WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МАТ Е МАТ ИКА МАТ Е МАТ ИКА О РЕШЕННЫХ И ОТКРЫТЫХ ПРОБЛЕМАХ В ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ В. А. АРТАМОНОВ Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова В настоящей работе рассмотрено множество С[X1, X2, …, Xn] всех многочленов с комплексными коэффиON SOME SOLVED циентами от переменных X1, X2, …, Xn. Изложены осAND OPEN PROBLEMS новные результаты о многочленах, полученные в XX веIN THEORY OF POLYNOMIALS ке. Приведены некоторые открытые проблемы.

V. A. ARTAMONOV ВВЕДЕНИЕ Возникновение алгебры как науки связано с задачей о A brief survey of basic results and open probрешении систем алгебраических уравнений вида lems of the theory of polynomials is presented.

fj(X1, X2, …, Xn) = 0, j J, (1) Дан краткий обзор основных результатов и левые части которых fi = fi(X1, X2, …, Xn) являются мнооткрытых проблем в теории многочленов. гочленами из С[X1, X2, …, Xn]. Основной задачей в этом направлении является описание всех решений системы (1), а также нахождение алгоритма, позволяющего найти все эти решения [1]. Принципиальным шагом в этих исследованиях явился подход, связанный с геометрической интерпретацией решений системы (1). Все решения системы (1) образуют поверхность в n-мерном пространстве Cn. Исследованием геометрических свойств этих поверхностей занимается один из важных разделов алгебры – алгебраическая геометрия [2].

СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Элемент (a1, а2, …, an) Cn является решением системы (1), если fj(a1, а2, …, an) = 0 для любого j J. Для нахождения всех решений системы (1) совершаются преобразования, сохраняющие все решения системы (1). В связи с этим мы приходим к следующему определению:

две системы вида (1) эквивалентны, если они имеют одинаковые множества решений. Укажем класс преобразований системы (1), при которых мы всегда переходим к эквивалентной системе. Пусть в системе (1) какое-то i-е уравнение fi = 0 заменено либо на уравнение fi + gfj = 0, где j i и g С[X1, X2, …, Xn], либо на уравнение fi = 0, где – ненулевое комплексное число. Эти преобразования системы (1), называемые элементарwww.issep.rssi.ru ными, переводят ее в эквивалентную систему. Расширяя это определение, назовем уравнение СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №3, Артамонов В.А., © МАТ Е МАТ ИКА g = 0, где g = g(X1, X2, …, Xn) С[X1, X2, …, Xn], влияние на развитие алгебраической геометрии, гомологической алгебры, K-теории. Приведем ее форследствием системы (1), если для любого решения мулировку в наиболее простом виде. Предположим, (a1, а2, …, an) Cn системы (1) выполнено равенство что задана система уравнений вида (2). Обозначим чеg(a1, а2, …, an) = 0.

рез Mat(m, С[X1, X2, …, Xn]) множество всех квадратных Система алгебраических уравнений вида (1), воматриц размера m, все коэффициенты которых лежат в обще говоря, может быть бесконечной. По теореме С[X1, X2, …, Xn]. Несложно показать, что у матрицы A из Д. Гильберта о базисе любая система уравнений вида Mat(m, С[X1, X2, …, Xn]) существует обратная матрица в (1) эквивалентна своей конечной подсистеме Mat(m, С[X1, X2, …, Xn]) тогда и только тогда, когда ее f1 = f2 = … = fm = 0. (2) определитель detA является ненулевой константой.

Сформулируем теперь проблему Серра: пусть задаТеорема 1 (теорема Д. Гильберта о нулях). Уравнена несовместная система уравнений вида (2); нужно ние g = 0 является следствием системы (2) тогда и тольпоказать, что существует такая обратимая матрица A ко тогда, когда существуют такое натуральное число d Mat(m, С[X1, X2, …, Xn]), что и многочлены (f1, f2, …, fm)A = (1, 0, …, 0). (3) g1, g2, …, gm С[X1, X2, …, Xn], Заметим, что если число уравнений m = 2, то искочто в С[X1, X2, …, Xn] мая матрица U всегда существует. Действительно, по gd = g1 f1 + g2 f2 + … + gm fm.

теореме Гильберта о нулях существуют такие g1, g С[X1, X2, …, Xn], что Следствие 1. Система (2) несовместна тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены g1, g2, …, 1 = g1 f1 + g2 f2. (4) gm С[X1, X2, …, Xn], что в С[X1, X2, …, Xn] Обозначим через U квадратную матрицу, первая строка 1 = g1 f1 + g2 f2 + … + gm fm.

которой имеет вид (g1, - f2), а вторая имеет вид (g2, f1). Непосредственная проверка показывает, что из (4) вытекаСуществуют различные алгоритмы решения систеет (3). Таким образом, можно предполагать, что m > 2.

