WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФИЗИКА ФИЗИКА ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ А. С. КИНГСЕП Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.

ВВЕДЕНИЕ Концепцию, представленную в настоящей статье, SECONDARY QUANTIZATION обычно связывают с квантовой теорией поля – с формальным описанием взаимодействий элементарных A. S. KINGSEP частиц. В действительности область применимости данной системы понятий гораздо шире – она имеет пряA popular introduction to the idea of secondary мое отношение к физике лазеров, комбинационному quantization is given. Annihilation and creрассеянию света, физике твердого тела и даже к соверation of Bose and Fermi particles are discussed шенно классической (то есть неквантовой) физике – within the framework of this approach; both турбулентности жидкости, газа или плазмы.

В динамике твердого тела, плазмы и в какой-то меthe general and the classical limit cases are ре газа и жидкости существенную роль играют так наconsidered. Manifestations of the secondary зываемые коллективные возбуждения, когда прихоquantization effects are illustrated by stimuдится рассматривать поведение не отдельных частиц, lated Brillouin scattering; some other applicaно организованных так или иначе больших ансамблей.

tions of this method are mentioned as well. Простейшими примерами такого рода являются волновые движения – продольный или поперечный звук в твердом теле или, например, волны в плазме, включаНа популярном уровне излагается идея ющие как движение частиц, так и осцилляторную дивторичного квантования. В рамках даннонамику электромагнитных полей (типов таких волн го подхода рассмотрены уничтожение и очень много, даже наиболее часто встречающихся не рождение как бозе-частиц, так и фермиодин десяток).

частиц. При этом обсуждаются как общий Оказывается, свойство корпускулярно-волнового дуализма, весьма важное в микромире и по сути даюслучай, так и классический предел. Проявщее основание для квантово-механического описания ления эффектов вторичного квантования частиц, проявляется и в макроскопической физике.

продемонстрированы на примере вынужЕсли электромагнитную волну частоты рассмотреть в денного бриллюэновского рассеяния, указарамках квантовой механики, она оказывается предны и другие области применения данного ставимой в виде ансамбля фотонов (или, что то же, -квантов), каждый из которых имеет энергию, где метода.

1,055 10- 34 Дж с – постоянная Планка. Энергия осцилляций электромагнитного поля заданной частоты может излучаться, поглощаться и как-то передаваться лишь в количествах, кратных. Меньше порция энергии при данной частоте быть не может. В свою очередь, свободный электрон с энергией E квантовая механика отождествляет с плоской волной частоты = E/.

Теперь представим себе звуковую волну в сплошной среде или, например, поверхностную волну в жидwww.issep.rssi.ru кости. Первую из них мы можем услышать, вторую – увидеть (“бросая в воду камешки, наблюдай круги, ими СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, Кингсеп А.С., © ФИЗИКА образуемые”). Пусть частота такой волны равна. При теории поля П. Дираком, Е. Вигнером и П. Иорданом.

надлежащем рассмотрении оказывается, что и эти с Его принято называть вторичным квантованием.

детства привычные нам типы волн тоже представляют ИДЕЯ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ.

собой совокупность квантов с энергией. И это не поверхностная аналогия вроде бесхитростного отожде- БОЗОНЫ И ФЕРМИОНЫ ствления атома и планетной системы, но отражение Предположим, что мы научились классифицировать фундаментальных законов физики. Впервые это было все возможные состояния индивидуальной частицы понято научным сообществом благодаря работам голили квазичастицы в некоторой системе, например соландского физика П. Дебая, посвященным термодистояния электронов проводимости в проводящем кринамическим свойствам твердого тела (см., например, сталле [2] или ленгмюровских колебаний в плазме [3].

[1, 2]). Дело в том, что в наиболее типичной для твердоДля наглядности наших рассуждений мы их просто пего состояния форме – кристаллической – атомы либо ренумеруем: 1; 2; 3; … Тогда любое состояние системы ионы, пребывающие в узлах кристаллической решетв целом можно представить в виде чисел заполнения, ки, могут совершать лишь колебательное движение.

