WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Утверждаю Зам. директора ЮТИ ТПУ по УР _В.Л. Бибик «_» 2008 г.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания по математике для студентов 2-го курса всех специальностей очной, очно-заочной и заочной форм обучения Издательство Юргинского технологического института (филиала) Томского политехнического университета Юрга 2008 УДК 517 Операционное исчисление: методические указания по математике для студентов 2-го курса всех специальностей очной, очно-заочной и заочной форм обучения / Сост. Е.Т. Ивлев, Л.Б. Гиль – Юрга: Изд-во Юргинского технологического института (филиала) Томского политехнического университета, 2008 г. – 31 с.

Рецензент доктор физико-математических наук, профессор К.П. Арефьев Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры ЕНО «»2008 г.

Зав. кафедрой ЕНО канд.пед.наук Е.В Полицинский 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Операционное исчисление. Основные понятия 5 Свойства преобразований Лапласа 6 Отыскание оригинала по изображению 11 Приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений 13 Задания для самостоятельной работы 15 Контрольная работа «Операционное исчисление» 22 Список литературы 30 3 ВВЕДЕНИЕ Операционный (символический метод) метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений и систем, который был предложен известным американским инженером-электриком Оливером Хевисайдом (1850-1925), пользуется большой популярностью у инженеров. Сначала этот метод был предложен без строгого математического обоснования. Но поразительный успех метода заставил объяснить его с математической точки зрения, что привело к полному оправданию и дальнейшему его развитию.

Применение операционного метода для решения задачи Коши позволяет свести решение дифференциального уравнения для некоторой функции x(t)к решению алгебраического уравнения относительно её «изображения» - функции X(p). Операции над изображением оказываются более простыми.

Особый выигрыш даёт операционный метод при интегрировании систем, характеристические уравнения для которых имеют комплексные или кратные корни.

Данные методические указания содержат:

- необходимые сведения по теме «Операционное исчисление», изучаемой на 2-м курсе технического вуза;

- детально разобранные типовые задачи по теме, которые позволят даже слабому студенту освоить тему «Операционное исчисление»;

- задания для самостоятельной работы студентов;

- контрольную работу.

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей очной, очно-заочной и заочной форм обучения.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Определение 1. Функцией-оригиналом (оригиналом) называется любая комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1) функция f(t) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме, может быть, конечного числа изолированных точек разрыва первого рода; функция f(t) имеет производные достаточно высокого порядка;

2) f(t)=0, t<0;

3) |f(t)| возрастает при t+ не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные M>0 и s, что для всех t: f (t) Mest (1) Нижняя грань s0 всех чисел s, для которых справедливо неравенство (1) называется показателем роста функции f(t). В дальнейшем будем считать, что в неравенстве (1) берется показатель роста функции f(t).

Примером оригинала является единичная функция (функция Хевисайда) 1, t 0, (t) = (2) 0, t < 0.

Если для функции (t) выполняются условия 1) и 3), то функция f (t) = (t)(t) является оригиналом.

В дальнейшем мы будем, рассматривая функцию (t), предполагать, что операция умножения на (t) уже выполнена, Определение 2. Изображением функции f(t) или ее преобразованием Лапласа называется функция F(p) комплексного переменного р, определяемая соотношением F( p) = f (t)e-tpdt. (3) Будем в дальнейшем обозначать F ( p) = L[ f (t)] или F ( p) = f (t). (4) Примеры - pt - pt 1. L[(t)] = (t)e dt = e dt = p ;

0 2. L[sint] = e- ptdt = ;

sint p2 + pt 3. L[cost] = cost e- dt = p2 +1 ;

(1- p)t 4. L[et ] = e dt = p -1.

Теорема 1. Если f(t) – оригинал с показателем роста s0, то его изображение F(p) определено и является аналитической функцией в полуплоскости Re p>0.

