WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 32 |
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, 30 января — 6 февраля 2011 г.

ЕКАТЕРИНБУРГ 2011 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, 30 января — 6 февраля 2011 г.

ЕКАТЕРИНБУРГ 2011 УДК 51 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011.

Настоящее издание включает тезисы 42-й Всероссийской школыконференции молодых ученых, проходившей с 30 января по 6 февраля 2011 года в г. Екатеринбурге.

Представлены работы по следующим вопросам: алгебра и дискретная математика, геометрия и топология, приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, математическая теория оптимального управления и дифференциальные игры, распознавание образов и математическое программирование, информатика и вычислительная техника, компьютерные науки и безопасность, математическая биология. Сборник представляет интерес для специалистов по указанным областям науки.

Конференция проведена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-06801) и Президиума УрО РАН (грант поддержки молодежных научных школ и конференций).

Ответственный редактор чл.-корр. РАН А.А. Махнев.

Рецензенты:

чл.-корр. РАН А.А. Махнев, д.ф.-м.н. А.Л. Агеев, д.ф.-м.н. А.Г. Бабенко, д.ф.-м.н. А.Р. Данилин, д.ф.-м.н. А.В. Ким, д.ф.-м.н.

А.С. Кондратьев, к.ф.-м.н. В.Б. Костоусов, д.ф.-м.н. Н.Ю. Лукоянов, к.ф.-м.н. А.В. Осипов, к.ф.-м.н. М.А. Патракеев, д.ф.-м.н.

В.В. Прохоров, к.ф.-м.н. М.Ф. Прохорова, д.ф.-м.н. М.Ю. Хачай, к.ф.-м.н. Д.В. Хлопин, д.ф.-м.н. В.Т. Шевалдин.

Ответственные за выпуск:

С.Ф. Правдин, Н.В. Маслова.

© Институт математики и механики УрО РАН, 2011 г.

Оптимальное управление и дифференциальные игры ОБ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ Бакланов А.П.e-mail: artem.baklanov@gmail.com Рассматривается игровая постановка, где игроки имеют ограничения на выбор управлений, одно из которых — мгновенность импульса управления. Доказано, что используя достаточно «узкие» импульсы, т.е. ослабив ограничение, мы можем сколь угодно точно аппроксимировать результат «идеально импульсной» игры. Для нахождения асимптотических результатов игры используются конструкции расширения в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер. Если S — множество, то через P(S) (через P(S)) обозначаем семейство всех (всех непустых) подмножеств множества S. Если X — множе ство, то [X] = {B P(P(X))|B1 B B2 B B3 B : B B1 B2} и 0[X] = {B P(P(X))|B1 B B2 B B3 B : BB1B2}. Семейства из 0[X] есть базы фильтров X и только они. Если E — непустое множество, (X, ) — топологическое пространство, r — отображение из E в X и E [E], тогда множество притяжения (МП) определяется равенством (as)[X,, r, E] = cl(r1(L), ). (1) LE В дальнейшем фиксируем две линейные управляемые системы (t) = A(t)x(t) + u(t)b(t), (t) = B(t)y(t) + v(t)c(t) с управлениями u(t), v(t) соответственно первого и второго игрока.

Фазовое пространство первой системы (второй системы) полагаем k-мерным (l-мерным), промежуток управления совпадает с [0, 1], а начальные условия удовлетворяют x(0) = x0 Rk (y(0) = y0 Rl).

Полагаем, что при t [0, 1] A(t) — k k-матрица и B(t) — l lматрица, все компоненты которых — непрерывные функции на отрезке [0, 1]. Каждая компонента bi = bi(·) (cj = cj(·)) векторРабота выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых (проект МК-7320.2010.1), РФФИ (грант No.09-01-00436-а) и программы Президиума РАН «Математическая теория управления».

4 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции функции b (вектор-функции c) является ярусной функцией. Управ ления u(t) : I [0, [, v(t) : I [0, [, I = [0, 1[ предполагаются конечно-постоянными и непрерывными справа. Более того, их выбор должен осуществляться с условиями 1 u(t)dt = 1, v(t)dt = 1. (2) 0 Обозначим через F множество всех функций u и v, удовлетворяющих (2). Мы будем использовать в качестве u и v «узкие» импульсы.

Формализуем это. Пусть > 0, тогда F = {u F|t1 I : {1 I|u(1) = 0} [t1, t1 + [}.

Аналогично вводим F. Определим семейство F = {F : ]0, [}.

