WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ - А. Н. Павлов, Б. В. Соколов ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие 2006 УДК 519.7 ББК 22.18 П12 Павлов, А. Н., Соколов, Б. В.

П12 Принятие решений в условиях нечеткой информации: учеб. пособие / А. Н. Павлов, Б. В. Соколов; ГУАП – СПб., 2006 – 72 с. ISBN 5-8088-0162-1 Излагаются основные положения теории нечетких множеств и отношений, арифметические операции над нечеткими числами и операции по их сравнению. На простейших примерах иллюстрируется применение формализмов теории нечетких множеств в задачах принятия решений. Проводится классификация нечетких мер, рассматриваются наиболее конструктивные меры Сугено и Цукамото, нечеткий интеграл и на иллюстративных примерах демонстрируется применение теории нечетких мер для принятия решений в задачах выбора.

Материалы, изложенные в учебном пособии, могут быть полезны специалистам, занимающимся вопросами принятия решений в условиях существенной неопределенности, в учебном процессе по дисциплинам системно-кибернетической направленности, а также курсовом и дипломном проектировании при подготовке инженеров-системотехников, инженеров-математиков и других специалистов по управлению сложными организационно-техническими системами.

Рецензенты:

кафедра автоматизированных систем управления войсками Военно-космической академии А. Ф. Можайского;

доктор технических наук, профессор Ю. С. Мануйлов Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ISBN 5-8088-0162-1 © ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2006 2 ВВЕДЕНИЕ Образно говоря, теории о природе должны отражать то, что природа «пишет» скорее произвольными мазками, чем шариковой ручкой.

Л. А. Заде Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является, пожалуй, способность принимать рациональные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Разработка моделей приближенных рассуждений человека и использование их в сложных технических системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки. Начало в этом направлении сделано более 35 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: «Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными» [1].

Основная идея Лотфи Заде состояла в том, что человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что связано с использованием естественного языка, имеет многозначную интерпретацию. Теория нечетких множеств (Fuzzy Sets, «fuzzy» – означает «нечеткий, размытый, пушистый») готова предоставить необходимый аппарат, чтобы помочь решению этой трудной задачи.

Идеи Заде и его последователей находят применение при создании систем, понимающих тексты на естественном языке, при создании планирующих систем, опирающихся на неполную информацию, при обработке зрительных сигналов, при распознавании образов, при управлении техническими, социальными и экономическими системами, в системах искусственного интеллекта и робототехнических системах.

Л. Заде подчеркивает: «По мере возрастания сложности системы наша способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность и смысл становятся взаимоисключающими» [1].

Можно выделить три периода в становлении, развитии и практическом применении теории нечетких множеств. Первый период, который обычно связывают с концом 60-х – началом 70-х годов, характеризуется становлением теоретических основ теории нечетких множеств, изложенных в статьях Л. Заде. Второй период приходится на 70–80-е годы, когда появились первые практические результаты применения созданной теории. Третий период с конца 80-х годов до настоящего времени.

Этот период характеризуется бумом практического применения нечеткой теории в различных сферах науки и техники.

Новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории.

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 1.1. Операции над нечеткими множествами и отношениями 1.1.1. Понятие нечеткого множества Определение 1. Пусть E – универсальное множество, x – элемент E. Нечетким множеством А в Е называется множество упорядоченных пар A = {A (х)/х}, где A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A, A: Е М – функция принадлежности, отображающая Е в множество М. Если М = {0,1}, то A является обычным множеством и его функция принадлежности совпадает с характеристической функцией множества А. В дальнейшем будем предполагать, что M = [0,1].



П р и м е р ы Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A – нечеткое множество, для которого A(x1) = 0,3; A(x2) = 0; A(x3) = 1; A(x4) = 0,5; A(x5) = 0,9.

Тогда A можно представить в виде:

1) A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 }, или 2) A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или x1 x2 x3 x4 x3) A = 0,3 0 1 0,5 0,З а м е ч а н и е. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Нечеткое множество A называется п у с т ы м, если A(х) = 0,.

x E Носителем нечеткого множества A называется множество вида S(A) = supp(A) = {х / х E, A (х) > 0}.

Нечеткое множество A называется н о р м а л ь н ы м, если выполняется равенство supµ (x) = 1.

A xE Нечеткое множество A называется в ы п у к л ы м, если выполняется неравенство A (х1 + (1 – ) х2) min{A (х1), A (х2)}, х2 E, [0,1].

x1, A Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности, поэтому в случае функционального представления степени принадлежности его можно представить графически (рис. 1.1).

Множеством уровня (или -сечением) нечеткого множества A назыРис. 1.1. Функция E принадлежности вается множество A= {х / хE, A (х) }.

П р и м е р: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4, тогда A0,3 = {x3, x4}, A0,7 = {x4}.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = A, где A – произведение числа на множество A, и «пробегает» область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

П р и м е р: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) 0,7(0,0,1,1,) 1(0,0,0,1) = = (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4) (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4) (0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4.