Теорема 2. Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) его изображением, то в любой точке непрерывности f(t) имеет место равенство a+i f (t) = F( p)eptdp, (5) 2i a-i где интеграл берется вдоль любой прямой Rep=a>S0 и понимается в смысле главного значения, т.е.

a+i a+bi 1 F( p)eptdt = lim F( p)eptdp.

b+ 2i 2i a-i a-bi Эта теорема показывает возможность восстановления оригинала по его изображению.

Теорема 3 (свойство единственности). Преобразование Лапласа F( p) = f (t)e-tpdt единственно, т.е. две функции f1(t) и f2(t), имеющие одинаковые преобразования Лапласа, совпадают во всех точках непрерывности для всех t>0.

Замечание. В дальнейшем операционным исчислением будем называть теорию преобразования Лапласа.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА Пусть f(t), g(t), x(t), - оригиналы, а F(p), G(p), X(p) - соответствующие изображения.

1. Свойство линейности Изображение линейной комбинации нескольких функций равно линейной комбинации изображений рассматриваемых функций L[ f (t) + g(t)] = F( p) + G( p). (6) Пример 5.



eit - e-it 1 1 (i - p )t - (i + p )t L[sin t] = L[ ] = L[e-it ] = dt = e dt - 2i e 2 2i 2i 0 1 1 = [ - ] = 2i p - i p + i p2 + Аналогично:

p p L[cost] = ; L[cht] = ;L[sht] =.

p2 + 2 p2 - 2 p2 - 2 Теорема подобия Для любого постоянного >1 p L[ f (t)] = F( ). (7) Действительно:

p 1 1 p L[ f (t)] = f (t)e- ptdt = (t = ) = f ( )e d = F( ).

0 3 Теорема запаздывания Если L[ f (t)] = F ( p), то для любого > L[ f (t - )] = e- p L[ f (t)]. (8) Теорему запаздывания удобно использовать при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются разными аналитическими выражениями.

sint,0 < t ПРИМЕР 6. Найти L[ f (t)], где f (t) =.

0,t > Решение. Имеем f (t) =(t)sin t -(t - )sin t =(t)sint -(t - )sin(t - + ) = =(t)sint +(t - )sin(t - ), 1 e- p 1+ e- p Тогда L[ f (t)] = + =.

1+ p2 1+ p2 1+ p 4 Теорема смещения Если L[ f (t)] = F( p), то для любого комплексного числа р0:

L[ep t f (t)] = F( p - p0). (9) Примеры применения теоремы смещения.

7. L[e-t sint] =, ( p + )2 + p + 8. L[e-t cost] =,Re p > Re ;

( p + )2 + 9. L[e-tsht] =,Re p > Re - Re.

( p + )2 - Пример 10. Найти L[e-t cos2t].

p Решение. Имеем L[cos2t] =, тогда по теореме смещения (p0=-1) p2 + p +L[e-t cos2t] =.

( p +1)2 + 5 Дифференцирование оригинала (n) Пусть f (t), f (t),..., f (t) - функции-оригиналы и L[ f (t)] = F( p), то:

L[ f (t)] = pF( p) - f (0), L[ f (t)] = p2F( p) - pf (0) - f (0), (10) n-(n) (n-1) L[ f (t)] = pnF( p) - pn-1 f (0) - p f (0) -... - f (0), (k ) (k ) Здесь считаем, что f (0) = lim f (t),k = 0,1,...,n -1.

t+(k ) Если f (0) = 0,k = 0,1,...,n -1, (k ) то получаем L[ f (t)] = pkF( p). (11) ПРИМЕР 11. Найти изображение функции f(t)=sin2t.

