WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГИДРОДИНАМИКЕ» пособие для студентов по специальности 010100 Воронеж 2003 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 1 сентября 2003 года Протокол № 1 Составители: Глушко А.В., Глушко В.П.

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Рекомендуется для студентов 4-6 курсов математического факультета всех форм обучения 3 1. Теория напряжений Силы и напряжения. Внешние силы, действующие на некий объем сплошной среды, бывают двух типов: поверхностные и объемные.

Поверхностные силы – это результат контакта двух объемов сплошной среды, они распределены по поверхности и характеризуются интенсивностью, т.е. величиной силы, приходящейся на единицу площади поверхности. Если поверхность воздействия пренебрежительно мала, сила называется сосредоточенной.

Объемные силы действуют в каждой точке объема сплошной среды (вес, сила инерции). Рассечем • объем A B плоскостью, B F проходящей через x0 • произвольно выбранную n A точку x0 и делящую объем на части A и B.

Выбросим часть A, а ее Рис. 1 воздействие на часть B заменим элементарными усилиями F на элементарные части S сечения. Плоскость сечения однозначно определяется точкой x0 и нормалью v. Пусть S - та площадка, r F для которой x0 S. Тогда величина P = lim0 называется полным S S напряжением в точке x0 ( P зависит от выбора плоскости сечения, то есть от нормали v ). В некой декартовой системе координат вектор P имеет вид Pv =(Xv,Yv,Zv ). Если нормаль v параллельна некоторой оси координат (например, Ox ), значит v удобно заменять значком соответствующей оси, например, если v параллельна Ox, P =(Xv,Yv,Zv) = = Xv еx + Yv еy + Zv еz (еx,еy,еz - орты осей координат). Составляющая X еx, такие составляющие напряжения называются нормальными, две других составляющие называются касательными напряжениями.

Иная система обозначений:

нормальная составляющая обозначается, касательная составляющая обозначается.

На трех площадках, нормальных к трем осям, имеют место равенства X = ; Yx = ; Zx = x x xy zx X = ; Yy = ; Zy = y xy y zy X = ; Yz = ; Zz = z xz yz z Законы парности касательных напряжений Ниже докажем, что = ; = ; =. В силу произвольности xy yx xz zx zy yz обозначений осей, нам достаточно доказать лишь одно из этих равенств:

=. Выделим из объема сплошной среды, находящегося под действием xz zx внешних сил, бесконечно малый параллелепипед с ребрами длиной dx,dy,dz, параллельными осям координат.

z z xy + dz z y z yz dz x zy xz yz + dz + dz xz yz z z zx zx + dx zx x zy + dy zy x y + dx x x y + dy y yx y xy + dx yx + dy xy x x y Рис.dy yz xz z y На каждой грани имеем три составляющих напряжения, параллельных осям. Например, если на грани dydz действует нормальное напряжение, x то на противоположной грани, находящейся на отдалении dx от нее, действует нормальное напряжение, которое отличается от за счет x изменения координаты x от 0 до dx x (dx, y, z) (x, y, z) + dx.

xx x Аналогично связаны и иные напряжения на противоположных гранях.

Если наш параллелепипед находится в покое, то моменты всех сил относительно каждой из осей координат в алгебраической сумме должны дать нуль. Запишем этот факт для моментов относительно оси Oy. Моменты всех сил, параллельных оси Oy, равны нулю. Остальные силы, действующие на грани параллелепипеда, пересчитываются через напряжение по определению напряжения так: произведение напряжения на площадь грани.

Направление Силы, не Oy вращения Площадка Плечо вокруг Oy dydz Левая Ox dz x dydz Левая Ox – zx x + dxdydz x x Правая Ox dz dydz Правая Ox dx zx + dx zx x dydx Hижняя Oz dx x dydx Hижняя Oz – xz dydx Верхняя Oz z + dz dx z z dydx zx + dz zx z Верхняя Oz dz dz dzdx Задняя Oy xy dx dzdy Задняя Oy zy zy + dy zy dzdx y dx Передняя Oy dz xy + dy xy dzdx Передняя Oy y Уравнение моментов относительно оси y dz2 dzxzx dy - + dx dy + + dxdxdydz xxzx 22 x x dx2dydx z xz -+ + dz dy - + dz dxdydz + zzxz 22 z z dz2dx dxdydzdx2 dzzy xy +-+ + dy dz - - xy + dy dx = 0.

xyzyzy y 22 y Раскроем скобки dxdxdydzxzx z -+ dxdydz + dx2dydz + dydz zx x 2 x z dx2 dzzyxy xz - dxdydz - dxdydz2 ++ dydz - dxdy = 0.

xz z y y В выражении встречаются члены 3-го и 4-го порядка малости, если оно равно нулю, то равна нулю и его часть 3-го порядка малости, т.е.

dxdydz - dxdydz = 0 или =, ч.т.д.

zxzx xz zx Напряжения на наклонных площадках Для исследования напряженного состояния во всех точках среды необходимо уметь находить напряжения на любой площадке, наклонной к координатным осям (т.е. в случае, когда нормаль не параллельна осям).

