WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ВЕСЦІ НАЦЫЯНАЛЬНАЙ АКАДЭМІІ НАВУК БЕЛАРУСІ № 4 2010 СЕРЫЯ ФІЗІКА-МАТЭМАТЫЧНЫХ НАВУК УДК 517. 958: 534. 286-16 В. Т. ЕРОФЕЕНКО МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХСТОРОННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА УПРУГОМ ЭКРАНЕ Белорусский государственный университет (Поступила в редакцию 18.02.2010) В математической физике значительное место занимают задачи дифракции волн различной природы на материальных структурах со специальной геометрией [1]. Выделяют класс задач дифракции высокочастотных электромагнитных полей [2], задачи распространения упругих волн [3], задачи распространения и дифракции акустических волн на препятствиях из различных материалов [4]. Такие задачи формируются в виде краевых задач для трехмерного пространства с граничными условиями сопряжения на поверхностях материальных тел, расположенных в пространстве. Задачи состоят в определении полей, проникших в тела, и полей, отраженных от тел. Как правило, задачи сопряжения формулируются для уравнений одного типа для определения полей, как внутри тел, так и во внешних областях.

В последнее время актуальными являются как с математической, так и с прикладной точек зрения задачи сопряжения для уравнений различных типов. В работе рассматривается трехобластная краевая задача для слоя: в полупространствах по обе стороны слоя поля подчиняются скалярному уравнению Гельмгольца для давлений в среде, а поля в слое – векторному уравнению Ламе для перемещений среды. Слои или многослойные структуры рассматриваются как экраны, препятствующие распространению звуковых волн [5–7], и используются для защиты информации, передаваемой акустическими техническими устройствами. При решении краевых задач для слоистых структур применяется матричный метод, в котором последовательно удовлетворяются граничные условия сопряжения на плоских границах раздела материальных слоев. В работе в случае монохроматических акустических плоских волн, распространяющихся в произвольном направлении, получены двухсторонние нелокальные граничные условия, связывающие акустические поля по обе стороны упругого слоя. Условия получены для произвольных комплекснозначных коэффициентов Ламе и комплексной плотности среды, что используется для создания звукопоглощающих экранов [8]. Моделирование граничных условий основывалось на методах работы [9]. Разработанные граничные условия могут быть использованы для моделирования процессов проникновения акустических волн в тонкостенные упругие оболочки произвольной формы.

1. Постановка задачи. В пространстве R3 размещен плоский слой D(0 < z < ) упругого материала. Полупространства D1(z < 0) и D2(z >) заполнены средами, в которых распространяются звуковые волны, колеблющиеся с круговой частотой звука. Под воздействием звукового поля слой D совершает упругие колебания, а его деформация определяется полем перемеще ний u(x, y, z), которое удовлетворяет уравнениям Ламе [3] в D, (1) c u + (c + c ) grad divu + 2cu = где c,c – коэффициенты Ламе слоя, c – плотность материала слоя D, u – комплексная амплитуда поля перемещений.

Реальное поле перемещений определяется формулой U = Re(ue-it ).

Полупространства D заполнены средами, характеризуемыми плотностями среды и скоj j ростями звука в среде a. В области D1 расположен источник акустического поля, которое j определяется комплексной амплитудой давления v0(x, y, z) в точке (x, y, z)D1 [10, с. 119];

v1 – отраженное акустическое поле в D1 ; v2 – акустическое поле, прошедшее в область D2, v1 = v0 + v1 – суммарное поле в D1. Реальное поле давлений определяется выражением Pj = Re(v e-it ), j =1, 2.

j На граничных плоскостях 1(z = 0), 2(z = ) слоя D выполнены граничные условия взаимодействия звуковых волн с упругим слоем D [1, c. 90]:

v j (2) (u, n) = p, T (u) = -v n, j j jj j n j где n = ez – единичная нормаль к слою D, p =.

j 2j u T (u) = 2c + cez divu + c[ez,rot u], (3) z T (u) = – оператор напряжений на плоскостях z = const.

Сформируем трехобластную краевую задачу для областей D1, D, D2.

