WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. М. Александров, Б. И. Сметанин Задачи гидроупругости Методические указания для студентов механико-математического факультета г. Ростов на - Дону 2003 2 Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ, протокол N 9 от 23 мая 2003 г.

3 Введение Задачи гидроупругости представляют большой теоретический и практический интерес. Исследование этих задач позволяет выявить взаимное влияние жидкости и контактирующей с ней упругой конструкции. К числу таких задач относятся задачи расчета гидротурбин, виброисточников, емкостей, трубопроводов, инженерных сооружений в прибрежной зоне, либо в открытом море, задачи удара упругих тел о жидкость, движения упругих тел в жидкости, задачи биомеханики и многие другие задачи. В [1] даны постановки и методы решения широкого круга задач гидроупругости, приведен список литературы, отражающий положение дел в рассматриваемой области.

Трудность решения задач гидроупругости состоит в необходимости совместно интегрировать уравнения теории упругости и гидромеханики. В данных методических указаниях рассматриваются простейшие модельные задачи гидроупругости. Полученные решения подобных задач могут быть использованы для качественных оценок в случае реальных конструкций. Для удобства исследования задач функции представляются в комплексной форме с выделенным множителем e-i t, где - круговая частота, t - время. Если совершаются линейные операции над величинами в комплексной форме, то вещественная часть результата будет равна результату тех же операций над вещественной частью величин. Поэтому вещественная часть решения задачи с функциями, представленными в комплексной форме, будет соответствовать решению исходной линейной задачи. Применение метода интегральных преобразований приводит каждую из рассматриваемых задач к системе дифференциального и интегрального уравнений. Для решения этой системы применяется метод ортогональных многочленов.

1 Плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости Пусть в идеальной несжимаемой жидкости расположена тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины 2a и постоянной толщины h. Координатные оси x, y и z декартовой прямоугольной системы координат расположим так, чтобы координаты точек срединной плоскости пластинки удовлетворяли условиям: | x | a, y = 0,| z |<. Плоская задача о взаимодействии пластинки с жидкостью в линейной постановке сводится к решению следующих уравнений.

Eh4 f 2 f D = -0h + p (| x | a), D = (1.1) x4 t12(1 - ) Здесь f = f (x,t) – прогиб срединной плоскости пластинки, D жесткость пластинки при изгибе, E - модуль Юнга, -коэффициент Пуассона, 0 - плотность пластинки [2]. Силами, влияющими на изгиб пластинки, являются силы инерции - 0h2 f / t и давление жидкости на пластинку p.

Движение жидкости считается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости =(x, y,t) удовлетворяет уравнению Лапласа [3] 2 + = 0 (1.2) x2 yГидродинамическое давление p связано с функцией интегралом Коши, который в линеаризованной форме имеет вид p = p -, (1.3) t где -плотность жидкости, p - давление на бесконечности.

Изгибающие моменты и поперечные силы на краях пластинки отсутствуют, следовательно, граничные условия для уравнения (1.1) можно представить в виде [2] 2 f 3 f = = 0 (x = ±a) (1.4) x2 xИз условия безотрывности обтекания пластинки жидкостью следует, что f = (y = ±0, | x | a) (1.5) y t С удалением от пластинки скорость точек жидкости должна исчезать, тогда = = 0 при r (r = x2 + y2 ) (1.6) x y Функции f и представим в виде f (x,t) = f*(x)e-i t, (x, y,t) = *(x, y)e-i t (1.7) Из (1.1) – (1.7) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций f* и *:

d f*(x) D - 0h f*(x) = i[*(x,-0) -*(x,+0)] (1.8) d x2* 2* + = 0 (1.9) x2 y f*(±a) = f* (±a) = 0 (1.10) * = -i f* (y = ±0; | x | a) (1.11) y * * = = 0 при r (1.12) x y Решение уравнения (1.9) удобно строить отдельно в верхней и нижней полуплоскостях. Используя интегральное преобразование Фурье с учетом (1.12), будем иметь [4] *(x, y) = 1(x, y) = A( )e-| | y -ixd (y 0) (1.13) *(x, y) = 2 (x, y) = B( )e| | y -i xd (y 0) (1.14) В этих формулах A( ) и B( ) - достаточно произвольные функции.