, Пусть = 1 и = l,mn, т.е. cos(, x) = l; cos(, y) = m; cos(, z) = n.

( ) Для простоты и наглядности будем считать, что с целью определения напряжения рассматривается площадка на плоскости с нормалью, которая является основанием бесконечно малого тетраэдра, отсеченного плоскостью от положительного октанта системы декартовых координат xyz. Обозначим его abc.

( ) Обозначим площадь abc через ( ) z dS. Площади y c остальных граней xy определим как yx Z zy площади проекций abc, т.е.

( ) x X пл. bc = dS l zx Y пл. bc = dS m a x пл. bc = dS n На рассматриваемый yz xz тетраэдр действуют Рис.b силы:

z y поверхностные:

dSl, dSm, dSn, dSl, dSl, dSm, dSm, dSn, x y z yx zx xyzyxz dSn, XvdS,YvdS, ZvdS yz внутренние (распределенные по объему тетраэдра с интенсивностью F = (X,Y,Z) ): XdV,YdV, ZdV, т.к. тетраэдр неподвижен, проекции результирующей на все оси равны нулю:



XvdS - dSl - dSm - dSn + XdV = 0 (на x ) x xyxz YdS - dSm - dSl - dSn +YdV = 0 (на y ) v yyx yz - - dSn - dSn - dSm + ZdV = 0 (на z ) ZvdS z xz yz Последние слагаемые XdV,YdV, ZdV имеют 3 порядок, следовательно, не влияют на равенство нулю слагаемых второго порядка и могут быть отброшены: Xv = l + m+ n ; Yv = l + m + n ; Zv = l + m + n x xy xz yx y yz zx zy z 2.Теория деформации Исследуем деформацию объема сплошной сферы. Чтобы определить ее, необходимо сравнить положение точек среды до и после приложения нагрузки.

z Пусть координаты точки A до деформации были (x0, y0,z0), а после - (x, y,z). Отрезок A(x, y, z) A(x0, y0,z0), A(x, y,z) называется перемещением A(x0, y0, z0) точки A.

Есть два вида перемещений:

0 y 1. Перемещение всего тела без деформаций x Рис. (расстояния между всеми точками тела сохраняются без изменений)- этот случай классического твердого тела изучался в теоретической механике.

2. Перемещения, связанные с деформациями.

Проекциями перемещения точки A на координатные оси обозначим соответственно u = x - x0, v = y - y0, w = z - z0.

Очевидно, u = u x, y.z, v = v x, y, z, w = w x, y, z.

( ) ( ) ( ) Разница в перемещениях различных точек сплошной среды вызывает его деформацию. Поместим начало координат в т. 0. Бесконечно малый параллелепипед dxdydz, вырезанный из сплошной среды около т. A, вследствие различных перемещений его точек деформируется. В рамках нашей теории будем считать, что при этом :

- изменяется длина его ребер, - изменяются z C'' C' w u w+ dz первоначально прямые u+ dz z z его углы. B' C dz То есть прямоугольный dz w параллелепипед w+ dx B'' x становится A' w непрямоугольным. B u A Рис. u 0x u+ dx dx x На рисунке изображены два ребра этого параллелепипеда:

до деформации - AB и AC (параллельные Ox и Oz, соответственно), ' ' после деформации - AB' и AC'. Длина AB есть dx, AC - dz.

После деформации т. A u w.

получила перемещение, Как и при выводе закона парности касательных напряжений, с точностью до дифференциалов B C можем записать, что т. и переместятся в точки с координатами u wdx) C:(u + u wdz) B (u + dx; w+ dz; w+ и.

x x z z Имеем :

u ' ' AB'' = -u + dx = dx + dx AB' на x, - проекция (dx )+u u x x u u ' AB = AB'' - AB = dx + dx -dx = dx - проекция абсолютного удлинения x x ребра AB на x, AB u = = - относительное удлинение ребра AB вдоль оси x - так x AB x называемая линейная деформация по направлению x.

Аналогично v w = ; = - линейные деформации по направлениям координатных y z y z осей y и z соответственно.

Тангенс угла поворота ребра AB в плоскости xz равен wdx w w ' BB'' w+ x - w = x = x tg = = 1 ' AB'' dx + u dx 1+ u 1+ x x x При рассмотрении малых деформаций tg и можно, кроме 1 того, пренебречь линейной деформацией по сравнению с 1 (так как x - это удлинение единичного отрезка).

x u w Имеем =. Аналогично =.

x z Искажение прямого угла произошло на следующий «угол сдвига в плоскости xz » («угловую деформацию в плоскости xz »).

w u = + = +.

zx 1 x z Аналогично найдем угловые деформации в двух плоскостях:

v u; = v w.

