WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев Поверхности и поверхностные интегралы.

Часть I Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК Ростов-на-Дону 2002 Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев Поверхности и поверхностные интегралы. Часть I Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК Аннотация Методическая разработка посвящена введению в теорию поверхностей и поверхностных интегралов. В данном выпуске рассматривается теория поверхностей и определяются поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Даются примеры решения типичных задач.

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 3 от “20” ноября 2001 года.

A Набрано в системе LTEX с использованием шрифтов ITC Officina Cyrillic и математических символьных шрифтов пакета AMS Fonts.

A LTEX является зарегистрированным товарным знаком Addison Wesley Publishing Company. AMS, TEX, AMS Fonts являются зарегистрированными товарными знаками Американского Математического Общества (American Mathematical Society). ITC Officina Cyrillic является зарегистрированным товарным знаком АО ParaGraph. ITC Officina является зарегистрированным товарным знаком International Typeface Corporation.

Все упомянутые в данном издании товарные знаки и зарегистрированные товарные знаки принадлежат своим законным владельцам.

© 2002, Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев 3 1 Элементарные гладкие поверхности 1.1 Определения и основные свойства Пусть R2, — открытое ограниченное множество, на (замыкании ) определены непрерывные функции,, и с их помощью определено отображение r : R3, r(u, v) = ((u, v), (u, v), (u, v)).

Другой формой записи отображения r является векторная форма:

i j k, r(u, v) = (u, v) + (u, v) + (u, v) где ( j, k) — правый репер в пространстве R3 единичных векторов координатных осей OX, i, OY, OZ, соответственно.

Определение 1.1. Для любого открытого ограниченного множества R2 и непрерывного на отображения r = (,, ) множество S = { (x, y, z) R3 : x = (u, v), y = (u, v), z = (u, v), (u, v) } называется поверхностью, заданной параметрически, u, v — параметрами поверхности, а r = (,, ) — её параметризацией.

Пусть, в дополнение к предыдущим условиям, отображение r непрерывно дифференцируемо на, то есть функции,, имеют непрерывные частные производные в, которые могут быть продолжены по непрерывности на (то есть, на границу множества, которую будем далее обозначать ). Определим в два вектора ru(u, v) = u(u, v) + u(u, v) + u(u, v) i j k, rv (u, v) = v(u, v) + v(u, v) + v(u, v) i j k.

Их векторное произведение имеет вид i j k - u u u u u u ru rv = = i - + k = j u u u (1.1) v v v v v v v v v = A(u, v) + B(u, v) + C(u, v) i j k.

Длина полученного вектора равна - |ru rv | = A2 + B2 + C2.

Если воспользоваться гауссовыми коэффициентами поверхности, известными из аналитической геометрии, E = (u)2 + (u)2 + (u)2, G = (v)2 + (v)2 + (v)2, F = uv + uv + uv, то легко убедиться (сделайте это) в справедливости равенства - |ru rv | = EG - F2.

Определение 1.2. В пространстве R3 поверхность S = { r(u, v) | (u, v) } называется элементарной гладкой (параметризованной) поверхностью, если выполнены условия:

1) r взаимно однозначное отображает на S;

2) r непрерывно дифференцируемо на ;

- - 3) |ru rv | = EG - F2 > 0, (u, v).

Пусть в пространстве R3 задано некоторое множество S. Множество S называют элементарной гладкой поверхностью, если существует открытое ограниченное множество и отображение r : S, обладающие свойствами 1–3 из определения 1.2. Заметим,что r является параметризацией S. Таких параметризаций может быть несколько.

Как и в теории кривых, две параметризации поверхности S r : R2 S R3 и r : R2 S, u,v u,v удовлетворяющие условиям 1–3, называются эквивалентными, если существует такое непрерывно дифференцируемое биективное отображение g из в, что D(g1, g2) > 0 в и r(u, v ) = r(g(u, v )) для (u, v ).

D(u, v ) Заметим, что если r и r —эквивалентные параметризации элементарной гладкой по -- - D(g1, g2) верхности S, то r r = r r, а поэтому u v u v D(u, v ) - - - D(g1, g2) - | r r | = | r r |, (u, v ).

u v u v D(u, v ) Рассмотрим свойства поверхностей, заданных параметрически.

Лемма 1.1. Пусть — ограниченная область (ограниченное открытое связное множество) в R2, и функция f: R1 непрерывно дифференцируема на. Тогда множеx,y ство S = { (x, y, z) | z = f(x, y); (x, y) } — элементарная гладкая поверхность в R3.

