WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МАТ Е МАТ ИКА МАТ Е МАТ ИКА ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ А. П. ИВАНОВ Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина ВВЕДЕНИЕ PROBLEM OF COLLISION Ударом принято называть совокупность явлений, возOF RIGID BODIES никающих при столкновении тел и приводящих к значительному изменению их скоростей за очень малый A. P. IVANOV промежуток времени. С математической точки зрения это означает, что при ударе происходит мгновенное изA few variants of the problem of rigid bodies менение скоростей и угловых скоростей данных тел, а collision are discussed. It is shown that apply- их положения в пространстве сохраняются. Причиной такого поведения являются силы, возникающие при ing the classical impact theory to the cases деформации сталкивающихся тел и во много раз преwhen colliding bodies are bound to other bodвосходящие, к примеру, силу тяжести.

ies can produce paradoxical results. To obtain a Человек издревле знаком с ударами и научился исrealistic solution, one should account for conпользовать их в своих целях. Попробуйте забить гвоздь, tact deformations.

не ударяя молотком по шляпке, а просто надавливая на нее! Другие примеры – добыча руды, футбол, ударные Обсуждены различные варианты задачи о музыкальные инструменты. Неожиданные удары, как соударении твердых тел и методы ее репри падении метеорита или автомобильной аварии, шения. Показано, что использование клас- могут быть весьма опасными. Так или иначе, важно умение заранее рассчитать результат удара.

сической теории удара в случае соударения тел, связанных с другими телами, может Теория удара насчитывает в своем развитии около привести к парадоксам. Для получения реа- четырех столетий. Постановку задачи о соударении двух тел, движущихся вдоль некоторой прямой, можно листичного решения необходимо учитывстретить в трудах Г. Галилея и Р. Декарта. Первое вервать контактные деформации.

ное решение было получено в 1639 году профессором Пражского университета М. Марчи: тело, ударившись упруго о другое равное и покоящееся тело, теряет свое движение, передавая его другому телу. Этот результат можно проверить, экспериментируя с биллиардными шарами или монетами на гладком столе. Интересно отметить, что знаменитые “Математические начала натуральной философии” И. Ньютона, в которых были сформулированы основные законы динамики, вышли в свет намного позже, в 1687 году (в этой книге обсуждается и проблема удара). В дальнейшем задача об ударе привлекала внимание многих известных ученых, включая Ж. Даламбера, С. Пуассона, Г. Дарбу, Э.Дж. Рауса, Г. Кориолиса, А.М. Ляпунова, Н.Е. Жуковского.

www.issep.rssi.ru Мы обсудим основные методы решения задач об ударе и диапазон применимости этих методов.

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, Иванов А.П., © МАТ Е МАТ ИКА ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПРОБЛЕМЕ УДАРА m1 + m1 V = ------------------------------.

m1 + mВ задачах динамики физическая природа рассматриваемых тел обычно не играет никакой роли. Напротив, Данная формула была выведена профессором Оксправильный учет ударных явлений невозможен без зафордского университета Дж. Валлисом в 1668 году. Тогдания свойств материалов, из которых сделаны сталкида же английские математики К. Рен и Х. Гюйгенс исвающиеся тела. Рассмотрим, к примеру, падение шара следовали случай абсолютно упругого удара. В на опору. Как показали опыты Галилея, закон падения частности, было показано, что при абсолютно упругом для разных тел одинаков. Однако последствия удара об ударе относительная скорость шаров изменяется на асфальт для чугунного ядра, теннисного мяча и стеклянпротивоположную, то есть V2 - V1 = - для любых 1 ного графина будут совершенно разными. Различные значений масс.

подходы к решению задачи об ударе характеризуются теУказанные выше решения были обобщены Ньюми дополнительными физическими гипотезами, кототоном, который экспериментально установил соотнорые лежат в их основе.

шение Рассмотрим для примера простейшую задачу о V2 - V1 = e( - ), (3) 1 прямом ударе двух шаров с массами m1 и m2, которые до удара движутся вдоль некоторой прямой со скоростями где число e не зависит от масс соударяемых тел и их на и (рис. 1, а). Если >, то шары неминуемо чальных скоростей. Величина e, называемая коэффици1 2 1 столкнутся. Требуется определить их скорости V1 и Vентом восстановления при ударе, зависит от материала, после удара.

