WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
..

5 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 2004..

ЧАСТЬ 5 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 2004 УДК 537 (075): 004.3 Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике.

Часть 5. Квантовая физика: Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – 80 с.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA).

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Ф.И. Карманов к.ф.-м.н., доцент В.В. Бурмистров Темплан 2004, поз. 26 © Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2004 г.

© А.В. Тихоненко, 2004 г.

Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 27.10.04 Формат бум. 60х84/16 Печать ризограф. Бумага KYMLUX Печ. л. 5.0 Заказ № Тираж 120 экз. Цена договорная Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1 2 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА 5 1. _ 5 ТЕМА 1. ФОРМУЛА ПЛАНКА И ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 5 Задание 1.1. Законы теплового излучения как следствия формулы Планка5 Задание 1.2. Исследование формулы Планка_6 ТЕМА 2. ЭФФЕКТ КОМПТОНА _ 7 Задание 2.1. Формула эффекта Комптона _7 Задание 2.2. Исследование формул эффекта Комптона 8 2. _ 9 ТЕМА 3. РАССЕЯНИЕ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ БАРЬЕРЕ_ 9 Задание 3.1. Волновые функции _9 Задание 3.2. Плотности потоков вероятности _10 Задание 3.3. Коэффициенты отражения и прохождения 11 ТЕМА 4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 12 Задание 4.1. Волновые функции 13 Задание 4.2. Плотности потоков вероятности _14 Задание 4.3. Коэффициенты отражения и прохождения 15 ТЕМА 5. КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА 16 Задание 5.1. Вычисление коэффициента прохождения одномерного барьера _ 3. ТЕМА 6. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА Задание 6.1. Волновые функции гармонического осциллятора_Задание 6.2. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей Задание 6.3. Средние значения _Задание 6.4. Минимальное значение соотношения неопределенностейТЕМА 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА ОСЦИЛЛЯТОРА _ Задание 7.1. Матричные элементы Задание 7.2. Правила отбора для дипольных переходов осциллятора _ 3. ТЕМА 8. УГЛОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА_ Задание 8.1. Угловые волновые функции водородоподобного атомаЗадание 8.2. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей ТЕМА 9. РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА _ Задание 9.1. Радиальные волновые функции водородоподобного атома _Задание 9.2. Круговые орбиты _Задание 9.3. Средние значения _Задание 9.4. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей ТЕМА 10. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА Задание 10.1. Волновые функции водородоподобного атома Задание 10.2. Плотность электрического заряда водородоподобного атома Задание 10.3. Правила отбора для дипольных переходов атома ТЕМА 11. ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ_ Задание 11.1. Частоты излучения атома в магнитном поле Задание 11.2.Волновые функции атома в магнитном поле Задание 11.3. Плотность электрического заряда атома в магнитном поле 4. ТЕМА 12. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ _ Задание 12.1. Теория Эйнштейна теплоемкости твердых тел Задание 12.2. Теория Дебая теплоемкости твердых тел _2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _ 1. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА _ Пример к заданию 1.1. 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ _ 3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ _ Пример к заданию 5.1_4. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР _ Пример к заданиям 6.1 - 6.5. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ _ Решение радиального уравнения Шредингера водородоподобного атомаПример к заданиям 8.1 и 8.2 _Пример к заданиям 9.1 и 9.4 _Пример к заданиям 10.1 и 10.2 _Пример к заданию 11.6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ _ Пример к заданиям 12.1 и 12.2 _ 5. 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА 1. ТЕМА 1. ФОРМУЛА ПЛАНКА И ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ :

2 h _,T = ( ) c2 h ekT - 1 _,T = 2 h c2.

( ) hc ekT -ЗАДАНИЕ 1.1. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ПЛАНКА 1.1.1. Получить закон Стефана-Больцмана как следствие формулы Планка, выполнив интегрирование излучательной способности абсолютно черного тела по частотам T = _,T d ( ) ( ) или по длинам волн T = _,T d ( ) ( ) и получить выражение для постоянной Стефана-Больцмана.

1.1.2. Получить закон Вина как следствие формулы Планка, исследовав излучательную способность абсолютно черного тела по частотам или длинам волн на экстремум и вычислив произведения T max 1. или T max, где max и max - частота и длина волны излучения, соответствующие максимуму излучательной способности.

1.1.3. Получить закон Релея-Джина как следствие формулы Планка, разложив излучательную способность абсолютно черного тела по переменным h h c или k T k T до членов первого порядка.

ЗАДАНИЕ 1.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПЛАНКА 1.2.1. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты или длины волны для разных значений температуры.

1.2.2. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от температуры для разных значений частоты или длины волны.

1.2.3. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты или длины волны и закона Релея-Джина.

