WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 38 |

32 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции О ГРУППАХ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННЫХ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ ГРУПП Дуж А.А., Шлепкин А.А.Пусть G группа, множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из.

Напомним, что группа G называется группой Шункова, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе NG(H)/H любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную группу.

Пусть N некоторое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а M = {X}, где X L3(q), q = 2m фиксированное число, т.е. M состоит из одной группы X. Положим = {X Y | X M, Y N}. Таким образом, множество состоит из набора конечных групп, каждая из которых является прямым произведением двух групп: X конечной простой неабелевой группы, изоморфной L3(q), и Y некоторой подгруппы нечетного порядка.

Ранее в работе [1] было доказано, что группа Шункова, насыщенная прямыми произведениями линейных групп размерности над локально конечными полями характеристики 2 на циклические группы без инволюций, обладает периодической частью. Естественно перенести результаты работы [1] на случай, когда линейные группы имеют размерность 3. Мы получили следующий результат:

Теорема. Группа Шункова G, насыщенная группами из множества, обладает периодической частью T (G), изоморфной L V, где L L3(Q), для некоторого локально конечного поля Q характеристики два, а V локально циклическая группа без инволюций.

Литература [1] Дуж А.А., Шлепкин А.А. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Математические системы. 2011.

Вып. 10 (в печати).

Работа поддержана грантом РФФИ № 10-01-00509-a и АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы № 2.1.1/3023.

Алгебра ЛОКАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ЛИЕВЫХ АЛГЕБР НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ Елисова А.П.Локальным автоморфизмом K-алгебры A называют Kлинейный автоморфизм ее аддитивной группы A+, который на каждый элемент алгебры действует как некоторый ее автоморфизм.

Аналогично определяют локальные дифференцирования алгебр.

Тривиальные локальные автоморфизмы (и дифференцирования) – это обычные автоморфизмы (соответственно, дифференцирования) алгебры A. Они характеризуются действием на любом множестве, порождающем A как алгебру. Локальный случай характеризуется действием на множестве, которое K-линейно порождает A. В частности, справедливо Предложение. Неединичный локальный автоморфизм алгебры нетривиален, если он единичен на каком-либо множестве, порождающем алгебру.

Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр изучаются с 90-х годов. В [7] показано, что нетривиальные локальные автоморфизмы полной алгебры комплексных n n матриц есть антиавтоморфизмы. В 2000 году пример нетривиального локального автоморфизма определенной алгебры треугольных комплексных 3 3 матриц указал R. Crist [5]. См. также [6].

Новые примеры построены в [1] и [2] для алгебры NT (n, K) нильтреугольных n n матриц над ассоциативно коммутативным кольцом K с единицей. Ее порождают K-линейно матричные единицы ekm (1 m < k n); матрицы ei+1i (1 i < n) порождают ее как K-алгебру. Заметим, что с любой ассоциативной алгеброй A ассоциируют алгебру Ли, которую обозначаем через (A).

Пусть R = NT (n, K). В [2] и [3] описаны при n = 3 все локальные автоморфизмы алгебр R и (R); они расширяют автоморфизмы с помощью нетривиальных локальных автоморфизмов вида 1 + c, Работа поддержана грантом РФФИ № 09-01-00717-a.

34 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции где c есть дифференцирование can1en1 ( = akm R) для элемента c K с обратимым 1 + c.

Локальные автоморфизмы алгебры R над полем K при n = 4 удается описать, вместе с локальными дифференцированиями [3, Теорема 1], используя новые нетривиальные локальные автоморфизмы, не тождественные на e31 или e42 и тождественные на элементах ei+1i.

Для ассоциированной алгебры Ли (R) найдены другие нетривиальные локальные автоморфизмы. А именно, 1 + km,c : + cakmekm ( = akm R), c K;

1 + k : + a43ke42 ( = akm R), k K.

С использованием описания Aut (R) [4] доказана Теорема. Всякий локальный автоморфизм алгебры Ли (R) над полем K при n = 4 есть произведение ее автоморфизма и локальных автоморфизмов вида 1 + s, 1 + 31,m, 1 + 42,t на локальный автоморфизм алгебры R.

