WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Министерство образования Российской Федерации ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПММ Кафедра вычислительной математики РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ ЧАСТЬ I Методическое пособие по курсу “Алгебра и геометрия” для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ, 1-го курса математического факультета СОСТАВИТЕЛИ:

Глушакова ТН.

.

Удоденко Н.Н.

Бондаренко Ю.В.

Воронеж – 2002 - 2 СОДЕРЖАНИЕ §1. Матрицы (действия над ними, обратная матрица) …………………………3 §2. Определители: определение, свойства и вычисление ….…………………. 13 §3. Правило Крамера …….………………………………………….……………50 §4. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы …..……….…..51 §5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.……….…………….54 - 3 §1. МАТРИЦЫ (ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА) Определение 1. Матрицей A размеров m n называется совокупность m n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

aa... a1n 11 12 aa... a2n 21 22 A =.

............

aa... amn mm 21 Числа aij (i =1,2,...,m; j =1,2,...,n), составляющие матрицу, мы будем называтьэлементами матрицы.

Определение 2. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называются прямоугольными.

Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется 00... 0 00... 0.

нулевой матрицей: O =............

00... 0 Определение 4. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:

01... 0 10... 0 E =.............

00... 1 Определение 5. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определение 6. Квадратная матрица - 4 a11 00... 0 aa...0 0 21 aa a33... 0 31 A =..................

aa an-1,3... an-1,n-1,1 1 nn -- 1, aa an,3... an,n-1 an,n 1, nn, n -го порядка называется нижнетреугольной.

Определение 7. Квадратная матрица aa a13... a1, -1 a1nn 11 aa...0 a2, -1 a2,nn 22 00... aa a3nn 33 3, - A =..................

00 0... aa,1 nn -- 1 n-1,n 00 0... 0 a,nn n -го порядка называется верхнетреугольной.

Замечание. В том случае, когда нам не важно, является матрица нижнетреугольной или верхнетреугольной, говорят просто “треугольная матрица”.

1.1. Действия над матрицами 1.1.1. Сложение и умножение на число Пусть = aA )( и = bB )( – матрицы, состоящие из m строк и n ij mn ij mn столбцов.

Определение 8. Матрица = cC )(, элементы которой определяются ij mn по формуле = acij ij + bij (i =1,...,m; j =1,...,n), называется суммойматриц A и B и обозначается A + B : C = A + B.

Замечание. Сумма определена только для матриц одних и тех же размеров.

Определение 9. Матрица = cC )(, элементы которой определяются по ij mn формуле = acij ij (i =1,...,m; j =1,...,n), где – некоторое число, - 5 называется произведением матрицы A на число и обозначается A:

С = A.

Утверждение. Для любых матриц A, B и C одних и тех же размеров и любых чисел и выполнены равенства:

1) A + B = B + A;

2) (A + B) + C = A + (B + C) ;

3) (A + B) = A + B ;

4) ( )A = ( A).

1.1.2. Умножение матриц Пусть даны матрицы = aA )( и = dD )(.

ij mn ij np Определение 10. Произведением матриц A и D называется такая матрица = cC )(, элементы которой определяются по формулам ij mp n = ac dkj, то естьэлемент сij равен сумме произведений элементов i -той ij ik k=строки матрицы A на элементы j -го столбца матрицы D.

Замечание 1. Целесообразностьтакого определения произведения матриц мы проиллюстрируем следующей задачей.

Задача. Пусть дана линейная функция двух переменных = ay z1 + a12z2, а z1 и z2, в свою очередь, являются линейными функциями переменных x1 и x2, то есть = bz x1 + b12x2 и = bz x1 + b22x2. Найти 111 зависимость y от x1 и x2. После несложных элементарных выкладок получим = az b11 + a12b21)( xx + (a11b12 + a12b22)x2.

Коэффициенты при x1 и x2 – это элементы матрицы, являющейся bb 11 произведением матриц = (aA a12) и B =.

bb 21 Замечание 2. Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае AD DA. Если дана матрица = fF )(, то произведение AF – ij nm это матрица (m m), а FA – это матрица (n n).

Определение 11. Две матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA.

- 6 № 822 (П). Найти все матрицы, перестановочные с матрицей.

Р е ш е н и е.

ba Пусть A = – матрица, которую нам надо найти. Тогда dc 21 ba ba = 43 dc dc ca =+ a + 32 b = bc = bc 43 ca =+ c + 3d ad += c.

db =+ 22 a + 4b bd += a bd += a 43 db =+ 2c + 4d ba 3 Ответ: A = bb + a, где a, b – любые числа.

2 aa... a1n 11 aa... a2n Определение 12. Если в матрице A = 21 строки и............

aa... amn mm столбцы поменять местами, то полученная матрица aa... am 11 aa... am 12 AТ = называется транспонированной к матрице А.

