WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

Булгаков М.А. МАСТЕР И МАРГАРИТА Задача планирования относится к задачам мотивационного управления, то есть управляющее воздействие направлено на целевые функции агентов. План - это желательное с точки зрения центра состояние организации. Центр, как правило, хуже информирован о возможностях агентов, чем они сами. В соответствии с гипотезой детерминизма центр стремится устранить всю имеющуюся неопределенность и принимать решение в условиях полной информированности. У начальника есть несколько путей устранения неопределённости: принцип максимального гарантированного результата, принцип оптимизма, вероятностный подход. Одним из способов устранения неопределённости, часто применяемым на практике, является сбор информации у подчиненных о неизвестных начальнику параметрах. Но в этом случае агенты постараются сообщить такую информацию, чтобы центр принял наиболее выгодное для них решение. То есть информация, которую сообщат агенты, не обязательно будет достоверной. Задача планирования заключается в определении планов центром на основе сообщений агентов, которые в силу своей активности способны к манипулированию – сообщению недостоверной информации [3,7].

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Механизм планирования – это процедура определения планов в зависимости от сообщений агентов.

Рассмотрим пример задачи планирования - распределение материальной помощи среди студентов на факультете экономики и управления СГАУ.

Имеется ежемесячный фонд материальной помощи 26000 руб., который распределяется между 400 студентами - бюджетниками. В качестве центра выступает стипендиальная комиссия факультета, состоящая из сотрудников деканата и представителей студенческих общественных организаций. Задача стипендиальной комиссии - распределить материальную помощь по критерию социальной справедливости, студентам из семей с низким уровнем доходов, а не всем студентам поровну. Так как центр точно не знает доходы всех студентов и, соответственно, кто из них нуждается в материальной помощи, то организуется процедура сбора заявок – заявлений на материальную помощь.

Экспериментально установленный факт - заявления на материальную помощь пишут почти все студенты, сознательно искажая информацию о своих доходах.

Рассмотрим двухуровневую организационную систему, состоящую из центра и n агентов (рис. 2.1).

Центр F( (s),s) max x1 xi xn s1 si sn Агент 1, r1 Агент i, ri Aгент n, rn f( (s),s1) max f( (s),si) max f( (s),sn) max 1 i n Рис. 2.1. Распределение ресурсов в многоэлементной системе Модель организационной системы описывается пятью параметрами:

состав, структура, целевые функции, допустимые множества и информированность. Состав данной системы: центр и n агентов. Структура изображена на рис. 2.1. Стратегией каждого из агентов является сообщение PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com центру информации (заявки) si Si о значении параметра ri, который характеризует эффективность агента. Центр на основании сообщённой ему информации назначает агентам планы:

xi = ( s ), i где xi – план для i - го агента, - механизм планирования, s = ( s1,s2,...,sn ) - i вектор сообщений всех агентов, x = ( x1,x2,...,xn )- план центра для всех агентов.

Интересы центра представлены целевой функцией F( ( s ),s ).

Предпочтения агентов описываются целевыми функциям fi( ( s ),si ), i = 1,n.

i Множество допустимых значений сообщений и планов – положительная полуось: si 0, xi 0, i = 1,n. План, назначенный i-му агенту, зависит от сообщений всех агентов, следовательно - это игровая ситуация. На момент принятия решения каждому агенту известны: процедура планирования ( si ), i параметр ri, который характеризует эффективность агента, целевые функции и допустимые множества всех агентов. Центру известны целевые функции агентов fi( ( si ),si ), множества возможных сообщений агентов si и i неизвестны точные значения параметров агентов ri. Центр выбирает процедуру планирования и сообщает её агентам, агенты при известной процедуре планирования сообщают центру заявки, на основании которых и составляется план.

Так как решение, принимаемое центром, зависит от сообщаемой агентами информации, то агенты могут воспользоваться возможностью своего влияния, сообщая такую информацию, которая максимизирует их целевые функции.

