WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 38 |

Теорема 3. Возьмем в качестве группу Dn. Пусть все элементы циклической подгруппы из Dn содержатся в множестве D и y = p - 1. Множество D, удовлетворяющее условию теоремы 1, и соответствующий граф Деза существуют тогда и только тоx(x-1) гда, когда существует (n, x, ) циклическое разностное мноn-жество.

Следствие 2. Используя множество D, удовлетворяющее условию теоремы 3, можно построить графы Деза с параметрами (14, 9, 6, 4), (22, 16, 12, 10), (74, 64, 56, 54). Первый из этих графов был также найден с помощью перебора в работе [3].

Литература [1] Erickson M., Fernando S., Haemers W.H., Hardy D., Hemmeter J.

Deza graphs: a generalization of strongly regular graphs// J. Comb.

Designs. 1999. Vol. 7. Pp. 359-405.

[2] Harary F. Graph theory // Addison-Wesley, Reading. 1969. Pp. 37.

[3] Горяинов С.В., Шалагинов Л.В. О графах Деза на 14, 15 и вершинах // Сибирские электронные математические известия.

2011. Т. 8. С. 105-115.

[4] Baumert L.D. Cyclic Difference Sets // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1971. Vol. 182.

Алгебра ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП В ТЕРМИНАХ СЛАБО КВАЗИПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ПОДГРУПП Ковалева В.А.

Все рассматриваемые группы являются конечными.

Пусть A подгруппа группы G, K H G. Тогда мы говорим, что A покрывает пару (K, H), если AH = AK; A изолирует пару (K, H), если A H = A K.

Определение. Пусть A подгруппа группы G. Тогда мы говорим, что A является слабо квазиперестановочной в G, если в группе G существуют такие подгруппы T и C, что G = AT, T A C A и C покрывает или изолирует каждую максимальную пару из G.

Теорема 1. Пусть E нормальная подгруппа группы G. Предположим, что все циклические подгруппы простого порядка и порядка 4 из E слабо квазиперестановочны в G. Тогда каждый главный фактор группы G ниже E является циклическим.

Произведение всех нормальных подгрупп группы G, чьи нефраттиньевы G-главные факторы являются циклическими, называется U-гиперцентром группы G [1] и обозначается ZU(G).

Теорема 2. Пусть E нормальная подгруппа группы G. Предположим, что для любой силовской подгруппы P из E каждая ее максимальная подгруппа либо каждая ее циклическая подгруппа простого порядка и циклическая подгруппа порядка 4 (если P неабелева 2группа) слабо квазиперестановочна в G. Тогда E ZU(G).

Следствие 1. [2] Пусть G группа. Если все максимальные подгруппы каждой силовской подгруппы из G дополняемы в G, то G сверхразрешима.

Подгруппа H группы G называется c-нормальной в G [3], если в G найдется такая нормальная подгруппа N, что G = HN и H N HG.

Следствие 2. [3] Пусть G группа. Если все подгруппы простого порядка и порядка 4 из G являются c-нормальными в G, то G сверхразрешима.

44 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Следствие 3. [3] Пусть G группа. Если все максимальные подгруппы каждой силовской подгруппы из G являются cнормальными в G, то G сверхразрешима.

Подгруппа H группы G называется квазинормальной [4] или перестановочной [5] в G, если HE = EH для всякой подгруппы E из G.

Следствие 4. [6] Пусть G группа. Если все максимальные подгруппы каждой силовской подгруппы из G квазинормальны в G, то G сверхразрешима.

Если F насыщенная формация, содержащая все сверхразрешимые группы, то справедливы также следующие результаты.

Следствие 5. Пусть G группа с такой нормальной подгруппой E, что G/E F. Предположим, что для любой силовской подгруппы P из E каждая ее максимальная подгруппа либо каждая ее циклическая подгруппа простого порядка и циклическая подгруппа порядка 4 слабо квазиперестановочна в G. Тогда G F.

Подгруппа A группы G называется c-добавляемой в G [7], если в G найдется такая подгруппа T, что T A = G и T A AG.

Следствие 6. Пусть G группа с такой нормальной подгруппой E, что G/E F. Если все циклические подгруппы простого порядка и порядка 4 из E либо c-нормальны [8], либо c-добавляемы [9] в G, то G F.