Из (1.11) и условия непрерывности давления и скорости при y = 0, | x |> a вытекают следующие зависимости между функциями 1 и 1 = 2 ( y = 0, | x |> a) (1.15) 1 = (y = 0, | x |< ) (1.16) y y Введем обозначение (x) = 2 (x,0) - 1(x,0) (1.17) Тогда из (1.13), (1.14), (1.16) и (1.17) с использованием свойств интегрального преобразования Фурье может быть получена следующая система уравнений, связывающая функции A( ) и B() B( ) - A( ) = ( ), (1.18) A( ) + B() = ( ) где дается формулой a ( ) = ()eid (1.19) -a Решая систему уравнений (1.18) относительно A( ) и B(), определим 1 A() = - (), B() = () (1.20) 2 Из (1.11), (1.13) и (1.20) будем иметь ix (1.21) | | ( )e- d = -4i f*(x) (| x | a) - Проинтегрируем по x левую и правую части уравнения (1.21). Учитывая далее (1.19) и обобщенное значение интеграла (1.22) sintd =, t получим сингулярное интегральное уравнение, связывающее функции (x) и f*(x) a x () d = 2i f (1.23) *()d + const (| x | a) - x -a Формула обращения интегрального оператора, стоящего в левой части уравнения (1.23), приведена в [5]. Применяя к (1.23) эту формулу при условии ограниченности функции (x), выразим (x) через f*(x) a 2i d (x) = - a2 - x2 f (1.24) *()d -a a2 - ( - x) Соотношение (1.24) позволяет исключить из рассмотрения функцию (x) и свести задачу к решению одного интегро-дифференциального уравнения относительно функции f*(x) :



a d f*(x) 2 d 2 D - 0h f*(x) - a2 - x2 f*()d = dx-a - ( - x) a2 (| x | a) (1.25) В уравнении (1.25) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам ~ D 2a 2 ~ x = ax, = a, = a, f (x) = hf (x ), =, = (1.26) 0h 0haУравнение (1.25) и граничные условия (1.10) с использованием формул (1.26) примут вид d f (x) d 2 - f (x) - 1- x2 f ()d (| x | 1) (1.27) dx-1 1- ( - x) f (±1) = f (±1) = 0 (1.28) В уравнении (1.27) и далее знаки «штрих» и «волна» опущены.

Вторую производную функции f (x) представим в виде следующего разложения по многочленам Якоби Pn(4,4) (x) :

4) f (x) = (1 - x2 )2 YnPn(4,2 (x) (1.29) n=Здесь Ym - коэффициенты, подлежащие определению. Из (1.29) легко установить, что граничные условия (1.28) будут выполняться при любых значениях коэффициентов Ym. Из (1.29) следует представление функции f (x):

f (x) = YnQn (x), Q0 (x) =1, Q1(x) = x (1.30) n=4) Qn (x) = (1.31) (1- x2)2 Pn(4,2 (x)dxdx (n = 2,3,4,...) Многочлены Qn(x) удовлетворяют условию d Qm (x) Qn (x)dx = Cn (m,n = 2,3,4,...), (1.32) mn dx-где 1, m = n 512[(n + 2)!] =, Cn = (1.33) mn (n - 2)!(n + 6)!(2n + 5) 0, m n Значение интеграла (1.32) получено из условия ортогональности многочленов Якоби Pn(4,4) (x) [6].

С целью сведения интегро-дифференциального уравнения (1.27) к системе уравнений относительно Ym (m = 0,1,2,...) функцию f (x) в форме (1.30) внесем в (1.27). В результате получим d 4Qn (x) Yn - [Qn (x) + Hn (x)] = 0 (1.34) dxn= 1 - x2 d Hn (x) = (1.35) Q ()d (n = 0,1,2,...) n -1 - ( - x) При вычислении интегралов (1.35) целесообразно использовать значение следующего сингулярного интеграла [7] 0 (m = 0) m 1 d = Rn (x) (m = 2n + 1) (1.36) -1- ( - x) xR (x) (m = 2n + 2) n n (2k -1)!! Rn (x) = x2n-2k (2k)!! k =Далее последовательно умножим уравнение (1.34) на Q (x) ( j = 0,1,2,...). Полученные соотношения проинтегрируем по x в преj делах от -1 до 1. В результате, с учетом (1.32), придем к следующей системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно Ym :

(L )= Y + S 0 ( j = 0,1) n jn jn n=(1.37) YjC j - 2 n jn + S jn 0 ( j = 2,3,4,...) (L )= Y n=В (1.37) введены обозначения 1 L = (x)Qn (x)dx, S = (x)Hn (x)dx jn Q j jn Q j -1 -Легко установить, что функции Qn (x) и Hn (x) при четных значениях индекса n являются четными функциями, а при нечетных значениях индекса – нечетными функциями. Отсюда следует, что система уравнений (1.37) распадается на две независимые системы уравнений с неизвестными Y2m и, соответственно, Y2m+1 (m = 0,1,2,...). Исследование полученных систем удобно проводить методом редукции. Для существования нетривиального решения каждой из этих систем их определители должны равняться нулю. Это условие приводит к двум независимым уравнениям, определяющим собственные частоты для симметричных колебаний, либо антисимметричных колебаний пластинки.

В качестве примера рассмотрим симметричные колебания пластинки.

