WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Программа “ИНТЕГРАЦИЯ” УХОВСКИЙ М. Р.

Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с многоточечным спектром) Выпуск 3 Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2000 г.

УДК 519.1 Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с многоточечным спектром). Вып. 3.

(Уховский М. Р. – Ростов-на-Дону, 2000 – 36 с.) В методической разработке рассмотрен практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса для полного линейного оператора с многоточечным спектром.

Разработка предназначена для студентов 2-го курса механикоматематического факультета.

© М. Р. Уховский 2000 3 10. ИНДЕКС СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Пусть B L(Ln(P)).

Рассмотрим (бесконечную) последовательность ker B0, ker B1, ker B2,... (10.1) ядер степеней оператора B (ker B0 = ker E = {0}).

Для нее, как нетрудно убедиться, имеют место следующие включения ker B0 ker B1 ker B2... (10.2) Вместе с тем, можно показать (см. [1], предложение 2.3), что если в последовательности (10.1) совпадут какие-нибудь два соседних члена, то с ними совпадут и все последующие члены этой последовательности. Иначе говоря, если при некотором i = 0, 1, 2,...

ker B i = ker B i+1, то для любого s = 1, 2,...

ker B i = ker B i+s.

Наконец, можно показать (см. [1], предложение 2.4), что найдется неотрицательное целое число i0 n, при котором ker Bi0 = ker Bi0 +1. (10.3) Вместе с предыдущим утверждением это означает, что последовательность (10.1) стабилизируется, начиная с некоторого номера, не превышающего n.

Это дает основание для следующего определения.

4 О п р е д е л е н и е 10.1. Наименьшее среди тех неотрицательных целых чисел i, для которых выполняется равенство (10.3), будем называть индексом стабилизации (последовательности ядер степеней) оператора B и обозначать символом is B.

Таким образом, для любого оператора B, отличного от E, равенство is B = k (10.4) означает, что ker B k-1 ker B k (10.5) ker B k= ker B k+s (10.6) при любом s = 1, 2,...

и 1 k n (10.7) Переходя от подпространств (10.1) к их размерностям, то есть к дефектам степеней оператора B, и вводя обозначения di = dim ker B i= def B i, приходим к выводу, что для любого неединичного оператора B равенство (10.4) означает выполнение соотношений d k -1 < d k = d k +1 (10.8) Из этого следует, что для вычисления индекса стабилизации оператора ~ B нужно взять его матрицу B в каком-нибудь базисе (e) пространства Ln(P) и возводить ее последовательно в квадрат, в куб и так далее, – до тех пор, пока дефект не перестанет меняться, то есть до такой степени k, для которой выполняется (10.8).

П р и м е р 10.1. Найдем индекс стабилизации оператора BL(Ln(P)), заданного в некотором базисе (e) матрицей 0 1 ~ B = 0 0 1.

0 0. Очевидно, d1 = 1.

Далее имеем 0 0 ~ B = 0 0 1, d2 = 2 ;

0 0 0 0 ~ B = 0 0 1, d3 = 2.

0 0 Таким образом, d1 < d2 = d2+1.

Значит, is B = 2. Отметим также (см. [1], предложение 2.2), что каждый член последовательности (10.1), то есть ker Bi (при любом i = 0, 1, 2,...), является подпространством (пространства Ln(P)), инвариантным относительно оператора B.

Из этого легко следует, что если P и A = B + E, то ker Bi, то есть каждый член последовательности (10.1), является подпространством, инвариантным относительно оператора A.

11. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ СУММУ КОРНЕВЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ Если оператор A L(Ln(P)) имеет не менее двух собственных значений, то будем говорить, что A – оператор с многоточечным спектром.

Понятно, что если K – подпространство пространства Ln(P), инвариантное относительно оператора A, то K инвариантно и относительно оператора B = A - E при любом P.

Напомним еще, что если K – подпространство, инвариантное относительно оператора A, то символом A K обозначают оператор, индуцированный оператором A на подпространстве K ( A K : K K, x Ax).

Для полного оператора A L(Ln(P)) с многоточечным спектром имеет место следующая теорема (см. [1], теорема 5.1) Т е о р е м а 11.1. Если 1, 2,..., m (m 2) – все попарно различные собственные значения полного оператора A L(Ln(P)), то пространство Ln(P) раскладывается в прямую сумму m подпространств, инвариантных относительно оператора A :

Ln(P) = K(1) K(2) K K(m), (11.1) где (i = 1, 2,..., m ; Bi = A - i E) K(i ) = ker Biki, ki = is Bi. (11.2) При этом dim K(i ) = aA(i), (11.3) is Bi aA(i) (11.4) и оператор Ai = AK(i ) имеет i и только i своим собственным значением (алгебраической кратности равной aA(i)).

