WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев Поверхности и поверхностные интегралы.

Часть II Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК Ростов-на-Дону 2002 Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев Поверхности и поверхностные интегралы. Часть II Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК Аннотация Методическая разработка посвящена введению в теорию поверхностей и поверхностных интегралов. В данном выпуске рассматриваются формулы Стокса и Гаусса-Остроградского, а также основы теории поля. Даются примеры решения типичных задач по этой тематике и задачи для самостоятельного решения.

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 3 от “20” ноября 2001 года.

A Набрано в системе LTEX с использованием шрифтов ITC Officina Cyrillic и математических символьных шрифтов пакета AMS Fonts.

A LTEX является зарегистрированным товарным знаком Addison Wesley Publishing Company. AMS, TEX, AMS Fonts являются зарегистрированными товарными знаками Американского Математического Общества (American Mathematical Society). ITC Officina Cyrillic является зарегистрированным товарным знаком АО ParaGraph. ITC Officina является зарегистрированным товарным знаком International Typeface Corporation.

Все упомянутые в данном издании товарные знаки и зарегистрированные товарные знаки принадлежат своим законным владельцам.

© 2002, Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев 3 3 Поверхностные интегралы (продолжение) 3.2 Примеры вычисления поверхностных интегралов Пример 3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода z ds, где S S — часть гиперболического параболоида z = xy, вырезанная цилиндром x2 + y2 = 4.

Поскольку цилиндр x2 + y2 = 4 имеет образующие параллельные оси OZ, то поверхность S проектируется на плоскость XOY в круг D = { (x, y) | x2 + y2 < 4 }, следовательно, S = { (x, y, z) | z = xy, (x, y) D}.

Функция (x, y) = xy является непрерывно дифференцируемой в R2, а значит, на D. Поэтому (по лемме 1.1) S является элементарной гладкой поверхностью с явным заданием. Подынтегральная функция f(x, y, z) = z непрерывна в R3, поэтому по следствию 2 теоремы 3.1 функция f интегрируема по поверхности S и z ds = (x, y) 1 + 2(x, y) + 2(x, y) dx dy = x y S D = xy 1 + y2 + x2 dx dy.

D Для вычисления последнего интеграла перейдём к полярной системе координат. Так как D отображается в D = { (r, ) | 0 r 2, [0, 2] }, то 2 z dz = d r2 cos sin 1 + r2 r dr = S 0 2 = sin 2 d r3 1 + r2 dr.

0 Но sin 2 d = 0, поэтому z dz = 0.

0 S Пример 3.2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода y ds, где S S — часть поверхности цилиндра x = 2y2 + 1 при y > 0, вырезанная поверхностями x = y2 + z2, x = 2, x = 3.

Спроектируем поверхность S на плоскость XOZ, для чего спроектируем линию L пересечения параболоида вращения x = y2 + z2 и цилиндра x = 2y2 + x = y2 + zL :

x = 2y2 + 1.

Исключая переменную y, получим, что L проектируется в линию x = 2z2 +1.

Следовательно, S проектируется в область D, ограниченную параболой x = 2z2 - 1 и прямыми x = 2, x = 3, то есть x + 1 x + D = (x, z) - < z <, x (2, 3).

2 Учитывая, что поверхность S лежит в полупространстве y > 0, получим x - S = (x, y, z) y =, (x, z) D.

x - Функция (x, z) = непрерывно дифференцируема в D, поэтому S является элементарной гладкой поверхностью. Так как 2 8x - 1 + + =, x z 8x - то по следствию 2 теоремы 3. x+ 3 x - 1 8x - 7 y ds = · dx dz == dx 8x - 7 dz = 2 8x - 8 S D 2 x+ 3 3 2 1 1 = 8x2 + x - 7 dx = x + - dx = 16 2 2 2 1 x + x 7 15 1 x = x2 + - - · ln x + + x2 + - = 2 8 8 16 16 8 98 17 - 99 3 15 33 + 12 = + ln.

64 2 49 + 8 Пример 3.3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода (x2 + y2 + z2) dy dz, (S,n) ) где (S, n — внутренняя сторона поверхности, полученной вращением линии y = cos x, x [0, /2] вокруг оси OX.

По замечанию к примеру 1.5 имеем:

S = (arccos y2 + z2, y, z) (y, z) D, где D = { (y, z) | 0 < y2 + z2 < 1 }. Функция arccos y2 + z2 является непрерывно дифференцируемой в D, а поэтому S — элементарная гладкая. Найдём ориентацию поверхности S, соответствующую внутренней стороне. Так как поверхность S имеет явное задание x = (y, z), а вектор единичной нормали внутренней стороны S образует с осью OX тупой угол, то искомая ориентация определяется нормалью y -1 z n- =,,.

