WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МАТ Е МАТ ИКА МАТ Е МАТ ИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ И. С. ГРУЗМАН Новосибирский государственный технический университет ВВЕДЕНИЕ MATHEMATICAL PROBLEMS Желание заглянуть внутрь непрозрачного объекта, не разрушив его, существовало на протяжении многих веOF COMPUTER-AIDED TOMOGRAPHY ков развития человечества. Первым шагом в решении этой проблемы было открытие В.К. Рентгеном незаI. S. GRUZMAN долго до конца 1895 года X-лучей, проникающих через плотные вещества. Это величайшее открытие произвеThe methods of projection data acquisition and ло ошеломляющее впечатление не только на ученых tomographic images reconstruction on the того времени, но и на всех образованных людей мира.

basis of Radon transformation are reviewed.

Ведь Х-лучи, которые впоследствии в России были названы рентгеновскими, позволяли заглянуть внутрь Рассмотрены методы получения проекцинепрозрачных тел и видеть сквозь них. Естественно, онных данных и восстановления томогра- что самый большой интерес к практическому применению рентгеновских лучей проявила медицина. Рентгефических изображений на основе интегновские лучи позволяли получать изображения внутральных преобразований Радона.

ренних органов человека, обнаруживать посторонние предметы внутри его тела, переломы и т.п.

В основе формирования рентгеновских изображений лежит использование эффекта неодинаковой рентгеновской плотности веществ. Одни вещества пропускают лучи лучше, другие хуже. Пройдя через тело и попав на чувствительную пленку, лучи засвечивают участки пленки тем сильнее, чем меньше плотность вещества.

Возможность оценки взаимного расположения различных органов тела, их точной геометрической формы при таком методе исследования существенно ограничена. Основной причиной является то, что мы получаем плоское (двумерное) теневое изображение объемного (трехмерного) объекта. Теневое рентгеновское изображение представляет собой сумму изображений слоев тела, которые находятся на различных расстояниях от пленки. При этом внутренние органы тела на рентгеновском изображении наслаиваются друг на друга и важные особенности их пространственного расположения значительно искажаются или полностью утрачиваются. Задачи получения изображения каждого www.issep.rssi.ru изолированного слоя объекта, не искаженного никакими наложениями, и восстановления его внутренней ГРУЗМАН И.С. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ Грузман И.С., © МАТ Е МАТ ИКА структуры решает современная компьютерная томоy R(s, ) графия (от греч. tmos – слой, срез).

y' l Математические основы компьютерной томограx' фии были заложены задолго до появления первых рентгеновских компьютерных томографов. Еще в 1917 году математик И. Радон предложил метод решения обратной задачи интегральной геометрии, состоящий в вос становлении (реконструкции) многомерных функций x по их интегральным характеристикам. Однако этот ме- s тод не нашел практического применения до тех пор, пока не появились рентгеновские установки, позволяa ющие получать большое число высококачественных снимков, необходимых для восстановления внутренней структуры реальных объектов, и быстродействующие ЭВМ, способные эти снимки обрабатывать. Первый в мире рентгеновский компьютерный томограф был продемонстрирован Хаунсфилдом в 1972 году. Внедрение Рис. 1. Схема получения проекций методов компьютерной томографии в медицину позволило существенно повысить эффективность диагносстороны объекта располагается устройство, регистритики и обеспечило создание новых методов лечения. В рующее интенсивность каждого луча, прошедшего ченастоящее время методы компьютерной томографии рез объект. При этом полагается, что лучи распростратакже широко используются в электронной и рентгеняются в объекте вдоль прямой линии l, определяемой новской микроскопии – для получения структур крисуравнением таллов и макромолекул, в геофизике – для поиска и разведки месторождений полезных ископаемых, в астxcos + ysin - s = 0, (1) рофизике – для исследования полей планет и в других где s – расстояние от начала координат до соответствуобластях науки и техники.

ющего луча (см. рис. 1). Тогда интенсивность луча на выходе из объекта равна интегралу от искомого распреПОЛУЧЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ деления f(x, y) вдоль траектории луча l:

В основе большинства томографов лежит идея, состоя щая в том, что внутреннюю структуру объекта можно R(s, ) = f (scos – y' sin, s sin + y' cos )dy', (2) представить получив ряд параллельных поперечных – сечений. Поэтому главная задача компьютерной томографии состоит в получении двумерного (плоского) где связь между исходной системой координат {x, y} и изображения поперечного сечения исследуемого объ- повернутой на угол системой координат {x', y'} опреекта, которая и будет рассмотрена далее. деляется соотношением Метод получения двумерного томографического x = x'cos - y'sin, изображения содержит два этапа. На первом этапе y = x'sin + y'cos, формируются проекционные данные, на втором по а уравнение прямой (1) в системе координат {x', y'} имепроекционным данным восстанавливается изображеет вид ние поперечного сечения.

x' - s = 0.