из которого изготовлены шары, и лежит в интервале от Здесь для определения двух неизвестных величин нуля до единицы. В частности, Ньютон нашел, что для мы имеем единственное уравнение стеклянных шариков e = 15/16, а для железных e = 5/9.

Система (1), (3) приводит к такому решению задачи об m1 + m2 = m1V1 + m2V2, (1) 1 ударе:

выражающее закон сохранения импульса. К нему можmно добавить пару неравенств V1 = + (1 + e)------------------( – ), m1 + m2 2 2 (4) V1 V2, m1 + m2 m1V2 + m2V2. (2) 1 2 1 mV2 = + (1 + e)------------------( – ).

m1 + m2 1 Первое из неравенств (2) означает, что после удара шары разбегаются, а второе неравенство выражает Соотношения (4) содержат в себе решения Валлиса невозможность увеличения суммарной кинетической (e = 0), Рена, Гюйгенса (e = 1) и Марчи (m1 = m2, e = 1, энергии. В предельном случае V1 = V2 удар называют аб = 0).

солютно неупругим или пластическим (примером может Подобный подход, основанный на принятии допуслужить соударение пластилиновых шаров), а в случае щений типа гипотезы Ньютона (3), лежит в основе 2 равенства m1 + m2 = m1V2 + m2V2 его называют аб1 2 1 классической теории удара. В рамках этой теории можсолютно упругим. В каждом из этих предельных случаев но решать и более сложные задачи, например о простзадача об ударе получает вполне определенное решеранственном ударе двух твердых тел с гладкими или ние. Действительно, полагая в уравнении (1) V1 = V2 = шероховатыми поверхностями [1].



= V, получим Рассмотрим, к примеру, косое соударение двух шаров с гладкими поверхностями, при этом ударные силы а 1 направлены вдоль прямой, соединяющей центры шаров. Следовательно, составляющие скоростей шаров, перпендикулярные этой прямой, сохраняют при ударе m1 mсвои значения. Что касается проекций скоростей на данную прямую, то их изменения описываются формулами (4).

Заметим, что классическая теория недостаточна б для решения задачи об ударе в системе нескольких тел m1 m(об этом подробнее ниже). Кроме того, в ее рамках нельзя оценить продолжительность соударения, развиваемые ударные силы и пр.

Более физичен метод деформируемых элементов, Рис. 1. Прямой удар двух шаров: а – система до удара; б – добавление воображаемой пружинки предложенный для решения задачи об ударе Ж. Далам ИВАНОВ А.П. ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МАТ Е МАТ ИКА бером в 1743 году. Идея метода состоит в мысленном уравнениями в частных производных, решения которых помещении в точку удара маленькой пружинки, обла- имеют волновой характер. Получение этих решений дающей очень большой жесткостью (рис. 1, б). Когда связано с большим объемом компьютерных расчетов, тела сближаются, их кинетическая энергия преобразу- что может быть оправдано важностью рассматриваемой ется в потенциальную энергию сжатой пружины до тех задачи. Обычно волновая теория используется для пор, пока скорости тел не выравняются (на этом закан- описания удара тел с вырожденными измерениями:

чивается первая фаза удара – деформация). Затем про- стержни, балки, пластины, оболочки. Примерами моисходит восстановление кинетической энергии за счет гут служить удар метеора о корпус космического корабвозвращения пружинки в исходное состояние. Весь ля или продольный удар поршня-бойка по пике отбойпроцесс удара описывается обыкновенным дифферен- ного молотка.

циальным уравнением, описывающим изменение величины – деформации пружинки. Непосредственно ПАРАДОКСЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УДАРА перед ударом = 0, = –, то есть начальная ско1 рость деформирования равна скорости сближения тел.

Выше речь шла об идеальной ситуации, когда соударяСчитая массу пружинки пренебрежимо малой по сравемые тела свободны. В реальных системах они обычно нению с массами шаров, запишем второй закон Ньюсвязаны с другими телами при помощи каких-либо техтона в виде нических приспособлений или опираются на другие тела под действием приложенных сил. При столкновении m1w1 = - F( ), m2w2 = F( ), несвободных тел ударные явления охватывают также и где F( ) – упругая сила, зависящая от деформации по связанные с ними тела. Попытка применить для решезаданному закону (если 0, то F = 0), w1 и w2 – ускония задачи об ударе трех и более тел может привести к очевидным несоответствиям с реальностью.

