WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В. Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В Рындина ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 5 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2004 г.

УДК 519.2 Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина Задачи по теории вероятностей. Часть 5. Законы распределения функций случайных величин. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей и всех форм обучения механико-математического факультета РГУ.

Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ.

Протокол № 5 от 20 января 2004 г.

Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров.

© Коллектив авторов 3 Закон распределения функций от случайных величин Пусть - произвольная n-мерная случайная величина ( n 1), P - вероятn n ностная мера, задающая распределение в, B. Пусть y = g x - борелев( ) ( ) n k ская функция, отображающая в ( k 1), = g - случайная величина, P ( ) k k - вероятностная мера, задающая распределение величины в, B. Меры P ( ) и P связаны соотношением P B = P g-1 B (1) ( ) ( ) ( ) k для любого борелевского множества BB.

Таким образом, зная распределение, можно по формуле (1) найти распределение величины = g.

( ) При использовании формулы (1) на практике мы наталкиваемся на чисто технические трудности, поэтому предлагаются более удобные для использования на практике модификации этой формулы.

Рассмотрим первый частный случай.

Пусть - дискретно распределённая случайная величина, имеющая ряд распределения:

x1 x2 … xk … P … … P x1 P x2 P xk ( ) ( ) ( ) где ( ) ( ) P xk =1. Тогда возможными значениями величины = g являются k значения g xk, k = 1, 2, … Очевидно, что - дискретно распределённая случай( ) ная величина. Обозначим её возможные значения через yj, j = 1, 2, …, причём для разных j значения yj - различные. Тогда по формуле (1) P y = P g-1 y = P xk = P xk.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jj k: g xk = y k: xkg-1 y ( ) ( ) j j Итак, ряд распределения случайной величины задаётся равенством P y = P xk = P xk, j = 1, 2, … (2) ( ) ( ) ( ) j k: g xk = y k: xkg-1 y ( ) ( ) j j Формула (2) решает полностью задачу нахождения закона распределения величины = g.

( ) Пример 1. Пусть дискретная случайная величина имеет ряд распределения 0 1 -3 -P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,Построить ряд распределения случайной величины =2.

Решение. Рассмотрим борелевскую функцию y = x2. Случайная величина =2 является дискретно распределённой, её возможными значениями являются числа 0, 1, 4, 9. По формуле (2) P 0 = P 0 = 0,3; P 1 = P + P 1 = ( ) ( ) ( ) (-) ( ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ; P 4 = P 2 = 0,1; P 9 = P = 0,1.

( ) ( ) ( ) (-) Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид 0 1 4 P 0,3 0,5 0,1 0, Второй частный случай.

Пусть - n-мерная непрерывно распределённая случайная величина, n имеющая плотность вероятности p x, где x = x1, x2,K, xn, n 1. Поло( ) ( ) n n жим G1 = x : p x > 0, в частности, G1 может совпадать с. Пусть ( ) { } y = g x - взаимно однозначное дифференцируемое отображение G1 на G2, ( ) n n G2, в частности, G2 может совпадать с. Кроме того, пусть якобиан det g x 0 в G1. Тогда = g - n-мерная непрерывно распределённая слу( ) ( ) чайная величина с плотностью вероятности p g-1 y det g-1 y, y G2, ( ) ( ) () ( ) p y = (3) ( ) 0, y \ G2.

n Зная плотность вероятности случайной величины, по формуле (3) находим плотность вероятности случайной величины. Очевидно, возможно обратное:

зная плотность вероятности, можно найти плотность вероятности по формуле p g x det g x, xG1, ( ) ( ) ( ) p x = (4) ( ) 0, x n \ G1.

Пример 2. Найти плотность вероятности логарифмически нормально распределённой случайной величины.

Решение. Положительную случайную величину называют распределённой логарифмически нормально, если случайная величина = ln распределена по нормальному закону.

Найдём плотность вероятности величины по формуле (4). Здесь G1 = 0; +, y = ln x - взаимно однозначное дифференцируемое отображение ( ) интервала 0; + на R, причём y = > 0 при x 0; +.

( ) ( ) x Плотность вероятности случайной величины имеет вид y-a ( )p y = e22, y.

( ) По формуле (4) плотность вероятности случайной величины ln x-a ( ), x > 0, p x = ( ) 2 x e 0, x 0.

Случайная величина, имеющая такую плотность распределения, носит название логарифмически нормально распределённой случайной величины с параметрами a и 2.