= + + yxyz x y z y Формулы Коши:

u; = v; = w; = w u;

= + xyz xz x y zx z u v v w.

= + ; = + xyyz y x z y Объемная деформация.

В процессе деформации может изменяться объём z рассматриваемой области сплошной среды. Подсчитаем изменение объёма (dz) бесконечно малого (dx) параллелепипеда, который до деформации dS x был прямоугольным со (dx)сторонами dx, dy, dz и ( - ) объёмом dv = dx dy dz. xy Рис. Длина ребра 0,dx (рис.

( ) 6) равная до деформации dx, станет равной (dx)1 = dx(1+ ).

x Соответственно: (dy)1 = dy(1+ ); (dz) = dz(1 + ) - длина проекции yz деформированного ребра dy (dz) на Oy (Oz). Подсчитаем изменение объема параллелепипеда.

Площадь основания: dS = (dx1)(dy1) = dxdy(1 + )(1 + ). Высота x y параллелепипеда есть dz1. Объем параллелепипеда dV1 = dxdydz(1+ )(1+ )(1+ ). Пусть деформации малы. Порядок малости x y z –, т.е. = O( ); = O( ); = O( ). Отсюда xyz dV = dxdydz(1+ + + + O( )).

x y z Относительная объемная деформация dV1 - dV u u u == + + ; = + + ; = + +.

x y z x y z dV x y z Среда называется несжимаемой, если = 0.

Деформации u,v,w можно представить через скорости сдвига точки среды u = Vdt; v = V2dt; w = Vdt, где V (x,t) = (V1,V2,V3) - скорость частицы среды, 1 находящейся в момент времени t в точке x. Для несжимаемой среды V1 V2 V+ + = 0 при любом t > 0 или divV = 0.

x1 x2 x3. Гидродинамика Индивидуальная и местная производные по времени Значение скалярной характеристики частицы сплошной среды можно задать двумя способами.

1 способ (Лагранжа). В начальный момент времени t = t0 выбирается частица с координатами (,, ) и в дальнейшем мы наблюдаем лишь за 1 2 ней, двигаясь вместе с ней. В этом случае характеристика (например, температура T частицы) есть функция T = T (,,,t). Ее производная 1 2 T по времени это.

t 2 способ (Эйлера). Наблюдатель, вообще говоря, не следует за частицей в процессе ее движения, а может измерить температуру в точке пространства x1, x2, x3 (т.е. температуру той частицы, которая в данный момент попала в эту точку). Чтобы отслеживать температуру одной и той же частицы в различные моменты, необходимо измерять T = TЭ в тех точках пространства, в которые попала частица в каждый момент t, двигаясь по своей траектории x1(t), x2(t), x3(t), точнее, xi = xi (,,,t).





1 2 Поэтому производная по t есть O1(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) • v1t TЭ 3 TЭ xj d TЭ = + = • dt t xj t j=1 O• TЭ 3 TЭ O(x1, x2, x3) = + vj.

t xj j=1 • v0t O момент t момент t +t Рис. Распределение скоростей в произвольно малой частице сплошной среды Рассмотрим совокупность точек среды с координатами xi + dxi = xi +, i i i удаленных от точки O x1, x2, x3 на расстояние = d, d, где > ( ) 0, – достаточно малое число.

Поле скоростей v=v x,t C1 0, будем считать непрерывно ( ) ( ( ) ) дифференцируемым. Обозначим скорость точки O : v(x,t)=v0, а скорость произвольно выбранной точки O1 x + dx - через v1. За время t вектор ( ) / / / / OO1 = перейдет в О O1/ = и = ; = очевидно, что ( ) / / + v0 t = + v1 t или = v1 - v0 t.

( ) Разложим v1 в окрестности точки O :

v1 =v0 + ( )( ) xv + 1 lim0 1 =1 (1) j ( ) 0 j=j Отсюда dv / = ++ o(1)t (2) j dxj j= Пусть e1,e2,e3 - орты осей Ox1,Ox2,Ox3.. Тогда v x,t = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = ek.