Следствие 7. Пусть G группа с такой нормальной подгруппой E, что G/E F. Если все максимальные подгруппы каждой силовской подгруппы из E либо c-нормальны [10], либо c-добавляемы [2] в G, то G F.

Следствие 8. [8] Пусть G группа. Если все минимальные подгруппы и все циклические подгруппы порядка 4 из GF являются c-нормальными в G, то G F.

Следствие 9. [11] Пусть G группа с такой нормальной подгруппой E, что G/E F. Предположим, что силовская 2-подгруппа из G является абелевой. Если все минимальные подгруппы из E квазинормальны в G, то G F.

Алгебра Литература [1] Shemetkov L.A., Skiba A.N. On the X -hypercentre of finite groups // J. Algebra. 2009. № 322. Pp. 2106–2117.

[2] Ballester-Bolinches A., Guo X.Y. On complemented subgroups of finite groups // Arch. Math. 1999. № 72. Pp. 161–166.

[3] Wang Y. c-normality of groups and its properties // J. Algebra. 1996.

№ 180. Pp. 954–965.

[4] Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order // Duke Math. J. 1939. № 5. Pp. 431–460.

[5] Stonehewer S.E. Permutable subgroups in Infinite Groups // Math.

Z. 1972. № 125. Pp. 1–16.

[6] Srinivasan S. Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups // Israel J. Math. 1980. № 35. Pp. 210–214.

[7] Wang Y. Finite Groups with Some Subgroups of Sylow Subgroups c-Supplemented // J. Algebra. 2000. № 224. Pp. 464–78.

[8] Ballester-Bolinches A., Wang Y. Finite groups with some c-normal minimal subgroups // J. Pure Appl. Algebra. 2000. № 153. Pp. 121– 127.

[9] Ballester-Bolinches A., Wang Y., Guo X.Y. c-supplemented subgroups of finite groups // Glasgow Math. J. 2000. № 42. Pp. 383– 389.



[10] Wei H. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups // Comm. Algebra. 2001. № 29. Pp. 2193– 2200.

[11] Ballester-BolinchesA., Pedraza-Aguilera M.C. On minimal subgroups of finite groups // Acta Math. Hungar. 1996. № 73.

Pp. 335–342.

46 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции РАСПОЗНАВАЕМОСТЬ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ЧЕТЫРЕПРИМАРНЫХ ГРУПП ПО ГРАФУ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Кондратьев А.С., Храмцов И.В.Пусть G конечная группа. Обозначим через (G) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество (G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга Кегеля) (G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq (G). Группа G называется распознаваемой (по спектру), если она определяется своим спектром с точностью до изоморфизма. С уже устоявшимся направлением исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В. Д. Мазурова [1]) тесно связано направление исследований распознаваемости конечных групп по графу простых чисел. Группа G называется распознаваемой по графу простых чисел, если для любой конечной группы H равенство (H) = (G) графов влечет изоморфизм H G групп.

= Здесь под равенством графов (H) и (G) понимается совпадение их множеств вершин и множеств ребер соответственно. Ясно, что из распознаваемости конечной группы по графу простых чисел следует ее распознаваемость по спектру.

Наряду с вопросами распознаваемости конечных групп по графу простых чисел, возникает также интересная более общая задача:

описать все конечные группы, графы простых чисел которых равны заданному графу.

Прежде всего вызывает интерес более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Это мотивировано следующим. Этот класс широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, что сразу видно из известной структурной теоремы Грюнберга Кегеля о конечных группах с несвязным графом простых чисел (см. [2]). Роль же групп Фробениуса в теории конечных групп совершенно исключительна. Результаты о строении Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00342), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и НАН Беларуси.

Алгебра конечных групп Фробениуса входят в фундамент теории групп.

Конечные простые группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [2] и первого автора [3]. Они составляют довольно узкий подкласс всех конечных простых групп, однако включают многие малые в различных смыслах группы, часто возникающие в исследованиях. Например, все конечные простые группы исключительного лиева типа, кроме групп E7(q) при q > 3, а также простые группы из известного Атласа конечных групп [5], кроме группы A10, имеют несвязный граф простых чисел.