Пример 3. Пусть - равномерно распределённая на интервале (0; 1) случайная величина, т. е., её плотность вероятности 1, x 0; 1, ( ) p x = ( ) ( ) 0, x 0; 1.

Пусть - любое фиксированное положительное число. Найти плотность вероятности случайной величины =- ln.

Решение. Рассмотрим функцию y =- ln x, дифференцируемую и взаимно однозначно отображающую интервал (0; 1) на луч (0; +), причём y x = > ( ) x при x 0; 1. Воспользуемся формулой (3). В этой задаче G1 = 0; 1, ( ) ( ) G2 = 0; +, g x =- ln x, x 0; 1.



( ) ( ) ( ) Из уравнения y =- ln x находим x = e-y, значит, g-1 y = e-y, y > 0.

( ) g-1 y = e-y = e-y.

( ) ( ) ( ) По формуле (3) p y = p e-y e-y, если y > 0, и p y = 0, если y < 0. Так ( ) ( ) ( ) как p 0 можно положить равным любому числу, поскольку изменение значе( ) ния плотности вероятности в конечном числе точек не влечёт изменения закона распределения, то окончательно получаем:

e-y, y 0, p y = ( ) 0, y < 0.

Таким образом, мы получили, что - экспоненциально распределённая случайная величина с параметром. Этот результат имеет важное приложение на практике. Допустим, что надо получить выборку объёма n из экспоненциально распределённой случайной величины с заданным значением параметра > 0. За дача решается следующим образом. На современных ЭВМ имеется датчик случайных чисел, равномерно распределённых на (0; 1). Датчик выдаст n случайных чисел: x1, x2, …, xn. Тогда числа y =- ln xj, j =1, n, образуют выборку объёма n j из экспоненциально распределённой случайной величины с параметром.

Мы рассмотрели два важных частных случая нахождения закона распределения случайной величины = g. Теперь рассмотрим общий случай.

( ) Пусть - n-мерная случайная величина, n 1, с функцией распределения n F x, где x = x1, x2,..., xn. Если существует плотность вероятности вели( ) ( ) nF x ( ) чины, то её будем обозначать p x =. Пусть y = g x - скалярная ( ) ( ) x1x2...xn борелевская функция, не обязательно отображающая взаимно однозначно, тем более не обязательно дифференцируемая. Рассмотрим скалярную случайную величину = g. Обозначим через F y её функцию распределения. Если суще( ) ( ) ствует плотность вероятности величины, то её будем обозначать p y = ( ) = F y. Вместо нахождения вероятностной меры P по формуле (1) будем на( ) ходить функцию распределения F y. По определению функции распределения ( ) F y = P < y = P y = P g-1 y.

( ) ( ) (-;

) (-;

) ( ) Итак, F y = P g-1 y. (5) ( ) (-;

) ( ) Формула (5) является более удобной для использования на практике модификацией формулы (1).

Пример 4. Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-3; 2], т. е., её плотность вероятности 1 5, x [-3; 2, ] p x = ( ) [-3; 2.

] 0, x Найти закон распределения случайной величины =2.

Решение. Функция y = x2 является борелевской функцией, но она не отображает взаимно однозначно отрезок [-3; 2] на какую либо область, поэтому не применима формула (3), и мы воспользуемся формулой (5). Очевидно, величина =2 может принимать лишь неотрицательные значения, поэтому при y 0 событие < y является невозможным, следовательно, F y = P < y = 0 для { } ( ) ( ) любого y 0. При y > y F y = P < y = P 2 < y = P < y = P - y < < y = p x dx.

( ) ( ) ( ) () () () - y Вычислим последний интеграл.

Если 0 < y < 4, то 0 < y < 2, а -2 <- y < 0, поэтому - y; y 2 и [-3;

] ( ) yy 1 p x dx = dx = y.

( ) 5 - y - y Если 4 < y < 9, то 2 < y < 3, а -3 <- y <-2, поэтому правый конец интервала - y, y попадает правее точки 2, а левый конец - y 2, следо[-3, ] ( ) вательно, при 4 < y < yy p x dx = dx + 0 dx = 2 + y.

( ) () - y - y Наконец, если y > 9, то y > 3, а - y <-3, поэтому - y; y 2, [-3;

] ( ) следовательно, yy -p x dx = 0 dx + dx + 0 dx =1.

( ) -- y - y Учитывая непрерывность слева в каждой точке функции распределения, получаем:

0, y 0, y, 0 < y 4, F y = ( ) 2 + y, 4 < y 9, () 1, y > 9.