Из (1.37) для этого случая получим следующую урезанную систему M уравнений M - Y2n (L0,2n + S0,2n ) = n=(1.38) M - Y2 jC2 j - Y2n (L2 j,2n + S2 j,2n )= 0 ( j =1,2,..., M -1) n=В таблице 1 указаны значения приведенной частоты, вычисленные при = 30 для системы (1.38), состоящей, соответственно, из двух, трех, четырех, пяти или шести уравнений Таблица Значения приведенной частоты при = 1 2 3 M 2 1.265 - - 3 1.261 8.504 - 4 1.261 8.304 25.76 5 1.261 8.303 23.88 58.6 1.261 8.303 23.86 50.Из таблицы 1 видно, что при рассмотренном значении параметра для определения трех наименьших по величине собственных частот с достаточной для практического использования точностью можно ограничиться решением системы (1.38) из пяти уравнений. С ростом номера собственной частоты эффективность примененного метода падает.

Упражнение 1. Вывести формулы (1.13) и (1.14).

Упражнение 2. Используя формулы (1.37), выписать систему уравнений для определения Ym (m =1,3,..., 2M -1) в случае антисимметричных колебаний пластинки.

Упражнение 3. Проведя соответствующие вычисления по формулам, полученным в упражнении 2, составить таблицу значений собственных частот антисимметричных колебаний пластинки, аналогичную таблице 1.

2 Осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидкостью Пусть упругая круговая цилиндрическая оболочка длины 2a, радиуса R помещена в идеальную несжимаемую жидкость, занимающую безграничный объем. Ось Oz цилиндрической системы координат r,, z направим вдоль оси оболочки. Уравнение движения оболочки, взаимодействующей с жидкостью, для случая осевой симметрии будем брать в виде [2] 4w Eh 2w D + w + oh = q(z)cost + (| z | a ) (2.1) z4 R2 t+ p(R + 0, z,t) - p(R - 0, z,t) Здесь w = w(z,t) - радиальное перемещение точек оболочки, q(z)cos t - интенсивность распределенной по поверхности оболочки нормальной нагрузки, - круговая частота колебаний, E - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, h - толщина оболочки, 0 - плотность оболочки, p = p(r, z,t) - гидродинамическое давление. Жесткость оболочки при изгибе D связана с параметрами E, и h формулой (1.1). Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. Условия отсутствия на торцах оболочки сосредоточенных усилий имеют вид 2w 3w = = 0 (z = ±a) (2.2) z2 z Движение жидкости предполагается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости = (r, z, t) удовлетворяет уравнению Лапласа [3] 2 1 + + = 0 (2.3) r r r2 z Гидродинамическое давление p в предположении малости вносимых оболочкой возмущений связано с функцией интегралом Коши (1.3).





Занимаемую жидкостью область разобьем на две области, которые определяются условиями 1) 0 r R, 0 < 2, | z |< (2.4) 2) R r <, 0 < 2, | z |< Функции и p в этих областях будем обозначать с индексом 1 или 2.

На границе областей 1) и 2) вне оболочки должны выполняться условия непрерывности движения жидкости 1 p1 = p2, = ( r = R, | z |> a ) (2.5) r r На оболочке должны выполняться условия безотрывности ее обтекания жидкостью 1 2 w = = - ( r = R, | z | a ) (2.6) r r t С удалением от оболочки вносимые ею возмущения движения жидкости должны затухать.

Будем рассматривать комплексную форму q(z)e-i t приложенной к оболочке нагрузки. Очевидно, что Re{q(z)e-i t}= q(z)cos t Поэтому вещественная часть решения задачи с нагрузкой в комплексной форме будет соответствовать решению исходной задачи с нагрузкой q(z)cos t.

Будем предполагать справедливым следующее представление функций w, 1 и w(z,t) = w*(z)e-i t (r, z,t) = * j (r, z)e-i t ( j = 1,2) (2.7) j Функции *1 и *2 должны удовлетворять уравнению (2.3). Из (2.1), (1.3) и (2.7) может быть получено уравнение, связывающее функции w*, *1 и *d w*(z) Eh D + ( - oh )w*(z) = q(z) + (| z | a) (2.8) dz4 R+ i[*2(R, z) - *1(R, z)] С учетом представлений (2.7) граничные условия (2.2), (2.5) и (2.6) принимают вид w* (±a) = w* (±a) = 0 (2.9) *1 **1 = *2, = ( r = R, | z |> a ) (2.10) r r *1 *= = i*w ( r = R, | z | a ) (2.11) r r Применение интегрального преобразования Фурье к уравнению (2.3) позволяет получить следующее представление функций *1 и *2 с учетом их ограниченности в области определения [4] *1(r, z) = A( )I0(| | r)e-i zd *2 (r, z) = B( )K0 (| | r)e-i zd (2.12) Здесь A( ) и B( ) - произвольные достаточно гладкие функции, In (z) и Kn (z) - цилиндрические функции мнимого аргумента [6]. Введем в рассмотрение функцию (z) формулой [*2(R, z) - *1(R, z)], | z | a (z) = (2.13) z 0, | z |> a Из (2.10) – (2.13) после исключения из рассмотрения функций A( ) и B( ) может быть найдено следующее уравнение, связывающее функции и w* a ()d (R)K1(R)sin ( - z)d = i w*(z) (| z | a ) (2.14) I R -a Введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам R q0a4 ~ = a, z = az, u = R, =, w*(z) = w(z ), a D ~ iqoaD ~() () =, =, (2.15) D oh a12(1 - )a2 a ~(z) =, =, q(z) = q0g oh 2hЗдесь q0 – параметр, имеющий размерность распределенной нагрузки.