Локальные дифференцирования алгебры Ли NT (4, K) исследуем, используя [8].

Литература [1] Елисова А.П. Локальные автоморфизмы алгебры нильтреугольных матриц над кольцом / в сб. Алгебра, логика и методика обучения математике, материалы Всероссийской конференции.

С. 37–42. Красноярск: КГПУ, 2010.

[2] Елисова А.П., Зотов И.Н., Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия ИГУ. 2011. Т. 4, № 1.

C. 9–19.

[3] Елисова А.П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр нильтреугольных матриц / в сб. Международная конференция по теории колец, посвященная 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова, тезисы докладов. С. 8–10. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева CО РАН, 2011.

Алгебра [4] Левчук В.М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. матем. журн. 1983.

Т. 24, № 4. C. 543–557.

[5] Crist R. Local automorphisms // Proc. Amer. Math. Soc. 2000.

Vol. 128. Pp. 1409–1414.

[6] Kadison R. Local derivations // J. Algebra. 1990. Vol. 130. Pp. 494– 509.

[7] Larson D.R., Sourour A.R. Local derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 51.



Pp. 187–194.

[8] Levchuk V.M., Radchenko O.V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings // J. Algebra and Applications. 2010. Vol. 9, № 5.

Pp. 717–724.

36 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ГРАФЫ С B1 = Ефимов К.С., Махнев А.А.Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i(a) подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в от вершины a. Подграф (a) = 1(a) называется окрестностью вершины a и обозначается через [a]. Через a обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром a. Под собственными значениями графа понимаются собственные значения его матрицы смежности. В дальнейшем слово подграф будет означать индуцированный подграф.

Граф называется регулярным графом степени k, если [a] содержит точно k вершин для любой вершины a из. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k, а каждое ребро графа лежит точно в треугольниках. Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [a][b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра называется сильно регулярным графом. Число вершин в [a] [b] обозначим через (a, b) (через µ(a, b)), если d(a, b) = 1 (если d(a, b) = 2).

Графом Джонсона J(n, m) называется граф, вершинами которого являются m-подмножества данного n-множества X, и две вершины a, b смежны тогда и только тогда, когда |a b| = m - 1.

Граф на множестве вершин X Y называется m n-решеткой, если |X| = m, |Y | = n и вершины (x1, y1), (x2, y2) смежны тогда и только тогда, когда x1 = x2 или y1 = y2.

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в регулярном графе, то через bi(u, w) (через ci(u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1(u) (пересечении i-1(u)) с [w]. Положим ai(u, w) = = k - bi(u, w) - ci(u, w). Заметим, что в реберно регулярном графе Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 12-01-00012), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и с НАН Беларуси, грантом УрО РАН для молодых ученых за 2012 год.

Алгебра с параметрами (v, k, ) значение b1 = b1(u, w) не зависит от выбора ребра {u, w} и равно k - - 1. Граф диаметра d называется дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {b0,..., bd-1; c1,..., cd}, если для любого i {0,..., d} и любых вершин u, w, находящихся на расстоянии i в, имеем bi(u, w) = bi и ci(u, w) = ci.

В следствии 1.1.6 из [1] доказано, что если связный реберно регулярный граф с b1 = 1, то многоугольник или полный многодольный граф Kn2. В работах А.А. Махнева и его учеников [2]-[4] были изучены вполне регулярные графы с 2 b1 5. В статье [5] изучение вполне регулярных графов с b1 = 6 было редуцировано к исследованию графов с k {10, 11, 12}. В [6], [7] рассмотрены случаи b1 = 6, k = 10, 11 соответственно. В данной работе завершено изучение вполне регулярных графов с b1 = 6.

Теорема. Пусть связный вполне регулярный граф с параметрами (v, 12, 5, µ). Тогда верно одно из утверждений:

(1) диаметр равен 2 и либо граф с параметрами (25, 12, 5, 6), либо является 7 7-решеткой;

(2) µ = 1, реберный граф регулярного графа без треугольников степени 7 и обхвата, не меньшего 5;

(3) µ = 4 и граф Джонсона J(7, 3).

Следствие. Пусть связный вполне регулярный граф с b1 = 6.