то есть числа частиц или квазичастиц в каждом из переБыло показано, что теплоемкость и теплопроводность нумерованных состояний:

непроводящего кристалла целиком определяются эти{N1; N2; N3; …}. (1) ми осцилляторными движениями, которые представляются как совокупность продольных и поперечных Вопрос о правильном выборе таких базовых состозвуковых колебаний, а они, в свою очередь, допускают яний далеко не тривиален. Например, при рассмотрепредставление в виде совокупности так называемых нии фотоэффекта (рис. 1) электрон в конечном состоквазичастиц – продольных и поперечных фононов.

янии нужно считать свободным, то есть в виде плоской Дальнейшее развитие физики твердого тела, а затем волны, тогда как в начальном состоянии его нужно и нелинейной физики плазмы (которая в отношении описывать как связанную частицу, движущуюся в поле микродинамики гораздо ближе к твердому телу, нежеядра. Сам по себе рис. 1 представляет в квантовой элекли к газу или жидкости, см. [3]) способствовало введетродинамике нечто большее, чем просто картинку, – нию понятия квазичастиц в постоянное обращение.

это так называемая фейнмановская диаграмма, но мы От частицы (электрона, протона, фотона) квазичас- такими диаграммами будем пользоваться лишь в качетица отличается тем, что она не может существовать стве наглядных иллюстраций (в данном случае связаннезависимо от среды, поскольку представляет собой ный электрон поглотил фотон и перешел в свободное квант коллективного возбуждения либо некоторый ан- состояние – это и есть фотоэффект). Описание, предсамбль частиц, который только в среде и может сущест- ставленное формулой (1), будет корректно в том случае, вовать (например, так называемые куперовские пары если мы перечислим (или сумеем классифицировать) электронов в сверхпроводниках). Таким образом, ква- все возможные состояния, скажем, применительно к зичастицы существуют на фоне взаимодействия боль- диаграмме рис. 1, как свободные, так и связанные.



шого количества частиц, образующих сплошную среду.

Если мы с этой задачей справились, то теперь люКак правило, квазичастицы в меньшей степени связабую реакцию в нашей системе частиц мы сможем предны всевозможными законами сохранения (хотя, наприставить как совокупность актов рождения и уничтожемер, и фотон в этом отношении – достаточно свободная ния частиц в тех или иных состояниях. Например, частица). В остальном свойства частиц и квазичастиц реакция, схематически представленная на рис. 2, есть примерно одни и те же, так что их можно рассматрирезультат уничтожения частиц в состояниях 1; 2; 3 и одвать в рамках единого подхода.

При исследовании таких сложных систем, как плазма или твердое тело, не слишком реально детальное рассмотрение осцилляторной динамики во всем ее многообразии. Гораздо более рациональным представляется язык функций распределения квазичастиц – классических или квантовых, подобных распределениe(2) ям Максвелла, Ферми или Бозе для обычных частиц, которые используются в статистической термодинамике. И здесь для описания взаимодействия в сложных e(1) системах, включающих как обычные частицы, так и квазичастицы, оказался как нельзя более кстати специальный метод рассмотрения, введенный в квантовой Рис. 1. Фейнмановская диаграмма фотоэффекта КИНГСЕП А.С. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ФИЗИКА не электроны в атоме не могут все вместе находиться на 1 нижнем уровне, но заполняют по мере увеличения атомного номера (то есть заряда ядра) один энергети2 ческий уровень за другим и, заполняя последовательно оболочку за оболочкой, придают элементам периодические свойства, отраженные в таблице Менделеева.

3 Бозоны – частицы, подчиняющиеся квантовой статистике Бозе–Эйнштейна, частицы с моментом имРис. пульса, кратным или, что то же, целым спином (0 у -мезона, 1 у -кванта и т.д.). Они свободны от принциновременного рождения их в состояниях 4; 5; 6. Это вопа Паули, так что в любом квантовом состоянии может все необязательно одни и те же частицы – наша базовая находиться любое число таких частиц. Примером мосистема состояний должна включать все виды частиц жет служить луч света лазера, в котором очень большое или квазичастиц, участвующих во взаимодействиях.