По виду полученной функции делаем вывод, что - непрерывно распределённая случайная величина с плотностью вероятности 0, y < 0,, 0 < y < 4, 5 y p y = F y = ( ) ( ), 4 < y < 9, 10 y 0, y > 9.

В точках 0, 4, 9 плотность вероятности может быть определена произвольно.

Пример 5. Пусть - нормально распределённая случайная величина с параметрами 0 и 1. Найти закон распределения случайной величины = a2, a > 0.

Решение. Плотность вероятности случайной величины задаётся формулой xp x = e.

( ) Функция y = ax2 не является взаимно однозначным отображением, поэтому формула (3) неприменима.

Так как = a2 может принимать лишь значения из промежутка 0, +, [ ) то для любого y 0 событие < y является невозможным, поэтому при y { } имеем:

F y = P < y = 0.

( ) ( ) Пусть теперь y > 0. Тогда F y = P < y = P a2 < y = P 2 < y a = P < y a = 2 y a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) поскольку, по условию, - нормально распределена.

Итак, 0, y 0, F y = ( ) 2 y a, y > 0.

( ) Найдём плотность вероятности случайной величины.

При y < 0 p y = F y = 0.

( ) ( ) При y > y a t y d p y = F y = 2= 2 e dt = ( ) ( ) a dy yy -11 2a 2a = 2 e = e.

2 2 ay 2ay Итак, 0, y < 0, p y = ( ) e- y 2a, y > 0.

2ay Такой закон распределения носит название -распределения. При a =1 получаем так называемый закон распределения 2 с одной степенью свободы.

Пример 6. Пусть - случайная величина, равномерно распределённая на -;. Найти закон распределения случайной величины = sin.

[ ] Решение. Поскольку случайная величина равномерно распределена на [-;, то её плотность вероятности ] 1 2, x, [-;

] p x = ( ) [ ] 0, x -;.

Функция y = sin x отображает отрезок на отрезок [-;

] [-1; 1, поэтому ] случайная величина принимает значения 1. Следовательно, при y -1 событие < y невозможно, а при y >1 событие < y достоверно, поэтому { } { } F y = 0 при y -1 и F y =1 при y >1. Остаётся рассмотреть случай ( ) ( ) -1< y 1.





Пусть -1< y 0. Решая графически (см. рис 1) неравенство sin < y, получим x2 + 2k < < x1 + 2k, k, где x1 = arcsin y, x2 =-- arcsin y. Поэтому по формуле (5) y x2 x1 O - x y Рис. x1 x1+2k F y = P sin< y = dx + 0 dx = x1 - x2 = ( ) ( ) () 2 k x2 x2+2k 11 = + 2arcsin y = + arcsin y.

() 2 Пусть теперь 0 < y 1. Теперь решениями неравенства sin< y, принадлежащими отрезку, будут полуинтервалы ) ( ] [-;

] [-; x1 и x2; (см. рис. 2), где x1 = arcsin y, x2 =- arcsin y.

y y O x1 x2 x - Рис. Поскольку на остальных промежутках, удовлетворяющих неравенству sin< y, плотность вероятности случайной величины равна нулю, то, снова используя формулу (5), получаем:

x 11 F y = P sin< y = dx + dx = x1 ++- x2 = ( ) ( ) () 2 2 - x11 = + 2arcsin y = + arcsin y.

() 2 Итак, 0, y -1, 1 F y = + arcsin y, -1< y 1, ( ) 1, y >1.

Плотность вероятности величины выглядит так:

, y <1, p y = F y = ( ) ( ) 1- y0, y >1.

Найденный закон распределения носит название закона арксинуса.

Пример 7. Пусть 1 и 2 - независимые величины, равномерно распределённые на отрезке [0; 2]. Найти закон распределения случайной величины =1 -2.

Решение. Плотности вероятностей случайных величин 1 и 2 равны соответственно 1 2, x 0, 2, 1 2, y 0, 2, [ ] [ ] p1 x = p2 y = ( ) ( ) [ ] [ ] 0, x 0, 2 ; 0, y 0, 2.

Образуем двумерную случайную величину = 1, 2. Так как компоненты ( ) независимы, то её плотность вероятности 1 4, x, y 0, 2 0, 2, ( ) [ ] [ ] p x, y = p1 x p2 y = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 0, x, y 0, 2 0, 2.