Из теоремы, в частности, следует, что оператор Ai является полным оператором с одноточечным спектром ( Ai ) = {i}, действующим в пространстве K(i ).

Подпространство K(i ) (определенное соотношением (11.2)) называют корневым подпространством оператора A, соответствующим собственному значению i, а его ненулевые векторы – корневыми векторами оператора A, соответствующими собственному значению i.

Из (11.2)–(11.4) следует, что для любого корневого вектора x K(i ) найдется натуральное число h, такое, что Bih-1x 0, Bihx = и h dim K(i ).

При этом говорят, что x – корневой вектор высоты h.

Теорема 11.1, таким образом, утверждает, что пространство полного оператора A с многоточечным спектром раскладывается в прямую сумму корневых подпространств оператора A, соответствующих его собственным значениям.



Понятно, что собственные векторы оператора A являются его корневыми векторами высоты 1.

В том случае, когда размерность собственного подпространства оператора A, соответствующего его собственному значению i, совпадает с алгебраической кратностью этого собственного значения, корневое подпространство совпадает с собственным подпространством.

В противном случае собственное подпространство является истинным подпространством корневого подпространства.

Если x K(i ) – корневой вектор высоты h, то последовательность векторов Bih-1x, Bih-2 x,..., Bi x, x (11.5) будем называть цепочкой длины h, построенной по оператору Bi исходя из вектора x, а вектор Bih-1x – начальным вектором этой цепочки.

Понятно, что начальный вектор цепочки (11.5) является собственным вектором оператора Bi, соответствующим собственному значению 0 (собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению i).

З а м е ч а н и е 11.1. Нетрудно показать, что если для натурального ( числа k выполняются соотношения (dsi)= dim ker Bis) (i) ( d < dki) (11.6) k -и ( dki) = aA (i), (11.7) то k = is Bi.

Действительно, из (11.6) следует, что is Bi k, а из (11.7) ввиду (11.2) и (11.3), – что k is Bi.

Это позволяет (в тех случаях, когда выполняются (11.6) и (11.7)) нахо( ) дить is Bi и dki+1 не вычисляя k + 1-ую степень матрицы Bi.

12. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ ПОЛНОГО ОПЕРАТОРА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ Для построения жордановой формы полного оператора с многоточечным спектром можно применить следующую теорему (см. [2], стр. 33).

Т е о р е м а 12.1. Пусть A L(Ln(P)) – полный оператор с многоточечным спектром (A) = {1, 2,..., m}.

Если li (i = 1, 2,..., m) – максимальный порядок жордановых клеток ( жордановой формы оператора A, соответствующих скаляру i и sqi) (q = 1, 2,..., li) – число жордановых клеток порядка q, соответствующих скаляру i, то (Bi = A - iE) li = is Bi, (12.1) ( ) ( ) ( ( Sqi) = 2dqi) - (dqi-1 + dqi+1) (12.2) и ( ( (i) ( S1i) + S2i) +... + S = d1i), (12.3) li где q (i) d = def Biq = dim ker Bi. (12.4) q Равенство (12.3) означает, что число всех жордановых клеток жордановой формы оператора A, соответствующих скаляру i, равно дефекту оператора Bi (= A - iE), то есть размерности собственного подпространства оператора Bi, соответствующего собственному значению 0 (размерности собственного подпространства оператора A, соответствующего собственному значению i).

Таким образом, для построения жордановой формы полного оператора A с многоточечным спектром нужно действовать так же, как и в случае оператора с одноточечным спектром, – с той лишь разницей, что теперь эту процедуру придется применять m раз, то есть для каждого из m собственных значений оператора A.

П р и м е р 12.1. Найдем жорданову форму оператора A, заданного своей матрицей в некотором базисе (e) = (e1, e2, e3, e4) пространства L4(R) :

1 2 0 0 1 2 ~ A = A(e) = 0 0 2 0 0 0. 1) Для характеристического многочлена оператора A, очевидно, имеем A() = (-1)2 (-2)2, так что 1 = 1, aA(1) = 2, 2 = 2, aA(2) = 2.

~ ~ ~ 2) Для матрицы B1 = A - 1E имеем 0 2 0 0 0 2 ~ ( B1 =, d11) = 1, 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 2 ~ (1) B1 =, d = 2, 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 2 ~ 3 (1) B1 =, d = 2.

0 0 1 0 0 0 Таким образом, ( d11) < d(1) = d(1)1.

2 2+ Значит, is B1 = 2, так что l1 = 2.