1.1.2. Операции над нечеткими множествами Рассмотрим различные операции над нечеткими множествами, важные с практической точки зрения [1, 2, 6].

1. Равенство нечетких множеств: A и B равны, если A(x) = x E = B (x).

Обозначение: A = B.

2. Подмножество нечеткого множества. Говорят, что A содержится в B, если A(x) B(x).

x E Обозначение: A B.

3. Дополнение нечеткого множества: A и B дополняют друг друга, если x E A(x) = 1 – B(x).

Обозначение: B = A или A = B.

Очевидно, что A = A.

4. Пересечение нечетких множеств: A B – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B: A B (x) = min (A(x), B(x)).

5. Объединение нечетких множеств: A B – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как A, так и B, с функцией принадлежности AB(x) = max(A(x), B(x)).

6. Разность нечетких множеств: - B = A B с функцией принадA лежности A–B(x) = min{A(x), 1 – B(x)}.

7. Алгебраическое произведение нечетких множеств: A • B с функцией принадлежности A • B (x) = A(x) B(x).

8. Граничное произведение нечетких множеств: A B с функцией принадлежности A B (x) = max{A(x) + B(x) – 1, 0}.

9. Драстическое произведение нечетких множеств A B с функцией принадлежности µA (x), если = 1, µB(x) µAB(x) = µB(x), если µA(x) = 1, 0 – в других случаях.

10. Aлгебраическая сумма нечетких множеств: A + B с функцией принадлежности A + B (x) = A(x) + B(x) – A(x) B(x).

11. Граничная сумма нечетких множеств: A ++ B с функцией принадлежности A ++ B (x) = min{A(x) + B(x), 1}.

12. Драстическая сумма нечетких множеств A B с функцией принадлежности µA(x), если µB(x) = 0, µAB(x) = µB(x), если µA(x) = 0, 1– в других случаях.

Между указанными выше операциями над нечеткими множествами справедливо следующее соотношение:

A * B A B A • B A B A B A + B A + + B A B E.

П р и м е р ы Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4;

B = 0,7/ x1 + 0,9/ x2 + 0,1/ x3 + 1/ x4;

C = 0,1/ x1 + 1/ x2 + 0,2/ x3 + 0,9/ x4.

Здесь:

A B, т. е. A содержится в B.

E – A = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; E – B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

A B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

A B = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

A – B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4; B – A = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

A B = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых, эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень нечеткого множества A, где – положительное число.

Нечеткое множество A определяется функцией принадлежности µ (x) = µ (x). Частным случаем возведения в степень являются:

A A CON(A) = A2 – операция концентрирования, DIL(A) = A0,5 – операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

A0,A2 A Проиллюстрируем эти понятия на рис. 1.2, 1.3.

б) а) А А B B E E в) г) А B А B E E Рис. 1.2. Основные операции над нечеткими множествами: а – подмножество нечеткого множества; б – дополнение нечеткого множества; в – пересечение нечетких множеств; г – объединение нечетких множеств а) б) 1,0 1, Рис. 1.3. Операции произведения и суммы нечетких множеств: а –алгебраи ческое произведения нечетких множеств; б – алгебраическая сумма нечетких множеств 1.1.3. Понятие нечеткого отношения Определение 2. Нечетким отношением R на множестве E = E1 Eназывается нечеткое подмножество декартова произведения E1 E2, которое характеризуется функцией принадлежности R: E1 E2 M.





Если M = {0,1}, то R является обычным отношением. В дальнейшем будем предполагать, что M = [0,1]. Значение R (x, y) этой функции понимается как некоторая субъективная мера выполнения отношения xRy.

П р и м е р ы 1. Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}, = [0,1]. Нечеткое М отношение R = XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

Y y1 y2 y3 yX x1 00 0,1 0,x2 0 0,8 1 0,x3 1 0,5 0,6 2. Пусть X = Y = (–, ), т. е. множество всех действительных чисел. Отношение x >> y (x много больше y) можно задать функцией принадлежности:

0, если x y, µR(x, y) =, если y < x, 1+ (x - y) µR(x, y) = e-k(x-y), 3. Отношение R, для которого при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа».

В случае конечных или счетных униxверсальных множеств очевидна интер0,1 0,претация нечеткого отношения в виде 0,5 нечеткого графа (слева), в котором 0,пара вершин (xi, xj) в случае XRX со0,единяется ребром с весом R(xi, xj), x2 xв случае XRY пара вершин (xi, yj) соединяется ребром c весом R(xi, yj).

4. Пусть X = {x1, x2, x3} и задано нечеткое отношение R : X X [0,1], представимое графом, приведенным справа.

0,3 y5. Пусть X = {x1, x2} и Y = {y1, y2, 0,x1 y3}, тогда нечеткий граф вида задаyет нечеткое отношение XRY.