............

aa... amn 21 nn Определение 13. Преобразование матрицы, при котором строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами, а порядок элементов не меняется, называется транспонированием.

- 7 1.1.3. Многочлен отматрицы Определение 14. Пустьдан многочлен )( + t2 +... + tk += tt 10 2 k и пусть = aA )( – квадратная матрица, тогда значением многочлена (t) ij nn отматрицы A называется матрица )( EA += A + A2 +... + Ak, 10 2 k где E – единичная матрица, Ai – матрица, получающаяся при умножении матрицы A на себя i раз.



№ 827 (П). Найти значение многочлена tf )( 3x2 -= 2x + 5 от матрицы - 21 A = - 42 1.

- 53 Р е ш е н и е.

Найдем Af )( 3A2 -= 2A + 5E = 3(A A) - 2A + 5E.

- 21 3 - 21 - 41 + 9 - 2 + 8 -15 3 - 2 + A2 = - 42 1 - 42 1 = 82 +- 3 - 4 +16 - 5 6 - + 24 = - 53 2 - 53 2 103 +- 6 - 6 + 20 -10 9 - 5 + - 96 = 4 ;

- - 41 - 96 7 3 05 0 18 - 27 - Af )( = 3- 73 4 - 2 - 42 1 + 50 0 = 12 + - - 41 8 - 53 2 00 5 - 123 - 42 - 6 05 0 21 - 23 + 84 -- 2 + 50 0 = -13 34 10.

106 -- 4 00 5 - 229 - 8 21 - 23 Ответ:

-13 34 10.

- 229 1.2. Обратная матрица Определение 15. Матрица B = A-1 называется обратной к квадратной матрице A, если AB = BA = E.

Определение 16. Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A-1. В противном случае A – вырожденная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица A порядка n является невырожденной в том и только том случае, если определитель этой матрицы отличен от нуля.

Для отыскания обратной матрицы существуют два способа.

1) Припишем к матрице = aA )( справа единичную матрицу и, применяя ij nn метод Гаусса (см. §5), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева стояла единичная матрица, тогда справа будет находиться обратная матрица = bB )( :

ij nn aa... a1n... 11 aa... a2n 10... 21....

........................

aa... ann 00... nn 01... 0 bb11 12... b1n 10... 0 bb... b2n.

21...

........................

00... 1 bb... bnn nn Обоснование этого способа состоит в следующем.

Пустьнам дана невырожденная квадратная матрица. Задачу нахождения обратной матрицы можно рассматривать как задачу решения матричного - 9 уравнения A X = E, которое эквивалентно системе n2 уравнений с nнеизвестными.

Эта система является объединением n систем уравнений, каждая из которых содержит n неизвестных. Умножая поочередно строки матрицы A на 1-й столбец матрицы X и приравнивая к 1-му столбцу матрицы E, получим систему уравнений, матричная форма записи которой имеет вид aa... a1n x11 11 aa... a2n x21 21 = (1.2.1)...

...............

aa... ann xn1 nn 21 С помощью элементарных операций над строками матрицы систему уравнений можно привести к виду 01... 0 x11 b 10... 0 x21 b =..................

b 00... 1 x 1 nn Умножая поочередно строки матрицы A на второй столбец матрицы A и приравняв ко второму столбцу матрицы E, получим систему уравнений aa... a1n x12 11 aa... a2n x22 21 =. (1.2.2)...

...............

aa... ann xn2 nn 21 С помощью тех же элементарных операций, что применялись для решения системы (1.2.1), мы приведем систему (1.2.2) к виду 01... 0 x12 b 10... 0 x22 b =..................

b 00... 1 x 2 nn и т.д.

Поэтому для нахождения обратной матрицы и был предложен описанный выше способ.

- 10 AA... An 11 AA... An2, 12 2) A-1 = где Aij (i, j =1,...,n) – det A............

AA... Ann 21 nn алгебраические дополнения к элементу aij, det A – определитель матрицы A (см. §2).

52 № 840 (П). Найти обратную матрицу для матрицы A = 36.

25 -- Р е ш е н и е.

I способ.

5-- 23 5 7 001 52 7 01 36 4 10 0 - 29 -120 -17 - 13 2 -- 325 100 12 290 -- 41 - 05 52 7 01 0 52 0 188 203 -- 120 17 -13 0 120 0 456 492 -- -- 177 00 1 27 - 29 24 00 1 27 - 29 52 0 188 203 -- 168 02 0 - 22 - 5 10 0 38 41 -- 34 10 0 38 41 - 00 1 27 - 29 24 00 1 27 - 29 001 - 10 0 38 41 -34.

100 27 - 29 -11 Ответ: A-1 = 38 41 -- 34.

27 - 29 - 11 II способ.