Итак, максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру 1 = 1, равен 2, и ( d(1) = 0, d11) = 1, d(1) = 2, d(1) = 2.

0 2 Применяя формулы (12.2) для i = 1 и q = 1, 2 (так как l1 = 2), имеем ( ( S11) = 2d11) - (d(1) + d(1)) = 2 - (0 + 2) = 0, 0 ( S(1) = 2d(1) - (d11) + d(1)) = 4 - (1+ 2) = 1.

2 2 Таким образом, мы установили, что жорданова форма оператора A содержит одну клетку, соответствующую скаляру 1 = 1, – клетку J2(1).

~ ~ ~ 3) Для матрицы B2 = A - 2E имеем - 1 2 0 0 - 1 2 ~ B2 =, d(2) = 1, 0 0 0 0 0 0 1 - 4 4 0 1 - 2 ~ B2 =, d(2) = 2, 0 0 0 0 0 0 - 1 6 - 8 0 - 1 2 - ~(2) B =, d = 2.

2 0 0 0 0 0 0 Таким образом, ( d12) < d(2) = d(2)1.

2 2+ Значит, is B2 = 2, так что l2 = 2, то есть максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру 2 = 2, равен 2.

Применяя формулы (12.2) для i = 2 и q = 1, 2, имеем ( ( S12) = 2d12) - (d(2) + d(2)) = 2 - (0 + 2) = 0, 0 ( S(2) = 2d(2) - (d12) + d(2)) = 4 - (1+ 2) = 1.

2 2 Значит, жорданова форма оператора A содержит одну клетку, соответствующую скаляру 2 = 2, – клетку J2(2).

4) Таким образом, жорданова форма оператора A содержит клетки J2(1) и J2(2) :

1 1 0 0 1 0 JA = 0 0 2 0 0 0 ( З а м е ч а н и е 12.1. В рассмотренном примере d1i) < d(i) и (i) d(i)= aA(i) (i = 1, 2), так что равенства is Bi = 2 и d = 2 можно 2 (см. замечание 11.1) получить не вычисляя матрицу Bi3.

П р и м е р 12.2. Найдем жорданову форму линейного оператора A, заданного матрицей 0 1 1 1 1 0 0 0 - 1 - 1 - 0 0 0 1 1 ~ A = A(e) = 0 0 0 0 - 1 - 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 в некотором базисе (e) = (e1,..., e6) пространства L6(R).

. 1) Для характеристического многочлена оператора A имеем A() = 4(1-)2, так что A имеет два собственных значения 1 = 0, aA(1) = 4, 2 = 1, aA(2) = 2.

~ ~ ~ 2) Для матрицы B1 = A - 1E имеем ~ ~ ( B1 = A, d11) = 2;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ B1 =, d(1) = 4.





0 0 0 0 - 1 - 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Таким образом, ( d11) < d(1) = aA(1), так что, согласно замечанию 11.1, is B1 = 2 и d(1) =4.

Значит, максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру 1 = 0, равен 2 (l1 = 2) и ( d(1) = 0, d11) = 2, d(1) = 4, d(1) = 4.

0 2 Применяя формулы (12.2) для i = 1 и q = 1, 2, получим, что ( ( S11) = 2d11) - (d(1) + d(1)) = 4 - (0 + 4) = 0, 0 ( S(1) = 2d(1) - (d11) + d(1)) = 8 - (2 + 4) = 2, 2 2 то есть что жорданова форма оператора A содержит две клетки J2(0).

~ ~ ~ 3) Для матрицы B2 = A - 2E имеем - 1 1 1 1 1 0 - 1 0 - 1 - 1 - 0 0 - 1 1 1 ~ B2 =, d(2) = 1;

0 0 0 - 1 - 1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 - 2 - 2 - 2 - 0 1 0 2 2 0 0 1 - 2 - 2 - ~ B2 =, d(2) = 2.

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 И так как ( d12) < d(2) = aA(2), то l2 = 2, ( d(2) = 0, d12) = 1, d(2) = 2, d(2) = 2, 0 2 так что, применяя формулы (12.2) для i = 2 и q = 1, 2, получим, что ( ( S12) = 2d12) - (d(2) + d(2)) = 2 - (0 + 2) = 0, 0 ( S(2) = 2d(2) - (d12) + d(2)) = 4 - (1+ 2) = 1, 2 2 то есть что жорданова форма оператора A содержит одну клетку J2(1).