1.2.4. Построить поверхностные графики и графики линий уровня зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты и температуры или длины волны и температуры:

_,T ( ) или _,T.

( ) 1. 5. ТЕМА 2. ЭФФЕКТ КОМПТОНА ВВЕДЕНИЕ ( ):



E = m c2, P = 0.

(e – ):

h = h, p = e.

c (u – ):

m c2 m u E ' =, P ' =.

u2 u1- 1c2 c (e' – ):

h ' ' = h ', p ' = e '.

c ЗАДАНИЕ 2.1. ФОРМУЛА ЭФФЕКТА КОМПТОНА 2.1.1. Записать законы сохранения энергии импульса системы электрона и фотона, используя в качестве параметра частоту или длину волны света, используя соотношение:

e e ' = cos, ( ) ( ) где угол между векторами e и e'.

2.1.2. Записать законы сохранения энергии импульса системы электрона и фотона, используя подстановку 1. c c =, ' = ;

' и получить систему двух уравнений относительно переменных ' и u.

2.1.3. Решить полученную систему уравнений и выразить сдвиг частоты:

= '-.

ЗАДАНИЕ 2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ЭФФЕКТА КОМПТОНА 2.2.1. Построить двумерные графики зависимости сдвига частоты и скорости электрона от угла рассеяния для разных значений длины волны.

2.2.1. Построить двумерные графики зависимости сдвига частоты и скорости электрона от длины волны для разных значений угла рассеяния.

2.2.3. Построить поверхностные графики и графики линий уровня зависимостей сдвига частоты и скорости от угла рассеяния и длины волны:

,, u,.

( ) ( ) 1. 5. 2. ВВЕДЕНИЕ d (x) d (x).

j(x)= (x) - (x) 2 m i dx dx jотр(x) jпр(x) R =, T =.

jпад(x) jпад(x) ТЕМА 3. РАССЕЯНИЕ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ БАРЬЕРЕ 0, x < ( ) V x =, ( ) ( ) V 0, x > V0 (V0 > 0)– «».

1 x e-ik1x + A eik1x, x < ( ) ( ) x ==.

( ) 2x ( ) x > ( ) 2 x B e-ik, A, B -, 2 m E -V ( ) 2 m E k1 =, k1 =.

ЗАДАНИЕ 3.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 3.1.1. Определить A и B, сшивая решения в точке x = 0:

1 x = 2 x ( ) ( ) x=0 x=, d 1 x = 2 x ( ) d ( ) dx dx x=0 x=1. 1 e-ik1x + A eik1x = B e-ik 2x ( ) ( ) x=0 x=.

d 1 e-ik1x + A eik1x = B e-ik 2x () d () dx dx x=0 x=3.1.2. Определить амплитуды прошедшей и отраженной волн как функций координаты x с параметрами k1, k2:

A k1, k2, B k1, k( ) ( ) и перейти от параметров k1, k2 к параметру E:

3.1.3. Построить графики зависимости волновых функций для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x:

1 x, E = 1 e-ikx + A E eikx, x < ( ) ( ) ( ) 0 < x < a ( ) ( ) ( ) 2 x, E = B E e-ikx, x < ( ) ( ) 1_ in x, E = 1 e-ikx, 1_ out x, E = A E eikx, x < ( ) ( ) ( ) ЗАДАНИЕ 3.2. ПЛОТНОСТИ ПОТОКОВ ВЕРОЯТНОСТИ 3.2.1. Определить плотности потоков вероятности для отраженной и прошедшей волн.

Плотность потока вероятности в области x < 0:

d1 x d1 x ( ) ( ).

j1 x = -1 x ( ) ( ) ( ) 1 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности в области 0 < x < a:

d 2 x d 2 x ( ) ( ).

j2 x = - 2 x ( ) ( ) ( ) 2 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности прошедшей волны в области x > a:

d 3 x d 3 x ( ) ( ).

j _ tr x = - 3 x ( ) ( ) ( ) 3 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности падающей волны в области 0 < x < a:

d _ in x d _ in x ( ) ( ).

j _ in x = - _ in x ( ) ( ) ( ) _ in x 2 m i dx dx 1. 5. Плотность потока вероятности отраженной волны в области 0 < x < a:

d _ out x d _ in x.

( ) ( ) j _ out x = - _ out x ( ) ( ) ( ) _ out x 2 mi dx dx 3.2.2. Построить графики зависимости плотностей потоков вероятности для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x.

ЗАДАНИЕ 3.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ 3.3.1. Определить коэффициенты отражения и прохождения как функции энергии частицы E с параметром V0:

J _ out E, a J _ tr E, a ( ) ( ) R E, a =,T E, a =, ( )J _ in E, a ( ) J _ in E, a ( ) ( ) где J _ in E, a = j _ in x, E, a x( ) ( ) J _ out E, a = j _ out x, E, a.