Доказательство. Одна из параметризаций множества S — отображение r(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Поскольку (x1, y1, f(x1, y1)) = (x2, y2, f(x2, y2)) тогда и только тогда, когда (x1, y1) = (x2, y2), то первое условие определения 1.2 выполняется. Очевидно, что выполняется и второе условие, так как функция f, а значит и отображение r непрерывно дифференцируемо на. Поскольку - rx(x, y) = i + fx(x, y) ry(x, y) = j + fy(x, y) k, k, то i j k - rx ry = = i j 1 0 fx -fx - fy + k.

0 1 fy Следовательно, на множестве - |rx ry| = 1 + (fx)2 + (fy)2 > 0.

Третье условие определения 1.2 выполняется и лемма доказана.

Часто поверхность S в R3, которая является графиком непрерывно дифференцируемой на замыкании области R2 функции f, называют поверхностью с явным заданием. Такие поверхности изучались в аналитической геометрии, они достаточно просто устроены и часто встречаются на практике.



Элементарная гладкая поверхность с явным заданием имеет хотя бы одну из следующих параметризаций:

r1(x, y) = (x; y; f1(x, y)), (x, y) 1, r2(x, z) = (x; f2(x, z); z), (x, z) 2, r3(y, z) = (f3(y, z); y; z), (y, z) 3, в которой функция fk, графиком которой является поверхность, непрерывно дифференцируема на замыкании соответствующей области k (k = 1, 2, 3). Геометрически такая поверхность взаимно-однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей.

Как утверждает следующая лемма, каждая элементарная гладкая поверхность, заданная параметрически, в R3 локально (то есть в окрестности каждой своей точки) является поверхностью с явным заданием.

Лемма 1.2. Пусть S = { r(u, v) | (u, v) } — элементарная гладкая поверхность. Тогда для любой точки M S найдётся в R3 окрестность UM такая, что часть поверхности S UM является элементарной гладкой поверхностью с явным заданием.

Доказательство. Как показано при выводе формулы (1.1) для поверхности S = { ((u, v), (u, v), (u, v)) | (u, v) }, D(, ) D(, ) D(, ) A =, B = -, C =, D(u, v) D(u, v) D(u, v) причём A2 + B2 + C2 > 0 в. Следовательно, в каждой точке поверхности S хотя бы одно и слагаемых не равно нулю.

Возьмём произвольную точку (u0, v0) и предположим (для определённости), что в ней C = 0. Точка M0(x0, y0, z0), где x0 = (u0, v0), y0 = (u0, v0), z0 = (u0, v0), — точка на поверхности S. Так как D(, ) = 0, D(u, v) (u0,v0) то по теореме об обратном отображении, найдётся окрестность U(x,y0) и окрестность W(u,v0) 0 такие, что отображение x = (u, v) y = (u, v) взаимно однозначно отображает W(u,v0) на U(x,y0) и существует обратное непрерывно 0 дифференцируемое отображение U(x,y0) на W(u,v0) вида 0 u = u(x, y), v = v(x, y).

По определению обратного отображения (x, y) U(x,y0) (u(x, y), v(x, y)) = x, (u(x, y), v(x, y)) = y.

Следовательно, если VM = U(x,y0) R1, то 0 S VM = {(x, y, (u(x, y), v(x, y))) | (x, y) U(x,y0)}, 0 и (u(x, y), v(x, y)) непрерывно дифференцируема в U(x,y0).

Пример 1.1. Поверхностью с явным заданием является параболоид вращения S = { (x, y, z) | z = x2 + y2, (x, y) }, где = {(x, y) : x2 + y2 < 1}.

Пример 1.2. Рассмотрим в R3 множество точек S = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = a2 } — сферу с центром в начале координат радиуса a, и отображение r(, ) = (a cos cos, a sin cos, a sin ), (0, 2), -,.

2 Очевидно, что = { (, ) | (0, 2), (-/2, /2) } = (0, 2) (-/2, /2) — открытое ограниченное множество в R2. Образом множества при отображении r яв, ляется множество S = { r(, ) | (, ) }, которое совпадает со сферой S, из которой удалены точки множеств M0 = r(0, ) -, и M2 = r(2, ) -,, 2 2 2 называемых меридианами. Поскольку отображение r(, ) является 2-периодическим по, то M0 = M2.