Решение. Пусть L[ f (t)] = F( p), тогда L[ f (t)] = pF( p) - f (0), но f(0)=0, f (t) = sin 2t, L[ f (t)] = L[sin 2t] =.

p2 + Следовательно, 2 2 = pF( p), откуда F( p) =, т.е. L[sin2 t] =.

p2 + 4 p( p2 + 4) p( p2 + 4) 6 Дифференцирование изображения Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала F ( p) = L[-tf (t)] или F(n)( p) = L[(-1)ntn f (t)]. (12) 1 n! Пример 12. Имеем L[(t)] =. Дифференцируя n раз 1/p, получим.

p pn+n! Следовательно, L[tn] =.

pn+1 Пример 13. L[sint] =. Дифференцируя, получаем p2 +1 p2 +1 2 p 2 p -( ) =, тогда L[t sint] =.

p2 +1 ( p2 +1)2 ( p2 +1) 7 Интегрирование оригинала Если f(t) - оригинал, то t F( p) L[ f ( )d ] =. (13) p t ПРИМЕР 14. Найти изображение d.

e t 1 p - Решение. Так как L[et ] =, то L[ d ] = =.

e p -1 p p( p -1) 8 Интегрирование изображения Если интеграл p)dp существует, то он служит изображением F( p f (t) функции, т.е.

t f (t) L[ ] = p)dp. (14) F( t p Пример 15. Имеем L[sint] = p2 + sint dp L[ ] = = arctgp = - arctgp = arcctgp.

p t p2 +1 p С помощью теоремы об интегрировании изображения легко вычислить некоторые несобственные интегралы.

Следствие. Пусть L[ f (t)] = F( p) и пусть сходится несобственный f (t) интеграл dt, тогда t f (t) dt = p)dp, (15) F( t 0 где интеграл справа вычисляется по положительной полуоси.

sint ПРИМЕР 16. Вычислить dt.

t Решение. Имеем L[sint] =, тогда p2 + sint dz dt = = arctgz = t z2 +1 0 9 Умножение изображения (теорема о свертке) t Если f(t) и g(t) – оригиналы, то функция (t) = f ( )g(t - )d называемая сверткой функций f(t) и g(t), также является оригиналом и изображение свертки равно произведению изображений самих функций:

t L[ f ( )g(t - )d ] = F( p) G( p). (16) t ПРИМЕР 17. Найти изображение функции (t) = - )ed.

(t Решение. Функция (t) есть свертка функций f(t)=t и (t)=et, т.к.

1 L[t] =, L[et ] =, то по теореме умножения p2 p -1 1 ( p) = L[ (t)] = F( p)G( p) = =.

p2 p -1 p2( p -1) t ПРИМЕР 18. Найти изображение функции f (t) = d.

e Решение. Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако проще в данном случае воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: tet.

( p -1)Тогда по теореме об интегрировании оригинала получим:

t 1 : p =.

e d ( p -1)2 p( p -1) Используя свойства преобразований Лапласа, мы можем записать таблицу основных оригиналов и изображений.

Таблица Основные оригиналы и изображения оригинал изображение оригинал изображение 1 p 1 1; (t) 10 cht p2 - p (t - ) 2 11 eat sint e- p ( p - a)2 + p n ! p - a 3 12 eat cost tn n +n–натуральное p ( p - a)2 + число 4 t 1/p2 13 eat sht ( p - a)2 - p - a 5 t2 2/p3 14 eat cht ( p - a)2 - n! 6 15 t n eat et p - ( p - a)n+ 2 p 7 sint 16 tsint 2 2 2 2 p + ( p + ) 2 p 8 cost 17 tcost p - 2 2 ( p + ) p2 + t 9 sht 18 F ( p) 2 f ( )d p - p ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ Теорема 4. Пусть изображение F(p) является аналитической функцией в окрестности |p|>R и имеет вид Ck F( p) =. (17) pk k =Тогда оригиналом для F(p) является функция (t)f(t), где k -f (t) = (kC tk (18) -1)! k = Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) часто используется следующий прием:

Q( p) Если F( p) = есть правильная рациональная дробь, то R( p) разлагают эту дробь на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства преобразований Лапласа.

ПРИМЕР 19. Найти оригинал для функции F( p) =.

p( p -1)( p2 + 4) Решение. Разлагаем F(p) на сумму простых дробей:

1 1 1 1 1 p 1 F( p) = - + + -.