Этот эффект сознательного искажения информации называется эффектом манипулирования информацией. Для центра желательно создать такую систему управления, которая будет побуждать агентов сообщать достоверную информацию. Будем считать, что агенты не образуют коалиции, выбирают доминантные или равновесные стратегии по Нэшу, s* = ( s*,s*,...,s* )- вектор 1 2 n PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com равновесных сообщений агентов. Точка равновесия в общем случае зависит от вектора параметров всех агентов s* = s*( r ).

В теории управления организационными системами основополагающим результатом является принцип открытого управления [3]. Принцип открытого управления заключается в том, чтобы использовать процедуру планирования, максимизирующую целевую функцию каждого агента в предположении, что сообщаемая ими информация достоверна. Другое название механизма открытого управления – механизм честной игры.

Условие fi( ( s ),si ) = max fi( xi,si ), i = 1,n, s, i xi X ( s-i ) i где Xi( s-i ) - устанавливаемое центром множество допустимых планов при заданной обстановке s-i = ( s1,s2,..,si -1,si +1,..,sn ) для i- го агента, i=1,n, называется условием совершенного согласования. Процедура планирования, максимизирующая целевую функцию центра F(,s ) на множестве планов, удовлетворяющих условиям совершенного согласования, называется законом открытого управления. Для того чтобы сообщение достоверной информации было доминантной стратегией агентов, необходимо и достаточно, чтобы механизм планирования был механизмом открытого управления.



К механизмам планирования относятся: механизмы распределения ресурсов, механизмы внутренних цен, механизмы экспертизы, механизмы распределения затрат.

2.2.Исследование механизмов распределения ресурсов При изучении наук примеры полезнее правил.

Исаак Ньютон Задача распределения ресурсов - одна из самых распространённых задач менеджера. Любой начальник обязательно что-то распределяет: финансы, работу подчинённым, сырьё, материалы, льготные путёвки в санаторий и т.д.

Можно даже утверждать, что начальник является начальником только, когда он PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com распределяет какой-то ресурс, то есть может оказывать влияние на целевые функции подчинённых.

Рассмотрим производственную фирму, состоящую из центра и n подразделений (агентов) (рис. 2.2).

ЦЕНТР мех-м планирования ( s ), заявки на ресурс s план x Агент 1 Агент i Агент n Рис. 2.2. Задача распределения ресурсов В распоряжении центра имеется ресурс (заказ на производство продукции) в количестве R. Цена единицы продукции p. Затраты агентов сi(xi )= xi2.

2ri Коэффициент ri характеризует эффективность работы i-го агента, чем больше значение ri, тем меньше затраты агента при выполнении плана центра, следовательно, больше эффективность агента. Задача центра заключается в том, чтобы создать такой механизм распределения заказа между агентами, который бы максимизировал критерий эффективности – прибыль фирмы.

Будем оценивать эффективность механизма планирования как отношение целевой функции центра к её максимальному значению:

F(x) K =.

max F (x) Для этого определим оптимальное распределение ресурсов с точки зрения max центра, которое обеспечивает максимум целевой функции центра F (x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.2.1.Определение оптимального распределения ресурса для центра В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Леонард Эйлер В качестве целевой функции центра примем максимизацию прибыли фирмы:

n F( x ) = ( x ) = Rp - xi2 max. (2.1) 2ri i =На распределение ресурса центром наложены следующие ограничения:

n xi = R, xi 0, i = 1,n. (2.2) i =Оптимизационная задача (2.1)-(2.2) относится к задачам на условный экстремум. Перепишем ограничение (2.2) так, чтобы в правой части был 0:

n xi - R = 0. (2.3) i=Используем для решения данной задачи метод множителей Лагранжа.

Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.1) и ограничения (2.3), умноженного на множитель Лагранжа:

n n L(x1, x2,..., xn, ) = Rp - xi2 + xi - R.