Чтобы определить внутреннюю структуру объекта, необходимо получить информацию о ней. Для этого Регистрируемое излучение R(s, ) называется радоиспользуется излучение, проникающее сквозь объект. новским образом или проекцией, а преобразование (2) – Пусть необходимо определить плотность распределе- преобразованием Радона. Проекции вычисляются под ния вещества f(x, y) в сечении объекта. Исследуемый всевозможными углами и для тех значений s, при кообъект в пределах тонкого поперечного слоя просвечи- торых двумерная функция f(x, y) отлична от нуля. На вается, например, параллельным пучком хорошо сфо- практике величина s ограничивается физическими разкусированных рентгеновских лучей (рис. 1). Направле- мерами исследуемого объекта, а угол изменяется в ние лучей составляет некоторый угол с осью x. Лучи пределах от 0° до 180°, так как при изменении угла на ослабляются веществом, находящимся внутри объекта, 180° просвечивание ведется в строго обратном направпропорционально его плотности. С противоположной лении, поэтому R(s, ) = R(- s, + ). Удобно ввести в СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, МАТ Е МАТ ИКА рассмотрение окружность радиуса a, охватывающую A исследуемое поперечное сечение. В этом случае интеграл в (2) имеет вид a2 – sab B R(s, ) = f (scos – y' sin, s sin + y' cos )dy'. (3) – a2 – sТаким образом, каждое значение радоновского образа R(s, ) есть интеграл от тех значений функции C f(x, y), которые она принимает вдоль луча l, определяеa2 b2 a1 bмого параметрами s и.

В качестве примера вычислим радоновский образ Рис. 3. Схема классической томографии для двух гауссовских импульсов, описываемых соотношением излучения – в плоскости A. Плоскости A и C параллельны плоскости B. Источник рентгеновского излуче – xi)2 + (y – yi)(x f (x, y) = exp –---------------------------------------------. (4) - ния и фотопленка перемещаются в противоположных 2b i = направлениях с одинаковой скоростью. В этом случае точка пересечения осей источника рентгеновского изПодставляя (4) в (3), находим [1] лучения лежит на плоскости B. Потому изображение плоскости B, в частности точек a и b (см. рис. 3), на фо (xi cos + yi sin – s)R(s, ) = b 2 exp –------------------------------------------------------.

топленке в плоскости C будет неподвижным. В то же 2b i = 1 время точки, которые лежат вне плоскости B, будут отображаться в различные места фотопленки на плосФункция (4) и соответствующий ей радоновский кости C. Поэтому на фотопленке изображение плоскообраз изображены на рис. 2. Видно, что функция и расти B четкое, а изображения остальных сечений объекта доновский образ совсем непохожи друг на друга. Однаразмазываются за счет движения, создавая искажения ко между радоновским образом и функцией, порождатомографического изображения.

ющей его, имеется взаимно однозначное соответствие, Несмотря на относительную простоту описанного которое и лежит в основе всех алгоритмов реконструкметода, это было лишь частичное решение задачи форции томографических изображений.

мирования томографического изображения сечения, так как получаемое классическим методом изображение сечения B остается значительно затененным другими слоями исследуемого объекта.

аб АЛГОРИТМ ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ y 180° Простейшим алгоритмом реконструкции изображений в компьютерной томографии является алгоритм обратного проецирования.

Оценка плотности f(x, y) вычисляется следующим 0° образом. Проекция R(s, ) функции двух переменных f(x, y) для каждого значения угла представляет собой одномерную функцию. Ее можно преобразовать в двуx s мерную функцию, зафиксировав угол и растянув (выРис. 2. Функция (а) и ее радоновский образ (б) полнив обратное проецирование) по всей плоскости (x, y) в соответствии с выражением КЛАССИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ R (x, y) = R(xcos + ysin, ). (5) До появления ЭВМ в медицине использовалась так называемая классическая томография. Ее идея состоит в Очевидно, что сечение двумерной функции R (x, y) равследующем. Пусть необходимо получить изображение но R(s, ), если секущая плоскость перпендикулярной объекта в плоскости B (рис. 3). Для этого фотопленка плоскости (x, y) и ее проекция на плоскость (x, y) с осью x помещается в плоскости C, а источник рентгеновского составляют угол. Далее осуществляется сложение всех ГРУЗМАН И.С. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ МАТ Е МАТ ИКА обратных проекций R (x, y) для 0. В результате нако контрастность и четкость такого изображения ос получим суммарное изображение f (x, y), которое таются неудовлетворительными.

on используется в качестве оценки функции плотности Таким образом, идея алгоритма обратного проециf(x, y). Суммарное изображение определяется соотнорования состоит в том, что оценку плотности f(x, y) в шением любой точке с координатами (x, y) находят путем суммирования лучей, проходящих через эту точку.

