WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В. Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В Рындина ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 4 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2003 г.

УДК 519.2 Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина Задачи по теории вероятностей. Часть 4. Числовые характеристики функций случайных величин, предельные теоремы теории вероятностей. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей и всех форм обучения механико-математического факультета РГУ.

Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа механико- математического факультета РГУ.

Протокол № 2 от 9 октября 2003 г.

Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров.

© Коллектив авторов Математическое ожидание и дисперсия функций случайных величин Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, связанной с заданной одномерной случайной величиной функциональной зависимостью = g, определяются по формулам ( ) + M= g x dF x, ( ) ( ) + + 2 D= g x - M dF x = g2 x dF x - ( )2 M.

( ) ( ) ( ) ( ) - В случае, если - дискретная случайная величина, принимающая значения xi с вероятностями pi, pi =1, то указанные формулы принимают вид i 2 M= xi pi, D = ( ) ( ) )2 g g xi pi -(M.

i i Если - абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности p x, то ( ) + + M= g x p x dx, D = g2 x p x dx - ( )M.

( ) ( ) ( ) ( ) - Если = 1,2,K,n - многомерная случайная величина, то для M, D в ( ) дискретном случае имеют место формулы M= g x1i,K,xni p 1 = x1i,K,n = xni, ( ) ( ) nn i1,K,in D= g2 x1i,K,xni p 1 = x1i,K,n = xni - ( )M, () ( ) nn i1,K,in а в абсолютно непрерывном случае + + M= K g x1,K,xn p x1,K,xn dx1Kdxn, () () - + + D= K g2 x1,K,xn p x1,K,xn dx1Kdxn - ( ) () () M, - где p x1,K,xn - плотность вероятности системы случайных величин 1,K,n.

( ) Пример 1. Число элементов электронной машины, выходящих из строя за некоторый промежуток времени, подчинено закону Пуассона с параметром a.

Длительность ремонта машины зависит от числа m вышедших из строя элементов и определяется формулой tm = T 1- e-m. Определить математическое ожидание ( ) ущерба, причинённого простоем машины, если ущерб пропорционален квадрату длительности ремонта: Sm = ktm.

Решение. В данной задаче встречаются три случайные величины: 1) - число элементов электронной машины, выходящих из строя за некоторый промежуток времени (случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a); 2) - длительность ремонта машины (случайная величина связана со случайной величиной формулой = T 1- e- ); 3) - величина ( ) ущерба, причинённого простоем машины, связанная со случайной величиной формулой = k2.

Случайная величина есть функция от следующего вида:

= kT 1- e- = kT 1- 2e- + e-2.

( ) ( ) Имеем:

am M= kT 1- 2e-m + e-2m e-a = () m! m= mm = kT e-aea - 2e-a ae- + e-a ae-2 = ( ) ( ) m! m! m=0 m= - --a 1- -a (1-e ) (1-e ) = kT 2e + e.

Пример 2. Случайная величина имеет ряд распределения -/2 /1/4 1/4 1/4 1/Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины = cos.

Решение.

1 M= pi cos xi = + cos0 + cos + cos = 0, cos - 42 i= D= M 2 -( )2 1 2 - + cos2 0 + cos2 + cos2 =.

M = ( ) cos 4 2 Пример 3. Пусть случайная величина - время безотказной работы детали - распределена по показательному закону с параметром. Деталь заменяется в любом случае по истечении времени T. Вычислить среднее время работы детали.

Решение. Время работы детали есть случайная величина = g, где ( ) x, x T, g x = ( ) T, x > T.

Случайная величина имеет плотность вероятности p x =e-x, если x 0, и ( ) p x = 0, если x < 0. Поэтому ( ) + T + -x M= g x p x dx =e-xdx = ( ) ( ) xe dx + T - 0T T T + T x 1 -x = - e-x + () e dx - Te-x = -Te-T e-x + Te-T = 1- e-T.

T Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию модуля случайной величины, распределённой по нормальному закону с параметрами a и 2.

Решение. Плотность вероятности случайной величины x-a ( )p x = e.

( ) Поэтому x-a x-a ( )2 ( )+ 0 + -22 M = x p x dx = - xe dx + xe dx.

( ) ( ) 2 - - x - a Сделав в каждом интеграле замену переменной t =, получим:

a t2 + t -M =- a +t e dt + a +t e dt = ( ) ( ) ( ) 2 a t2 t2 t00 00 t-- -aa 22 =- e dt - te dt + e dt + te dt + 2 22 aa - - t2 t2 t2 t00+ + -- -aa 22 + e dt + te dt + e dt + te dt = 2 22 aa- t2 t2 t+ --2a 2 = e dt + te dt + te dt = 2 2 aa - a + t2 t2 t+ -- 2aa 22 = te dt = 2a - e = e dt + 2 a 0 a aa = 2a + e, tz где z = ( ) e dt - функция Лапласа.

