WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Иркутский государственный университет ИМЭИ ИГУ Кафедра алгебры и геометрии ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Методические указания г. Иркутск Печатается по решению научно-методического совета Иркутского государственного университета Содержит необходимый теоретический материал, подробное решение задач. Варианты семестровых заданий курса «Аналитическая геометрия» Предназначена для студентов математического факультета.

Могут быть использованы для самостоятельного изучения студентами младших курсов факультетов с небольшой программой по математике Илл.23 Табл.8 Составлен: к.ф.-м.н., доцент Машанов В.И., ст. преп.

Шеметова Л.Н.

.

Содержание Содержание................................................................................................. 3 1.Примая на плоскости............................................................................... 4 1.1 Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору............................................................................................5 1.2 Уравнение прямой по точке и перпендикулярному вектору7 1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом...................8 1.4 Угол между двумя прямыми................................................10 1.5 Исследование общего уравнения.........................................11 1.6 Уравнение прямой в отрезках..............................................12 1.7 Нормальное уравнение прямой............................................14 1.8 Расстояние от точки до прямой............................................15 1.9 Пучок прямых........................................................................17 2.Уравнение плоскости............................................................................ 18 2.1 Уравнение плоскости по точке и перпендикулярному вектору..........................................................................................18 2.2 Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам2.3 Исследование уравнений плоскости....................................2.4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости......................................................................................3. Уравнение прямой в пространстве...................................................... 4. Пучок и связка плоскостей.................................................................. 5. Угол между прямой и плоскостью...................................................... 6. Взаимное положение прямой и плоскости......................................... 7. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми.................................................................................................................... 8. Общий перпендикуляр двух прямых.................................................. Задания....................................................................................................... Задание 1......................................................................................Задача 2.........................................................................................Задача 3.........................................................................................Задача 4.........................................................................................Задача 5.........................................................................................Задание 6......................................................................................Задание 7......................................................................................Задача 8.........................................................................................1.Примая на плоскости Простейшим, впервые исследованным было уравнение Ax+By+C=0, определяющая на плоскости (прямую) линию, поэтому исторически возникла традиция уравнения и системы уравнений первой степени называть линейными. В данном пособии будут рассмотрены геометрические образы, определённые такими уравнениями.

Основным аппаратом будут методы векторной алгебры, в основном это следующие предложения:

-два вектора коллинеарны (параллельны) только тогда, когда они линейно зависимы;

-три вектора компланарны (соплоскостны) только тогда, когда они линейно зависимы;

-если векторы линейно зависимы, то в такой же линейной зависимости находятся их соответствующие координаты.

Кроме того необходимо твёрдое знание определений скалярного произведения (a,b ) = a b cos(a, b ), векторного 1)[a,b] a,b;

2) тройка {a,b[a,b] } ориентированная, как базисная тройка {i, j, k};

3) [a,b]= a b sin, смешенного произведения и вычисленных формул _ ab = bi, ai i i j k [a,b]= a1 a2 a3, b1 b2 ba1 a2 a(a,b, c) = b1 b2 b3, c1 c2 c_ _ _ где векторы даны своими координатами a (ai ), b (bi ), c (ci ) в декартовой системе координат (д.с.к).

Изложение аналитической геометрии кривых на плоскости подробно, так как имеет целью приучить к векторным методам рассмотрения соответствующих задач.

Основным здесь будет понятие годографа вектора _ _ _ _ функции M = M (t) одного аргумента или M = M (u, v) - вектор функции двух аргументов; в первом случае годографом геометрическим местом концов радиус-векторов M(t) –будет линия, во втором случае получаем поверхность. Случай _ _ линейности соответствующих вектор -функций M (t), M (u, v) относительно аргументов и будет предметом рассмотрения.

Рис.1.1 Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору Точку M, заданную радиусом- вектором M, будем записывать так M (M ), тогда произвольная (говорят «текущая») точка прямой будет M (M ). Из условия коллинеарности MM = M - M l, следует их линейная зависимость M - M = t l, где t коэффициент этой зависимости.