Выполняется F 0[F]. По формуле Коши получаем траектории u(t) и v(t). Определены функции терминального состояния систем от управления u и v, соответственно g и h. Задана непрерывная функция платы от терминальных состояний 0 : Rk Rl R. Рассмотрим игровую задачу, в которой игрок I стремится к минимизации значения 0(u(1), v(1)), а игрок II — к максимизации при соблюдении ими вышеупомянутых ограничений. Тогда наша задача с ослабленными ограничениями имеет следующий смысл:

0(u(1), v(1)) sup inf, vF uF где > 0, > 0 исчезающе малы. Определены значения V (, ) = sup inf 0(g(u), h(v)) = vF uF = max min 0(x, y), (l) (k) ycl(h1(F),R ) xcl(g1(F),R ) которые можно рассматривать как реализуемые максимины при «узких» импульсах управления. Рассмотрим МП G1, G2 (см. (1)) в пространстве терминальных состояний первого и второго игрока. В силу того, что F 0[F], множества G1 и G2 непусты.

Следовательно, определено значение асимптотического максимина (при мгновенных импульсах управления) V = max min 0(x, y) R. (3) yG2 xGОптимальное управление и дифференциальные игры Теорема. > 0 > 0 : |V (, ) - V)| < ]0, [ ]0, [.

Теорема характеризует V как предел реализуемых максиминов, определяя их асимптотику. Пусть P(L) — множество к.-а. вероятностных (в.) мер на пространстве-стрелке (I, L). Введем обобщенные управления: определяем оператор m из F в P(L) по правилу m(f) = f f F, где — след меры Лебега на полуалгебре L, f — неопределенный интеграл. Существует МП в пространстве обобщенных управлений-мер, которое является одинаковым для обоих игроков, G = (as)[P(L), P(L), m, F] P(P(L)).



МП G подобно G1, G2, но реализуются в пространстве обобщенных к.-а. в. мер. Последние мы будем использовать при расширении формулы Коши: при µ P(L), P(L) обобщенные траек тории имеют вид µ(t) = 1(t, 0)x0 + 1(t, )b()µ(d), (t) = [0,t[ 2(t, 0)y0 + 2(t, )c()(d) t [0, 1].

[0,t[ Предложение. Обобщенный и асимптотический максимины сов падают: max min 0(µ(1), (1)) = V.

G µG Таким образом, наша асимптотическая задача (3) сводится к обобщенной, в которой каждый игрок выбирает управления-меры, а именно к.-а. в. меры, из множества G. Причем первый игрок пыта ется минимизировать 0(µ(1), (1)), а второй – максимизировать.

Благодаря работе [1], мы знаем точное описание G. Более того, в этой работе доказана определенная нечувствительность G к форме управляющей функции.

Литература [1] Скворцова А.В., Ченцов А.Г. О построении асимптотического аналога пучка траекторий линейной системы с одноимпульсным управлением // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 12.

C. 1645–1657.

[2] Ченцов А.Г. О представлении максимина в игровой задаче с ограничениями асимптотического характера // Вестник Удмуртского Университета. 2010. Вып. 3. C. 104–119.

6 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции К ЗАДАЧЕ ПОЗИЦИОННОЙ ПОИМКИ УБЕГАЮЩЕГО ГРУППОЙ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ Банников А.С.

e-mail: asbannikov@gmail.com В конечномерном евклидовом пространстве Rk, k 2, рассматривается дифференциальная игра (n + 1)-го лица: n преследователей Pi, i Nn = {1,..., n}, и убегающего E. Законы движения каждого из преследователей Pi и убегающего E имеют вид:

Pi : i(t) = a(t)ui(t), xi(t0) = x0, ui Q, (1) i E : (t) = a(t)v(t), y(t0) = y0, v Q, (2) причём zi = x0 - y0 Mi, i Nn, Mi Rk — заданные выпуклые / i компакты, a(·): [t0, +) R — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве полуоси [t0, +), Q Rk — строго выпуклый компакт с гладкой границей.

Пусть zi(t) = xi(t) - y(t), i Nn, z(t) = (z1(t),..., zn(t)). Тогда ( ) i(t) = a(t) ui(t) - v(t), zi(t0) = zi. (3) Для каждой из систем (3) рассмотрим систему-поводыря [1] ( ) i(t) = a(t) ui(t) - v(t), wi(t0) = zi, ui, v Q, i Nn, (4) с такими же терминальными множествами, как и в исходной системе.