число фотонов собрано в одном состоянии. Соответственно и квазичастицы, которые мы используем для На рис. 3 представлен еще один пример такого роконструирования квантового представления классичеда, выраженный уже непосредственно в числах заполского волнового поля (фононы, плазмоны), должны нения. Здесь два столбца составлены из чисел заполнебыть бозонами, поскольку классическая волна не знает ния, отвечающих начальному и конечному состоянию такого ограничения на амплитуду, которое следует из системы. Если с частицей что-то произошло, так что принципа Паули.

она из k-го состояния перешла в q-е состояние (например, изменила импульс при рассеянии на каком- Важнейшим свойством как частиц, так и квазичато неподвижном центре), то это можно выразить сле- стиц, как фермионов, так и бозонов является их недующим образом: частица уничтожена в состоянии k различимость: в отличие от макроскопических тел два (Nk Nk - 1) и рождена в состоянии q (Nq Nq + 1). Так электрона, два протона, два фотона ничем не отличамы формализовали процесс перехода. ются друг от друга, если они находятся в одном и том же состоянии.

Зачем это нужно Дело в том, что вероятность люПусть система состояний, представленных на рис. 3, бого процесса, к примеру тех, что представлены на отвечает некоторым бозонам. Когда мы сокращаем одрис. 1–3, зависит не только от квантово-механической ну из частиц в состоянии k, то мы при этом частиц не вероятности перехода (мы будем называть ее элеменразличаем, а следовательно, и не знаем, какую именно тарной вероятностью), но и от чисел заполнения вочастицу мы сократили. Значит, мы обязаны при коливлеченных в процесс базовых состояний. Эта зависичественном рассмотрении просуммировать все эквивамость оказывается весьма различной для двух типов лентные каналы, то есть умножить элементарную верочастиц, известных в физике, – фермионов и бозонов.

ятность на величину Nk. Это, впрочем, еще довольноФермионы – это электроны, протоны, нейтроны, таки очевидная необходимость. Но теперь давайте помюоны и вообще все частицы со спином 1/2 (иногда смотрим на конечное состояние. В нем оказалось Nq + говорят, что их собственный момент количества двичастиц. Какая из них новая На этот вопрос ответить жения равен /2). Они подчиняются квантовой статиневозможно, поскольку и в этом состоянии частицы стике Ферми–Дирака (отсюда и название), но для нас неразличимы. Отсюда вытекает, что полная вероятважно другое – эти частицы подчиняются принципу ность должна быть пропорциональна также и Nq + 1.

Паули: в каждом квантовом состоянии может пребыОкончательно, обозначив элементарную вероятность вать лишь одна такая частица. Именно по этой причичерез w(k, q) (она должна вычисляться стандартными методами квантовой механики), получим N1 NW(k, q) = w(k, q) Nk (Nq + 1); (2) N2 Nздесь W(k, q) – полная вероятность, определяющая..





..

..

темп перехода между состояниями.

Nk Nk - В случае ферми-частиц (например, электронов)..

..

..

числа заполнения соответствующих состояний могут Nq Nq + быть равны либо нулю, либо единице – иного принцип..

..

.. Паули не допускает. Значит, если начальное состояние было занято, переход k q может произойти, а если Рис. 3 оно было свободно, то нет. Если конечное состояние СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №5, ФИЗИКА было свободно, переход k q возможен, а если занято, а то принцип Паули его запрещает. Все это вместе можно () () описать следующим образом:

'( + ) - '( + ) W(k, q) = w(k, q) Nk (1 - Nq), (3) где теперь Nk, Nq могут быть только 0 или 1.

S() S() ( - ) ( - ) КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ б () -() Интересно рассмотреть, чему соответствует классический (то есть неквантовый) предел, с которым приходится иметь дело, например когда турбулентное состо- S() S() яние плазмы, газа или жидкости представляется в виде газа квазичастиц [4]. Волны можно рассматривать как Рис. 4. Комбинационное рассеяние: а – генерация коротковолнового сателлита, б – генерация длинноклассические, если мы можем, как и в электромагнитволнового сателлита ной волне конечной амплитуды, пренебречь тем обстоятельством, что осцилляторная динамика есть динамика (квант ( )). При слиянии электромагнитного кванта совокупности отдельных квантов, а значит, при условии со звуковым (то есть частицы с квазичастицей) образуNk 1. Что же касается фермионов, они становятся ется волна частоты ' = +, которую принято назыклассическими тогда, когда перестают “замечать” принвать фиолетовым сателлитом. Такое значение частоты цип Паули. Это, например, означает, что разрешенные следует из закона сохранения энергии: ' = +.