1 + 2 + 2 1 + 2 + 2 1 + 2 + y z y z y z Следовательно, с учётом следствия теоремы 3.2, получим (x2 + y2 + z2) dy dz = - (arccos2 y2 + z2 + y2 + z2) dy dz = D (S,n-) /2 1 = - d (r2 + arccos2 r)r dr = - 2 + t2 sin 2t dt = 4 0 0 1 1 2 1 = - 2 + - = -.

4 2 8 2 Пример 3.4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода yz dy dz + x2 dz dx + yz dx dy, S где S — внешняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = a2, y > 0 (a > 0).

По условию поверхность S является полусферой, лежащей в полупространстве {(x, y, z) R3| y > 0}. Поэтому можно считать, что S = (x, a2 - x2 - z2, z) (x, z) D где D = { (x, z) R2 | x2 + z2 < a2 }. Следовательно, i j k - - -x -z -x 1 rx rz = =, -1,.

a2-x2-z a2 - x2 - z2 a2 - x2 - z-z 0 a2-x2-zПо условию интегрирование проводится по внешней стороне полусферы, поэтому вектор соответствующей нормали образует с вектором тупой угол, j то есть совпадает с n-, и yz dy dz + x2 dz dx + yz dx dy = S -x = z a2 - x2 - z2 + x2+ - a2 - x2 - zD -z + z a2 - x2 - z2 dx dz = a2 - x2 - z = (xz + x2 + z2) dx dz.



D Переходя в двойном интеграле к полярной системе координат, получим:

2 a ayz dy dz + x2 dz dx + yz dx dy = d r3(1 + cos sin ) dr =.

S- 0 Пример 3.5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода dx dy, S где S — нижняя сторона конуса z = x2 + y2 при 0 z 1.

Проекцией заданной части конуса на плоскость OXY является круг x2 + y2 1. Учитывая пример 3.3, получаем S = ( cos, sin, ) R3 (, ) D, где D = { (, ) R2 | (0, 1), (0, 2) }. Поэтому - r r = (- cos, - sin, ).

Вектор нормали n, соответствующий нижней стороне конуса, образует ту пой угол с осью OZ, поэтому совпадает с n- и, согласно теореме 3.2, 2 dx dy = - d d = - d d = -.

S- D 0 Пример 3.6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода xy dy dz + yz dz dx + zx dx dy, S по левой стороне поверхности S = { (2u + v2, u2 - 2v, 2uv) | (u, v) D }, где D = { (u, v) | 0 < u < 1, 0 < v < 1 }.

Координатные функции параметризации r(u, v) поверхности S непрерывно дифференцируемы на R2, а значит и на D.

u,v - - - Далее, ru rv = (4u2+4v, 4v2-4u, 4+uv). Легко показать, что |ru rv | > 0, (u, v) D. Поэтому S — элементарная гладкая поверхность. Поскольку в области D справедливо неравенство 4u2 + 4v > 0, то левая сторона поверхности S определяется вектором n- и xy dy dz + yz dz dx + zx dx dy = -4 (2u + v2)(u2 - 2v)(u2 + v)+ S- D + 2uv(u2 - 2v)(4v2 - u) + 2uv(2u + v2)(1 + uv) du dv 1 - 4 dv (2v4 + u(4v4 + 2v3 + 4v2) + u2(4v - 4v2 + v3 + 2v4)+ 0 + u3(2v + 4v2 - 2v3) + u4(2v - v2) - 2u5) du = 4 4 = 4 (2v4 + 2v4 + v3 + 2v2 + v - v2 + v3+ 3 3 2 1 1 2 1 1 + v4 + v + v2 - v3 + v - v2 - ) dv =.

3 2 2 5 5 3 3.3 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского Подобно существующим связям между двойными и криволинейными интегралами (формула Грина), существуют связи между тройными и поверхностными интегралами (формула Гаусса-Остроградского), между поверхностными и криволинейными интегралами (формула Стокса).

Прежде, чем формулировать эти результаты, рассмотрим ограниченную область G в R3, граница которой S = G является замкнутой кусочно гладкой поверхностью (в этом случае, G часто называют телом c кусочно гладкой границей). Поскольку G — ограниченное замкнутое множество, то, учитывая определение 2.3 и лемму Бореля о конечном покрытии, получим, что G является объединением конечного числа элементарных гладких поверхностей с явным заданием. Поэтому G — жорданово нуль-множество, а G и G — измеримые по Жордану множества в R3. Следовательно, тройные интегралы по G и по G от непрерывной на G функции существуют и равны между собой.