Из (2.8), (2.9), (2.14) с учетом (2.15) получим d w(z) 2 + ( - )w(z) + (z) = g(z) (| z |1) (2.16) dz w (±1) = w (±1) = 0 (2.17) - z d (2.18) ()l = 2 w(z) (| z |1) - l(t) = L(u) sin(ut)du, L(u) = 2uI1(u)K1(u) (2.19) (z) = (z) (2.20) В формулах (2.16) – (2.20) и далее знаки «штрих» и «волна» опущены.

Функцию w (z) представим в следующем виде 4) w (z) = (1- z2)2 X Pn(4,2 (z) (| z |1) (2.21) n n=Здесь X – подлежащие определению коэффициенты. Из (2.21) следует, что n функция w(z) может быть выражена через введенные в п. 1 многочлены Qn (z) формулой, аналогичной (1.30) w(z) = X Qn (z) (2.22) n n=Легко установить на основании (2.21), что граничные условия (2.17) будут выполняться при любых значениях коэффициентов X.

n Пусть (z) – решение интегрального уравнения n - z d (2.23) n ()l = 2 Qn (z) (| z |1; n = 0,1,2,...) -Тогда в соответствии с формулами (2.18), (2.22) и (2.23) функция (z) представима в виде (z) = X (z) (2.24) n n n=При использовании для решения интегрального уравнения (2.23) метода ортогональных многочленов с учетом структуры его решения функции (z) n следует искать в форме [8] (z) = (2.25) YnmTm (z) ( n = 0,1,2,...), n 1 - z2 m=где Tm (z) – многочлены Чебышева первого рода. В (2.25) учтено, что (2.26) (z)dz = (1) - (-1) = -Реализация процедуры метода ортогональных многочленов сводит решение уравнения (2.23) к решению следующих систем уравнений относительно коэффициентов Ynm Yn,2m+1 = + d Yn,2 ( n, m = 0,1,2,...) n,2m mj j +j = Yn,2m+ 2 = - (2.27) Yn,2 ( n, m = 0,1,2,...) n,2m+1 mj j j = = nm Q (z)Um (z) 1 - z2 dz n - u u du dmj = (-1)m+ j 2(2m + 1) - L(u)]J2m+1( )J2 j +1( ) [ u u u du = (-1)m+ j 4(m + 1) - L(u)]J2m+2 ( )J2 j ( ) [mj u Здесь Um (z) – многочлены Чебышева второго рода, Jm (z) – функция Бесселя. Из (2.20), (2.24) и (2.25) следует представление функции (z) (z) = X bn (z) (2.28) n n= Ynm bn (z) = - 1 - z2 Um-1(z) (2.29) m m= Подставив разложения функций w(z) и (z) в ряд в (2.16), найдем d Qn (z) 2 X [ + ( - )Qn (z) + bn (z)] = g(z) (2.30) n dzn=Умножим соотношение (2.30) на Qj (z) ( j = 0,1,2,...) и затем проинтегрируем по z в пределах от -1 до 1. В результате, с учетом (1.32), получим следующую линейную алгебраическую систему уравнений относительно X n X D = g ( j = 0,1) n jn j n=(2.31) X C + X D = g ( j = 2,3,4,...) j j n jn j n=g = g(z)Q (z)dz j j -1 2 Djn = ( - ) Qj (z)Qn(z)dz + bn(z)Qj (z)dz -1 -Легко убедиться, что система (2.31) распадается на две независимые системы уравнений. В одну из них входят неизвестные X с четными значеn ниями индекса, определяющие симметричные колебания оболочки, в другую – неизвестные X с нечетными значениями индекса. Условием существоваn ния нетривиального решения соответствующих однородных систем является равенство нулю их определителей. Выполнение этих условий приводит к двум независимым уравнениям, определяющим собственные частоты симметричных колебаний и, соответственно, антисимметричных колебаний.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.