для электронов состояния заполнены очень редко, так что любые занятые состояния Nk = 1 разделены многиОдновременно идет и обратный процесс распада ми свободными Ni = 0. Усредняя числа заполнения по фиолетового сателлита на исходную волну и звук. Элемногим соседним состояниям, мы получаем то, что в ментарная вероятность обратного процесса совпадает с статистической физике и физической кинетике назытаковой для прямого процесса – тем самым соблюдаетвается функцией распределения, например функцией ся один из фундаментальных законов физики и химии, распределения по скоростям f( ). Ее и надо подставпринцип детального равновесия. А посему темп генелять в усредненную вероятность вместо числа заполнерации фиолетового сателлита может быть выражен ния начального состояния. Что же касается незанятого следующим образом:

конечного состояния, то оно в классическом пределе всегда найдется, поскольку законы сохранения энерdN + гии и импульса допускают возможность маневра, обус---------------- = w(, )[(N + + 1)NS N – dt ловленную соотношением неопределенностей. Итак, вместо (3) получаем примерно следующее:

– N + (NS + 1)(N + 1) ], (5) W(k, q) = w(k, q) f( ). (4) где w(, ) – элементарная вероятность, соответствуюПри всех этих упрощениях квантовые закономерности щая процессам, изображенным на рис. 4, а. При полудают о себе знать и в классическом пределе. Лучше всечении формулы (5) мы учли, что уничтожение и рождего это видно на примере формулы (2) – зависимость ние частиц (в данном случае бозонов) в любом процессе темпа протекания процесса остается пропорциональдолжны быть отражены коэффициентами N и (1 + N) ной числу частиц в конечном состоянии, для чего в соответственно.

классической физике трудно найти объяснение.

Предположим, что мы рассматриваем эффект комПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ бинационного рассеяния в классическом пределе, то ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ есть при условии, что все числа заполнения много больше единицы. Этот случай имеет прямое отношение Проиллюстрируем полученные правила рассмотрением к лазерному термоядерному синтезу, когда свет лазера, процесса так называемого комбинационного рассеяоблучающего термоядерную мишень, рассеивается на ния. Конкретно, рассмотрим вынужденное рассеяние Мандельштама–Бриллюэна (ВРМБ). На рис. 4 пред- звуковых волнах в плазменной короне. Из формулы (5) нетрудно усмотреть, что мы не имеем права оставить ставлен пример такого рода. Пусть в среде возбуждены звуковые колебания частоты (на рисунках соответст- лишь старший по степеням N член в правой части, повующие кванты обозначены буквой S) и пусть в эту скольку он оказывается в точности равным нулю. Ос“шумящую” среду запущена электромагнитная волна тальные же при условии N 1 в сумме дают КИНГСЕП А.С. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ФИЗИКА dN + лазера. Из формулы (2) следует, что если частицы или ---------------- = w(, )[NS N – N + NS – N + N ]. (6) квазичастицы в каком-то состоянии уже накоплены, то dt в силу действия фактора 1 + Nq процесс пойдет преимуМожно видеть, например, что при пренебрежимо мащественно в сторону приумножения чисел заполнения лой плотности звуковых шумов (NS N) существен именно в этом состоянии. В квантовых генераторах талишь последний член в правой части (6) – это случай ким накопителем является оптический резонатор, что так называемой распадной неустойчивости. Кроме топозволяет направить энергию накачки в генерацию го, в оптически плотной среде возможно стационарное очень узкого по частоте и очень хорошо коллимиросостояние, в котором два процесса, представленные на ванного в пространстве пучка световых волн.

рис. 4, а, полностью друг друга компенсируют:

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.