Краевая задача 1. Для заданного первичного звукового поля v0 C (D1 \ D0) ( D0 – область 2 источника поля) требуется определить звуковые поля v1 C (D1)C1(D1), v2 C (D2)C1(D2), которые удовлетворяют уравнениям Гельмгольца (1) (2) v1 + (k )2v1 = 0 в D1, v2 + (k )2v2 = 0 в D2, (4) требуется также определить поле перемещений u C (D)C1(D), которое удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и условиям излучения на бесконечности.

В дальнейшем рассмотрим случай плоского первичного поля вида v0 = Aexp(i1x + i2 y - v(1)z), z < 0, (5) (1) где 1, 2 – заданные произвольные числа, v(1) = 2 - (k )2, 2 - arg v(1) <, = 1 +, 0 arg<, (1) A – заданная амплитуда k =.

aВ этом случае область источника D0 удалена на бесконечность.

Отраженное поле определяется выражением v1 = A1 exp(i1x + i2 y + v(1)z), z < 0, (6) а прошедшее в область D2 поле v2 = A2 exp(i1x + i2 y - v(2)z), z >, (7) где (2) (2) v(2) = 2 - (k )2, - arg v(2) <, k =.

22 aФункции (6), (7) удовлетворяют уравнениям (4).

В этом случае поле перемещений в области D также имеет структуру плоского поля:

u = (Aex + Bey + C ez )exp(i1x + i y ± vz), 0 < z <, (8) где A, B, C – постоянные, не зависящие от x, y, z.

Структура полей (5) – (8) позволяет сформулировать краевую задачу 1 в виде двухобластной краевой задачи для областей D1 и D2 с нелокальными граничными условиями, связывающими звуковые поля по обе стороны слоя D.

Краевая задача 2. Для заданного первичного поля v0 требуется определить звуковые поля 2 v1 C (D1)C1(D1), v2 C (D2)C1(D2), которые удовлетворяют уравнениям (1) (2) v1 + (k )2v1 = 0 в D1, v2 + (k )2v2 = 0 в D2, (9) граничным условиям v(M1) = a11v1 (M1) + a12v2 (M ), M1 = (x, y, 0), 1 2 n (10) v(M ) = a21v1 (M1) + a22v2 (M ), M2 = (x, y, ), 2 1 2 n и условиям излучения на бесконечности.



В работе построены модели граничных условий (10) и решена задача (9), (10) для конкретного источника звукового поля.

2. Плоские базисные волны в упругой среде. Найдем вихревые плоские решения уравнения (1) вида (8). Такие решения удовлетворяют системе уравнений [2, c. 15] u + k2u = 0, divu = 0, (11) где c k2 =, 0 arg k2 <.

c Четыре линейно независимых плоских решения системы (11) представим в виде [2, c. 9]:

( (1) u1) = W (r;1,2;k2) iV1X (z), (12) ( (2) c u2) = W (r;1,2;k2) (iv2V2 + ez ) X (z), (13) kгде 1 1 V1 = (2ex - 1ey ), V2 = (1ex + 2ey ), (14) 2 c 2 2 c v2 = - k2, - arg v2 <, = 1 +, 0 arg <, X (z) = exp(i1x + i2 y vcz), j =1,2. (15) jj Построим потенциальные плоские решения уравнения (1) вида u = grad w, (16) где функция w удовлетворяет скалярному уравнению w + k1 w = 0, (17) где c k1 =, 0 arg k1 <.

c + 2c Рассмотрим плоские решения уравнения (17) вида (18) W = X1(z), где X1(z), определяется формулой (15), c 2 2 c v1 = - k1, - argv1 <.

Подставляя (18) в (16), найдем решение уравнения (1) c v( u3) = ez X1(z). (19) iV В результате имеем полный набор плоских полей (12), (13), (19):

( u1) = iV1 X (z), ( u2) = ( f2V2 + g2 ez )X (z), (20) ( u3) = ( f3V2 g3ez )X1(z), где c iv2 c vf2 =, g2 =, f3 = i, g3 =.

k2 k Укажем, что для вектор-функций (20) выполнены соотношения ( ( ( ( rot u1) = k2u2), rot u2) = k2u1), (21) () ( ( divu1 = 0, divu2) = 0, rot u3) = 0, которые используются для аналитических преобразований.

3. Действие оператора напряжений. Поле перемещений u в упругой среде, характеризуемой параметрами c, c, c, вызывает напряжения. Поле напряжений в среде на плоскостях Г(z = const) определяется оператором (3), действующим на перемещения u. Вычислим поля напряжений, вызываемых базисными плоскими полями (20).