Получаем линейную вектор функцию M = M - t l, (1) годографом, которой и является данная прямая. Полученное уравнение будем называть векторным уравнением прямой.

Пусть в аффинной системе координат (а.с.к) {0, e1, e2} точки и вектор l заданы координатами:

M (x1, x2 ), M (x1, x2 ),l (m, n). Так как координаты точки Называются координатами её радиус- вектора, то это эквивалентно заданию векторов M (x1, x2 ), M (x1, x2 ) и из линейной зависимости (1) векторов следует линейная зависимость координат:

x1 = x1 + t m, (2) x2 = x2 + t n Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Изменяя параметр t в пределах - < t < получим все точки прямой. Иногда желательно избавиться от этого вспомогательного параметра. Для этого находим (x1 - x1) (x2 - x2 ) t =, t =, что даёт соотношение m n (x1 - x1) (x2 - x2 ) = (3) m n называемоё каноническим уравнением прямой.

В д.с.к. по точке M (x0, y0 ) и вектору l (m, n) каноническое уравнение записывается в виде (x - x0 ) ( y - y0 ) = (3а) m n Если даны точки M1(x1, y1), M (x2, y2 ), то берём l = M1M = (x2 - x1, y2 - y1) Каноническое уравнение принимает вид x - x1 y - y = x2 - x1 y2 - y(3б) Если в уравнении (3) освободиться от знаменателей, то получим уравнение первой степени n x1 - m x2 + (m x2 - n x1) = 0, то есть уравнение вида a1x1 + a2 x2 + a0 = (4) Из сравнения с предыдущим уравнением получаем важное для решения задач свойство:

l (a2,-a1) прямой (4).

(5) В д.с.к. уравнение прямой записывается обычно в виде Ax+By+C =и называется общим уравнением прямой. В этом случае, как это следует из формулы (5), направляющим является вектор l (B,-A).

1.2 Уравнение прямой по точке и перпендикулярному вектору Задачи, связанные с вычислениями расстояний, углов, а значит и с условиями перпендикулярности, называется метрическими и решаются до конца по координатам данных лишь в д.с.к.

Пусть в д.с.к. задана точка M (M ) и вектор N, 0 перпендикулярный прямой. Искомое условие на радиус- вектор M текущей точки имеет вид (N, M - M ) = 0.

При координатном задании M (x0, y0 ), M (x, y), N (A, B), получаем уравнение A(x - x0 ) + B(y - y0 ) = называемое, как и первое, уравнением прямой по точке и перпендикулярному вектору. Практически же удобнее пользоваться формой A x + B y - (A x0 + B y0 ) = 0.

Итак, мы не только получили снова общее уравнение Ax+By+C=0 прямой в д.с.к., но и выяснили геометрический смысл коэффициентов при x и y:

N (A, B) прямой.

Пример. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M (2,-3) на прямую 4x-5y+7=0.

Вектор N (4,-5) является направляющим для перпендикуляра, поэтому записываем каноническое уравнение x - 2 y + =.

4 - Ответ всегда записывается в общем виде: 5x+4y+2=0.

1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Из общего уравнения a1x1 + a2 x2 + a0 = можем получить равносильное a2 ax1 = - x2 - a1 a(a1 0), либо a1 ax2 = - x1 - a2 a(a2 0) Воспользуемся вторым, переобозначив коэффициенты:

x2 = k x1 + b.

Геометрический смысл величины b ясен: точка Q(0,b) пересечения прямой с осью Ox2 определяет величину b, которую потому называют начальной ординатой прямой. Следующее предложение характеризует величину k в а.с.к Теорема. l (1, k) прямой Действительно QM = (x1 - 0, x2 - b) = (x, kx1) = x1(1, k) l (1, k) В д.с.к. геометрический смысл коэффициента k еще яснее:

он равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс k = tg Пример. Найти уравнения прямых, проходящих через точку M (5,7), под углом 30o к прямой 3x - 7 = Записывая уравнение в виде y = 3x - 7, получаем k = tg = 3.