Заметим, что условие 1 определения 1.2 выполняется, поскольку r() = S и отображение r : S взаимно однозначно. Ясно, что выполняется и условие непрерывной дифференцируемости отображения r на. Остаётся проверить условие 3:

i j k - r r = -a sin cos a cos cos = -a cos sin -a sin sin a cos = (a2 cos cos2 ) + (a2 sin cos2 ) + (a2 cos sin ) i j k.

Отсюда следует, что - |r r| = a2 cos > 0, (, ).

Итак, мы доказали, что множество S — сфера с меридианным разрезом — является элементарной гладкой поверхностью в R3.

Определение 1.3. В R3 элементарная гладкая поверхность S = { r(u, v) | (u, v) } называется элементарной гладкой поверхностью с краем, если S \ S =. Множество S \ S обозначим через S (или S) и назовем краем поверхности. Если край поверхности S является гладкой или кусочно-гладкой линией в R3, то S называют поверхностью, соответственно, с гладким или кусочно-гладким краем.

Сфера с разрезом (см. пример 1.2) — элементарная гладкая поверхность с краем:

= { (x, y, z) | x = a sin, y = 0, z = a cos, [0, ] }.

S Параболоид вращения (см. пример 1.1) — также элементарная гладкая поверхность с краем, который является множеством { (x, y, 1) | x2 + y2 = 1 }.

Нетрудно видеть, что поверхность S c явным заданием, например, S = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) }, является поверхностью с краем, причём краем является множество { (x, y, f(x, y)) | (x, y) }, — граница.

Пример 1.3. Пусть = { (x, y) R2 | x2 + y2 < 1 }. Рассмотрим в R3 конус S = { (x, y, x2 + y2), (x, y) }.

Легко видеть, что S не является элементарной гладкой поверхностью, поскольку функция f(x, y) = x2 + y2 не дифференцируема в точке (0, 0). Рассмотрим в пространстве Rзаданную параметрически поверхность S = { r(, ) = ( cos, sin, ) | (, ) }, где = { (, ) | (0, 1), (0, 2) }.

От множества S множество S отличается наличием на последней дважды проходимого разреза {(, 0, ) : [0, 1]} по образующей конуса, который получается при 0 = 0 и 0 = 2. Множество L = { (, 0, ) | [0, 1] } { (cos, sin, 1) | [0, 2] } { (, 2, ) | [1, 0] } является краем поверхности S. Поскольку L — кусочно гладкая линия в R3, то S является поверхностью с кусочно-гладким краем.

Нетрудно видеть, что такая параметризация конуса с разрезом удовлетворяет условиям 1–2 определения 1.2. Кроме того, i j k - r r = = (- cos ) + (- sin ) + k.

i j cos sin - sin cos Поэтому - |r r| = 2 > 0, (, ), и выполняется условие 3 определения 1.2. Мы доказали, что множество S является в Rэлементарной гладкой поверхностью с кусочно-гладким краем.





Следует отметить, что большинство известных из аналитической геометрии поверхностей в R3 имеют несколько параметризаций. Некоторые из них, подобно конусу, становятся элементарными гладкими поверхностями, если на них сделать некоторый разрез.

Пример 1.4. Пусть, — функции, непрерывно дифференцируемые на [a, b], причём ( (t))2 + ( (t))2 > 0, t (a, b).

Тогда L = { (x, y) R2 | x = (t), y = (t), t [a, b] } — гладкая параметризованная линия в R2. Рассмотрим множество S = { (x, y, z) R3 | x = (t), y = (t), z = u; (t, u) = (a, b) (c, d) } которое часто встречается на практике и называется z-цилиндрической поверхностью. Покажем, что S — элементарная гладкая поверхность с кусочно гладким краем. Прежде всего, отображение r(t, u) = ((t), (t), u) непрерывно дифференцируемо на = [a, b] [c, d], и - rt ru = ( (t), - (t), 0) следовательно, - |rt ru| = ( (t))2 + ( (t))2 > 0, (t, u).

Так как отображение r, очевидно, взаимно однозначно отображает на S, то S — элементарная гладкая поверхность.

Краем поверхности S, как легко видеть, является множество S = { (x, y, c) R3 | (x, y) L } { (x, y, d) R3 : (x, y) L } { ((a), (a), u) R3 | u [c, d] } { ((b), (b), u) R3 | u [c, d] }, представляющее собой кусочно гладкую линию в R3.

Рассмотрим ещё один класс часто встречающихся поверхностей.

Пример 1.5 (поверхность вращения). Пусть в плоскости XOY задана гладкая простая линия L = { (x(t), y(t)) | t [, ] }, точки которой, кроме быть может концов, не лежит на оси OX. Поверхность S, полученная вращением линии L вокруг оси OX, чаще всего параметризуется следующим образом:

S = { (x(t), y(t) cos, y(t) sin ) | (t, ) }, где = { (t, ) | t [, ], [0, 2] }.