Л е м м а 1. Действие оператора (3) на вектор-функции (20) определяется формулами ( T (u1) ) = a1V1 X (z), ( T (u2) ) = (b2V2 c2 ez )X (z), (22) ( T (u3) ) = (b3V2 + c3ez )X1(z), где 2 c cv c a1 = icv2, b2 = ic 2 - k2, c2 = 2, k2 k c b3 = 2icv1, c3 = (2c2 - k1 lc ), lc = 2c + c.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеют место следующие векторные произведения для векторов (14):

[ez,V1] = V2, [ez,V2] = -V1, [V1,V2] = ez. (23) Применим оператор (3) к первой вектор-функции (20), используя формулы (21), тогда с учетом (23) получим ( u1) ( ( T (u1) ) = 2c + ck2 ez, u2) = z cc (2ic (v2 )V1 + ck2( f2)[ez,V2])X (z) = icv2 V1 X (z).

2 Аналогично выводятся вторая и третья формулы (22), с учетом соотношений (15)–(18) для ( поля u3).

4. Перемещения и напряжения в плоском упругом слое. Рассмотрим плоский слой D(0 < z < ), заполненный упругой средой. Слой ограничен плоскостями 1(z = 0), 2(z = ).

Будем предполагать, что слой D подвергается деформациям вида (20). Изучим деформацию общего вида, как линейную комбинацию полей (20):

u = (Asus+) + Bsus-) ), (24) 3 ( ( s=где As, Bs - комплексные постоянные.

Преобразуем поле (24), учитывая формулы (20). Получим u = i(A1X (+z) + B1X (-z))V1 + 2 (A2 f2 X (+z) + A3 f3X1(+z) - B2 f2 X (-z) + B3 f3X1(-z))V2 + 2 (A2g2 X (+z) + A3g3X1(+z) + B2g2 X (-z) - B3g3X1(-z)) ez. (25) 2 Представим вектор перемещений (24) в базисе V1,V2, ez в виде u = u1(z)V1 + u2(z)V2 + u3(z)ez (26) и вычислим перемещения на плоскости 1(z = 0) :

(1) (1) (1) u = u1(0)V1 + u2(0)V2 + u3(0)ez = u1 V1 + u2 V2 + u3 ez, (27) (1) где us (0) = us – предельные значения компонент вектора перемещений на плоскости 1.

Приравняем векторы (25), (27) на плоскости 1(z = 0), получим систему алгебраических уравнений (1) i(A1 + B1) = u1, (1) (A2 f2 + A3 f3 - B2 f2 + B3 f3) = u2, (28) (1) (A2g2 + A3g3 + B2g2 - B3g3) = u3, где = exp(i1x + i2 y).

Вычислим напряжения на плоскостях z = const в слое D, которые возникают в результате перемещений (24). Для этого применим оператор (3) к векторному полю (24), используя формулы (22):

( ( T (u) = (AsT (us+) ) + BsT (us-))) = a1(A1X (z) - B1X (-z)) V1 + 2 s= (29) (A2b2 X (z) + A3b3X1(z) + B2b2 X (-z) - B3b3X1(-z)) V2 + 2 (A2c2 X (z) + A3c3X1(z) - B2c2 X (-z) + B3c3X1(-z)) ez.

2 Представим вектор напряжений T (u) в виде T (u) = T1(z)V1 + T2(z)V2 + T3(z)ez (30) и вычислим напряжения на плоскости 1(z = 0) :

T (u) = T1(0)V1 + T2(0)V2 + T3(0)ez = T1(1)V1 + T2(1)V2 + T3(1) ez, (31) где Ts (0) = Ts(1) – предельные значения компонент вектора напряжений на плоскости 1.

Приравняем векторы (29), (31) на плоскости 1(z = 0), получим систему уравнений a1(A1 - B1) = T1(1), (A2 b2 + A3b3 + B2b2 - B3b3) = T2(1), (32) (A2 c2 + A3c3 - B2c2 + B3c3) = T3(1).

Разрешим систему уравнений (28), (32), определив коэффициенты As, Bs.