f (x, y) = cos + ysin, )d. (6) on R(x СВЕРТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ Невысокая эффективность алгоритма обратного проОперация обратного проецирования имеет проецирования объясняется тем, что он является эврисстую геометрическую интерпретацию. На рис. 4, а потическим (полученным опытным путем). Для того чтоказана схема получения трех проекций под углами, бы точно восстановить функцию f(x, y) по проекциям и по двумерному изображению f(x, y), описывае2 R(s, ), необходимо найти преобразование, обратное мому функцией (4). Изображение f(x, y) на рис. 4 предпреобразованию Радона. По сути для определения неставляет собой вид сверху изображения, приведенного известной функции f(x, y) необходимо решить интегна рис. 2, а, где большим значениям функции f(x, y) соральное уравнение (2) или (3). Впервые такое решение ответствует меньший уровень яркости и наоборот. Побыло предложено Радоном. Одной из возможных реалученные проекции R(s, ), i = 1, 2, 3, растягиваем в соi лизаций этого решения является сверточный алгоритм, ответствии с (5) и суммируем. Результат реконструкции который благодаря простоте и высокой точности нашел функции f(x, y) по трем проекциям приведен на рис. 4, б.

широкое применение в компьютерных томографах.

Видно, что, несмотря на искажения в виде полос, изоСверточный алгоритм определяется соотношением бражение, восстановленное лишь по трем проекциям, имеет много общего с функцией f(x, y). Полосы явля ются результатом растягивания проекций. По их на- f (x, y) = cos + ysin, )d, (7) R(x правлениям можно оценить углы проекций.

При обратном проецировании каждая точка на где изображении превращается в многолучевую звезду, число лучей которой равно удвоенному числу проек R(x cos + y sin, ) = R(s, ) = ций. С увеличением числа проекций эти лучи будут a (8) сливаться и восстанавливаемое изображение все боль= h(s1)R(s – s1, )ds1.

ше будет похоже на функцию f(x, y), однако оно с ней –a никогда не совпадет. На рис. 5, в показан результат применения алгоритма обратного проецирования для Выражение (8) представляет собой операцию свертвосстановления функции f(x, y) (см. рис. 5, а) по ки проекции R(s, ) (при фиксированном угле ) с равноотстоящим по углу проекциям, изображение кофункцией торых приведено на рис. 5, б. В данном случае полосы уже незаметны и практически все детали рис. 5, а можh(s1) = ------ cos s1)d.

( но рассмотреть на восстановленной томограмме. Од – Очевидно, что операция, описываемая соотношеаб R(s, 1) R(s, 1) нием (7), является операцией обратного проецирования. Из (7) и (8) следует, что обратное преобразование Радона реализуется с помощью сверточного алгоритма в два этапа. На первом этапе выполняется свертка по первой переменной проекции, результатом которой яв ляются модифицированные проекции R(s, ). На втоR(s, 2) R(s, 2) ) R(s, 3) R(s, 3) ром этапе осуществляется их обратное проецирование.

На рис. 5, д показан результат восстановления функции f(x, y) сверточным алгоритмом по модифицированным проекциям, изображение которых приведено Рис. 4. Схема восстановления томограммы по алгона рис. 5, г. Неидеальность восстановления объясняется ритму обратного проецирования: а – получение тем, что число проекций, полученных под различными проекций, б – суммирование обратных проекций СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, МАТ Е МАТ ИКА аб в гд Рис. 5. Примеры восстановления томографического изображения методом обратного проецирования и сверточным алгоритмом: а – эталонное изображение f(x, y); б – проекции R(s, ); в – результат восстановления алгоритмом обратного проецирования; г – модифи цированные проекции R(s, ); д – результат восстановления сверточным алгоритмом углами зондирования, и число лучей являются конеч- ЛИТЕРАТУРА ными. В приведенном примере число лучей равно 128, 1. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Раа число проекций – 180. Это ограничение принципидио и связь, 1989.

ально, так как в реальных компьютерных томографах 2. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. М.:

технически невозможно получить бесконечное число Мир, 1983.

проекций и измерять интенсивность излучения для 3. Троицкий И.Н. Компьютерная томография. М.: Знание, всех возможных значений s.

1988.

4. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. М.: РаЗАКЛЮЧЕНИЕ дио и связь, 1989.

5. Реконструктивная и вычислительная томография // ТИИЭР:

Мы рассмотрели лишь два простейших алгоритма вос(Темат. вып.). 1983. Т. 71, № 3.

становления томографических изображений. За время, прошедшее с появления первого рентгеновского комРецензент статьи В.А. Брусин пьютерного томографа, томография превратилась в бурно развивающуюся область науки и техники. В томо* * * графах стали использовать новые источники излучения, появились новые принципы формирования томографиИгорь Семенович Грузман, доктор технических наук, ческих изображений и, естественно, новые математичепрофессор кафедры теоретических основ радиотехские методы восстановления изображений. Проблемы ники Новосибирского государственного технического восстановления томографических изображений широуниверситета. Область научных интересов – статистико освещаются в литературе. В частности, ее математические методы цифровой обработки многомерных ческим, техническим и вычислительным аспектам по- сигналов и изображений. Автор и соавтор более 90 насвящены работы [1–5]. учных работ и трех учебных пособий для студентов.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.