В контексте этой задачи авторами исследуются конечные группы, граф простых чисел которых несвязен и имеет небольшое число вершин. Ранее авторами [4] были исследованы конечные группы, чей граф простых чисел несвязен и имеет не более трех вершин. Из этой работы легко извлекается, что конечная простая трипримарная группа с несвязным графом простых чисел является распознаваемой по графу простых чисел тогда и только тогда, когда она изоморфна L2(17).

В данной работе исследуются конечные четырепримарные группы с несвязным графом простых чисел. В основном описаны главные факторы таких групп. В качестве следствия этого описания получается Теорема. Конечная четырепримарная простая группа простых чисел распознаваема по графу простых тогда и только тогда, когда она изоморфна одной из следующих групп: A8, L3(4) или L2(q), где |(q2 - 1)| = 3, q > 17 и либо q = 3m и m простое нечетное число, либо q простое число и q 1(mod 12) или q {97, 577}.

Эта теорема значительно усиливает результат работы [6], где показано, что любая конечная четырепримарная простая группа, кроме группы A10, распознаваема по порядку и графу простых чисел.

Литература [1] Мазуров В.Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос.

ун-та. 2005. № 36 (Математика и механика, вып. 7). С. 119–138.

[2] Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra.

1981. Vol. 69, № 2. Pp. 487–513.

48 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции [3] Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. 1989. Т. 180, № 6. C. 787-797.

[4] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных трипримарных группах // Труды Института математики и механики. 2010. Т. 16, № 3. С. 150-158.

[5] J.H. Conway [et. al.] Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

[6] Zhang L.C., Shi W.J. OD-Characterization of simple K4-groups // Algebra Colloquium. 2009. Vol. 16, № 2. Pp. 275-282.

Алгебра К ВОПРОСУ П. КАМЕРОНА О ПРИМИТИВНЫХ ГРУППАХ ПОДСТАНОВОК СО СТАБИЛИЗАТОРОМ ДВУХ ТОЧЕК, НОРМАЛЬНЫМ В СТАБИЛИЗАТОРЕ ОДНОЙ ИЗ НИХ Коныгин А.В.П. Камероном был сформулирован следующий вопрос (см. [1] и [5, вопрос 9.69]). Пусть G примитивная группа подстановок на конечном множестве X, x X, y X \ {x} и Gx действует регулярно на орбите Gx(y) (т.е. индуцирует на Gx(y) регулярную группу подстановок). Верно ли, что это действие точное, т.е. что |Gx| = |Gx(y)| Отметим, что вопрос о точности действия стабилизатора Gx на регулярной подорбите Gx(y) изучался и ранее (см. [2–4]).

Можно показать, что регулярность действия группы Gx на Gx(y) эквивалентна свойству Gx,y Gx, а равенство |Gx| = |Gx(y)| при условии Gx,y Gx эквивалентно равенству Gx,y = 1. Таким образом, вопрос П. Камерона эквивалентен вопросу о выполнении для произвольной примитивной группы подстановок G на конечном множестве X следующего свойства:





(Pr) если x X, y X \ {x}, то Gx,y Gx влечет Gx,y = 1.

Очевидно, вопрос П. Камерона эквивалентен также вопросу о выполнении для произвольной конечной группы G следующего свойства:

(Pr*) если M1 и M2 различные сопряженные максимальные подгруппы группы G, то M1 M2 M1 влечет M1 M2 G.

Пусть G примитивная группа подстановок на конечном множестве X.

Ранее было доказано, что если цоколь группы G не является степенью исключительной группы лиева типа, изоморфной E6(q), E6(q), E7(q) или E8(q), то для группы G выполняется свойство (Pr).

В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона положителен.

В настоящей работе доказывается следующая теорема.

Работа поддержана грантом РФФИ № проект 10-01-00349-a, программой Отделения математических наук РАН, грантом УрО РАН для молодых ученых за 2012 год.

50 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Теорема. Пусть G примитивная почти простая группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что цоколем группы G является исключительная группа лиева типа, изоморфная E6(q), E6(q), E7(q) или E8(q). Кроме того, предположим, что для x X и некоторого простого r выполняется Or(Gx) = 1. Тогда для группы G выполняется свойство (Pr). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона положителен.

Литература [1] Cameron P.J. Suborbits in transitive permutation groups // Combinatorics / M. Hall, Jr. and J. H. van Lint, eds. Amsterdam:

Math. Centrum. 1975. Pp. 419–450.

