WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Батищев В.А.

Методические указания для студентов механико-математического факультета АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Часть III ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ Ростов-на-Дону 2001 Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ, протокол № 6 от 3 апреля 2001 г.

АННОТАЦИЯ Методические указания содержат изложение основных понятий асимптотических разложений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения прикладных задач. Большое значение асимптотические методы находят при исследовании задач, в которых малое изменение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений.

Несмотря на то, что асимптотические ряды могут расходиться, несколько первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению задачи.

Методические указания рекомендуются студентам, обучающимся механике, прикладной математике, физике, которых интересуют вопросы применения методов теории возмущений к решению прикладных задач.

Автор: Батищев В.А.

© Батищев В.А. 2001 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 4 2. Определение асимптотических рядов 5 3. Свойства асимптотических разложений 10 3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений 10 3. 2 Дифференцируемость асимптотических разложений 11 3. 3 Равномерные и неравномерные асимптотические 13 разложения 3. 4 Пример расходящегося асимптотического ряда 14 3. 5 Свойства асимптотических разложений, 16 зависящих от переменной ЛИТЕРАТУРА 22 4 1. ВВЕДЕНИЕ Многие задачи с которыми сталкиваются специалисты, применяющие методы прикладной математики, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы.

Для решения подобных задач исследователи вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя аналитические и численные методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты.

В настоящем методическом пособии внимание в большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости, при этом использованы самые разнообразные средства. Например, часто приходится обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачи и найти нужные приближения. Часто при решении задач основным математическим инструментом служат асимптотические разложения по параметру (аппроксимация решения разложением, состоящим из конечного числа членов) с ошибкой, которая мала при достаточно малых значениях параметра. Чтобы выявить все существенные черты задачи и дать хорошее приближение к точному решению, математику-прикладнику нужно лишь несколько членов асимптотического приближения. Часто дело обстоит именно так. Всем используемым асимптотическим разложениям желательно давать обоснование с помощью подходящих предельных процессов.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ Рассмотрим поведение функции f (x) при x в терминах известной функции (x), где считается x действительной переменной. На бесконечности (x) может стремиться к нулю, к бесконечности или иметь какое-либо другое поведение.

Определение 1. Функция f (x) асимптотически приближается к (x) (или (x) является асимптотическим приближением функции f (x)), если выполнено соотношение f (x) = 1.

lim x (x) В этом случае вводят обозначение f (x) ~ (x), x.

Определение 2. Говорят, что порядок функции f (x) меньше, чем порядок функции (x) при x, если f (x) =0.

lim x (x) Соответственно обозначают f = o(), (x ).

Определение 3. Функция f (x) имеет порядок, не превосходящий порядка (x) при x, если отношение f (x) /(x) ограничено. В этом случае вводят обозначение f (x) = {(x)} (x ) или f = () В частности соотношение f = o() (x ) означает, что функция f (x) стремится к нулю при x.

Соотношение f (x) = (1) (x ) означает, что функция f ограничена при x.

Рассмотрим случай, когда функция зависит от малого параметра, т.е.

f = f ( ). Существует несколько возможных описаний поведения функции, обладающих различной степенью точности. Во-первых, можно просто установить существует ли предел. Например, sin 2 имеет предел при 0, в то время как sin (2 / ) предела не имеет.

Во-вторых, можно описать предельное поведение качественно.

Имеются три возможности: функция в пределе может а) обращаться в нуль f ( ) 0 ( 0) ;

б) быть ограниченной f () < ( 0);

в) бесконечно возрастать f ( ) ( 0).

Особенность этого способа состоит в том, что случай а) заключается в случае б). Однако, естественно, где это возможно использовать описание а), т.к. оно более точно.