Для любого z имеем:

F z = P < z = P 1 - 2 < z = p x, y dxdy. (6) ( ) ( ) ( ) ( ) x- y

1. Пусть z -2.

В этом случае, как нетрудно увидеть, точка x, y 0, 2 0, 2, поэтому в ( ) [ ] [ ] интеграле (6) подинтегральная функция равна нулю, следовательно, равен нулю и сам интеграл. Итак, F z = 0, если z -2.

( ) 2. Пусть -2 < z 0.

В этом случае, как видно из рисунка 3, подинтегральная функция равна ну- y z 2 x O Рис. лю во всех точках полуплоскости выше прямой x - y = z, за исключением точек, принадлежащих треугольнику, отсечённому этой прямой от квадрата. В точках, принадлежащих указанному треугольнику, плотность равна 1/4. Поэтому интеграл будет равен 1/4, умноженной на площадь отсечённого треугольника. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный с катетом, равным 2 + z, то его 1 2 площадь равна 2 + z. Следовательно, F z = 2 + z, если -2 < z 0.

( ) ( ) ( ) 2 3. Пусть 0 < z 2.

В этом случае, вычисляя F z снова по формуле (6), мы видим (рис. 4), что ( ) подинтегральная функция равна нулю во всех точках полуплоскости, лежащей y x O z Рис. выше прямой x - y = z, за исключением точек пятиугольника, отсекаемого этой прямой от квадрата, в которых подинтегральная функция равна 1/4. Поэтому интеграл будет равен 1/4, умноженной на площадь пятиугольника, а площадь пятиугольника равна площади квадрата минус площадь отсекаемого равнобедренного треугольника с катетом 2 - z. Поэтому площадь пятиугольника равна 1 1 1 4 - ( - z, следовательно, F z = 4 - ( - z =1- ( - z.

22 2 ) ( ) ) ) 2 4 2 4. Пусть z > 2.

В этом случае интегрирование в (6) производится по всему квадрату, поэтому F z =1.

( ) Итак, 0, z -2, 2 + z, ( ) - 2 < z 0, F z = ( ) 1- 1 2 - z 2, 0 < z 2, ( ) 1, z > 2.

Плотность вероятности имеет вид:

0, z < -2, 2 + z, ( ) - 2 < z < 0, p z = F z = ( ) ( ) ( - z, 0 < z < 2, ) 0, z > 2.

Пример 8. Пусть 1 и 2 - независимые случайные величины, имеющие 2e-2x, x 0, 3e-3y, y 0, плотности вероятности p1 x =. Найти заи p2 y = ( ) ( ) 0, x < 0 0, y > кон распределения случайной величины = 51 + 42.

Решение. Введём в рассмотрение двумерную случайную величину = 1, 2. Её компоненты независимы, поэтому плотность её вероятности ( ) 6e-(2x+3y), x 0, y 0, p x, y = p1 x p2 y = ( ) ( ) ( ) 0, x < 0 или y < 0.

Следовательно, p x, y отлична от нуля лишь в первой четверти декартовой ( ) плоскости xOy.

По формуле (5) F z = p x, y dxdy. (7) ( ) ( ) 5x+4 y

( ) Если же z > 0, то в интеграле (7) подинтегральная функция отлична от нуля y z z O x Рис. в треугольнике, ограниченном координатными осями и прямой 5x + 4y = z (рис.5), поэтому z-5x z 5 ( ) z z-5x ( ) -( ) 2x+3 y F z = 6 dx e-(2x+3y)dy = 2 dx = ( ) (-e ) 0 0 z z z x 4 x -2x ) ) = 2 = (e - e-(3z-7 )dx = -e-2x + 8 e-(3z- 88 =1- e-2z 5 - e-2z 5 + e-3z 4 =1- e-2z 5 + e-3z 4.

77 7 Итак, 0, z 0, F z = ;

( ) 15 5 1- e-2z + 7 e-3z, z > 0, z < 0, p z = F z = ( ) ( ) 5 () 7 e-2z e-3z, z > 0.

Пример 9. Пусть i (i = 1, 2, …, n) - независимые нормально распределённые случайные величины с параметрами 0 и 1. Найти закон распределения слуn чайной величины =.

i i= Решение. Каждая из случайных величин i имеет, по условию, плотность xiвероятности pi xi = e, i =1, 2,..., n. Введём в рассмотрение n-мерную ( ) случайную величину = 1, 2,..., n. Так как её компоненты независимы, то её ( ) плотность вероятности n n xi p x1, x2,..., xn = pi xi =i=e.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.