рения шаров. Поскольку = w1 – w2, получим отсюда Рассмотрим, к примеру, задачу о коллинеарном уда1- 1 = – ----- + ----- F( ). (5) ре трех шаров с равными массами, два из которых пер m1 mвоначально покоятся и касаются друг друга (рис. 2, а).

Эксперимент с тремя биллиардными шарами или моПолагая зависимость силы от деформации линейнетами на гладком столе показывает, что после удара ной (закон Гука), F( ) = k, мы найдем решение уравбьющий и центральный шары остаются неподвижнынения (5) при данных начальных условиях:

ми, а третий шар отлетает от центрального со скоро – k 1 2 стью, близкой к начальной скорости бьющего шара = ---------------- sin (t – t0), = ------------------. (6) m1 + m(рис. 2, б). Такое решение можно получить на основе гипотезы Ньютона (3), если только принять коэффиИз формулы (6) можно найти продолжительность циент восстановления для пары “левый и центральудара, полагая = 0: = /, максимальную деформаный” шары равным нулю, а для пары “центральный и цию = ( - )/ и максимальную ударную силу max 1 правый” – бесконечно большим. Данное предположеFmax = k. Если функция F( ) нелинейна (например, max ние лишено, очевидно, физического смысла.

3/для контактного закона Герца F( ) = k ), то уравнеДля реабилитации классической теории удара в ние (5) решается лишь численно, с помощью компьюданном примере обычно разбивают удар на две части:

тера. Однако некоторые важные выводы можно полусначала движущийся шар ударяется о центральный, чить аналитически. В частности, из закона сохранения передавая ему свой импульс (вспомним решение Марполной механической энергии следует, что упругий дечи!), а затем центральный шар передает свой импульс формируемый элемент соответствует случаю абсолютправому шару. Однако такая идея в общем случае неоно упругого удара. Присоединяя параллельно пружиндинаковых шаров также оказывается несостоятельной.

ке демпфер, получим вязкоупругий элемент, который Возьмем для примера бьющий шар менее жестким, чем позволяет учесть диссипацию при ударе. Оказывается, остальные два (на биллиардном столе для этого можно в этом случае мы приходим к гипотезе Ньютона (3) [2].

воспользоваться теннисным мячиком, а в эксперименУсложняя характеристики деформируемых элементов те с монетами – резиновым ластиком).

с учетом свойств реальных тел, можно уточнять решение задачи об ударе [3].

Если немного изменить начальную конфигурацию Имеются и более сложные модели удара, в которых шаров, то получим частный случай задачи И. Бернулучитываются деформации не только вблизи точки кон- ли, который в середине XVIII века для определения затакта, но и в отдаленных от нее точках соударяемых конов гидродинамического сопротивления рассмотрел тел. Такие модели описываются дифференциальными задачу об ударе движущегося шара по симметричной СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, МАТ Е МАТ ИКА + а 1 = - e. (7) где индексы минус и плюс соответствуют началу и m m m окончанию удара. Парадокс состоит в том, что в отличие от формулы (3), в которой коэффициент восстановления определяется материалами, из которого сдеб ланы тела, в данной задаче он зависит еще и от конфигурации системы. Изменяя точку подвеса маятm m m ника, мы будем получать в соотношении (7) значения e, отличающиеся на десятки процентов.





Эти примеры показывают, что задача об ударе тверв дых тел, связанных с другими телами, отличается от заF1 Fдачи об ударе свободных твердых тел. Она требует своm m m их методов решения, причем классическая теория удара оказывается непригодной.