В третьих, можно описать предельное значение количественно. Опять имеются три возможности, из которых только вторая является уточнением качественного описания а) f ( ) = 0 ; б) f ( ) = c = const ; в) f ( ) =.

lim lim lim 0 0 В-четвертых, можно качественно описать скорость приближения к пределу. Только случаи а) и б), указанные выше, могут быть уточнены таким образом. Это делается путем сопоставления с некоторым набором функций сравнения (или калибровочных функций). Последние являются функциями столь простыми, что их предельное поведение можно считать интуитивно известным. Сравнения осуществляются использованием символов порядка (" " большое) и o("o" малое).



f () Полагаем, что f ( ) = [g( )] при 0, если = A, lim g( ) 0 < A <. Если это отношение стремится к нулю, то применяем символ o взамен. Итак, f () f ( ) = o[g( )] при 0, если =0.

lim g( ) Примеры:

sin 2 = ( ), 1- cos = ( ) = o( ).

m exp(-1/ ) = o( ) для любого m > 0.

Символы порядка не обязательно описывают действительную скорость приближения к пределу, они дают лишь верхнюю границу.

Математический порядок величины, выраженный символами, теоретически не совпадает с физическим порядком величины, поскольку не принимаются во внимание множители пропорциональности; следовательно, величина считается величиной ( ) даже в том случае, когда равно десяти тысячам. В физических задачах имеется однако, по меньшей мере некоторая надежда, почти неизменно оправдывающаяся, что эти две оценки достаточно близки. Так, если ошибка в физической теории составляет ( ) и выбрано разумно, то можно ожидать, что численная ошибка не будет превосходить некоторого умеренного кратного : возможно, она будет или 2, но почти определенно не достигает 10.

Пятая схема описывает количественно скорость, с которой функция приближается к своему пределу. Она представляет собой уточнение четвертой схемы (применение символов порядка). Восстановим множитель пропорциональности и запишем f () f () ~ c ( ) при 0, если =c lim ( ) т.е., если f () = c () + o[ ( )].

Это есть асимптотическая форма или асимптотическое представление функции, которое составляет первый член в асимптотическом разложении.

Примеры:

sin 2 ~ 2, 1- ~ 1, ctg ~1/.

В шестой схеме предыдущее описание уточняется путем добавления дальнейших членов. Будем считать разность между данной функцией и ее асимптотической формой некоторой новой функцией и определим ее асимптотический вид. Результат запишем следующим образом:

f ( ) ~ c1 1( ) + c2 ( ) при 0, где вторая функция сравнения ( ) должна быть величиной более высокого порядка малости, чем первая, () ( ) = o[1( )] или =0, lim 1( ) а ошибка - величиной еще более высокого порядка малости f ( ) =c1 1( ) + c2 ( ) + o[ ( )].

2 Следующие члены могут быть добавлены повторением этого процесса.

Определение. Последовательность функций { ( )}, n n = 0,1,2,... называется асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого n выполнено соотношение ( ) = o{ ( )} при 0 (2. 1) n+1 n Примеры асимптотических последовательностей n n,, (ln )-n, (sin )n, (ctg )-n.

Определение. Сумма вида f ( ) ~ an n( ) ( 0) (2. 2) n=где an не зависит от, а () - асимптотическая последовательность, n называется асимптотическим разложением функции f ( ) при 0, если для любого натурального n выполнено соотношение N f ( ) = an ( ) + o( ( )) (2. 3) n N n=или, что тоже самое N -f ( ) = an ( ) + ( ( )) (2. 4) n N n=Приведем определение асимптотической последовательности и асимптотического разложения для функции, зависящей от координаты z = x + iy (случай комплексных переменных).

Определение. Последовательность функций {n (z)};

n = 0,1,2,..., определенных на множестве R, имеющих точку z = c в качестве конечной или бесконечной предельной точки, называется асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого натурального n выполнено соотношение n+1(z) = o{n (z)} (z c в R).