Искомые прямые образуют с осью Ox углы ±30o, следовательно, 3 ± tg ± tg30o k1,2 = tg( ±30o )= = 1µ tg tg30o 1µ1 Итак, k1 =, k2 = =. Первая прямая, параллельна оси Oy, имеет уравнение x-5=0, вторая y = x + b. Подставив координаты точки M, найдем коэффициент b.

1.4 Угол между двумя прямыми M = M1 + t l1. Прямые, M = M + lЗаданные векторным уравнением, определяют ориентированный угол = (l1,l2 ) вычисляющийся по формуле (l1,l2 ) cos = l1 lОчевидны условия (l1,l2 ) = 0 перпендикулярности и l1 = l2 параллельности прямых y = k1x + b2. Прямые заданные уравнениями, y = k2 x + bопределяют ориентированный угол. Как внешний угол треугольника 2 = 1 +, значит = 2 - 1,tg = tg( - 1).

вычисляя и подставляя tg1 = k1,tg2 = k2, получаем k2 - ktg =.

1 - k2kЗапишем условия параллельности: k1 = kи условие перпендикулярности прямых k2 = k3. Для прямых заданных общим уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 N1(A1, B1), A2 x + B2 y + C2 = N2 (A2, B2 ) любой из углов между прямыми связан с углом между векторами N1, N2 соотношением = (N1, N2 ), либо + (N1, N2 ) =, согласно известной теореме об углах со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому (N1, N2 ) cos = ± N1 NУсловие параллельности A1 BN1 = N2 или = этих A2 Bвекторов есть условие параллельности прямых. Аналогично получаем условие перпендикулярности прямых:

( N1, N2 )=0 или A1 A2 + B1B2 = 0.

1.5 Исследование общего уравнения Задачей является рассмотрение положения прямой при различных значениях коэффициентов её уравнения Ax+By+C=0.

C 1.A=0. Остается неполное уравнение y = - или y=const.

B Получаем при различных значениях постоянной линии, параллельные оси Ox. В частном случае, при y=0(C=0) получаем ось Ox.





2.B=0. Аналогично предыдущему получаем семейство параллельных оси Oy линий, определяющихся неполным уравнением Ax+C=0, в частном случае саму ось Oy. Для решения важно запомнить вывод: Если в уравнении отсутствует какая- либо координата, то прямая параллельная соответствующей оси.

Совокупность линий x=const, y=const называется координатной сетью. В а.с.к. координатная сеть имеет вид(см.рис.8) 3. C=0. Получаем множество прямых проходящих через начало координат.

3. A=B=0,C0.

Получаем уравнение C=Геометрический смысл которого выясним в следующем разделе.

1.6 Уравнение прямой в отрезках Уравнение Ax+By+C=0 при A*B*C0 можно привести к виду x y + =1 или С C - A B x y + =1.Из чертежа ясен геометрический смысл значений a b a,b как взятых с определенным знаком отрезков, отсекаемых на осях координат. Поэтому уравнение называется уравнением в отрезках.

Если в общем уравнении A,B0,C0, то a,b. Следовательно, получаем бесконечно удаленную прямую плоскости.

Пример.

Построить в д.с.к.

прямую 3x-5y-12=0.

Очевидно, точки пересечения с осями координат x=0, y = - и x=4,y=0.

По этим точкам строим прямую. Уравнение в отрезках данной прямой имеет вид x y + =Пример. Записать все известные виды уравнений прямой по точке M (2,-1) и перпендикулярному вектору N (3,5). Как обычно получаем уравнение 3(x-2)-5(x-11)=0, отсюда общее 3x-5y-11=0, x y уравнение в отрезках + =1, 11 3 3 уравнение с угловым коэффициентом y = x -.