Рис. 2. Прямой удар трех шаров: а – система до соударения, б – система после соударения, в – добавСТЕСНЕННЫЙ УДАР ление воображаемых пружинок Понятие стесненного удара охватывает задачи, в которых сталкиваются два тела, причем одно из них (или системе неподвижных шаров (рис. 3). Бернулли высказал гипотезу о сохранении симметрии после удара, что позволило ему найти решение. Однако такое симметричное решение нереалистично, так как на практике O' O добиться одновременности столкновений невозможно. Малые отклонения от симметрии до удара приведут к тому, что движущийся шар столкнется с неподвижными поочередно, с малым промежутком времени G' G между двумя ударами. После первого из них бьющий C шар изменит скорость, поэтому второй удар будет существенно отличаться от первого. В частности, если все три шара одинаковы, причем неподвижные шары первоначально соприкасаются, то после удара они начнут двигаться со скоростями, отношение которых близРис. 4. Удар физического маятника о стенку: а – сико к двум.

стема до удара, б – добавление воображаемых пружинок Еще одним примером, когда классическая теория не работает, является удар физического маятника о оба) связано с другими телами. Мы встречались с пристенку (рис. 4). Отклоним маятник от вертикали на немерами стесненного удара (см. рис. 2, 4). Основное его который угол, а затем отпустим его. Ударившись о свойство состоит в появлении ударных сил не только в стенку, он отскочит от нее и повернется на угол <.

точке, где происходит столкновение, но и в точках конСвязывая углы поворота с угловыми скоростями в точ- такта соударяемых тел с другими телами. Для получеке удара законом сохранения полной механической ния правильного решения задачи о стесненном ударе энергии, можно определить коэффициент восстанов- необходимо учитывать деформации во всех этих точления из формулы ках. Для этого проще всего использовать метод деформируемых элементов. Рассмотрим его применение на некоторых примерах.

1. В задаче об ударе физического маятника о стенку m ударные силы возникают в точке контакта маятника со M стенкой C, а также в точке подвеса О (см. рис. 4). Эти силы можно смоделировать, мысленно помещая маm ленькие пружинки в данные точки. Процесс удара будет описываться системой трех (по числу степеней свободы плоского твердого тела) дифференциальных уравнений Рис. 3. Задача И. Бернулли второго порядка, аналогичных (5). Непосредственно ИВАНОВ А.П. ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МАТ Е МАТ ИКА перед ударом пружины недеформированы, скорость = = 0, =, 2 = 0.

1 2 деформации в точке С равна скорости сближения маятЗаметим, что даже в простейшем случае, когда функника со стенкой, а скорость деформации в точке О равции F1 и F2 линейны, построить решение можно лишь на нулю. Граничным условием, выполнение которого численно, так как вследствие неодновременности свидетельствует об окончании удара, является обращеразъединения шаров уравнения (9) нелинейны. Услоние деформации в точке С в нуль.

вием окончания удара является неположительность Эта система достаточно сложна для аналитическообеих контактных деформаций и.

1 го решения даже в том случае, когда характеристики Для численного решения системы (9) можно исобеих пружинок линейны, поэтому мы не будем привопользовать какой-либо стандартный алгоритм. Не вдадить это решение. Отметим лишь следующую важную ваясь в подробности, приведем лишь некоторые реособенность данной системы: после прекращения конзультаты:

такта маятника со стенкой подвес в общем случае остаа) если все три шара идентичны, то и деформируеется деформированным. С физической точки зрения такие остаточные деформации соответствуют волно- мые элементы (пружинки) следует взять одинаковыми.

Применяя для них контактный закон Герца, придем к вым процессам, продолжающимся после разделения такому результату:

соударяющихся тел (примером может служить звон колокола). Эти процессы связаны с диссипацией киV1 = - 0,071 ; V2 = 0,076 ; V3 = 0,995, 1 1 нетической энергии маятника, поэтому чем больше что соответствует экспериментальным данным;

деформация маятника в точке подвеса, тем меньше коэффициент восстановления в формуле (7). б) в частном случае, когда массы всех трех шаров равны, а жесткость первого из них намного меньше, Интересно отметить, что можно так подвесить мачем у остальных двух, деформация второго элемента ятник, что при ударе его о стенку реакции и деформаостается близкой к нулю. Отсюда вследствие второго ции в точке подвеса не возникает. Наглядным примеуравнения (9) получим F1( ) 2F2( ). В результате втором такого поведения может служить молоток или 1 рой и третий шары после удара практически не раздетеннисная ракетка: если они сконструированы праляются.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.