Определение. Выражение f (z) ~ as s (z) s=называется асимптотическим разложением (или асимптотическим рядом) если для каждого целого неотрицательного n выполнено соотношение n-f (z) = as s (z) + {n (z)}, (z c в R).

s=Здесь использовано следующее определение {(z)}. Функция (z) называется асимптотическим приближением к f (z) при z, если для некоторого R существует такое число k, не зависящее от arg z, что f (z) k (z) при z S(R) и обозначают f (z) = {(z)} в S(R), где через S(R) обозначен бесконечный сектор arg z. Аналогично вводится "o" - малое. Это определение распространяется на любую область, имеющую бесконечно удаленную точку, или точку z = c в качестве предельной.

3. СВОЙСТВА АСИМТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений Асимптотические разложения, как правило, можно интегрировать при условии, что справедливы некоторые очевидные ограничения, касающиеся сходимости интегралов. Рассмотрим случай действительных переменных.

Теорема. Пусть f (x) L интегрируемая функция действительной переменной x и f (x) ~ x при x, где - вещественная или комплексная постоянная. Пусть "a" - любое конечное вещественное число.

Тогда при x имеем f (t)dt ~ - x +1 ( +1), (Re < -1) x c (Re < -1) x ln f (t) dt ~ x ( = -1), a x ( +1) +(Re > -1) где c = const.

Докажем третье соотношение последней формулы. Имеем f (x) = x (1+(x)), где (x) <, если x > X > 0, причем X выбирается по произвольно заданному положительному числу.

Следовательно, если x > X, то x X x +f (t) dt = f (t) dt + (x +1 - X )+ (t) dt t +a a X и поэтому +x X x +1 +1 X + f (t) dt -1 = f (t) dt - + t (t) dt x +1 x +1 x x +a a X Первые два члена в правой части последнего равенства стремятся к +нулю при x, а третий член ограничен числом. Отсюда 1+ Re следует искомое соотношение.

3. 2 Дифференцируемость асимптотических разложений Дифференцировать асимптотические соотношения не всегда возможно.

Например, если f (x) = x + cos x, то f (x) ~ x при x, и утверждение, что f (x) ~ 1 несправедливо. Для того, чтобы дифференцирование было возможным необходимы дополнительные условия.





Для действительной переменной эти условия можно сформировать в терминах монотонности производной.

Теорема. Пусть f (x) - непрерывно дифференцируемая функция и p f (x) ~ x при x, где p 1. Тогда если производная f (x) - неубывающая функция при всех достаточно больших значениях x, то p- f (x) ~ p x (x ).

p Доказательство. Имеем f (x) = x [1+(x)], где (x) при x > X, X - некоторое положительное число, - произвольное число из интервала (0,1). Если h > 0, то x+h h f (x) f (t) dt = f (x + h) - f (x) = x x+h p-1 p p p-1 p = pt dt + (x + h) (x + h) - x (x) h p(x + h) + 2 (x + h) x Положим h = x. Тогда p 1 12 p-p- f (x) p x (при x > X ).

1+ + 2 p-1 2 1+ Аналогично получим 12 p-1 X p- f (x) p x (при x > ).

1- - 2 p-1 1- p- Отсюда следует, что f (x) ~ p x при достаточно больших значениях x. Теорема доказана.

Отметим, что условие монотонности производной f (x) часто трудно проверить, поскольку f (x) и является той функцией, свойства которой требуется установить.

Упражнение 1. Предположим, что f (x) = x2 + (x) при x, а f (x) непрерывна и не убывает при всех достаточно больших x. Показать, что f (x) = 2 x + (x ).

Упражнение 2. Показать, что если f (x) непрерывна и f (x) = 0{(x)} при x, где (x) - положительная неубывающая x функция x, то f (t)dt = 0{x(x)}.

В комплексной плоскости дифференцирование асимптотических отношений и отношений порядка допустимо в подобластях области, где они справедливы. Важным частным случаем является следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (z) аналитична в области, содержащей замкнутый сектор S и p p f (z) = (z ) (или f (z) = o (z )) при z в S, где p - любое фиксированное действительное число. Тогда (m) p-m (m) p-m f (z) = (z ) (или f (z) = o(z ) ), при z в любом замкнутом секторе C, лежащем строго внутри S и имеющим ту же вершину.

