WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования Российской Федерации Пензенский государственный университет ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Методические указания к выполнению лабораторных работ Пенза 2003 УДК 683.1 Методические указания содержат сведения необходимые для выполнения цикла лабораторных работ по исследованию непрерывных и дискретных систем автоматического управления (САУ) с применением многофункциональной интегрированной системы автоматизации математических и научно-технических расчетов MATLAB, пакета моделирования динамических систем Symulink и программы моделирования VisSim.

Методические указания, подготовленные на кафедре «Вычислительная техника», предназначены для студентов специальности 22.01.00, изучающих курсы «Моделирование» и «Основы теории управления».

Составители: П.П. Макарычев, А.С. Бычков 2 Введение Лабораторные работы, приведенные в данном методическом пособии, предназначены для студентов электротехнических специальностей, изучающих курсы: «Основы теории управления», «Моделирование систем управления» и им подобных. Лабораторные исследования проводятся на персональных ЭВМ с применением моделирующих пакетов MATLAB, VisSim и Electronics Workbench. При разработке лабораторного практикума преследовалась цель заменить процесс решения дифференциальных уравнений движения моделированием и уделить максимум внимания постановке задач теории управления и интерпретации результатов. Вся совокупность учебных моделей разбита на две группы. Ядром являются модели, для пакета VisSim, которые не отражают особенности конкретных систем, поскольку являются чисто математическими, т.е. построены на основе задания структурных схем и передаточных функций. Эта совокупность моделей может быть использована для любой специальности вплоть до нетехнических. Вторая группа моделей для пакета Electronics Workbench разработана для студентов электротехнических специальностей и отражает особенности технической реализации систем управления на основе электронных устройств. Совокупность работ рассчитана на выполнение в течение одного семестра.

Лабораторная работа № ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ КОМПЛЕКСНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 1. Основные сведения Комплексное число может быть представлено в трех видах:

a+jb=Acos+jAsin=Aej, т.е. в алгебраической форме, в тригонометрической и в показательной.

Число A называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа. Модуль однозначно определяется соотношением:

A=a2+b2.

Угол называется аргументом, =arctg(b/a).

Каждому комплексному числу соответствует одна определенная точка на числовой или комплексной плоскости. Каждой точке числовой плоскости соответствует только одно комплексное число.

Положим, что из начала координат в числовой плоскости проведен ряд векторов. Каждый такой вектор вполне определяет точка комплексной плоскости, которая находится в его конце, а в таком случае каждому вектору будет соответствовать лишь одно комплексное число. Поэтому векторы, проведенные из начала координат, можно символически изображать комплексными числами, соответствующими точкам, в которых располагаются их концы.

Оси 0x и 0y (в прямоугольной декартовой системе координат) называются соответственно действительной и мнимой осью. Абсцисса и ордината каждой точки на плоскости изображают соответственно действительную часть a и мнимую часть b комплексного числа.

Если аргумент комплексного числа Aej меняется во времени, т.е. =t, то точка, соответствующая этому комплексному числу, перемещается со временем в числовой плоскости против направления вращения часовой стрелки с угловой скоростью, описывая окружность с радиусом A и с центром в начале координат. Следовательно, комплексное число Aejt соответствует вращающемуся вектору и может быть им изображено.

Комплексную функцию от действительной переменной x можно представить в виде:

W(jx)=U(x)+jV(x)=A(x)ej(x), где A(x)= U(x)2+V(x)2, (x)=arctgV(x)/U(x) На комплексной плоскости функция W(x) определяет вектор, длина (модуль) которого равна A(x), а аргумент (угол, образованный этим вектором с положительной действительной полуосью) — (x). Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении аргумента от нуля до бесконечности, годографом функции.

Действительную и мнимую часть функции W(x) будем называть соответственно вещественной и мнимой функцией.

Модуль функции называют амплитудной функцией, ее график— амплитудной характеристикой. Аргумент называют фазовой функцией, а ее график — фазовой характеристикой.

Амплитудная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая — сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от изменения входного воздействия.

2. Лабораторное задание 2.1. По согласованию с преподавателем выберете из банка заданий комплексные функции f1(x), g1(x), h1(x).

2.2. Постройте графики модуля и аргумента непрерывной комплексной функции f1(x).

2.3. Постройте графики вещественной и мнимой части непрерывной комплексной функции g1(x).

2.4. Постройте годограф для непрерывной комплексной функции h1(x).

Лабораторная работа № ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ФУНКЦИЙ 1. Основные сведения В дискретных системах управления входные и выходные сигналы представляют собой временные ряды, т.е. упорядоченные последовательности отсчетов. Для любой упорядоченной последовательности [xk ]= [... x-1, x0, x1, x2, x3,...] z – преобразование определяется следующим образом X ( z ) = xk z-k, k=где z – непрерывная комплексная переменная; X ( z ) – двустороннее z – преобразование. Одностороннее z – преобразование имеет место, если для всех отрицательных k значения xk = 0 [ ].