[2] Reitz H.L. On primitive groups of odd order // Amer. J. Math.

1904. Vol. 26. Pp. 1–30.

[3] Weiss M.J. On simply transitive groups // Bull. Amer. Math. Soc.

1934. Vol. 40. Pp. 401–405.

[4] Wielandt H. Finite permutation groups. New York: Acad. Press, 1964.

[5] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 16-е изд. Новосибирск: Ин-т матем. СО РАН, 2006.

Алгебра ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В КОЛЬЦАХ ВЫЧЕТОВ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ Кривова А.С.

В [1] была показана важность изучения обратимых элементов колец вычетов колец целых подполей круговых полей. Важнейшим классом таких полей являются квадратичные поля, для которых в [2] найдены экспоненты мультипликативных групп колец вычетов колец целых.

В данной работе продолжено изучение обратимости элементов колец вычетов по простому натуральному модулю колец целых квадратичных полей.

Теорема. Пусть p, q простые числа, I кольцо целых квадратичного поля Q( p), A = I/qI кольцо вычетов кольца I по модулю q и x число обратимых элементов в A. Тогда (1) если p = q, то x = q2-1(q - 1);

p (2) если = 1, то x = q2-2(q - 1)2;

q p (3) если = -1, то x = q2-2(q2 - 1).

q Также изучается строение группы обратимых элементов в кольцах вычетов колец целых квадратичных полей для q и простых p и p q. Доказана цикличность данных групп при p = q и = -1. При q p = 1 ситуация более сложная, данная группа раскладывается в q прямое произведение трех циклических групп.

Литература [1] Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп // Матем. труды. 2000. Т. 3, № 1. C. 3–37.

[2] Алеев Р.Ж. Числа Хигмана конечных групп // Матем. труды.

2000. Т. 3, № 2. C. 3–28.

52 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции ЗАМКНУТЫЕ ИДЕАЛЫ И ЗАМКНУТЫЕ КОНГРУЭНЦИИ ПОЛУКОЛЕЦ CP (X, I) Лубягина Е.Н.

Пусть I = [0, 1] единичный числовой отрезок, рассматриваемый с операциями сложения max () и обычного умножения ·, в стандартной топологии. Через C(X, I) обозначается полукольцо всех непрерывных функций, заданных на топологическом пространстве X и принимающих значения в топологическом полукольце I, с поточечно определенными операциями [1].

Для произвольного топологического пространства X существует тихоновское (то есть вполне регулярное хаусдорфово) пространство X и его компактификация Стоуна-Чеха (X) = Z [2] такие, что C(X, I) C(X, I) C(Z, I).

= = Будем считать далее X тихоновским пространством. Заметим, что тихоновские пространства X не обязаны определяться полукольцами C(X, I), но компакты X определяются даже решетками идеалов и конгруэнций полуколец C(X, I) [3].

Для изучения свойств полуколец C(X, I) целесообразно ввести на них топологию. Полукольцо C(X, I) будем понимать как подпространство декартова произведения IX с топологией поточечной сходимости. Получаем топологическое полукольцо Cp(X, I). Отметим, что топологические полукольца Cp(X, S) всех непрерывных функций со значениями в некоторых топологических полукольцах S рассматривались в [4].

Теорема 1. Любое тихоновское пространство X определяется топологическим полукольцом Cp(X, I) однозначно с точностью до гомеоморфизма.

Следующая два утверждения, опирающиеся на определение тихоновского пространства, позволяют строить фукции из рассматриваемого нами полукольца C(X, I) по заданным параметрам и получать полезную комбинацию окрестностей пространства X.

Утверждение 1. Пусть x1, x2,..., xk X. Тогда существует такая функция e C(X, I), что e(x1) = 1 и e(xi) = 0, i = 2,..., k.

Алгебра Утверждение 2. Пусть U окрестность точки x X. Тогда существуют такие окрестности V W точки x и функция f C(X, I), что W U, f(X \ W ) = {0} и f(V ) = {1}.

Идеал J полукольца Cp(X, I) называется замкнутым идеалом, если J есть замкнутое множество в Cp(X, I). Легко показать, что в топологическом полукольце Cp(X, I) замкнутые идеалы выпуклые, то есть со своими любыми двумя сравнимыми элементами содержат и элементы, лежащие между ними.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 38 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.