3. 3 Равномерные и неравномерные асимптотические разложения При построении приближенных решений алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений предполагается, что асимптотические разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия: возведение в степень, интегрирование и дифференцирование. Иногда применение этих операций оказывается необоснованным. В этом случае они приводят к неравномерностям.

Например, равенство 1+ x + = x = x 1+ 2 x - +... ( 0) x 8 x не обосновано при x = (1), поскольку при этом второй, третий и последующие члены разложения становятся сравнимыми по порядку с первым его членом. Следовательно, ошибка, совершенная в результате усечения ряда после N членов при x = ( ), уже не будет иметь порядок N ( ), т.е. не будет порядка первого отброшенного члена, и здесь говорят о неравномерном разложении. Аналогично, равенство 2 = 1- x + x2 - x3 +... ( 0) 1+ x не обосновано при x = (1), поскольку по той же причине правая часть его будет неравномерна при больших x. Таким образом, необходимо всегда проверять, являются ли полученные разложения равномерными или нет - в этом, собственно говоря, и заключается одна из главных целей методов возмущений.

Приведем определение равномерности асимптотических разложений в комплексной области.

Определение. Пусть функция f (z,u) разлагается в асимптотический ряд n-f (z,u) ~ ass(z,u) + {n (z,u)} (3. 1) s=где n (z,u) асимптотическая последовательность, причем f и n зависят от параметра u. Допустим, что член {n (z,n)} равномерен по параметру u в некотором множестве D, то асимптотическое разложение справедливо равномерно относительно параметра u в D.

Для определения области неравномерности ряда (3.1) иногда достаточно приравнять порядки n-го и (n +1)-го членов ряда, т.е.

n (z, n) = (n+1 (z,u)) и из полученного соотношения провести оценку области неравномерности.

3. 4 Пример расходящегося асимптотического ряда Асимптотические разложения могут расходится, но давать значения близкие к истинным. Найдем асимптотическое разложение интеграла.

e- xt G (x) = dt.

1+ t Одним из способов построения асимптотического разложения для функции G (x) является метод Лапласа состоящий в разложении множителя 1 (1+ t) в ряд по степеням t и последующем почленном интегрировании полученного ряда. Действительно, 2 n = 1- t + t +... = (-1)n t.

1+ t n=Этот ряд сходится при t < 1. Теперь вычислим интеграл e- xt (-1)n n! n G (x) = dt = e-xt (-1)n t =.

1+ t n=0 n=0 xn+Этот ряд расходится при всех конечных x (согласно признаку сходимости Даламбера). Однако, полученный ряд является асимптотическим.

Чтобы это доказать сделаем оценку остаточного члена. Представим функцию G (x) в виде G (x) = gn (x) + n (x), 1 1! 2! (n -1)! где gn (x) = - + -...+ (-1)n-1, x x2 x3 xn Для остаточного члена n (x) выводим e- xt 1 1! (n -1)! n (x) = G(x) - gn (x) = dt - + -...-(-1)n-1 = 1+ t x x2 xn n e- xt (-1)n t 2 n-= dt - e-xt(1- t + t -... + (-1)n-1 t )dt = e-xt dt 1+ t t +0 0 Сделаем оценку n (-1)n t n! n n (x) = e-xt dt t e-xt dt = t +1 xn+0 Итак, получаем n (x) = (при x ) xn+ Согласно определениям ряд 1 1! 2! 3! G(x) ~ - + - +...

x x2 x3 xn является асимптотическим. Однако этот ряд расходится. Приведем численные значения при = 10. G(10) = 0,09156 - точное значение. Четыре члена ряда дают значение G(10) = 0,0914. Итак, асимптотическое значение при x = 10 очень близко к точному.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.