Для последовательности отсчетов [xk ] экспоненциальной функции, приведенной на рис. 1, 0, k < 0;

xk = exp( -ak ), k 0, a > 0.

z – преобразование есть простая рациональная функция от a и z, т.е.

z X( z ) =.

exp( -ak )z-k = z - exp( -a ) k=Это преобразование равно нулю в точке z = 0 и становиться бесконечным в точке z = exp( -a ).

1.1.0.exp(- ak) 0.0.0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - 1 k Рис. 1 Отсчеты экспоненциальной функции Следовательно, бесконечную или конечную сумму отсчетов всегда можно записать в виде рациональной функции. При этом, в z – преобразовании содержится вся информация об исходной последовательности отсчетов. По z – преобразованию можно полностью восстановить все множество отсчетов.

Другими словами, всегда существует обратное z – преобразование.

Передаточная функция дискретной линейной системы равна отношению z – преобразования выходного сигнала к z – преобразованию входного сигнала X ( z ) и имеет вид Y( z ) a0 + a1 + a2 +...am W( z ) = =, n m.

X ( z ) b0 + b1z + b2z2 +...bn Простая замена z на exp( j( 2 - )), где – циклическая частота, позволяет получить дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Так как exp( j( 2 - w )) = exp( - jw )) и коэффициенты W( z ) являются действительными числами, то имеем W( j( 2 - w )) = W( - jw )). Передаточная функция W( z ) определяется только для частотной области 0. Эта частотная область называется интервалом Найквиста. Частота = называется центральной частотой, частота = 2 – частотой отсчетов.

Для дискретной передаточной функции W( z ) = 0,27( z2 + 1) ( z2 -1,27z + 0,81) частотный отклик имеет вид W( j ) = 0,27(exp( 2 j ) + 1) (exp( 2 j ) -1,27exp( j ) + 0,81) (1) Амплитуда и фаза частотного отклика W( j ) называется коэффициентом передачи по амплитуде и фазовым сдвигом дискретной линейной системы.

Из (1) имеем следующее соотношение W( j ) = Re( j ) + Im( j ).

Следовательно, коэффициент передачи по амплитуде 1 K( j) = W( j) =[Re2( j) + Im2( j)], а фазовый сдвиг -( j ) = arg(W( j )) = tg ( I( j ) Re( j )).

Графики зависимости коэффициента передачи и фазового сдвига от частоты приведены на рис. 2.

( ) 3K ( ) - 0 0.8 1.6 2.4 3.0 3. Рис.2 График функций Помимо коэффициента передачи по амплитуде при анализе дискретных линейных систем применяют коэффициент передачи по мощности, который равен квадрату коэффициента передачи по амплитуде и иногда задается в децибелах K( дБ ) = 10log10 W( j ).

Обратное z – преобразование рациональной функции можно найти, если разложить дробь X ( z ) = A( z ) B( z ) и преобразовать её в геометрический ряд xk = X( z )zk-1dz. (2) 2j В выражении (2) принято, что замкнутый контур интегрирования представляет собой окружность с центром в начале координат z – плоскости, к которому сходится X ( z ) [1]. Подстановка в формулу (2) z = exp( j ) приводит к тому, что dz заменяется на jzd, и в качестве замкнутого контура интегрирования можно взять путь по окружности единичного радиуса от точки z = exp( - j ) до точки z = exp( j ) (т.е. один оборот по окружности). Следовательно, выражение (2) принимает вид xk X(exp( jw ))exp( - jk)d. (3) 2j Множество отсчетов представлено в (3) в виде спектральной функции X ( jw ). Поэтому (3) можно рассматривать как обратное преобразование Фурье.

2. Лабораторное задание 2.1. По согласованию с преподавателем выберете из банка заданий комплексные функции f2(k), g2(k), h2(k).

2.2. Постройте графики модуля и аргумента решетчатой комплексной функции f2(k).

2.3. Постройте графики вещественной и мнимой части решетчатой комплексной функции g2(k).

2.4. Постройте годограф для решетчатой комплексной функции h2(k).

Лабораторная работа № АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 1. Основные сведения Систему автоматического управления (САУ) можно представить в виде соединения звеньев. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. Эти зависимости определяются с помощью дифференциальных уравнений.

Рассмотрим простейший случай линейного звена непрерывного действия, у которого все процессы описываются с помощью линейных дифференциальных уравнений. Связь между выходной (Y) и входной (X) величинами линейного звена или линейной системы выражается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(1.1) Для описания свойств звеньев более удобно пользоваться не непосредственно дифференциальными уравнениями, а следующими коэффициентами или функциями, вытекающими из уравнения (1.1) и также полно определяющими связь между входной и выходной величинами звеньев:

- передаточной функцией;

- переходной характеристикой (функцией);

- комплексным коэффициентом передачи (ККП).

Для определения передаточной и переходной функций звена наиболее целесообразно использовать преобразование Лапласа, которое основано на двух следующих формулах:

- прямого преобразования Лапласа (1.2) - обратного преобразования Лапласа (1.3) Здесь L, L-1 - обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа.