4 p 5 p -1 20 p2 + 4 5 p2 + Так как 1 1 p = L[(t)]; = L[et ]; = L[cos2t]; = L[sin 2t], то p p -1 p2 + 4 p2 + используя свойство линейности, находим:

1 1 1 F( p) = - + et + cos 2t - sin 2t.

4 5 20 ПРИМЕР 20. F( p) =. Найти f(t).

( p2 +1)Решение. Имеем L[sint] =. Используем теорему умножения p2 +t 1 L-1[F( p)] = L-1[ ] = sin(t - )sind = p2 +1 p2 +t 1 1 1 1 = =[cost - cos(2 - t)]d =[2 cost - 2sin(2 - t)]=t = 2 t cost - 2sint.

e- p ПРИМЕ 19. F( p) =. Найти f(t).

p +Решение. Используя теорему запаздывания (при =1, L[e-t ] = ), p +получаем:

e- p L-1[ ] = e-(t-1)(t -1).

p +ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть имеется дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами a0x + a1x + a2x = f (t), (19) где f(t) – функция-оригинал. Требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = x0, x (0) = x1 (20) Перейдем от оригинала к изображению.

Пусть L[x(t)] = X ( p), L[ f (t)] = F( p), тогда используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности, получаем:

L[x (t)] = pX ( p) - x0 ;

L[x (t)] = p2 X ( p) - px0 - x1, и уравнение (19) принимает вид:

(a0 p2 + a1p + a2)X ( p) - (a0 px0 + a0x1 + a1x0) = F( p).

F( p) + a0 px0 + a0x1 + a1xОтсюда X ( p) =.

a0 p2 + a1p + a Это операторное уравнение. Находя по изображению X(p) оригинал x(t) мы тем самым найдем функцию x(t) – решение задачи Коши (19)-(20).

ПРИМЕР 21. Решить задачу Коши x + x = 2cost, x(0) = 0, x (0) = -1.

Решение. Имеем L[x(t)] = X ( p), L[x (t)] = pX ( p) - x(0) = pX ( p), L[x (t)] = p2X ( p) - px(0) - x (0) = p2X ( p) +1, p L[cost] = p2 +Тогда уравнение примет вид:

2 p p2X ( p) +1+ X ( p) =.

p2 +Отсюда 2 p X ( p) = -.

( p2 +1)2 p2 + Найдем оригинал для функции X(p):

Имеем L[sin t] =.

p2 +2 p Для нахождения оригинала функции воспользуемся p2 +теоремой о дифференцировании изображения:

2 p = -( )p = L[t sint].

( p2 +1)2 p2 +Значит X ( p) = L[t sin t - sint].

таким образом, x(t) = (t -1)sint.

ПРИМЕР 22. Найти решение дифференциального уравнения x (t) + x (t) = t, удовлетворяющее начальным условиям x(1) =1, x (1) = 0.

~( t = +Решение. Положим и x(t) = x( +1) = x ).

Тогда дифференциальное уравнение и начальные условия принимают вид x ( ) + x ( ) = +1, x(0) = 1, x (0) = 0, так как значению t=отвечает значение =0.

Пусть L[x( )] = X ( p), тогда L[x ( )] = pX ( p) -1, L[x( )] = p2X ( p) - p и 1 операторным уравнением будет p2X ( p) - p + pX ( p) -1 = +.

p2 p 1 Отсюда: X ( p) = +.

p3 p Переходя к оригиналам, получаем: x( ) =1+, (t -1)Тогда: x(t) =1+.

x = 3(y - x + 2), ПРИМЕР 23. Решить системуy = x - y, z = -z.

x(0) = x (0) = 0; y(0) = 0; y (0) = -1; z(0) =1; z (0) = 0.

Решение. Переходя к операторной системе, получаем:

p2X = 3(Y - X + Z), p2Y +1 = X - Y, p2Z - p = -Z.