Тогда является одним из следующих графов:

(1) полный многодольный граф Kr7, граф с параметрами (25, 12, 5, 6), 77-решетка, треугольный граф T (9), дополнительный граф к 55-решетке или к треугольному графу T (7), граф ХофманаСинглтона или его дополнение, граф с параметрами (26, 10, 3, 4) или его дополнение;

(2) полный двудольный граф K8,8 с удаленным максимальным паросочетанием, граф Тэйлора с параметрами (28, 13, 6, 6), в котором окрестности вершин изоморфны графу Пэли P (13) или граф Тэйлора с параметрами (32, 15, 8, 6), в котором окрестности вершин изоморфны треугольному графу T (6);

(3) µ = 1, окрестность каждой вершины является 7-кокликой, или объединением изолированных n-клик для n = 2, 3 или 6;

(4) µ = 2 и верно ровно одно из утверждений:

(i) дистанционно регулярный граф с массивом пересе38 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции чений {9, 6, 1; 1, 2, 9}, граф Конвея-Смита или граф Доро, (ii) является ректаграфом с v 27 и диаметра, не большего 7 (в случае v = 27 или d() = 7 граф является 7-кубом), (iii) окрестность каждой вершины в является объединением четырех изолированных ребер;

(5) µ = 3 и либо (i) дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8, 6, 1; 1, 3, 8}, либо (ii) локально девятиугольный граф диаметра 3, каждый µ-подграф является 3-кокликой или объединением изолированной вершины и ребра, b2(u, x) 3 для любых вершин u, x с d(u, x) = 2 и |3(u)| 10, либо (iii) k = 10, диаметр равен 3 и 34 v 37, либо (iv) k = 11, диаметр равен 3, v = 36 и 3(u) является 2кликой для некоторой вершины u;

(6) µ = 4 и граф Джонсона J(7, 3).

Литература [1] Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

[2] Махнев А.А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Изв. РАН, сер. матем. 2004. Т. 68. С. 159-172.

[3] Васильев С.А., Махнев А.А. О вполне регулярных графах с b1 = = 4 // Известия Гомельского госуниверситета. 2006. С. 101-108.

[4] Казарина В.И., Махнев А.А. О реберно регулярных графах с b1 = 5 // Владикавказский матем. ж-л. 2009. Т. 11, № 1. С. 29-42.





[5] Ефимов К.С., Махнев А.А. Вполне регулярные графы с b1 = // Журнал Сибирского Фед. ун-та. 2009. Т. 2, № 1. С. 63-77.

[6] Ефимов К.С., Махнев А.А., Нирова М.С. О вполне регулярных графах с k = 10, = 3 // Труды Института математики и механики. 2010. Т. 16, № 2. С. 75-90.

[7] Ефимов К.С., Махнев А.А. О вполне регулярных графах с k = = 11, = 4 // Тезисы докладов Международной конференции по алгебре и геометрии. С. 203-205. Екатеринбург, 2011.

Алгебра О ПРОСТЫХ ГРУППАХ С ГРАФОМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, КАК У ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ Звездина М.А.Графом простых чисел конечной группы G называют граф, вершинами которого являются простые делители порядка группы G, а ребро (p, q) для различных простых чисел p и q существует тогда и только тогда, когда в G есть элемент порядка pq. В [1] А.В. Васильевым был поставлен вопрос:

Вопрос 16.26. Существует ли такое натуральное k, что никакие k попарно неизоморфных конечных неабелевых простых групп не могут иметь один и тот же граф простых чисел Гипотеза: k = 5.

В работе рассматриваются неабелевы простые группы, граф простых чисел которых совпадает с графом простых чисел знакопеременной группы подстановок An при n 5. В этом направлении получен следующий частичный результат:

Теорема. Пусть L знакопеременная группа An, n 5, a S либо знакопеременная группа Am, m 5, либо спорадическая группа, либо простая линейная группа P SL2(q). Предположим, что L и S неизоморфны. Тогда GK(L) = GK(S) тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев: (L, S) = (An, An-1), где n нечетное, а числа n и n - 4 не являются простыми, либо (L, S) = (A9, J2), либо (L, S) = (A7, P SL2(49)).