Для нахождения дисперсии найдём M = M 2. Имеем:

( ) ( ) x-a ( )+ + M 2 = x2 p x dx = x2e dx.

( ) ( ) - Заменив под знаком интеграла x2 на x - a + a = x - a + 2a x - a + a2, ( )2 ( ) ( ) ( ) разобьём интеграл на три:

x-a x-a x-a ( )2 ( )2 ( )+ + -- 12a a2 + 22 M 2 = x x e dx.



( - a e dx + )2 22 ( - a e dx + ) ( ) 2 - - К первому интегралу применим формулу интегрирования по частям, положив x-a ( )u = x - a и dv = x - a e dx, второй интеграл равен нулю (это становится ( ) очевидным после замены x - a = t ), а третье слагаемое равно a2, поскольку x-a ( )+ e dx =1 как интеграл от плотности вероятности нормального закона распределения. Поэтому + x-a x-a ( )2 ( )+ -22 M 2 = -2 x - a e + 2 e dx + a2 = 2 + a2.

( ) ( ) Тогда a a D= M 2 - ( )M =2 + a2 - 2a + e.

( ) Пример 5. Найти математическое ожидание длины хорды, проведённой в круге радиуса a перпендикулярно выбранному диаметру и пересекающей этот диаметр в произвольной точке, все положения которой на выбранном диаметре равновозможны.

Решение. Проведём через выбранный диаметр ось Ox, поместив начало координат в центр круга.

a -a O x Элементарными исходами в этой задаче являются точки отрезка [-a, a].

Пусть - координата выбранной точки на отрезке [-a, a]. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-a, a], поэтому её плотность вероятности [-a, ] 2a, x a, p x = ( ) 0, x a.

[-a, ] Пусть - длина хорды, проходящей через точку с координатой перпендикулярно оси Ox. Имеем: = 2 a2 - 2, поэтому a a 1 1 1 x a x M= 2 a2 - x2 dx = a2 - x2 + a2 arcsin =.

2a a 2 a -a -a Пример 6. Таблица распределения двумерной случайной величины имеет вид:

0 1 0 1/4 1/4 1 1/4 0 1/Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины =2 +.

Решение. Имеем:

1 1 1 1 M = xi2 + xi yj P = xi, = yj = 0 +1 + 4 0 + 0 + 2 0 + 6 =.

() () 4 4 4 4 i,j Для определения дисперсии найдём предварительно M2 = M 4 + 23 + 22 = xi4 + 2xi3y + xi2 y2 P = xi, = y = ( ) ( ) ( ) j j j i,j 1 1 1 1 = 0 +1 +16 0 + 0 + 4 0 + 36 =.

4 4 4 4 Теперь 49 D= M 2 - ( )2 37 - =.

M = ( ) 4 16 Пример 7. Дважды бросается игральная кость. Пусть - число очков, выпавших при первом подбрасывании, - число очков, выпавших при втором подбрасывании. Найти математическое ожидание случайной величины =.

+ Решение. Дискретная случайная величина (, ) принимает значения (i, j), i, j =1, 2,K, 6. При этом P = i, = j =. Поэтому () 1 M =.

i + j i,j= Для подсчёта M составим таблицу возможных значений i + j.

i j 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 Из таблицы видно, что между значениями i + j и числом слагаемых в M имеется следующее соответствие Значение i + j 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Число слагаемых 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 Поэтому 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 M = + + + + + + + + + + = 0,578.

36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Пример 8. Случайная точка (, ) распределена на плоскости по нормальному закону с параметрами M = 0, M = 0, D=2, D =2, cov, = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ( ), равной расстоянию от точки (, ) до начала координат.

Решение. Плотность вероятности двумерной случайной величины (, ) x2+ yp x, y = e.

( ) Поскольку = 2 +2, то x2+ y+ + M = x2 + y2e dxdy.

- Переходя к полярной системе координат x = rcos, y = r sin, получим:

r2 r+ 2 + -22 M= rdr re d= r2e dr = 22 0 0 r2 r2 r+ + -- + 11 22 22 = re -2 +2 e dr = 2 e dr = 2 =.

( ) 2 2 r2 r+ 2 + -22 M2 = rdr r2e d = r3e dr = 22 0 0 + r2 r2 r+ -- + 22 = r2e -2 + 22 re dr = 2 -2 e22 = 22.

( ) ( ) 2 4 D= M2 -( ) M = 22 - 2 = 2.

Пример 9. На окружности единичного радиуса наудачу ставятся три точки A, B и C. Найти математическое ожидание площади треугольника ABC.