( ) ( ) x ( ) ( ) J _ tr E, a = j _ tr x, E, a x+ 3.3.2. Доказать тождество, выражающее закон сохранения плотности вероятности:

R2 + T = 1.

3.3.3. Построить двумерные графики зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от энергии частицы E и ширины барьера a R E, a,T E, a.

( ) ( ) ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ,, I. Исследование волновых функции, плотностей потоков вероятности по величине параметров E и a:

= x, E, a, j = j x, E, a.

( ) ( ) II. Исследование коэффициентов отражения и прохождения по величине параметра a:

R E, a,T E, a.

( ) ( ) 1. ТЕМА 4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР ВВЕДЕНИЕ 0, x < ( ) V x = 0, 0 < x < a, ( ) () V 0, x > a ( ) V0 (V0 > 0)– «», a – (. 1.1).

Рис. 1. 1 eik x + B1 e-ik x, x < 1 x ( ) ( ) A x = 2 x = e- x + B2 e x, 0 < x < a, ( ) ( ) () ( ) ( ) 3 x A3 eik(x-l), x > a B1, A2, B2, A3 -, 2 m V 0 - E ( ), E < V( ) 2 m E.

k =, = 2 m E ( -V ), E > V( ) 1. 5. ЗАДАНИЕ 4.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 4.1.1. Определить A и B, сшивая решения 1 x, 2 x, 3 x ( ) ( ) ( ) на границах барьера в точках x = 0 и x = a:

1 x = 2 x ( ) ( ) x=0 x= d 1 x = 2 x ( ) d ( ) dx dx x=0 x=, 2 x = 3 x ( ) ( ) x=a x=a d 2 x = 3 x ( ) d ( ) dx dx x=ax=a 1 e-ikx + B1 eikx = A2 e-x + B2 ex () ( ) x=0 x= d 1 e-ikx + B1 eikx = A2 e-x + B2 ex () d () dx dx x=0 x=.

2 A2 e-x + B2 ex = A3 eik(x-l) () () x=a x=a d A2 e-x + B2 ex = A3 eik(x-l) () d () dx dx x=a x=a 4.1.2. Определить амплитуды прошедшей и отраженной волн как функций координаты x с параметрами k, :

B1 k,, A2 k,, B2 k,, A3 k, ( ) ( ) ( ) ( ) и перейти от параметров k, к параметрам E, a:

B1 E, a, A2 E, a, B2 E, a, A3 E, a.





( ) ( ) ( ) ( ) 4.1.3. Построить графики зависимости волновых функций для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x:

1. 1 x, E, a = 1 e-ikx + B1 E, a eikx, x < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x, E, a = A2 E, a e-x + B2 E,V0 ex, 0 < x < a x > a ( ) ( ) ( ) 3 x, E, a = A3 E, a eik(x-l),.

x < ( ) ( ) 1_ in x, E, a = 1 e-ikx, x < ( ) ( ) ( ) 1_ out x, E, a = B1 E, a eikx, 21 x, E, a = A2 E, a e-x, x < ( ) ( ) ( ) 22 x, E, a = B2 E, a ex, x < ( ) ( ) ( ) ЗАДАНИЕ 4.2. ПЛОТНОСТИ ПОТОКОВ ВЕРОЯТНОСТИ 4.2.1. Определить плотности потоков вероятности для отраженной и прошедшей волн.

Плотность потока вероятности в области x < 0:

d1 x d1 x ( ) ( ).

j1 x = -1 x ( ) ( ) ( ) 1 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности в области 0 < x < a:

d 2 x d 2 x ( ) ( ).

j2 x = - 2 x ( ) ( ) ( ) 2 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности прошедшей волны в области x > a:

d 3 x d 3 x ( ) ( ).

j _ tr x = - 3 x ( ) ( ) ( ) 3 x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности падающей волны в области 0 < x < a:

d _ in x d _ in x ( ) ( ).

j _ in x = - _ in x ( ) ( ) ( ) _ in x 2 m i dx dx Плотность потока вероятности отраженной волны в области 0 < x < a:

d _ out x d _ in x.

( ) ( ) j _ out x = - _ out x ( ) ( ) ( ) _ out x 2 mi dx dx 4.2.2. Построить графики зависимости плотностей потоков вероятности для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x.

1. 5. ЗАДАНИЕ 4.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ 4.3.1. Определить коэффициенты отражения и прохождения как функции энергии частицы E с параметром V0:

J _ out E, a J _ tr E, a ( ) ( ) R E, a =,T E, a =, ( )J _ in E, a ( ) J _ in E, a ( ) ( ) где J _ in E, a = j _ in x, E, a x( ) ( ) J _ out E, a = j _ out x, E, a.