где X ( p) = L[x(t)],Y ( p) = L[ y(t)],Z ( p) = L[z(t)], отсюда 3 1 3 1 3 p 3 X ( p) = - + - +, 4 p2 4 p 4 p2 + 4 4 p2 + 3 1 3 1 p 1 1 p 1 Y ( p) = - + - + + -, 4 p2 4 p p2 +1 p2 +1 4 p2 + 4 4 p2 + p Z( p) =.

p2 +Находя оригиналы для изображений X(p),Y(p),Z(p), получаем x(t) = (1- t) - 3 cos2t + sin 2t, 4 4 3 y(t) = (1- t) + cos2t - 1 sin 2t - cost + sint, 4 4 8 z(t) = cost.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Найти изображения оригиналов:

3 2t 1. f (t) = -. 2. f (t) = et sin 2t cos4t.

5t 3t 3. f (t) = te2t cos3t. 4. f (t) = e-t sin2 t.

5. f (t) = t(t -1). 6. f (t) = sin(2t - 4)(t - 2).

7. f (t) = t2 cost. 8. f (t) = t2sh2t.

sin 3t - sin t 9. f (t) = t34t. 10. f (t) =.

t et - e2t. 12. f (t) = t sin2 2d.

11. f (t) = t t t 13. f (t) = 3e d. 14. f (t) = e3 cos4d.

0 1, t [0,1], 15. f (t) = 2-t, t (1,2], 0, t [0,2].

2. Не вычисляя интегралы, найти изображение следующих функций:

t t 1. sin 2 d. 2. cos3d.

0 t t 3.

2e2 d. 4. cos2d.

0 t 5. sin 2d.

e 3.Найти изображения функций:

3.1 3. 3.3 3.3.5 3. 3.7 3.3.9 3.4. По заданному изображению найти оригинал:

p + 2.

6 p2 - p - 1. F( p) = 11. F( p) =.

pp3 - p2 - 6 p 2 p +2. F( p) =.

3p2 - 2 p + 12. F( p) =.

p2 - p p3 - 2 p2 + 5p p3 + p2 -1.

3. F( p) = p4 - pp2. p3 + 2 p2 + 4 p + 2.

= 4. F( p) = 13. F( p) = = = ( p + 3)+ + p4 + 5p2 + + p2 - 2p -5. F( p) =.

14. F( p) =.

( p -1)2 - ( p + 2) p3 - 3p2 + 3p -p2 - p +1.

2 p3 - p2 + 4 p - 4.

6. F( p) = 15. F( p) = ( p2 -1)p4 -8p2 +( p +1)2.

2p3 - 2p2 - 7. F( p) = 16. F( p) =.

( p2 +1)( p2 - 2p + 2)(2 p2 - 5)e-3p.

p2e- p.

8. F( p) = 17. F( p) = p4 - 5 p2 + ( p + 2)3p - 9. F( p) =.

2p3 + p2 + 2 p -1.

( p -1)( p - 2) 18. F( p) = p4 -2 - p 10. F( p) =.

( p -1)5. Найти оригинал по заданному изображению:

4 p + 5 p 1.. 2..

( p - 2)( p2 + 4 p + 5) ( p +1)( p2 + p +1) 2 p 3.. 4..

( p2 + 4 p + 8)2 p( p2 +1)p + 3 p 5.. 6..

p3 + 2 p2 + 3p ( p +1)( p2 + 4 p + 5) 6 7.. 8..

p3 - 8 p3 + 1 p + 9.. 10..

p5 + p3 p2 + 4 p + p p + 11.. 12..

( p2 +1)( p2 + 4) ( p +1)( p2 - 2 p + 5) 1 3p + 13.. 14..

p3 + p2 + p ( p +1)( p2 + 4 p + 5) 1 15.. 16..

p( p3 +1) p3( p2 - 4) p 17.. 18..

( p2 +1)( p2 - 2) p3 -e- p/2. 20. 19..

( p2 +1)( p2 + 2) ( p -1)( p2 + 4p + 5) 5p 21.. 22..

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.