётных характеристик: если G и H простые группы лиева типа над полями нечётных характеристик такие, что в множествах порядков элементов групп G и H совпадают три самых больших числа, то ch(G) = ch(H) (см. [1, теорема 1.2]). Также в этой работе высказано предположение о том, что данным свойством обладают все пары простых групп лиева типа, кроме конечного числа явно указанных пар (см. [1, гипотеза 5.9]), но авторы исключают группы над полями характеристики 2 из рассмотрения ввиду сложности подсчёта максимальных порядков элементов симплектических и ортогональных групп над полями характеристики 2.

Обозначим через m1(G) и m2(G) два наибольших порядка элементов группы G, m1(G) > m2(G). В [2] были найдены явные формулы для подсчёта m1(G) в случае, когда G простая симплектическая группа над полем чётного составного порядка. В настоящей работе удалось найти соответствующие формулы для числа m2(G).

Теорема. Пусть G = Sp2n(q), где q = 2k > 2. Тогда (1) если n = 2, то m1(G) = q2 + 1 и m2(G) = q2 - 1;

(2) если n = 4, то m1(G) = [q + 1, q3 - 1] и m2(G) = q4 + 1;

Работа поддержана Советом по грантам Президента РФ (НШ-3669.2010.1) и АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1.10726).

Алгебра (3) если n > 4 чётно и t наибольшее натуральное число такое, что 2t n/3, то t t+m1(G) = [q + 1, q2 + 1, q4 + 1,..., q2 + 1, qn-2 +1 - 1], t+1 t+m2(G) = [q + 1, q2 + 1, q4 + 1,..., q2 + 1, qn-2 +1 - 1] при 5 · 2t n и t-1 t m2(G) = [q + 1, q2 + 1, q4 + 1,..., q2 + 1, qn-2 +1 - 1] иначе;

(4) если n > 1 нечётно, то 1 2 t m1(G) = [qn + 1, qn + 1,..., qn + 1], где n1 + n2 + · · · + nt двоичное разложение числа n, и r 1 2 s m2(G) = [qn + 1, qn + 1,..., qn + 1, q3·2 + 1], где 2r второй после наибольшего член двоичного разложения числа n, а n 1 + n 2 + · · · + n s двоичное разложение числа n - 3 · 2r.

На основе полученных формул было доказано, что симплектические группы над полями чётного составного порядка можно отличить от групп лиева типа над полями нечётных характеристик по двум наибольшим порядкам элементов.

Предложение. Пусть G = Sp2n(q), где q = 2k > 2 и H простая группа лиева типа такая, что m1(G) = m1(H) и m2(G) = m2(H).

Тогда ch(H) = 2.

Замечание. Хорошо известно, что некоторые простые группы лиева типа над полями разных характеристик могут быть изоморфны между собой. Такие изоморфизмы исчерпываются следующим списком: L2(4) L2(5), L3(2) L2(7), L2(9) S4(2), L2(8) G2(3), U3(3) G2(2) и U4(2) S4(3), где через G обозначается коммутант группы G. Несложно проверить, что порядки элементов в указанных группах не превосходят 12, поэтому группа H в предложении отлична от всех этих групп и число ch(H) определено корректно.

60 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Литература [1] Kantor W.M., Seress A. Large element orders and the characteristic of Lie-type simple groups // J. Algebra. 2009. Vol. 322, № 3. Pp. 802– 832.

[2] Лыткин Д.В. О максимальных порядках элементов простых симплектических и ортогональных групп в характеристике 2 // в сб.

Современные проблемы математики, тезисы 42-й Всероссийской молодёжной школы-конференции. С. 217–218. Екатеринбург, 2011.

Алгебра О ПИРСОВСКИХ ЦЕПЯХ ПОЛУМОДУЛЕЙ Марков Р.В.

В [1, 2] введено понятие пирсовской цепи идеалов кольца (см.

также [3]) и показаны применения этой конструкции. Нашей задачей является построение теории пирсовских цепей для полуколец и полумодулей. С необходимыми определениями, связанными с полукольцами и пучковыми представлениями, можно познакомиться в [4, 5].

Множество BS всех дополняемых центральных идемпотентов полукольца S образует булево кольцо [5]. Множество AS правый полумодуль над полукольцом S. Для любого максимального идеала M из BS определяется пирсовский слой AS/M полумодуля AS, где конгруэнция M задается следующим образом:





a b(M ) ae = be для дополнения e к некоторому e M и некоторых a, b AS.

Пусть AS правый полумодуль, 0 нулевая конгруэнция на AS. Если непредельный ординал, то такая конгруэнция на AS, что AS/ некоторый пирсовский слой полумодуля AS/-1.

Если предельный ординал, то = < точная верхняя грань ранее определенных конгруэнций. Существует такой ординал, что = +1. Линейно упорядоченное по включению множество { : 0 } назовем пирсовской цепью конгруэнций правого полумодуля AS.

В терминах пирсовских слоев и пирсовских цепей получены характеризации некоторых классов полумодулей. Как иллюстрацию укажем один из результатов.

