WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ «УТВЕРЖДАЮ» Зам. директора ЮТИ ТПУ по УР В.Л. Бибик «»_2011 г.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические указания по математике для студентов всех специальностей очной формы обучения Издательство Юргинского технологического института (филиала) Томского политехнического университета 2011 УДК 517(075) ББК 22.6я73 Определённый интеграл: методические указания по математике для студентов всех специальностей очной формы обучения / Сост. Л.Б. Гиль, А.В. Тищенкова. – Юрга: Изд-во Юргинского технологического института (филиала) Томского политехнического университета, 2011. – 71 с.

Рецензент кандидат физико-математических наук Е.П.Теслева Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры ЕНО ЮТИ ТПУ, протокол № 32 от 24. 02. 2011 г.

Зав. кафедрой ЕНО, к. пед. н. Е. В. Полицинский 2 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................................. 4 1. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................... 5 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.................................. 7 3. ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА.................................................................. 8 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА........................................... 8 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...................................................................... 10 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА......................................................................... 11 7. ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................................. 8. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ............................................. 9. ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ................................................................................................... 10. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.............................................. ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................................................................. Приложение 1 «Таблица неопределённых интегралов»............................................... Приложение 2 «Преобразования дифференциала»....................................................... Приложение 3 «Несобственные интегралы»................................................................. Приложение 4 «Вычисление площадей плоских фигур»............................................. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................................ ПРЕДИСЛОВИЕ Методические указания охватывают традиционный курс математики по теме «Определённый интеграл», написан в соответствии с действующими программами курса математики, содержат необходимый теоретический минимум, включающий важнейшие определения, теоремы и формулы; разнообразные примеры и задачи, полностью охватывающие тему «Определённый интеграл». Часть задач (опорные задачи) сопровождаются подробными решениями.

Предлагается тест «Проверьте себя», варианты индивидуальных домашних заданий.

Методические указания можно использовать как для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на практических занятиях. Для организации самостоятельной работы студентов предусмотрена возможность автоматизированного самоконтроля при наличии устройства «Символ».

1. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Рассмотрим непрерывную функцию y = f (x), заданную на отрезке a;b и сохраняющую на этом отрезке свой знак (рис. 1).

[ ] Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком a;b и [ ] прямыми x = a и x = b называется криволинейной трапецией. Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема.

Если f (x) – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке a;b, и F(x) – её первообразная на этом отрезке, то площадь S [ ] соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке a;b, т. e. S = F(b) - F(a).

[ ] Рис. Рассмотрим функцию S(x), заданную на отрезке a;b. Если [ ] a < x < b, то S(x) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку (x; 0).

Отметим, что если x = a, то S(a) = 0, а S(b) = S (S – площадь криволинейной трапеции). Можно доказать, что S(x + x) - S(x) S(x) lim = lim = f (x) или S (x) = f (x), x0 xx x т. e. S(x) – первообразная для f (x). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x a; b имеем: S(x) = F(x) = C, где [ ] C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f.

Чтобы найти C, подставим x = a : F(a) + C = S(a) = 0, отсюда C = -F(a) и S(x) = F(x) - F(a). Так как площадь криволинейной трапеции равна S(b), то подставляя x = a, получим:

S = S(b) = F(b) - F(a).

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок a;b на n [ ] отрезков равной длины точками x0 = a < x1 < x2 < x3 <... < xn-1 < xn = b и пусть x = (b - a) / n = xk - xk-1, где k =1, 2,...n -1, n.

В каждом из отрезков xk ; xk-1 как на основании построим [ ] прямоугольник высотой f (xn-1). Площадь этого прямоугольника равна:

b - a f (xk-1)x = f (xk-1), а сумма площадей этих прямоугольников равна n b - a S(n) = f (x0) + f (x1) +... f (xn-1) (рис. 2).



[ ] n Ввиду непрерывности функции f (x) объединение построенных прямоугольников при большом n (т.e. при малом x ) «почти совпадает» с нашей криволинейной трапецией. Поэтому, Sn S при больших значениях n. Это значит, что Sn S при n. Этот предел называется интегралом функции f (x) от a до b или определённым b b интегралом f (x)dx, т. е. Sn f (x)dx при n. Числа a b a a называются пределами интегрирования, f (x)dx – подынтегральным выражением.

Итак, если f (x) 0 на отрезке a;b, то площадь S [ ] соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле b Sn = f (x)dx.

a Рис. 2.

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак b a интеграла: f (x)dx = - f (x)dx.

a b a 2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f (x)dx =0.

a 3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.

a a c 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех b b b слагаемых: f1(x) ± f2(x)]dx = f1(x)dx ± f2(x)dx.

[ a a a 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

b a f (x)dx c f (x)dx = c a b a a 6. Для чётной функции f (x) f (x)dx = 2 f (x)dx, для нечётной -a a функции f (x) f (x)dx =0.

-a 3. ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА Если F(x) - первообразная функции f (x) на отрезке a;b, то [ ] b f (x)dx = F(b) - F(a). Формула Ньютона – Лейбница справедлива для a любой функции f (x), непрерывной на отрезке a;b.

[ ] 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА b Определённый интеграл f (x)dx от непрерывной функции a b вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница f (x)dx = F(a) - F(b) с a применением таблицы неопределённых интегралов (приложение 1).

При вычислении определённых интегралов широко используются методы замены переменной и интегрирования по частям.

Интегрирование по частям. Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место b b b формула интегрирования по частям = uv -.

udv a vdu a a Замена переменной. Подстановка. Пусть для вычисления b интеграла f (x)dx от непрерывной функции сделана подстановка a x = (t). Если функция x = (t) и её производная x = (t) непрерывны при t [; ], множеством её значений является отрезок [a;b], () = a b и ( ) = b, то f (x)dx = f [(t)] (t)dt (формула замены переменной a в определённом интеграле).