Замечание. В случае, когда обе группы L и S являются знакопеременными, результат получен по модулю гипотезы Гольдбаха в следующей формулировке: для любого четного числа n > 6 найдется пара различных простых чисел p и q таких, что n = p + q.

Литература [1] Нерешенные вопросы теории групп, Коуровская тетрадь, 16-е изд., Институт математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск), 2006.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ (НШ–3669.2010.1).

40 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции О ГРАФАХ ДЕЗА, ПОЛУЧАЕМЫХ ИЗ ДИЭДРАЛЬНЫХ ГРУПП Кабанов В.В., Шалагинов Л.В.Мы рассматриваем конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер.

Определение 1. Графом Деза с параметрами (v, k, b, a), где b a, называется граф на v вершинах, степень каждой вершины которого равна k, и любые две вершины которого имеют a или b общих соседей.

Определение 2. Диэдральной группой Dn называется полная группа преобразований симметрии правильного n-угольника. Она 2l состоит из группы поворотов на угол (l = 1,..., n - 1), которую в n дальнейшем будем называть циклической подгруппой, и множества отражений.

Определение 3. Пусть G1 и G2 графы. Композицией G1[G2] графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин V (G1) V (G2) такой, что вершины (u1, u2) и (v1, v2) смежны тогда и только тогда, когда либо u1 смежна с v1, либо u1 = v1 и u2 смежна с v2, см.

[2].

Определение 4. (v, k, ) разностным множеством называется подмножество D = {d1, d2,..., dk} группы такое, что любой элемент g может быть представлен в виде g = did-1 точно способами.

j Если циклическая группа, то разностное множество называется циклическим. Полный список циклических разностных множеств с k 100 приводится в работе [4].

В статье [1] были предложены некоторые конструкции для построения точных графов Деза. Среди них конструкция, позволяющая строить граф Деза с помощью разностного множества в конечной группе.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых (проект МК-938.2011.2), программы УрО РАН для молодых ученых и фонда поддержки молодых ученых ЧелГУ.

Алгебра Пусть группа и D. Определим D-1 как множество {d-1 :

d D} и определим DD-1 как мультимножество {dd -1 : d, d D} (в DD-1 могут быть повторяющиеся элементы). Для подмножеств A и B множества элементов и целых чисел a и b будем писать DD-1 = aA+bB, если в DD-1 содержится a копий каждого элемента из A и b копий каждого элемента из B.

Теорема 1. [1] Пусть D подмножество элементов группы такое, что (i) || = v и |D| = k;

(ii) единица группы не содержится в D;

(iii) D-1 = D;

(iv) DD-1 = aA + bB + ke, где A, B и {e} разбиение ;

Пусть G граф, множество вершин которого все элементы группы, и его вершина u смежна с v тогда и только тогда, когда v-1u D. Тогда G граф Деза с параметрами (v, k, b, a).

Лемма 1. Возьмем в качестве группу Dn, и пусть все элементы циклической подгруппы из Dn содержатся в множестве D. Если для и D выполняется условие теоремы 1, то b = 2(k - n + 1) и a = 2(k - p) для некоторого целого числа p.

Обозначим через y количество элементов циклической подгруппы, встречающихся b раз в DD-1, и положим x = k - n + 1.

Теорема 2. Возьмем в качестве группу Dn, и пусть все элементы циклической подгруппы из Dn содержатся в множестве D.

Если для и D выполняется условие теоремы 1, то x2 - (2n - 1)x + (p2 - p - 2y) = 0.

Решая это уравнение относительно x, получим (так как x < p) 1 + 8y + x = p -. (1) 42 Тезисы 43-й молодежной школы-конференции Следствие 1. Пусть выполняется условие теоремы 2 и y = 0.

Тогда G граф Деза с параметрами (v, k, b, a), построенный в теореме 1, будет изоморфен G1[G2], где G1 (v1, k1, ) граф (сильно регулярный граф с µ = ) и G2 = Kn для некоторых v1, n2, k1,.

При этом его параметры равны v = v1n2, k = b = k1n2, a = n2.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 38 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.