мы (2). Отметим лишь важные частные случаи. Пусть система (2) является системой линейных уравнений, то Проблема Серра была положительно решена есть А.А. Суслиным (Санкт-Петербург) и Д. Квилленом (Чикаго, США) в 1976 году. В 1978 году А. А. Суслин доfi = ai1X1 + ai2X2 + … + ainXn - bi, aij, bj С, казал следующее более сильное утверждение.

для всех i = 1, 2, …, m. Наиболее известным способом Теорема 2 (А.А. Суслин). Пусть задана несовместрешения является метод исключения неизвестных Гаусная система уравнений вида (2), где m 3. Тогда сущестса. Он состоит в следующем. Пусть, например, a11 0.

вует последовательность элементарных преобразований В этом случае из первого уравнения находим выражесистемы (2), переводящая левые части системы (2) в ние X1 через остальные неизвестные X2, X3, …, Xn и подстандартный набор (1, 0, …, 0).

ставляем его в последующие уравнения. В результате Отметим, что для m = 2 это утверждение неверно.

получаем систему из m - 1 уравнений от n - 1 неизвестСоответствующий пример принадлежит английскому ной X2, X3, …, Xn и т.д. Отметим, что все решения совмематематику П.М. Кону. Несовместную систему уравстной системы (2) в этом случае образуют плоскость нений размерности n - r в n-мерном комплексном простран1 - XY = 0, X = стве Cn. Здесь r – ранг матрицы коэффициентов (aij) размера m n.

нельзя элементарными преобразованиями свести к сиДругим важным случаем является нахождение рестеме шений системы (2) от одной переменной X = X1. В этом 1 = 0, 0 = 0.

случае система сводится к вычислению корней одного многочлена, именно наибольшего общего делителя сиПРОБЛЕМА ЯКОБИАНА стемы многочленов (2). Решение этой задачи связано с Перейдем теперь к формулировке некоторых открытых теорией Галуа.

проблем. Рассмотрим набор ПРОБЛЕМА СЕРРА f1, f2, …, fn С[X1, X2, …, Xn]. (5) В 1955 году известный французский математик ЖанПредположим, что система уравнений Пьер Серр поставил проблему о векторных расслоениях на аффинных пространствах, оказавшую большое f1 = b1, f2 = b2, …, fn = bn АРТАМОНОВ В.А. О РЕШЕННЫХ И ОТКРЫТЫХ ПРОБЛЕМАХ В ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ МАТ Е МАТ ИКА имеет и притом единственное решение (a1, a2, …, an) ется многочленом степени не выше 3. Обзор результа Cn для любого набора (b1, b2, …, bn) Cn, причем су- тов по этой теме можно найти в [3].

ществуют такие многочлены g1, g2, …, gn С[X1, X2, … РУЧНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ …, Xn], что каждое ai = gi(b1, b2, …, bn). Предполагается, что многочлены g1, g2, …, gn не зависят от набора своЭта проблема также связана с системами многочленов бодных членов (b1, b2, …, bn) Cn. Это эквивалентно то(5), для которых каждый многочлен из С[X1, X2, …, Xn] му, что каждый многочлен из С[X1, X2, …, Xn] однозначоднозначно представляется в виде многочлена от мноно представляется в виде многочлена от f1, f2, …, fn (и от гочленов (5). Заметим, что если система (5) обладает g1, g2, …, gn). На эту ситуацию можно взглянуть и с друуказанным свойством и g – произвольный многочлен гой стороны. Система (5) задает полиномиальное отобот n - 1 переменной, – ненулевое комплексное число, ражение f: Cn Cn, при котором то наборы многочленов f(a1, a2, …, an) = ( f1(a1, a2, …, an), f2(a1, a2, …, an), … f1, f2, …, fi - 1, fi + g(f1, f2, …, fi - 1, fi + 1, …, fn), fi + 1, … …, fn(a1, a2, …, an)) = (b1, b2, …, bn) Cn. (6) …, fn; f1, f2, …, fn (7) В силу наших предположений отображение f является для любого i = 1, 2, …, n также обладают этим свойствзаимно однозначным (или биективным). Кроме то- вом. Преобразования вида (7) называются ручными.

- го, обратное отображение f, переводящее (b1, b2, … Сформулируем теперь проблему: пусть задана сис…, bn) Cn в тема многочленов (5), для которой каждый многочлен из С[X1, X2, …, Xn] однозначно представляется в виде - f (b1, b2, …, bn) = (g1(b1, b2, …, bn), g2(b1, b2, …, bn), … многочлена от многочленов (5). Верно ли, что система …, gn(b1, b2, …, bn)) = (a1, a2, …, an) Cn, (5) получается из системы X1, X2, …, Xn с помощью конечного числа ручных преобразований В частности также является полиномиальным.

(см. [3]), является ли ручной при n = 3 система Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (6) квадратную матрицу J(f ) размера n, в f1 = X1 - 2X2u - X3u2, f2 = X2 + X3u, f3 = X3, которой на месте (i, j) стоит частная производная где u = X1X3 + X fi/ Xj. Эта матрица называется якобианом отображения f. Таким образом, ПРОБЛЕМА ЗАРИССКОГО J(f ) Mat(m, С[X1, X2, …, Xn]).