Пример 3.7. Предположим, что — ограниченная область с кусочно гладкой границей в R2, функции f1, f2 определены и непрерывно дифференцируемы на, причём f1(x, y) f2(x, y), (x, y). Пусть, наконец, G = { (x, y, z) R3 | (x, y), z [f1(x, y), f2(x, y)] }. (3.1) Такого типа множества часто встречаются на практике и называются z-цилиндрическими телами, а часто просто z-цилиндрами (не путайте с z-цилиндрическими поверхностями из примера 1.4). Граница S = G такого zцилиндрического тела является кусочно гладкой замкнутой поверхностью, состоящей из трёх частей, S = S1 S2 S3, где Si = { (x, y, fi(x, y)) | (x, y) }, i = 1, 2; (3.2) S3 = { (x, y, z) | (x, y), z [f1(x, y), f2(x, y)] }.

Поверхности S1, S2 — элементарные гладкие поверхности с явным заданием, а S3 — цилиндрическая поверхность, рассмотренная в примере 1.4, которая является кусочно гладкой поверхностью с кусочно гладким краем.

Поэтому S — замкнутая кусочно гладкая ориентируемая поверхность, а множество G — измеримое по Жордану множество в R3. Заметим для дальнейшего, что, если функция R непрерывна на G, то согласно лемме 3.1 при любом выборе стороны поверхности S R dx dy = 0.

(S3,n) Совершенно аналогично можно построить x-цилиндрические и y-цилиндрические тела и выписать для цилиндрической поверхности, составляющей часть их границы, формулы, аналогичные предыдущей.

Определение 3.1. Ограниченная область G в R3 называется областью типа (Т), если G является одновременно, x-цилиндром, y-цилиндром и z-цилиндром.

Теорема 3.1 (Формула Гаусса-Остроградского). Пусть G — тело в R3 с кусочно гладкой ориентируемой границей S, на которой выбрана внешняя P Q R сторона S+ = (S, n+). Пусть функции P, Q, R,,, — определены и x y z непрерывны на G. Тогда имеет место формула P Q R P dy dz + Q dz dx + R dx dy = + + dx dy dz.

x y z S+ G Доказательство. Как и при доказательстве формулы Грина, мы не станем доказывать эту теорему так, как она сформулирована, а ради упрощения доказательства, дополнительно предположим, что тело G — область типа (Т).

Докажем, что R dx dy dz = R dx dy.

z G S+ Тело G — z-цилиндр с границей S = S1 S2 S3, где Sj имеют указанные ранее параметризации (см. формулы (3.1) и (3.2)). Заметим, что поверхности S+, i = 1, 2, 3, имеют ориентации, соответствующие внешней стороне i поверхности S. Поэтому рассматриваем нижнюю сторону поверхности S1, то есть S- = (S1, n-), для которой (f1)y (f1)x - n- =,,, (f1)x2 + (f1)y2 + 1 (f1)x2 + (f1)y2 + 1 (f1)x2 + (f2)y2 + и верхнюю сторону S2, то есть S+ = (S2, n+), для которой -(f1)y -(f1)x n+ =,,.

(f1)x2 + (f1)y2 + 1 (f1)x2 + (f1)y2 + 1 (f1)x2 + (f2)y2 + Следовательно, если (S, n+) — внешняя сторона поверхности S, то (S, n+) = S- S+ S+.

1 3 Поскольку функция R/z непрерывна на G, то для вычисления рассматриваемого тройного интеграла воспользуемся теоремой Фубини и получим:





f2(x,y) R R dx dy dz = dx dy dz.

z z G f1(x,y) f2(x,y) R По формуле Ньютона-Лейбница, применительно к интегралу dz, в z f1(x,y) каждой точке (x, y), с учётом следствия 2 теоремы 3.1, получим:

R dx dy dz = R(x, y, f2(x, y)) dx dy - R(x, y, f1(x, y)) dx dy = z G = R dx dy - R dx dy S+ S+ 2 Поскольку изменение стороны поверхности влечёт изменение знака поверх ностного интеграла второго рода, то R dx dy = - R dx dy. НакоS+ S1 нец, поскольку R — непрерывная на G функция, то, согласно сказанному выше, R dx dy = 0, а значит S± R dx dy dz = R dx dy + R dx dy + R dx dy = R dx dy.

z G S+ S+ S- S+ 2 1 Аналогично вычисляются оставшиеся два тройных интеграла по G (при этом учитывается, что тело G является x-цилиндром и y-цилиндром).

Замечание 1. Справедливость формулы Гаусса-Остроградского для областей, представимых в виде объединения конечного числа замкнутых областей типа (T) без общих внутренних точек можно получить из доказанного результата (как и при доказательстве формулы Грина).

Дело в том, что на общих частях границы двух областей типа (T) направления векторов нормали противоположны, а потому соответствующие поверхностные интегралы второго рода по общим кускам от одной и той же функции равны по модулю, но противоположны по знаку.