Преобразованная по Лапласу величина называется изображением и обозначается через X(p) и Y(p) соответственно для входной и выходной величин. Под "p" подразумевается комплексная частота, p=+j. Если p=j, (=0), преобразование Лапласа превращается в его частный случай - преобразование Фурье. В справочниках по математике имеются таблицы преобразования Лапласа для различных функций, встречающихся в практических задачах.





Передаточной функцией линейного звена W(p) называется отношение изображения выходной величины Y(p) к изображению входной величины X(p) при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в звене:

W(p)=Y(p)/X(p). (1.4) Рассматривая линейное дифференциальное уравнение (1.1) и находя изображение для левой и правой частей уравнения, получаем (1.5) Отсюда (1.6) Переходная или временная характеристика (функция) звена h(t) представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия:

Изображение этой функции X(p)=1/p. Поэтому в соответствии с (2.4) получаем:

H(p)=Y(p)=X(p)W(p)=W(p)/p. (1.7) Переходя от изображения к оригиналу, определяем выражение для переходной характеристики (1.8) Это выражение подчеркивает наличие однозначной связи между переходной и передаточной функциями.

Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту передачи (ККП) осуществляется заменой p на j в выражении передаточной функции.

Под ККП звена понимается отношение комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала:

(1.9) где модуль ККП равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов для данного значения частоты (амплитудно-частотная характеристика) (1.10) Аргумент ККП равен разности фаз этих же сигналов (фазочастотная характеристика) (1.11) Комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде суммы действительной (Re) и мнимой (Jm) составляющих:

(1.12) Имея ККП, можно построить амплитудно-фазовую характеристику звена. Для этого в выражениях (1.9) или (1.12) следует изменять частоту от нуля до бесконечности и построить на комплексной плоскости годограф вектора ККП, называемый амплитудно-фазовой характеристикой.

Между W(), (),U() и V() сущеcтвует следующая связь:

(1.13) (1.14) (1.15) (1.16) Используя приведенные выше характеристики, можно на основании идентичности передаточных функций или ККП реальных звеньев все их многообразие свести к ограниченному числу звеньев, которые называются типовыми.

В качестве типовых звеньев САУ выбраны наиболее простые звенья, в которых процессы описываются дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка. При этом замену реального звена типовым осуществляют так:

если передаточные функции реального и типового звеньев совпадают, то они являются взаимозаменяемыми; более сложные реальные звенья заменяются, если возможно, последовательным или параллельным соединением типовых звеньев.

Рассмотрим типовые звенья, которые описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка (1.17) и соответствующей передаточной функцией (1.18) Для различных типовых звеньев коэффициенты передаточной функции a0, a1, b0, b1 принимают различные, в том числе и нулевые значения.

Различают следующие 4 типовых звена:

- безынерционное (усилительное) W(p)=a0/b0, a1=b1=0;

- инерционное (апериодическое) W(p)=a0/(b0+b1p); a1=0; (1.19) - интегрирующее W(p)=a0/b1p; a1=b0=0;

- дифференцирующее W(p)=a1p/b0, a0=b1=0;

Из числа более сложных звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями 2-го порядка, в качестве типового берется только одно, отвечающее случаю a2=a1=0. В соответствии с этим из передаточной функции (1.20) получаем (1.21) Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением y(t)=ku(t) или, что то же, передаточной функцией W(s)=k.Частотные и временные функции этого типового звена имеют вид:

W(j)=k, A()=k, ()=0, L()=20lgk, h(t)=k1(t), w(t)=(t).

Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением py=ku, или передаточной функцией W(s)=k.

Частотная передаточная функция W(j)=k/j=-jk/.

Остальные функции:

U()=0, V()=-k/, A()=k/, ()=-/2, L()=20lgk-20lg, h(t)=kt, w(t)=k.

Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением y=kpu, или передаточной функцией W(s)=ks. Частотная передаточная функция имеет вид W(j)=jk.

Остальные частотные и временные функции имеют вид:

U()=0, V()=k, A()=k, ()=/2, L()=20lgk+20lg, h(t)=(t)., w(t)=(t).

Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением (Tp+1)y=ku, или передаточной функцией W(s)=k/(Ts+1).

Это звено также называют инерционным звеном или инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от выше рассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени Т и передаточным коэффициентом k. Частотная передаточная функция W(j)=k/(Tj+1).

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим,,,, Колебательное звено. Частотная передаточная функция.

.

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции,.

Фазовая частотная функция изменяется монотонно от 0 до - и выражается формулой Амплитудная частотная функция, и логарифмическая амплитудная функция.

2. Лабораторное задание 2.1. По согласованию с преподавателем выберете из банка заданий передаточные функции дифференцирующего W1(S), интегрирующего W2(S), апериодического W3(S) и колебательного W4(S) звеньев.

2.2. Постройте амплитудно-частотные характеристики для дифференцирующего, интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.

2.3. Постройте фазочастотные характеристики для дифференцирующего, интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.