5 Находим направляющий вектор l (1, ) (5,3) и записываем каноническое уравнение x - 2 y + =, 5 векторное M = M + t l или M = 2i - j + t(5i + 3 j). Можно записывать его и в виде M = (2,-1) + t(5,3) осталось записать x = 2 + 5t параметрическое:

y = -1 + 3t 1.7 Нормальное уравнение прямой Из рисунка 10 видно, что задание перпендикуляра OP, опущенного из начала д.с.к. на прямую, вполне определяет эту прямую. Для его задания надо знать его направление n, причем будем считать n =1, и длину OP=p. Воспользуемся уравнением (N, M - M ) = 0 прямой по точке M возьмем основание P перпендикуляра, тогда P = pn и уравнение имеет вид (n, M - pn) = 0 или (n, M ) - p = 0.

Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой в векторной форме. Что бы перейти к координатам, достаточно заметить, что в силу условия n =1 его координаты (проекции на оси ) определяются углом с осью Ox: n(cos,sin ). Текущая точка М имеет координаты её радиус-вектора N (x, y). Получаем нормальное уравнение прямой:

x cos + y sin - p = Вторая задача этого параграфа состоит в том, чтобы найти способ из общего уравнения Ax+By+C=0, N (A, B), получить нормальное. Запишем уравнение в следующем виде (N, M ) + C = 0 и умножим на : ( N, M ) + C = Что бы это уравнение было нормальным, должны выполняться условия N = N = n =1, C = - p < Итак =, C < 0.

± N Пример. Записать уравнение 3x-4y+12=0 в нормальной форме.

1 1 = =, 12 < 0 = - ± 32 + 42 ± Нормальное уравнение имеет вид:

3 4 - x + y - = 5 5 Удобнее его при решении записывать в виде:

3x - 4y - = - 1.8 Расстояние от точки до прямой Пусть дана точка M (M ), не принадлежащая 0 прямой, определенной гормональным уравнением (n, M ) - p = 0 и находящейся на расстоянии d от прямой. В зависимости от положения точки M вместе с началом О д.с.к. по одну или разные стороны от данной прямой получаем _ OQ = Q = M ± d n. Так как точка Q лежит на прямой, то (nQ ) - p = 0.

Подставляя значения радиус- вектора Q, получаем (nM ) ± d - p = 0, следовательно d = m{(nM ) - p}= (nM ) - p.

0 Если уберём компенсирующие знаки m, то получим величину расстояния со знаком = (n, M ) - p называемую отклонением точки от прямой.

Очевидно, что > для точек M в разных полуплоскостях и < 0 - в одной полуплоскости с началом О.

Сравнивая нормальные уравнения и отклонение, видим, что отклонение есть значение левой части нормального уравнения, вычисленное для данной точки.

Пример. Найти отклонение точки (1,2) от прямой 5x-12y20=0.

5x -12y -16 5 - 24 - = = = -3. Итак, точка (1,2) и 52 + 122 M О лежат по одну сторону от прямой и d=3.

Пример. Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла А треугольника с вершинами P(1,1), Q(-3,4),R(7,9).

Находим уравнения прямых PQ 3x+4y-7=0, PR 4x-3y-1=Находим 4x - 3y - = = -5 < 0, PR 5 Q 3x + 4y - = =10 > PQ 5 R Следовательно, искомый угол (заштрихованный на рис.12), выделяется неравенствами < 0, > 0. Найдем уравнение биссектрисы как PR PQ геометрического места точек М(x,y) из условия = - PR PQ 4x - 3y - 1 3x + 4y - = - или 7x+y=0.

5 1.9 Пучок прямых Пусть даны две прямые A1x + B1 y + C1 = (1) A2 x + B2 y + C2 = Составим уравнение (A1x + B1 y + C1) + (A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (2) При всяких значениях, получаем множество, строение которого зависит от взаимного положения данных прямых.

A1 B1. В случае, прямые пересекаются в некоторой точке A2 BM (x0, y0 ), которая принадлежит прямой (2). Такое множество называется пучком пересекающихся прямых, точка M (x0, y0 ) называется центром пучка.

2. Если даны параллельные несовпадающие прямые, то есть выполняются условие.

A1 B1 С =, то уравнение (2) при изменении, A2 B2 Сопределяет множество параллельных прямых, которые будем называть пучком параллельных прямых.

A1 B1 С3. В случае = = пучок вырождается в одну A2 B2 Снеподвижную прямую.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.