Решение. Рассмотрим декартову систему координат с началом в центре круга. Пусть 1, 2, 3 - углы между радиусами, идущими соответственно в точки A, B, C и осью Ox, отсчитываемые от оси Ox против часовой стрелки.

Координаты точек A, B, C равны cos1, sin1, cos2, sin2, ( ) ( ) cos3, sin3. Величины углов 1, 2, 3 являются случайными величинами, ( ) равномерно распределёнными на отрезке 0, 2 и независимыми. Плотность [ ] совместного распределения случайных величин 1, 2, 3 равна, если ( )1,2,3 0, 2 0, 2 0, 2 и нулю в противном случае.

( ) [ ] [ ] [ ] y C A O x B Ориентированная площадь S треугольника ABC выражается формулой cos1 sin1 S = cos2 sin2 1.

cos3 sin3 Разлагая определитель по элементам последнего столбца, получим:

S = [ cos2 sin3 - cos3 sin2 - ( ) cos1 sin3 - cos3 sin1 + ( ) + cos1 sin2 - cos2 sin1 ] = ( ) = sin 3 - 2 - sin 3 - 1 + sin 2 - 1.

() () () Пусть случайная величина - площадь треугольника ABC. Между и S имеет место связь: = S. Величина S неотрицательна, Если обход вершин треугольника ABC совершается против часовой стрелки. Из этого следует, что если 1 2 3, то S 0. Поскольку число различных перестановок 1, 2, равно 3! и для любой из них S равен одному и тому же числу, то 2 2 M = M S = S 1, 2, 3 3 d1d2d3 = () ( ) 0 0 3 3! = d3 d2 sin 3 -2 - sin 3 -1 + sin 2 -1 d1 = () () () 3 2 ( ) 0 0 = d3 2 sin 3 -2 - cos 3 -2 - cos3 + 1- cos2 d2 = () () () () ( ) 0 3 = () () - cos 3 - 2 d2 - cos 3 - 2 d2 + 3 cos3 + 3 - sin3 d3 = ( ) 00 = [ - 2sin3 + 3 cos3 + 3 - sin3 d3 = ] ( ) = 23 - 3sin3 + 3 cos3 d3 = [] ( ) = () 42 + 3 cos 2 - cos0 - 3 sin3 0 + sin3d3 = ( ) = 2 =.

( )2 ( )Ковариационная матрица Определение 1. Ковариацией случайных величин, называется число cov, = M - M M.

( ) ( ) Определение 2. Коэффициентом корреляции случайных величин, называется число cov, ( ), =, где = D, = D.

Определение 3. Ковариационной матрицей системы случайных величин n 1, 2,K, n называется квадратная матрица i, j i, j=1, где i, j = cov i,, ( ) ( ) j i, i = cov i, i = Di.





( ) В дискретном случае имеет место формула cov, = xk ymP = xk, = ym - M M.

( ) ( ) k, m В абсолютно непрерывном случае справедлива формула + + cov, = xyp x, y dxdy - M M.

( ) ( ) - Пример 1. Бросаются две игральные кости. Пусть - число очков на первой кости, - максимум из двух чисел очков. Найти математические ожидания случайных величин,, ковариационную матрицу и коэффициент корреляции.

Решение. В этой задаче элементарным исходом является вектор i, j, где i ( ) - число очков на первой кости, j - число очков на второй кости. Пространство элементарных событий состоит из равновозможных исходов: = i, j :i, j =1, 6, ( ) { } = 36. Вероятность каждого элементарного события равна. Имеем:

i, j = i, i, j = max i, j. Случайная величина, - дискретная ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) двумерная случайная величина. Составим таблицу её распределения. Для этого найдём pi, j = P = i, = j. Заметим, что : = i, = j =, если i > j ;

( ) ( ) ( ) { } = i, = j = i,1, i, 2,K, i, i, если i = j, и, наконец, :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } = i, = j = i, j, если i < j. Поэтому :

( ) ( ) ( ) { } { } 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 36 1 2 2 0 0 0 36 36 1 1 3 3 0 0 36 36 36 1 1 1 4 4 0 36 36 36 36 1 1 1 1 5 5 36 36 36 36 36 1 1 1 1 1 6 36 36 36 36 36 36 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 0, i > j, i P = i, = j = 36, i = j, () 1 36, i < j, и таблица распределения случайной величины, имеет приведённый выше ( ) вид:

С помощью этой таблицы находим:

121 M = P = xk = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = = ;

( ) () xk 66 k=M= ymP = ym = 1+ 3 2 + 53 + 7 4 + 9 5 +11 6 = ;

() () 36 m=2 149 11 = D= P = xk -( ) M = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 - = ;

( ) () xk 64 k=22 = D= ymP = ym -( ) M = () m=1 161 = 1+ 3 22 + 532 + 7 42 + 9 52 +11 62 - = ;

() 36 36 12 = 21 = cov, = xk ymP = xk, = ym - M M = ( ) ( ) k,m=12 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 22 + 3 + 4 + 5 + 6 + 32 + 4 + 5 + 6 + () ( ) ( ) 36 36 45 7 161 + 42 + 5 + 6 + 52 + 6 + 62 - =.