( ) v k k=Из (1) имеем 3 k v1 =v0 + ( ) v ek + xj j j=1 k=Методом «добавить и отнять» получим 3 33 1 vk vj vk vj v1 =v0 + ek j ek j 0 ( ) xj + xk + 1 xj + xk + 1 (3) j=1 k =1 j=1 k = 1 vk vj vk vj Обозначим ejk =+ k, j =1,3;

; = - ; e == 2 xj xk kj xj xk ekj ; kj ;

v1 =v0 + e1,e2,e3 e 2 + e1,e2,e3 2 + 1 (4) ( ) () () 3 Из (3) следует с точностью до o(1) : (v = (v1, v1, v1 )) 0 1 2 v1 =vk + k e +,k =1,2,3. (5) kj j kj j j=1 j=Введем квадратичную форму = epq p q.

p,q= Очевидно, что =. Формулы (5) примут вид e kj j j=k v1 = vk + +kj j. (6) k j=k Таким образом, скорость v1 произвольной точки среды «вблизи» точки O разбита на 3 составляющие, первая из которых v0 не зависит от, и, следовательно, представляет скорость движения всего элементарного объема.

Вторая составляющая имеет потенциал. Для более детального исследования третьей составляющей, k =1,2,3 рассмотрим kj j i=антисимметричную матрицу :

12 133 -= = 00 -, - - 13 23 2 (здесь введены обозначения = ; = ; = ), или 1 32 2 13 3 1 v3 v2 1 v1 v3 1 v2 v=-=-=1 2 x2 x3 ; 2 2 x3 x1 ; 3 2 x1 x2.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что e1 e2 e 1 = ; =,,.

( ) ( ) 1 2 x1 x2 x v1 v2 v Поэтому = v, а третье слагаемое в (6) представимо в следующем векторном виде:

+ - + e1 e2 e 12 2 13 33 2 2 += 3 1 -==.

21 1 23 3 1 3 1 2 - + + 31 1 32 2 2 1 1 2 1 2 Следовательно, представление (6) принимает вид v1 =v0 ++ + 1 (7) ( ) Заметим, что для твердого тела имеет место теорема Эйлера (8) v1 = v0 +, где - скорость некоторой фиксированной точки О тела, - вектор vмгновенной угловой скорости вращения тела, = OO1. Формулы (7) и (8) отличаются наличием в (7) слагаемого и o(1). Величина o(1) 0 имеет высший порядок малости и поэтому при построении нами линейной теории учитываться не будет.

Выясним роль. В результате движения сплошной среды вектор переходит в '. Изменение = ' - может быть обусловлено только тем, что разные точки бесконечно малой частицы движутся с разными скоростями. Вычислим отличную от нуля для деформируемого тела величину, называемую «скоростью относительного удлинения отрезка среды в направлении »:

1 d 1 d 1 d( ) 1 d t l = ==== ( ).

dt 2 dt 2 dtdt d Из равенства ' = + (v1 - v )t в пределе при t 0 следует = v1 - v.

0 dt Поэтому 1 d l = ( * ) = ( (v1 - v )) = ( *(+ )).

dt Так как ( ) = 0 ( ( )), то 11 l = = + + ()x1 1 x2 2 x3 Предположим для простоты, что точка O - начало координат, т.е.

=,, = x1, x2, x3, хотя это не существенно. Имеем ( ) ( ) 1 2 1 l = x1 + x2 + x3 = 2, x1 x2 x3 x x (т. к. по определению = epqxpxq ).

p,q=xp xq Отсюда l = epq = epq p q, где =cos,Oxp.

( ) p x xp,q=p,q=Окончательно lq = epq p q (9) p,q=Введём новые обозначения. У нас был введён тензор деформаций P :

u 1 u v 1 u w ++ x1 2 x2 x1 2 x3 x 1 u v v 1 v w P =++ 2 x2 x1 x2 2 x3 x w 1 u + w 1 v + w 2 x3 x1 2 x3 x2 x du dv dw dP Так как = v1, = v2, = v3, поэтому e =. Поэтому матрица e dt dt dt dt называется тензором скоростей деформаций.

Итак, если известны компоненты тензора скоростей деформаций e, то по формулам (9) можно вычислить скорость относительного удлинения l в заданном направлении.

Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций j Пусть направлен вдоль оси Ox, тогда из (9) следует:

l = epq p q =q = epq cos(,Oxp)cos(,Oxq) = ejj, p,q=1 p,q=j т.е., l = ejj, если PО x.

То есть компоненты тензора с одноимёнными индексами являются скоростями относительных удлинений отрезков среды, первоначально направленных параллельно соответствующим осям.

Компоненты eij при i j равны половине скорости скашивания первоначально прямых углов, образованных отрезками среды, в исследуемый момент времени, параллельных соответствующим осям. Введём вектор v* = и назовём эту величину скоростью чистой деформации. Если v* = 0, то деформация отсутствует.

Главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций Тензор скоростей деформации является симметричной матрицей, поэтому для нее существует канонический базис (так называемый базис e1 0 главных осей), в котором e имеет диагональный вид e = 0 e2 0.

0 0 e Величины e1,e2,e3 называются главными компонентами тензора скоростей деформаций. Очевидно, ej > 0 соответствует растяжению, а ej < 0 – сжатию.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.