0,Носителем нечеткого отношения R 0,0,xyназывается подмножество декартова произведения X X вида S(R) = {(x, y):

R(x, y) > 0}.

Множеством уровня (или -сечением) нечеткого отношения R называется R = {(x, y): R(x, y) }.

1.1.4. Операции над нечеткими отношениями Перейдем к рассмотрению операций над нечеткими отношениями, некоторые из которых являются аналогами операций над нечеткими множествами, а некоторые присущи только нечетким отношениям [1, 2, 3, 6, 7, 9].

1. Нечеткое отношение, содержащее данное нечеткое отношение или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 – два нечетких отношения такие, что x, y X Y : µR1 x, y µR2 x, y, ( ) ( ) ( ) тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2.

Обозначение: R1 R2.

П р и м е р:

0, x > y, µR1(x, y) =, 1- e-k1(x-y) y x;

0, x > y, µR2 (x, y) = (x- y), y x.

1- e-kОтношения R1, R2 – отношения типа y >> x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1.

2. Объединение двух отношений R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением µR1R2 x, y = max µR1 x, y, µR2 x, y.

( ) ( ) ( ) {} П р и м е р ы 1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y – «числа x и y очень близкие», xR2y – «числа x и y очень различны» и их объединение xR1 R2y – «числа x и y очень близкие или очень различные».

Функции принадлежности отношений заданы на |y – x|.

µR1 (x, y), y - x, µR1 R2 (x, y) = (x, y), y - x >.

µR 1 1 RR x – y x – y 1 R1 и Rx – y µR1 x, y = µR2 x, y где – такое |y – x|, что ( ) ( ) 2.

R1 RRRy1 y2 yy1 y2 y3 y1 y2 y3 x1 0,7 0,9 x1 0,1 0 0,8 x1 0,7 0,9 1 x2 1 0,7 0,x2 1 0,7 0 x2 0,3 0,4 0,3. Пересечение двух отношений R1 и R2. R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением µR1R2 x, y = min µR1 x, y, µR2 x, y.

( ) ( ) ( ) {} П р и м е р Ниже изображены отношения: R1, означающее «модуль разности |y – x| близок к », R2, означающее «модуль разности |y – x| близок к », и их пересечение.

1 1 RR x – y x – y R1 и R x – y 4. Дополнением отношения R называется нечеткое отношение Q с функцией принадлежности Q (x, y) = 1 – R(x, y).

5. Композиция двух нечетких отношений: пусть R1 – нечеткое отношение R1: X Y [0,1] между X и Y, и R2 – нечеткое отношение R2: Y Z [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R1 • R2, определенное через R1 и R2 выражением µR1iR1 (x,z) = max min{µR1(x, y),R2 (y, z)}, y называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2, например:

R2 R1°RRZ Z z1 z2 z3 z4 z1 z2 z3 zY X Y y1 y2 y3 y1 0,9 0 1 0,2 x1 0,3 0,6 0,1 0,X x1 0,1 0,7 y2 y2 0,3 0,6 0 0,9 x2 0,9 0,5 1 0,x2 1 0,5 0 y3 0,1 1 0 0,µR1 R2 (x1, z1)max min{µR1 (x, yi ), µR2 (yi, z1)} = yi = (0,1 0,9) (0,7 0,3) (0,4 0,1) = 0,1 0,3 0,1 = 0,3, µR1 R2 x1, x2 = 0,1 0 0,7 0,6 0,4 1 = 0 0,6 0,4 = 0,6, ( ) ( ) ( ) ( ) µR1 R2 x1, z3 = 0,( ).............................

.............................

µR1 R2 x2, z3 = 0,5.

( ) З а м е ч а н и е. В данном примере вначале использован «аналитический» способ композиции отношений R1 и R2, т. е. i-я строка R1 «умножается» на j-й столбец R2 с использованием операции (min), полученный результат «свертывается» с использованием операции (max) в (xi, zj).

Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R2, «склеенные» по Y. В полученном графе рассматриваем пути от xi к zj и каждому ставим в соответствие минимальный из «весов» его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из xi в zj, который и дает искомое (xi, zj).

zy1 0,0,0,zx1 0,7 0,y2 0,0,0,zy3 0,1 1 0 0,x2 0,z0,0,x1 z0,1 0,0,1 z0,x2 0,z6. Свойства композиции. Операция композиции ассоциативна, т. е.

R3 (R2 R1) = (R3 R2) R1, дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения R3 (R2 R1) = (R3 R2) (R3 R1), R3 (R2 R1) (R3 R2) (R3 R1).

Кроме того, для композиции выполняется следующее важное свойство: если R1 R2, то R • R1 R • R2.

Транзитивным замыканием нечеткого отношения называется нечеткое отношение Q = R R2 R3... Rn, где Rm = R R... R.

m раз 1.2. Арифметические операции над нечеткими числами 1.2.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств [1, 2, 3].

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.