( ) ( ) x ( ) ( ) J _ tr E, a = j _ tr x, E, a x+ 4.3.2. Доказать тождество, выражающее закон сохранения плотности вероятности:

R2 + T = 1.

4.3.3. Построить двумерные графики зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от энергии частицы E и ширины барьера a R E, a,T E, a.

( ) ( ) ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ,, I. Исследование волновых функции, плотностей потоков вероятности по величине параметров E и a:

= x, E, a, j = j x, E, a.

( ) ( ) II. Исследование коэффициентов отражения и прохождения по величине параметра a:

R E, a,T E, a.

( ) ( ) 1. ТЕМА 5. КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА ВВЕДЕНИЕ x2 E ( ) T = T0 exp - 2 m V x - E dx = ( ) () x1 E ( ), x2 E ( ) = T0 exp -2 x dx ( ) x1 E ( ) 2 m V x - E ( ( ) ) x =, ( ) V(x) –, x1(E), x2(E) – (, V (x) E ) (. 5.1).

0, (x < 0) а) V (x,) = (x - a), (0 < x < a), 0, (x > a) Рис. 5.1.а 1. 5. 0, (x < -a) (- x, a < x < 0) б) V(x,) = + x, < x < +a) ( 0, (x > +a) Рис. 5.1.б 0, (x < -a) ( ) в) V (x, ) = x2 - a2, (- a < x < 0) 0, (x > 0) Рис. 5.1.в 1. 0, (x < -a) г) V (x, ) = (x2 - a2), (- a < x < +a) 0, (x > +a) Рис. 5.1.г 0, (x < -a) д) V(x, ) = x2, (- a < x < +a) 0, (x > +a) Рис. 5.1.д 1. 5. 0, (x < 0) е) V (x, ) = x2, (0 < x < +a) 0, (x > +a) Рис. 5.1.е 0, (x < -a) ( ) - x2 - a2, (- a < x < 0) ж) V(x, ) = (- a (x - a), < x < +a) 0, (x > +a) Рис. 5.1.ж 1. 0, (x < -a) - (- (x2 a2), a < x < 0) з) V (x, ) = (0 < x < +a) x2, 0, (x > +a) Рис. 5.1.з 0, (x < -a) - (x2 - a2), (- a < x < 0) и) V (x, ) = (0 < x < +a) a x, 0, (x > +a) Рис. 5.1.и,, a –.

1. 5. ЗАДАНИЕ 5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА 5.1.1. Вычислить положения точек поворота для заданных потенциальных барьеров (рис. 5.1).

5.1.2. Вычислить коэффициент прохождения одномерного барьера как функцию энергии частицы E для случая 0 < E < Vmax :

x2 E ( ) T = T0 exp - 2 m V x - E dx.

( ) () x1 E ( ) 5.1.3. Построить графики зависимости коэффициента прохождения от энергии частицы E:

T = T(E).

ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ I. Исследование коэффициента прохождения как функции энергии частицы E по величине параметров, a:

T = T(E,), T = T(E, ), T = T(E,a).

II. Сравнение коэффициентов прохождения для разных потенциальных барьеров.

1. 3. ТЕМА 6. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ 1 x- x x _ n x = Cn e Hn, ( ) x n n d u = H _ n = e e- - ( ) ( ) (-) n d -, Cn = 2n n! x-, x m x0 =, = = x, m x1 x2 x2 n x- 1 n d x022 x _ n x = e ( ) (-x0 ex0 e.

) dxn 2n n! x H, n = n H, n -1 + H, n +1.

( ) ( ) ( ) + _ n x dx = 1.

( ) 1. 5. _ n x = _ n x.

( ) ( ) + = _ n x _ n x dx.

( ) ( ) + x = _ n x x _ n x dx = ( ) ( ).

+ + = _ n x x _ n x dx = x _ n x dx ( ) ( ) ( ) - + px = _ n x px _ n x dx = ( ) ( ) + = _ n x _ n x dx =.

( ) i x ( ) + _ n x ( ) = _ n x ( ) i x dx + f x = _ n x f x _ n x dx = ( ) ( ) ( ) ( ), + + = _ n x f x _ n x dx = f x _ n x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - 1. + xk = _ n x xk _ n x dx = ( ) ( ).

+ + = _ n x xk _ n x dx = xk _ n x dx ( ) ( ) ( ) - + f px = _ n x f px _ n x dx = ( ) ( ) ( ) ( ), + = _ n x f _ n x dx ( ) i x ( ) + kk px = _ n x px _ n x dx = ( ) ( ).

+ k _ n x ( ) = _ n x ( ) i xk dx - x = (x) = x2 - x, p = (p) = px - px.

ЗАДАНИЕ 6.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 6.1.1. Получить аналитические выражения волновых функций для разных значений n.

6.1.2. Получить аналитические выражения амплитуд вероятностей для разных значений n.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.