Определение. Будем говорить, что в игре происходит поимка из заданной начальной позиции z0 = z(t0), если существуют момент времени T0 = T (z0), позиционные стратегии управления с поводырём Ui = (Ui, i, i) преследователей Pi, i Nn, такие, что для любой измеримой функции v(·), v(t) Q, t [t0, T0], существуют момент времени [t0, T0] и номер s Nn такие, что имеет место включение zs() Ms.

Здесь Ui — функция, которая будет формировать управление преследователя Pi в исходной системе (3) Ui : [t0, T0] Rk Rk Q, (5) Оптимальное управление и дифференциальные игры функция i есть переходная функция i-го поводыря 2 i : T+ Rnk Rnk Rk (T+ = {(t1, t2) [t0, T0]2|t1 t2}. (6) Значение переходной функции i(t1, t2, z, w) есть положение w, в котором поводырь окажется в заданный момент времени t2 при условии, что в момент t = t1 управляемая система и поводырь находились в точках z и w соответственно.

Третья функция i ставит в соответствие позиции (t, zi) i-й управляемой системы положение поводыря i(t, zi) = wi = wi(t).

Введём функции i следующим образом i(v) = max i(v, mi), -(v) = max -(v, mi).

i miMi miMi i Так как Q — строго выпуклый компакт с гладкой границей, то существуют (см. [2, 3]) (w0) = min max i(v) 0, -(w0) = min max -(v) 0, vQ iNn v-Q iNn i причём ((w0))2 + (-(w0))2 > 0 0 Int conv (wi - Mi).

iNn Теорема. Пусть начальная позиция z0 такова, что t n T = T (z0) = min{t t0| |a(s)| ds = } < + min{(z0), -(z0)} t и 0 Int conv (zi - Mi). Тогда для любого > 0 в игре происiNn ходит поимка с терминальными множествами Mi = Mi + Sk.

Литература [1] Красовский Н.Н. Позиционные дифференциальные игры. — М.:

Наука, 1974.

[2] Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. — Киев: Наук.

думка, 1992.

[3] Банников А.С. Об одной задаче простого преследования // Вестник удмуртского университета. Сер. Матем. Мех. Комп. науки.

2009. Вып. 3. C. 3–11.

8 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК НЕСКОЛЬКИХ РЛС ПО АЗИМУТУ НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА Бедин Д.А.e-mail: jango.urals@gmail.com Работа посвящена задаче идентификации систематических ошибок по азимуту радиолокационных станций (РЛС) по результатам наблюдения за полётом воздушного судна (ВС). Рассматривается случай совместного наблюдения ВС несколькими РЛС. Каждая РЛС измеряет дальность и азимут с некоторым тактом по времени. Измерения производятся с ошибками. В ошибке измерения азимута может присутствовать значительная систематическая составляющая.

Предполагается, что полёт близок к горизонтальному. Поэтому реальное движение ВС подменяется движением в двумерной плоскости.

Рассматривается алгоритм идентификации систематических ошибок РЛС на основе фильтрации Калмана [1]. В алгоритме используются результаты наблюдения за ВС на участке, где его движение незначительно отличается от прямолинейного равномерного.

Разработан вспомогательный алгоритм выделения таких прямолинейных участков на траектории.

Алгоритм идентификации систематических ошибок существенно отличается от описанного в [2] тем, что не требует для анализа дополнительной «эталонной» информации.





1. Считаем, что ВС осуществляет прямолинейное и равномерное движение. Начальный момент движения полагаем нулевым. Начальные условия по положению и скорости обозначим x0, v0 R2.

Пусть в момент ti измерение производит РЛС с номером k = k(i), находящаяся в точке rk. В этот момент ВС занимает положение xi = x0 + v0ti. Координаты замера zi имеют вид 1 zi = x0 + v0ti + ei |xi - rk| k + ei |xi - rk| wi + ei rwi. (1) 2 2 Здесь ei, ei – взаимно ортогональные векторы единичной длины;

1 ei соответствует направлению на РЛС с номером k; ei описывает 1 Работа выполнена при поддержке УрО РАН, проект 09-С-1-1010, а также при поддержке гранта РФФИ № 10-01-96006.

Оптимальное управление и дифференциальные игры направление азимутального отклонения; r, – среднеквадратические отклонения для ошибок по дальности и азимуту; k – неизвестная систематическая ошибка по азимуту РЛС с номером k; wi, wi – независимые для разных i и между собой случайные величины с единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием.

Случайные величины полагаем нормально распределёнными.