Отметим, что при вычислении определённого интеграла методом подстановки:

1. Возвращаться к старой переменной не требуется;

2. Вместо подстановки x = (t) часто применяют подстановку t = g(x);

3. Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называют несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (I рода) определяются с помощью предельного перехода.

+ f (x)dx = lim f (x)dx ;

+ a a b b f (x)dx = lim f (x)dx ;

- + c c f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx, где с - произвольное - + - a вещественное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (II рода) также определяются с помощью предельного перехода.

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x = c, где c [a;b], непрерывна во всех других точках этого отрезка, то c-b b f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx.

10 a a c+ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объём тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b]изменения независимой переменной x. Предполагается, что эта величина A аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [a;b] точкой c[a;b] на части [a;c] и [c;b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a;b], равно сумме её значений, соответствующих [a;c] и [c;b]. Для нахождения этой величины A можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определённого интеграла.

1. Точками x0 = a, x1,......xn = b разбить отрезок [a;b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьётся на n «элементарных слагаемых» Ai (i =1,...n) :

A =A1 + A2 +... + An.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: Ai f (ci)xi(i =1,...n).

При нахождении приближённого значения Ai допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей её концы; переменную скорость на малом участке можно приближённо считать постоянной и т. д.

Получим приближённое значение величины A в виде интегральной суммы:

n A f (c1)x1 + f (c2)x2 +... + f (cn)xn = f (ci )xi.

i=3. Искомая величина A равна пределу интегральной суммы, т. е.

b n A = lim f (ci)xi = f (x)dx.

n i=a Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определённого интеграла.





Схема II представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков».

1. На отрезке [a;b] выбираем произвольное значение x и рассматриваем переменный отрезок [a; x]. На этом отрезке величина A становится функцией x : A = A(x), т. е. считаем, что часть искомой величины A есть неизвестная функция A(x), где x[a;b] - один из параметров величины A;

2. Находим главную часть приращения A при изменении x на малую величину x = dx, т. е. находим дифференциал dA функции A = A(x) : dA = А(x)dx, где f x, определяемая из ( ) условия задачи, функция переменной x (здесь также возможны различные упрощения);

3. Считая, что dA A при x 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от a до b:

b A(b) = A = f (x)dx.

a ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР Прямоугольные координаты Как уже было установлено площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс ( f (x) 0 ) (рис. 3), равна соответствующему определённому интегралу:

y y = f x ( ) dS S x ( ) dx x O a x x + dx b Рис. b b S = f (x)dx или S = y dx [1] a a Эта формула получена путём применения схемы I - метода сумм.

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox ( f (x) < 0 ), то её площадь может быть найдена по формуле b S = - f (x)dx [2] a Формулы [1] и [2] можно объединить в одну:

b S = f (x)dx. [3] a Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), прямыми x = a и x = b (при условии f2(x) f1(x) ) (рис. 4), можно найти b b b по формуле S = f2(x)dx - f1(x)dx = f2(x) - f1(x))dx.

( a a a Рис. Если плоская фигура имеет «сложную» форму (рис. 5), то прямыми, параллельными оси Oy, её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Рис. 5 Рис. Если криволинейная трапеция ограничена прямыми y = c и y = d, осью Oy и непрерывной кривой x = (y) 0 (рис. 6), то её площадь d находится по формуле S =.

xdy c И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, x = x(t), заданной параметрически t [; ] и прямыми x = a и x = b, y = y(t).

и осью Ox, то площадь её находится по формуле S = y(t) x (t)dt, где и определяются из равенств x() = a и x( ) = b.

Полярные координаты Найдём площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r() и двумя лучами = a и = b ( a < b ), где r и - полярные координаты (рис. 7). Для решения задачи используем схему II - метод дифференциала.

Рис. 1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла, т. е.

S = S(), где < < (если = a, то S() = 0, если = b, то S( ) = S ).

2. Если текущий полярный угол получит приращение = d, то приращение площади S равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения S при d 0 и равен площади кругового сектора OAC (на рис. 7 она заштрихована) радиуса r с центральным углом d. Поэтому dS = r2 d.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от = a до = b, получим искомую площадь S = d.

r ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой у = f (x), где a < x < b (рис. 8).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена её стремится к нулю.

Рис. Если функция у = f (x) и её производная у = f (x) непрерывны на отрезке [a;b], то кривая AB имеет длину, равную b l = 1+ ( f (x))2dx. [4] a Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме x = x(t), t [; ], где x(t) и y(t) - непрерывные функции с y = y(t).

непрерывными производными и x() = a, x( ) = b, то длина l кривой AB находится по формуле l = (x (t))2 + (y (t))2dt. [5] Формула [5] может быть получена из формулы [4] подстановкой y (t) x = x(t), dx = x (t)dt, f (x) = x (t) Если кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), < <. Предположим, что r() и r () непрерывны на отрезке [; ] и если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол, то x = r()cos, кривую AB можно задать параметрически.

y = r()sin x = r ()cos - r()sin, Тогда y = r()sin + r()cos.

Поэтому (x )2 + ( y )2 =...... (r ())2 + (r()2.

Применяя формулу [5], получаем l = r2 + r d.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМА ТЕЛА Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объём V тела (рис. 9), причём известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox : S = S(x), a < x < b.

Применив схему II (метод дифференциала), получим формулу объёма тела по площади параллельных сечений b V = S(x)dx. [6] a Рис. Объём тела вращения Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f (x) > 0, отрезком a x b и прямыми x = a и x = b (рис. 10). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, проведённой через произвольную точку x оси Ox ( x [a;b]), есть круг с радиусом y = f (x). Следовательно S = y2.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.