1 (1) (1) A1 = -iu1 + T1(1) K, B1 = -iu1 - T1(1) K, (33) a1 a (1) (1) A2 = (c3u2 - f3T3(1) ) + (b3u3 - g3T2(1) ) K, d1 d (1) (1) B2 = (b3u3 - g3T2(1) ) - (c3u2 - f3T3(1) ) K, (34) dd (1) (1) A3 = ( f2T3(1) - c2u2 ) + (g2T2(1) - b2u3 ) K, d1 d (1) (1) B3 = ( f2T3(1) - c2u2 ) - (g2T2(1) - b2u3 ) K, dd где c 2 c 1 v2k1 k2vK =, d1 = -ilc, d2 = ic.

2 k Подставляя коэффициенты (33) в (24), (29), получим выражения полей перемещений и напря(1) жений в слое D через предельные значения us, Ts(1).

5. Переходная матрица для плоских упругих колебаний в слое. При звуковом воздействии в материале слоя D возникают перемещения и напряжения, выраженные через плоские волны (20) и плоские напряжения (22). Используя этот факт, найдем соотношения, связывающие перемещения и напряжения на плоскостях 1 и 2.





2(z = ) Вычислим перемещения на плоскости слоя D. Приравнивая выражения (25), (26) при z =, получим равенства для коэффициентов при векторах V1,V2, ez :

(2) u1 = i (A1F2(+) + B1F2(-)) ; (35) ( u22) = (A2 f2F2(+) + A3 f3F1(+) - B2 f2F2(-) + B3 f3F1(-) ), (36) (2) u3 = (A2g2F2(+) + A3g3F1(+) + B2g2F2(-) - B3g3F1(-)), (2) где us = us (), Fj() = exp(vc ), s =1, 2, 3.

j Далее вычислим напряжения на плоскости 2(z = ). Приравнивая выражения (29), (30) при z =, получим T1(2) = a1 (A1F2(+) - B1F2(-) ) ;, (37) T2(2) = (A2b2F2(+) + A3b3F1(+) + B2b2F2(-) - B3b3F1(+)), (38) T3(2) = (A2c2F2(+) + A3c3F1(+) - B2c2F2(-) + B3c3F1(-) ), где Ts(2) = Ts (), s =1, 2, 3.

Т е о р е м а 1. Предельные значения компонент перемещений и напряжений на плоскостях и 2 в базисе V1,V2, ez плоских упругих полей (26), распространяющихся в упругом слое D и удовлетворяющих уравнениям Ламе (1), связаны нелокальными граничными условиями сопряжения (2) ( u1 (M ) = b11u11)(M1) + b12T1(1)(M1), (39) ( T1(2)(M ) = b21u11) (M1) + b22T1(1)(M1), где Sc b11 = C2, b12 =, b21 = cv2S2, b22 = C2, c cv cc c 2 2 c S2 = sh (v2 ), C2 = ch (v2 ); v2 = - k2, - arg v2 <, ( (1) (1) u22) (M ) = W11u2 (M1) +W12T2(1) (M1) +W13u3 (M1) +W14T3(1) (M1), (40) (1) (1) T2(2) (M ) = W21u2 (M1) +W22T2(1) (M1) +W23u3 (M1) +W24T3(1) (M1), ( (1) (1) u32) (M ) = W31u2 (M1) +W32T2(1) (M1) +W33u3 (M1) +W34T3(1) (M1), (1) (1) T3(2) (M ) = W41u2 (M1) +W42T2(1) (M1) +W43u3 (M1) +W44T3(1) (M1), где W11 = q1(c3 f2C2 - c2 f3C1), W12 = q2(g2 f3S1 - g3 f2S2), W13 = q2(b3 f2S2 - b2 f3S1), W14 = q1 f2 f3(C1 - C2), W21 = q1(c3b2S2 - c2b3S1), W22 = q2(g2b3C1 - g3b2C2), W23 = q2b2b3(C2 - C1), W24 = q1( f2b3S1 - f3b2S2), (41) W31 = q1(c3g2S2 - c2g3S1), W32 = q2g2g3(C1 - C2), W33 = q2(b3g2C2 - b2g3C1), W34 = q1( f2g3S1 - f3g2S2), W41 = q1c2c3(C2 - C1), W42 = q2(g2c3S1 - g3c2S2), W43 = q2(b3c2S2 - b2c3S1), W44 = q1( f2c3C1 - f3c2C2), 1 ik2 i c 2 q =, q1 =, q2 = -, v1 = - k1, j c 2 c d lcv2k1 ck2vj 2 c - arg v1 <, = 1 +, 0 arg<, 1, 2 – произвольные комплексные величины, M1 = (x, y, 0), M = (x, y, ).