Покажем, что поверхность S = { (x(t), y(t) cos, y(t) sin ) | (t, ) }, где = (, ) (0, 2), является элементарной гладкой поверхностью.

Действительно, её параметризация r(t, ) непрерывно дифференцируема на, - rt r = (-x (t)y(t) sin ) + (-x (t)y(t) sin ) j k, поэтому, учитывая гладкость L, - |rt r| = |y(t)| x 2(t) + y 2(t) > 0, (t, ).

Значение параметра t0 определяет плоскость, перпендикулярную оси вращения, на которой лежит точка поверхности r(t0, ), (0, 2). Параметр 0 — угол, на который надо повернуть точку (x(t), y(t)) L, чтобы получить точку поверхности r(t, 0), t (, ).

Значит, отображение r взаимно однозначно действует из на S.

Краем этой поверхности является множество S = { (x(), y() cos, y() sin ) | [0, 2] } { (x(), y() cos, y() sin ) | [0, 2] } { (x(t), y(t), 0) | t [, ] }.

которое, представляет собой кусочно-гладкую линию в R3. Поэтому S — элементарная гладкая поверхность с кусочно гладким краем.

Замечание. Если линия L является графиком функции x = g(y), y [a, b], a > 0, то при вращении L вокруг оси OX получим поверхность S = { (x, y, z) | x = g( y2 + z2), (y, z) D }, где D = { (y, z) | a2 y2 + z2 b2 }.

1.2 Площадь элементарной гладкой поверхности Рассмотрим сначала поверхность с явным заданием. Пусть — ограниченная область в R2, функция f определена и непрерывно дифференцируема на, тогда согласно лемме 1.S = { (x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) } — элементарная гладкая поверхность в R3.

Всюду далее будем считать, что область — измеримое по Жордану множество. Пусть — такой замкнутый прямоугольник в R2, что. Рассмотрим произвольное разбиение = { Uj } прямоугольника (напомним, что каждая ячейка разбиения Uj — замкнутый прямоугольник). В каждой ячейке разбиения Uj, содержащейся в, зафиксируем произвольно точку Kj(xj, yj) и через точку Mj(xj, yj, f(Kj)) S проведём к поверхности S касательную плоскость Tj. Её уравнение имеет вид z - f(Kj) = fx(Kj)(x - xj) + fy(Kj)(y - yj).

Как известно из аналитической геометрии, поверхность S имеет в точке Mj два вектора единичной нормали n± = - fx(xj, yj), -fy(xj, yj), 1.

j ± 1 + (fx(xj, yj))2 + (fy(xj, yj))Поскольку координаты единичного вектора нормали совпадают с косинусами углов, об разуемых этим вектором с единичными векторами i, j, k соответствующих координатных осей, то cos(n+, k) = 1/ 1 + (fx(xj, yj))2 + (fy(xj, yj))2.

j В последующем будем говорить о векторе n+, обозначая его nj. На границе каждой ячейj ки разбиения Uj, как на направляющей, построим z-цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Эта цилиндрическая поверхность вырежет на касательной плоскости Tj кусок Lj, который представляет собой прямоугольник, и потому имеет меру (площадь) m(Lj). Вычислим следующую сумму S(, K) = m(Lj).

Uj Определение 1.4. Площадью элементарной гладкой поверхности с явным заданием называется конечный предел limd( )0 S(, K), если он существует. Поверхность в этом слу чае называется квадрируемой, а площадь поверхности S обозначается через µ(S).

Заметим, что, если элементарная гладкая поверхность S с явным заданием лежит в координатной плоскости OXY (или любой другой), то, как следует из определения, она квадрируема и её площадь — жорданова мера плоской области. Выясним, существует ли при наложенных на область и функцию f условиях предел, указанный в определении 1.4, и, если существует, чему он равен.

Поскольку m(Lj) cos(n, k) = m(Uj), то m(Lj) = m(Uj)/ cos(nj, k) = 1 + (fx(xj, yj))2 + (fy(xj, yj))2 m(Uj).

Таким образом, S(, K) = 1 + (fx(xj, yj))2 + (fy(xj, yj))2 m(Uj).

Uj Рассмотрим функцию 1 + (fx(xj, yj))2 + (fy(xj, yj))2, (x, y), g(x, y) = 0, (x, y) \.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.