Пусть в С[X1, X2, …, Xn] выбрано подмножество A, содержащее все константы С и обладающее следующими Предположим теперь, что задано другое полиносвойствами:

миальное отображение h: Cn Cn и fh – их композиция (произведение). Из анализа известно, что если f, g A, то f - g и fg лежат в A.

J(fh) = J(f )J(h).

Нетрудно убедиться, что если f1, f2, …, fm A и G(X1, X2, …, Xm) С[X1, X2, …, Xm] – произвольный многоВычисляя определители, получаем, что член, то его значение G(f1, f2, …, fm) A.

det(J(fh)) = det(J(f ))det(J(h)).

Предположим теперь, что существует такой многоВ частности, если заданы полиномиальные отображе- член T С[X1, X2, …, Xm], что каждый элемент f из С[X1, - ния f и f, то их композиция является тождественным X2, …, Xm] однозначно представляется в виде многочлена отображением. Поэтому единичная матрица E = J(fh) = m f = a0 + a1T + … + amT, a0, а1, …, am A, = J(f )J(h), и, следовательно, det(J(f )) является ненулевой константой. Проблема якобиана состоит в реше- где m, разумеется, зависит от f. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены T1, T2, … нии обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение f вида (6), причем det(J(f )) является нену- …, Tn - 1 С[X1, X2, …, Xm], что каждый элемент f из С[X1, X2, …, Xm] представляется в виде многочлена от левой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение Другими словами, бу- T1, T2, …, Tn - 1, T. Ответ на эту проблему положителен дет ли каждый многочлен из С[X1, X2, …, Xn] многочле- при n = 2 и n = 3. Остается рассмотреть случай n > 3.

ном от f1, f2, …, fn НЕКОММУТАТИВНЫЕ Как отмечено в [3], достаточно решить проблему АНАЛОГИ МНОГОЧЛЕНОВ якобиана в случае, когда n = 2 и степени f1, f2 не выше 150, а также если n любое, но степени всех многочленов В последние годы в связи с развитием теории кванf1, f2, …, fn не выше 2. Кроме того, за счет увеличения товых групп, некоммутативной геометрии и т.д. возчисла переменных можно считать, что каждое fi явля- никла необходимость найти некоммутативные аналоги СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №3, МАТ Е МАТ ИКА многочленов. Построение этих аналогов восходит к В частности, грассманова алгебра из [5] получается, еспринципу неопределенности в квантовой механике. ли qij = - 1 при i j. Для приведенных некоммутативных Одним из естественных аналогов является алгебра Вей- алгебр интересны аналоги сформулированных выше ля An. Элементами этой алгебры являются многочлены проблем. Более подробно с некоммутативными аналоот неизвестных гами многочленов можно познакомиться в обзоре [4] (см. также [5]).

p1, р2, …, pn, q1, q2, …, qn ЛИТЕРАТУРА со стандартным правилом сложения. Умножение индуцируется правилом перестановки (коммутирования) 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I: Основы алгебры.

неизвестных. Любые пары этих элементов коммутиру- М.: Физматлит, 2000. 272 с.

ют, за исключением пар pi, qi, i = 1, 2, …, n, для которых 2. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. М.: Мир, 1991.

справедливо равенство piqi - qipi = 1. Для алгебры Вейля 3. Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // имеется естественная реализация в виде алгебры дифBull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 7, № 2. C. 287–330.

ференциальных операторов. Действительно, на мно4. Артамонов В.А. Квантовая гипотеза Серра // Успехи мат.

жестве всех многочленов С[X1, X2, …, Xn] линейные наук. 1998. Т. 53, № 4. C. 3–77.

комбинации всевозможных конечных произведений операторов qi(f ) = Xi f, pi(f ) = f/ Xi, i = 1, 2, …, n, со- 5. Васильев А.Н. Грассманова алгебра // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. № 4. С. 116–121.

ставляют алгебру Вейля.

Другим аналогом многочленов является мультипаРецензент статьи Ю.П. Соловьев раметрическая деформация СQ[X1, X2, …, Xn] многочленов. Пусть Q = (qij) – квадратная матрица размера n с * * * комплексными коэффициентами qij, причем qii = qijqji = для всех i, j = 1, 2, …, n. Рассматриваются многочлены Вячеслав Александрович Артамонов, доктор физикоот n переменных X1, X2, …, Xn, причем сложение многоматематических наук, профессор кафедры высшей членов стандартное, а умножение индуцировано праалгебры механико-математического факультета МГУ.

вилом коммутирования неизвестных: Область научных интересов – кольца, универсальная алгебра и их приложения. Автор более 90 научных раXiXj = qijXjXi. бот и двух книг.

АРТАМОНОВ В.А. О РЕШЕННЫХ И ОТКРЫТЫХ ПРОБЛЕМАХ В ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.