Замечание 2. Можно считать, что функции P, Q, R непрерывны на G, а P Q R функции,, непрерывны на G. В этом случае тройной интеграл x y z следует понимать как несобственный.

Чтобы получить формулу Стокса, будем считать, что поверхность S = { (x, y, z) R3 | x = (u, v), y = (u, v), z = (u, v), (u, v) } является ориентируемой элементарной гладкой поверхностью с кусочно гладким краем, при этом — область с кусочно гладкой границей = { (u, v) R2 | u = u(t), v = v(t), t [a, b] }.

Тогда = { r(u(t), v(t)) | t [a, b] }, где r(u, v) = ((u, v), (u, v), (u, v)).

Для определённости выберем на положительную ориентацию, соответствующую возрастанию параметра, которая индуцирует ориентацию края + поверхности, а значит сторону (S, n+) поверхности S.

Теорема 3.2 (Стокса). Пусть поверхность S удовлетворяет перечисленным выше условиям, G — область в R3 такая, что S G. Если функции P, Q, R непрерывно дифференцируемы на G, то P dx + Q dy + R dz = + R Q P R Q P = - dy dz + - dz dx + - dx dy.

y z z x x y (S,n+) Доказательство. Для простоты доказательства будем считать, что отображение r(u, v) дважды непрерывно дифференцируемо на. Докажем, что P P P dx = dz dx - dx dy.

z y + (S,n+) Согласно формуле вычисления криволинейного интеграла второго рода P(x, y, z) dx = + b = P(r(u(t), v(t))) u(t), v(t) u (t) + u(t), v(t) v (t) dt = u v a b = P(r(u(t), v(t))) u (t) + P(r(u(t), v(t))) v (t) dt = u v a = P1(u, v) du + Q1(u, v) dv, + где P1(u, v) = P(r(u, v)) (u, v), Q1 = P(r(u, v)) (u, v). По условию Pu v и Q1 непрерывно дифференцируемы на, поэтому согласно формуле Грина имеем:

Q1 P P dx = - du dv = u v + = P(r(u, v)) - P(r(u, v)) du dv = u v v u P P P = + + + P(r(u, v)) x u y u z u v uv P P P - + + + P(r(u, v)) du dv.

x v y v z v u vu 2 Но = на, поэтому uv vu P P P dx = (uv - vu) + (uv - vu) du dv = y z + P P P P = - C + B du dv = dz dx - dx dy, y z z y (S,n+) так как i j k i j k.

ru rv = (uv -uv) +(uv -uv) +(uv -vu) = A +B +C Заметим, что последнее равенство при доказательстве формулы Стокса получено в силу теоремы 3.1 вычисления поверхностного интеграла второго рода.

Аналогично доказывается, что Q Q Q dy = dx dy - dy dz;

x z + (S,n+) R R R dz = dy dz - dz dx.

y x + (S,n+) Складывая три доказанных равенства, получим нужное.

Эту формулу можно записать в формальном, более коротком и удобном для запоминания, виде:

dy dz dz dx dx dy P dx + Q dy + R dz = /x /y /z.

P Q R + S+ S Замечание. Пусть, в частности, S = { (x, y, 0) R3 | (x, y) }, где — область с кусочно гладкой границей. Выбор верхней стороны поверхно сти (S, n+), где n+ = (0, 0, 1), индуцирует выбор на такой ориентации +, при которой область остается слева при обходе границы. Если функции P и Q непрерывно дифференцируемы на, то с учетом следствия 2 теоремы 3.1 получим формулу Грина:

P Q P Q P dx + Q dy = - dx dy = - dx dy.

y x y x + S+ Воспользуемся формулой Стокса для переноса на пространственные криволинейные интегралы результатов об условиях независимости криволинейного интеграла от кривой интегрирования, полученных для плоского случая с помощью формулы Грина.

Определение 3.2. Область R3 называется поверхностно односвязной, если для любой замкнутой кусочно гладкой линии L, лежащей в, найдется кусочно гладкая поверхность S, границей которой является L.

Примерами поверхностно односвязных областей являются шар, область, заключенная между двумя концентрическими сферами, пространство R2. Примером области, которая не является поверхностно односвязной, является шар, из которого удален один из меридианов.

Теорема 3.3. Пусть отображение a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в поверхностно односвязной области R3.Тогда следующие xyz утверждения равносильны:

1. Для любой замкнутой кусочно гладкой кривой, лежащей в, P dx + Q dy + R dz = 0.

2. Для точек M1, M2, величина интеграла P dx+Q dy+R dz LM1Mне зависит от выбора кусочно гладкой кривой LM M2, соединяющей в точки M1 и M2.

3. Выражение P dx + Q dy + R dz является полным дифференциалом некоторой функции, определенной на.

4. Выполняются равенства:

Q R R Q P R =, =, =.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.