( ) ( ) 36 36 36 2 36 Ковариационная матрица имеет вид:

35 12.

105 72 Коэффициент корреляции случайных величин, равен cov, ( ) 12 = = = 0,608.

D D 11 22 35 12 Пример 2. Найти математические ожидания и ковариационную матрицу системы случайных величин,, если плотность вероятности ( ) p x, y =.

( ) x2 + y2 +() Решение. Двумерная случайная величина, имеет абсолютно ( ) непрерывное распределение.

+ + + + 2 xdx M = xp x, y dxdy = dy = 0, ( ) - - - - x2 + y2 +() так как внутренний интеграл берётся от нечётноё функции по симметричному промежутку. Аналогично, + + + + 2 ydy M = yp x, y dxdy = dx = 0.

( ) - - - - x2 + y2 +() + + + + x = r cos 2 x2dxdy 11 = D = x2 p x, y dxdy = = = ( ) y = r sin - - - - x2 + y2 +() 2+ 2 + r2d r2 +( ) 2 r3dr 2 1- cos 2 = cos2 d = d = r2 +1= t = 3 r2 +00 0 0 r2 +( ) ( ) 2+ + 1 1 t -1 1 1 1 1 = dt = 2 - + =1- =.

+ cos 2 2 2 t 2t2 2 t 0 Аналогично, + + + + 2 y2dxdy 22 = D = y2 p x, y dxdy = =.

( ) - - - - x2 + y2 +() + + + + 2 ydy 12 = 21 = xyp x, y dxdy = xdx = 0.

( ) - - - - x2 + y2 +() Ковариационная матрица, таким образом, имеет вид:

1 2.

0 1 Пример 3. В круг x2 + y2 R2 наудачу бросается точка. Рассматриваются случайные величины: - расстояние от точки до центра круга, - расстояние от точки до оси Oy. Найти математические ожидания и ковариационную матрицу системы случайных величин,.

( ) Решение. Пространство элементарных событий есть множество точек круга:

= x, y : x2 + y2 R2. Пусть X, Y - случайные координаты брошенной в круг ( ) { } точки. Двумерная случайная величина X, Y имеет равномерное ( ) распределение в круге, т. е.,, x, y, ( ) pX,Y x, y = ( ) R 0, x, y.

( ) Случайные величины и есть следующие функции от случайных координат X, Y:

2 = X + Y, = Y.

Из этого следует, что 2 R x = r cos, 11 1 M= x2 + y2 dxdy = = d r rdr = 2 R3 = R, R2 y = r sin R2 R2 3 0 R 11 1 M= y dxdy = sin d rdr = R3 r sind= R2 R2 R2 00 2R 4R =- cos =.

3 2 R 11 11 = D = x2 + y2 dxdy -( ) M = d () r rdr - R2 = R2 R2 0 1 R4 4 R= 2 - R2 =.

R2 4 9 2 R 1 4R 22 = D = y2 dxdy - ( )2 M = sin2 d rdr - = r R2 R R2 21- cos 2 16R2 R2 2 16R2 1 = d - = - = - R2.

4 2 92 4 2 92 2 R 11 2 4R 12 = 21 = y x2 + y2dxdy - M M = sin d rdr - R = r 3 R2 R 1 R4 8R2 R2 8R2 R= sind - = 2 - =.

R2 49 2 9 Таким образом, ковариационная матрица имеет вид:

R2 R18.

R2 1 - R 9 4 Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа Рассматриваются повторные независимые испытания, или испытания по схеме Бернулли. Вероятность появления некоторого случайного события в единичном испытании равна p. Обозначим: событие Ak – “в серии из n испытаний случайное событие произойдёт ровно k раз” и событие B – “число k наступлений случайного события будет находиться в пределах от m1 до m2”. Вероятности этих событий определяются по формулам k Pn Ak = Cn pkqn-k, ( ) mk Pn B = Cn pkqn-k.

( ) k=m Для большого числа повторных независимых испытаний n при вычислении вероятностей событий Ak и B по этим формулам возникают значительные, а порой и непреодолимые, арифметические затруднения. Преодолеть их позволяют локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, которые используют тот xфакт, что функция x = e после некоторых линейных преобразований ( ) хорошо аппроксимирует биномиальное распределение.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.