Введём вектор-столбец состояния X, в который внесём все неизвестные величины: параметры прямолинейного движения x0, v0 и систематические ошибки k по азимуту различных РЛС. Считаем состояние X постоянной векторной случайной величиной. Перепишем соотношение (1) в виде zi = CiX + Diwi. (2) 1 Здесь wi = (wi, wi )T. Соотношение (2) выражает связь замера с состоянием X и называется уравнением наблюдения.

Переменные матрицы Ci, Di зависят от координат xi ВС, которые выражаются через неизвестные параметры x0, v0 оцениваемого состояния X. Эту трудность можно преодолеть, приближённо заменив в матрицах положение xi ВС на замер zi. Подобное упрощение разумно при достаточно больших значениях расстояния |xi - rk| до РЛС.

Уравнение наблюдения используем для получения оценок состояния, уточняющихся по мере поступления новых замеров. Применяем процедуру фильтрации Калмана [1], стандартную для линейных систем. Фильтр Калмана по замерам {zj}i выдает оценки состояния j= X – условное математическое ожидание Xi и матрицу условных ковариаций Pi:

[( )( )T ] [ ] Xi = E X | {zj}i, Pi = E X - Xi X - Xi {zj}i.

j=1 j=Уравнения фильтрации состояния X для нашей частной задачи выглядят следующим образом:

( )-T T T i = Pi-1Ci CiPi-1Ci + Di-1Di-1, ( ) Xi = Xi-1 + i Zi - CiXi-1, (3) Pi = (I - i Ci) Pi-1.

10 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Начальные условия X0, P0 выбираются специально.

2. Алгоритм выделения участков прямолинейного равномерного движения основан на обработке замеров одной РЛС процедурой «скользящего окна». В окне производится вызов процедуры фильтрации, описанной в предыдущем пункте, но записанной только для одной из РЛС. При этом для неё систематическая ошибка по азимуту полагается равной нулю. Процедура восстанавливает параметры прямолинейного равномерного движения, наилучшим образом приближающего замеры в окне, после чего производится анализ «разброса» замеров относительно найденного прямолинейного движения.

Если эмпирическая дисперсия отклонения замеров по углу и по дальности не превосходит значений, характерных для выбранной РЛС, делается вывод о том, что в окне наблюдается участок прямолинейного движения. В этом случае производится увеличение окна с включением замеров от более поздних моментов времени. Увеличение производится до тех пор, пока «разброс» замеров подтверждает участок прямолиненйного движения. Последнее найденное таким образом окно записывается в предварительный ответ, после чего начало анализируемого окна сдвигается в сторону замеров с большим временем. В окончательный ответ из предварительного берутся только непересекающиеся участки наибольшей длины.

Таким образом, алгоритм обрабатывает перемещающимся окном все замеры и находит прямолинейные участки максимально возможной длины.

Литература [1] Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачёва. — М.: Университетская книга, Логос, 2006. 640 c.

[2] Бедин Д.А., Федотов А.А. Вычисление систематической ошибки радиолокатора по азимуту с использованием программы восстановления траектории самолёта / в сб. «Проблемы теоретической и прикладной математики», Труды 39-й Всероссийской молодёжной конференции. С. 319–324. — Екатеринбург: УрО РАН, 2010.

Оптимальное управление и дифференциальные игры СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗДЕЛЬНЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ К КАНАЛАМ Букаренко М.Б.

e-mail: maxim.bukarenko@gmail.com В работах [1, 2] была предложена нотификация состояний системы массового обслуживания (СМО) с использованием колец вычетов. Целью разработки такой нотификации является аналитическое описание СМО с раздельными очередями каналов обслуживания, граф которой не является)графом процесса гибели и размножения.

( x Обозначим через различимые состояния системы массовоy го обслуживания сигнатуры T = T (m1, m2,..., mk) или размеченной сигнатуры T = T (µ1 m1, µ2 m2,..., µk mk) с k 1 каналами пропускных способностей µt 0, t 1, k, с раздельными очередями длины mt 0. Здесь цифра 0 в двоичном k-значном представлении числа def x = (x1x2... xk)2 0, 2k обозначает свободный, а 1 – занятый канал. Тогда при def r = max (m1, m2,..., mk) + { }k в r-ичном k-значном представлении цифры yt 0, xtmt t=1 числа def y = (y1y2... yk)r 0, rk будут соответствовать наполненности очередей.

Тогда матрица состояний СМО(A = A (T ) = A (m1, m2,..., mk) ) представляет собой бинарную 2k rk + 1 -матрицу с элементами ( ) ( ) x def x a = f : 0, 2k 0, rk {0, 1}.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 32 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.