2ri i=1 i=Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным x1, x2,...,xn, и приравняем к 0:

L xi xi = - ri + = 0, i = 1,n;

(2.4) n L = xi - R = 0.

i= Из первого уравнения системы (2.4) следует:

xi = ri. (2.5) Подставляя (2.5) во второе уравнение системы (2.4), получаем n ri = R.

i=PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Откуда найдём множитель Лагранжа:

R =. (2.6) n r i i =Подставляя множитель Лагранжа (2.6) в (2.5), получаем оптимальный закон планирования для центра:

ri xiopt = R. (2.7) n r i i =Оптимальный план распределения заказа с точки зрения центра для i-го агента прямо пропорционален имеющемуся ресурсу R и отношению эффективности i-го агента к сумме эффективностей всех агентов.

Для нахождения максимального значения целевой функции подставим оптимальный план (2.7) в выражение для целевой функции (2.1):

Rmax max F ( x ) = ( x ) = Rp -.

n r i i=Полученное выражение определяет максимально возможную прибыль для центра.

Пример 2.1. Оптимальное распределение ресурса для центра Фирма занимается производством делимого продукта. Руководство фирмы (центр) заключило договор на производство продукта количеством R=единиц. Этот заказ могут выполнить два подразделения фирмы (агента). Цена единицы продукции p=4000 руб. Функции затрат агентов, соответственно 2 равны c1(x1)= 10x1 и c2(x2)= 20x2.

Определить:

1. оптимальное распределение заказа между подразделениями фирмы, в интересах центра;

2. максимальную прибыль агентов и центра.

Решение:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Сформулируем математическую постановку задачи. Запишем целевую функцию центра:

F(x1,x2)= Rp - c1(x1)- c2(x2 ) max. (2.8) Сумма планов для агентов должна быть равна заказу, полученному центром:

x1 + x2 = R, x1 0, x2 0. (2.9) Оптимизационная задача (2.8)-(2.9) является задачей на условный экстремум.

Её решение можно найти двумя способами.

I способ: решение методом подстановки.

Выразим план для второго агента из ограничения (2.9) x2 = R - x1 и подставим в целевую функцию центра:

F(x1)= Rp - 10x1 - 20(R - x1)2 max. (2.10) Таким образом, от задачи с двумя переменными и ограничением (2.8)-(2.9) перешли к задаче с одной переменной (2.10).

Для нахождения экстремума функции одной переменной продифференцируем и приравняем к 0 выражение (2.10):





dF( x1 ) = -2 10x1 - 2 20( R - x1 ) ( -1) = 0. (2.11) xРешая уравнение (2.11), получим план для первого агента:

x1 = R = 100.

Из ограничения (2.9) определим план для второго агента:

2 R x2 = R - R = = 50.

3 II способ: решение методом множителей Лагранжа.

Перепишем ограничение (2.9) в следующем виде:

g(x1, x2) = x1 + x2 - R = 0. (2.12) Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.8) и ограничения (2.11), умноженного на множитель Лагранжа :

2 L(x1, x2, ) = F(x1, x2) + g(x1, x2) = Rp - 10x1 - 20x2 + (x1 + x2 - R).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным x1,x2, и приравняем к нулю:

L x1 = -2 10x1 + = 0;

L = -2 20x2 + = 0;

x L = R - x1 - x2 = 0.

Отнимем из первого уравнения второе, множитель Лагранжа сократится, получим систему из двух уравнений:

x1 = 2x2 ;

+ x2 = R.

xРешая полученную систему, определим планы для первого и второго агентов:

x = R = 100 ед.;

opt opt x2 = R = 50 ед.

Определим максимальную прибыль центра:

max 2 ( 100,50 ) = Rp - 10x1 - 20x2 = 100 4000 - 10 1002 - 20 502 = 450000 руб.

Определим прибыль для первого и второго агента:

(100)= x1 p - 10x1 = 100 4000 - 10 1002 = 300000 руб.

(50)= x2 p - 20x2 = 50 4000 - 20 502 = 150000 руб.