4) Таким образом, жорданова форма оператора A содержит две клетку J2(0) и одну клетку J2(1) :

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 JA =. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 13. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЖОРДАНОВА БАЗИСА (И ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ) ДЛЯ ПОЛНОГО ОПЕРАТОРА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ Пусть A L(Ln(P)) – полный оператор с многоточечным спектром (m 2) (A) = {1, 2,..., m} и (i = 1, 2,..., m) Bi = A - iE.

Согласно теореме 11.1, пространство Ln(P) раскладывается в прямую сумму корневых подпространств K(i ), определяемых соотношениями (11.2), и оператор Ai = AK(i ) имеет i и только i своим собственным значением, причем aAi (i) = aA(i) = ni, (13.1) где ni = dim K(i ). (13.2) Из этого, как нетрудно видеть, следует, что оператор Bi = BiK(i ) имеет 0 и только 0 своим собственным значением и aBi (0) = aBi (0) = ni, (13.3) так что Bi – нильпотентный оператор и его индекс нильпотентности равен индексу стабилизации оператора Bi :

in Bi = is Bi.

Понятно, что если нам удастся построить жорданов базис (пространства K(i )) для каждого из m операторов Ai, то (в силу того, что сумма (11.1) является прямой и каждое из подпространств K(i ) инвариантно относительно оператора A) жорданов базис (пространства Ln(P)) для оператора A получится объединением этих m базисов.

Задача, таким образом, сводится к построению жорданова базиса для каждого из m операторов Ai.

Как построить жорданов базис для оператора Ai Прямой (но, как мы увидим, не самый короткий) путь состоит в том, чтобы по матрице оператора Bki (ki = is Bi) найти базис корневого подi пространства K(i ) (учтя, что K(i ) = ker Bki ), затем найти матрицу i оператора Bi в этом базисе и, воспользовавшись этой матрицей, применить алгоритм построения жорданова базиса для оператора с одноточечным спектром.

Алгоритм, к рассмотрению которого мы переходим, не потребует стольких дополнительных построений, являясь лишь незначительным усложнением алгоритма, примененного ранее к оператору с одноточечным спектром.

Итак, пусть (e) = (e1, e2,... en) – какой-нибудь базис пространства ~ Ln(P) и Bi = (Bi)(e).

~ ~ Составим блочно-вертикальную матрицу Ci из степеней матрицы Bi от 0-ой до ki-ой (ki = is Bi) и применим к ней столбцовые элементарные преобразования с таким расчетом, чтобы на месте ее (последнего) блока с номером ki получить столбцово псевдотреугольную матрицу.

~ Полученную так блочно-вертикальную матрицу обозначим Di.

Так как, согласно (11.2) и (13.2), дефект оператора Bki равен ni, то i ~ последний блок матрицы Di содержит ni и только ni нулевых столбцов.

~ Обозначим Fi блочно-вертикальную матрицу (размера (ki + 1) n ni), ~ составленную из тех ni столбцов блочно-вертикальной матрицы Di, каждый из которых пересекает ее последний блок по одному из его нулевых столбцов.

~ Применяя к матрице Fi все те построения, которые использовались в параграфе 9 (см. [3]) применительно к построенной там блочно~ вертикальной матрице C для отыскания жорданова базиса в случае оператора с одноточечным спектром, получим жорданов базис (пространства K(i )) для оператора Ai.

З а м е ч а н и е 13.1. Не приводя подробного доказательства того, что изложенный алгоритм действительно дает возможность найти жорданов базис полного оператора A с многоточечным спектром, отметим только некоторые соображения, следуя которым это доказательство можно получить.

Если обозначить ( ~( ~2i) ~(i) a1i), a, K, a (13.4) ni ~ векторы-столбцы блока с номером 0 матрицы Fi, то векторами-столбцами блока с номером s = 1, 2,..., ki будут ~ ~ ~(i) ~ ~(i) ~(i).

Bisa, Bisa, K, Bisa ni ~ В частности, векторами-столбцами блока с номером ki матрицы Fi будут ~ ~ ( ( ~1i) ~ ~2i) ~(i).

Biki a, Biki a, K, Biki a (13.5) ni ~ И так как все векторы-столбцы блока с номером ki матрицы Fi являются нулевыми, то нулевыми будут и векторы-столбцы (13.5).

Это означает, что векторы i i a(i), a(2),K, a(ni), (13.6) для которых (13.4) являются координатными столбцами в базисе (e), принадлежат ker Bki, то есть – корневому подпространству K(i ).

i И так как векторы-столбцы (13.4) линейно независимы (поскольку яв~ ляются столбцами матрицы, полученной из единичной матрицы En столбцовыми элементарными преобразованиями) и число их равно ni (=dimK(i )), то векторы (13.6) образуют базис пространства K(i ).

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.