Матрица W = {wnm}, (n,m =1, 2, 3, 4) называется передаточной матрицей для упругого однородного слоя D.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим коэффициенты (33) в условия (35), (37) и получим связующие соотношения (39). Далее, подставляя коэффициенты (34) в условия (36), (38), получим после упрощающих преобразований представление компонент перемещений и напряжений на плоскости 2 через значения на плоскости 1.

6. Граничные условия для акустических полей. Построим модель граничных условий (10), связывающих акустические поля по обе стороны упругого слоя D. Коэффициенты граничных условий выразим через матричные элементы (41).

Т е о р е м а 2. При воздействии плоской акустической волны (5) на упругий слой D, перемещения среды в котором подчиняются уравнениям Ламе (1), на плоскостях слоя 1 и 2 с учетом (2) возникают акустические давления v1 и v2, связанные нелокальными граничными условиями сопряжения vp1 (M1) = F11v1(M1) + F12v2(M ), n (42) vp2 (M ) = F21v1(M1) + F22v2(M ), 2 n где W44W21 -W24W41 WF11 =, F12 =, W43W21 -W23W41 W23W41 -W43W F21 = [W44(W33W21 -W23W31) +W43(W24W31 -W34W21) + W41(W34W23 -W33W24)] / (W43W21 -W23W41), W33W21 -W23WF22 =, M1 = (x, y, 0), M = (x, y, ).

W23W41 -W43WД о к а з а т е л ь с т в о. Из граничных условий (2) на плоскости 1 получим v1 (1) (u, ez ) = u3 = p1, T (u) = T1(1)V1 + T2(1)V2 + T3(1)ez = -v1ez.

z=0 z=n Следует T1(1) (M1) = 0, T2(1) (M1) = 0, T3(1) (M1) = -v1(M1), (43) v1(M1) (1) u3 (M1) = p1.

n Аналогично из граничных условий (2) на плоскости 2 получим T1(2) (M ) = 0, T2(2) (M ) = 0, T3(2)(M ) = -v2(M ), (44) 222 v2(M ) (2) u3 (M ) = p2 2.

n Подставим (43), (44) во второе, третье и четвертое соотношения (40):

v(1) 0 = W21u2 +W23 p1 -W24v1, (45) n v2 (1) v p2 = W31u2 +W33 p1 -W34v1, (46) n n v(1) -v2 = W41u2 +W43 p1 -W44v1. (47) n (1) Выражая u2 из равенства (45) и подставляя в (46), (47), получим требуемые граничные соотношения (42). Теорема доказана.

На основании разработанных граничных условий (42) элементарно решается краевая задача 2.

Подставляя поля (5)–(7) в условия (10), вычислим коэффициенты отражения и прохождения A a12a21 - (a11 + v(1) )(a22 + v(2) ), A2 = 2v(1)a21 A, A1 = dF0d где Fjs F0 = exp(-v(2)), d = (a11 - v(1) )(a22 + v(2)) - a12a21, a =.

js p j ( ( В заключение введем вектор-столбец U = (u2 j), T2( j), u3 j), T3( j) )T и соотношения (40) запишем j в матричном виде:

U = WU1. (48) Рассмотрим упругий экран, состоящий из N плоских слоев, тогда соотношение (48) для слои сл сл (N ) (N -1) (1) (s) стого экрана примет вид U = W U1, где W = W W …W, W – передаточная матрица для s-го упругого слоя.

Исследование проводилось при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант Ф08-026).

Литература 1. С м а г и н С. И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток, 1995.

2. Е р о ф е е н к о В. Т., К о з л о в с к а я И. С. Математические модели в электродинамике. Ч. 2. Минск, 2008.

3. А м е н з а д е Ю. А. Теория упругости. М., 1976.

4. И в а н о в В. П. Задачи дифракции волн в низкочастотной акустике. М., 2004.

5. М о л о т к о в Л. А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.