2.2.2.Определение оптимального распределения ресурса для агентов Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, … и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного.

П.Л. Чебышев Рассмотрим математическую постановку задачи. Фонд заработной платы каждого подразделения составляет определённый процент от прибыли, PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com зарабатываемой этим подразделением. Поэтому в качестве целевой функции iго подразделения будем рассматривать максимизацию зарабатываемой прибыли:

fi( yi ) = yi p - yi2 max, (2.13) 2ri где yi - распределение заказа с точки зрения i-го агента.

Оптимизационная задача (2.13) - это задача на безусловный экстремум функции одной переменной. Для решения задачи продифференцируем эту функцию по yi и приравняем к нулю:

dfi( yi ) yi = p - = 0. (2.14) dyi ri Решая уравнение (2.13), определим оптимальный план для каждого агента:

yiopt = ri p. (2.15) Анализируя полученные формулы (2.7) и (2.15), можно сделать вывод о противоречии между интересами центра и агента.

Пример 2.2. Оптимальное распределение ресурса для агентов Фирма занимается производством делимого продукта. Руководство фирмы (центр) заключило договор на производство продукта количеством R=единиц. Этот заказ могут выполнить два подразделения фирмы (агента). Цена единицы продукции p=4000 руб. Затраты первого и второго подразделений 2 зависят от объёма выполняемого заказа c1(x1)= 10x1 и c2(x2)= 20x2. Фонд заработной платы каждого подразделения фирмы составляет 10% от прибыли, зарабатываемой этим подразделением.

Определить:

1) оптимальное распределение заказа между подразделениями фирмы в интересах подразделений;

2) максимальную прибыль агентов.

Решение:

Сформулируем математическую постановку задачи. Запишем целевые функции агентов:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 f1( y1 ) = y1 p - 10 y1 max, f2( y2 ) = y2 p - 20 y2 max.

Возьмем производную от целевых функций и приравняем к нулю:

df1( y1 ) df2( y2 ) = p - 2 10y1 = 0, = p - 2 20y2 = 0.

y1 yРешив полученные уравнения, определим оптимальные планы для подразделений:

p 4000 p opt opt y1 = = = 200 ед., y2 = = = 100 ед.

20 20 40 Максимальная прибыль агентов составит:

max (200) = y1p - 10 y1 = 200 4000 - 10 2002 = 400000 руб.

max (100)= y2 p - 20 y2 = 1004000 - 20 1002 = 200000 руб.

Сравнивая с прибылью подразделений при оптимальном плане центра, приходим к выводу о противоречиях в интересах центра и агентов.

2.3.Исследование приоритетных механизмов распределения ресурсов …никогда и ничего не просите! Никогда и ничего, и в особенности у тех, кто сильнее вас. Сами предложат и сами всё дадут.

Совет Воланда Маргарите.

Булгаков М.А. МАСТЕР И МАРГАРИТА В приоритетных механизмах распределение ресурса происходит на основе заявок агентов, с учетом приоритетов (предпочтений) центра. Каждый агент получает запрашиваемое количество ресурса, если сумма всех заявок на ресурс не превышает количество имеющегося ресурса. В противном случае ресурс между агентами делится пропорционально заявкам с учетом приоритетов.

Приоритетные механизмы в общем случае описываются выражением n s i j s, если R;

j = xi(Si )= (2.16) n min, [si i(si)], если > R, s j j= PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com где si -величина заявки i-го агента на ресурс; n – число агентов; (si )i монотонная функция приоритета i-го агента в зависимости от его заявки.

Операция минимума в данной формуле отражает простое условие: агент получает ресурс в количестве не более заявляемой величины;

-общий для всех агентов параметр, задаваемый в условии полного использования ресурса:

n n xi = [si i (2.17) min, (si )]= R.

i =1 i=В зависимости от вида функции (si ) можно выделить два вида i приоритетов:

1. Прямой приоритет при возрастающей функции (Si ).

i 2. Обратный приоритет при убывающей функции Si.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.