Известно, что AS правый полумодуль Безу в точности тогда, когда для любых m, n AS существуют такие a, b, c, d S, что m = mac + nbc, n = nbd + mad.

Теорема. Для полумодуля AS равносильны условия:

1) AS полумодуль Безу;

2) все пирсовские слои полумодуля AS являются полумодулями Безу.

62 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Литература [1] Burgess W. D., Stephenson W. An analogue of the Pearce sheaf for noncommutative rings // Comm. Algebra. 1978. Vol. 6, № 9. Pp.

863–886.

[2] Burgess W. D., Stephenson W. Rings all of whose Pearce stalks are local // Canad. Math. Bull. 1979. Vol. 22, № 2. Pp. 159–164.

[3] Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические кольца и модули.

М.: МЦНМО, 2009.

[4] Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht; Boston;

London: Kluwer Academic Publishers, 1999.

[5] Чермных В. В. Функциональные представления полуколец.

Киров: ВятГГУ, 2010.

Алгебра О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ, ВСЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ ХОЛЛОВЫ Маслова Н.В., Ревин Д.О.Термин группа употребляется в значении конечная группа.

Подгруппа называется холловой, если ее порядок и индекс взаимно просты. Будем говорить, что G группа с холловыми максимальными подгруппами, если каждая максимальная подгруппа группы G холлова.

Подгруппа H группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует дополнение к ней, т. е. подгруппа K такая, что H K = 1 и HK = G. Будем говорить, что G группа с дополняемыми максимальными подгруппами, если каждая максимальная подгруппа группы G дополняема в G.

В качестве объекта исследования группы с холловыми максимальными подгруппами впервые возникли в работах В.М. Левчука и А.Г. Лихарева [1] и В.Н. Тютянова [2], где было установлено, что простая группа с дополняемыми максимальными подгруппами изо морфна одной из групп P SL2(7) P SL3(2), P SL2(11) или P SL5(2).

= Во всех этих группах каждая максимальная подгруппа является холловой. В 2008 г. Т.В. Тихоненко [3] показала, что неабелевы простые группы с холловыми максимальными подгруппами исчерпываются с точностью до изоморфизма группами P SL2(7), P SL2(11) и P SL5(2).

В 2008 г. В.С. Монахов [4] описал нормальное строение конечных разрешимых групп с холловыми максимальными подгруппами. В этой же работе была сформулирована проблема: описать неабелевы композиционные факторы конечной неразрешимой группы, у которой все максимальные подгруппы холловы, которая была позднее записана в Коуровскую тетрадь [5] под номером 17.92. Проблема Монахова была решена первым автором [6]. Доказано, что неабелевы композиционные факторы неразрешимой группы с холловыми максимальными подгруппами исчерпываются с точностью до изоморфизма группами P SL2(7), P SL2(11) и P SL5(2).

Работа поддержана грантами РФФИ № 11-01-00456, № 10-01-00391, № 10-0190007 и № 10-01-00324, программами совместных исследований УрО РАН с СО РАН и УрО РАН с НАН Беларуси, грантом УрО РАН для молодых ученых за 2012 год.

64 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Следующий естественный шаг попытаться получить описание всех групп с холловыми максимальными подгруппами и понять, как в общем случае связана холловость максимальных подгрупп с их дополняемостью. Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. В конечной группе G все максимальные подгруппы холловы тогда и только тогда, когда G обладает нормальным рядом G = G0 > G1 >... > Gn = таким, что:

(1) при i > 1 группа Gi-1/Gi элементарная абелева, изоморфная некоторой силовской подгруппе группы G, и действие сопряжениями группы G/Gi-1 на Gi-1/Gi как на векторном пространстве неприводимо (в частности, все подгруппы Gi, i = 0, 1,..., n, холловы);

(2) для факторгруппы = G/G1 справедливо одно из следующих утверждений:

(а) имеет простой порядок;

(б) P SL5(2);

(в) P SL2(11);

(г) /() P SL2(7) и () = O3().

Следствие. Пусть G конечная группа с холловыми максимальными подгруппами. Тогда разрешимый радикал группы G обладает силовской башней, а факторгруппа по нему либо тривиальна, либо проста. В частности, G имеет не более одного неабелева композиционного фактора.

В [4] показано, что в конечной разрешимой группе все максимальные подгруппы холловы тогда и только тогда, когда все максимальные подгруппы дополняемы. С помощью теоремы 1 доказывается Теорема 2. Пусть G конечная группа, все максимальные подгруппы которой холловы. Тогда все максимальные подгруппы группы G дополняемы.

Алгебра Обратное утверждение неверно: в группе G = C3 P SL2(7) все максимальные подгруппы дополняемы, однако максимальная подгруппа, изоморфная P SL2(7), не является холловой подгруппой.

Литература [1] Левчук В. М., Лихарев А. Г. Конечные простые группы с дополняемыми максимальными подгруппами // Сиб. матем. журн.

2006. Т. 47, № 4. C. 798–810.

[2] Тютянов В. Н. Конечные группы с дополняемыми подгруппами // Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. 2006. Т. 6. C.

178–183.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 38 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.