52 7 det A = 36 4 36 = 32 (-3) + 5 4 5 + 7 6 (-2) - 53 7 - 25 -- 3 - - (-2) 4 2 - (-3) 6 5 = -18 + 100 - 84 -105 + 16 + 90 = -1;

43 +11 +A11 -= 1( ) -= 1; A12 -= 1( ) = 38;

-- 32 - 36 +31 +A13 -= 1( ) -= 27; A21 -= 1( ) =1;

- 25 -- 72 +22 + A22 -= 1( ) -= 41; A23 -= 1( ) = 29 ;

- 35 - 75 +13 +A31 -= 1( ) = -1; A32 -= 1( ) = 34 ;

43 +A33 -= 1( ) = -24.

- 11 -1 -11 Таким образом, A-1 -= 1 38 - 41 34 = 38 41 -- 34.

27 29 -- 24 27 - 29 -11 Ответ: A-1 = 38 41 -- 34.

27 - 29 21 № 861 (П). Решить матричное уравнение X =.

43 Р е ш е н и е.

1 вариант.

- 12 xx Пусть X =, тогда xx 21 xx 53 xx x2 ++ 22 x4 21 = = 43 xx 95 43 xx 3x2 ++ 4x4 43 31 xx =+ xx =+.

43 xx =+ 43 xx =+ - 13 20 0 3 01 2 0 3 01 0 0 - - 3 10 20 5 10 00 -10 0 2 03 4 0 00 - 2 0 - 4 00 1 0 030 4 9 1000 00 0 - 2 - x -= x -=.

x3 = x4 = - - Ответ: X =.

2 вариант.

- 21 Очевидно, что X = 43 95. Найдем матрицу, обратную к матрице A =.

I способ:

- 13 - - 13 2 01 21 01 3 - 43 10 20 -- 13 2 - 3 A-1 =.

2 II способ:

- 1 - 1 - A-1 = -= - 13 = 3 - 1.

det A- 13 2 Таким образом, - 12 - 32 +15 - 2 5 + 53 -- = 3 1 3 1 3 X = =.

- 3 - 5 5 - 2 2 95 2 2 2 - - Ответ: X =.

§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ 2.1. Понятие перестановки, подстановки, инверсии, транспозиции Определение 1. Биективное (взаимнооднозначное) отображение конечного множества на себя называется перестановкой.





Перестановки множества = {,1 2,...,nA } обычно записывают в виде 21... n = (2.1.1).

...

n Эта запись означает, что i)( =.

i Пример 2.1.1. Выписать все перестановки, соответствующие данной:

- 14 21 3 4 43 Р е ш е н и е.

Очевидно, что =,1 2,5 (i = 3,4,5). Рассмотрим все возможные i варианты (их будет 3!):

43 34 1 2 34 1 5 34 2 5 34 2 1 34 5 1 34 5 2 Таким образом, получим следующие перестановки :

21 3 4 5 21 3 4 5 21 3 4 =, =, =, 1 34 1 2 5 2 34 1 25 34 2 5 21 3 4 5 21 3 4 5 21 3 4 =, =, =.

34 2 1 5 5 34 15 2 6 34 5 2 Замечание 1. Столбцы в перестановке (2.1.1) можно менять, строчки – нет.

Замечание 2. Всюду в дальнейшем будем считать что первая строчка в, перестановке (2.1.1) не меняется.

Замечание 3. Иногда перестановку (2.1.1) записывают в виде =,(,..., ). (2.1.2) 21 n Теорема 1. Из n элементов можно составить n! различных перестановок вида (2.1.2).

Определение 2. Такое расположение пары чисел в перестановке (2.1.2), когда большее стоит впереди меньшего, называется инверсией или беспорядком.

Определение 3. Если в перестановке (2.1.2) четное число инверсий, то перестановка называется четной, если нечетное – нечетной.

- 15 Определение 4. Преобразование, при котором 2 элемента в перестановке (2.1.2) меняются местами, а все остальные остаются на месте, называется транспозицией.

Теорема 2. Транспозиция меняет четность перестановки (2.1.2).

Теорема 3. Число четных перестановок (2.1.2) равно числу нечетных n! перестановок и равно.

Определение 5. Перестановка (2.1.1) называется четной, если сумма инверсий перестановок, стоящих в первой и второй строках, четная или четности первой и второй строк одинаковы.

Замечание 4. Так как первая строка в перестановке (2.1.1) не меняется, то четность перестановки определяется только второй строкой.

2.2. Определители второго и третьего порядков Определение 6. Элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего левого угла), называются главными диагональными элементами матрицы.

Определение 7. Элементы, стоящие на побочной диагонали матрицы (то естьдиагонали, выходящей из верхнего правого угла), называются побочными диагональными элементами матрицы.

Определение 8. Определителем второго порядка квадратной матрицы aa 11 A = называется число, равное разности произведения главных aa 21 диагональных элементов и произведения побочных диагональных элементов:

aa 11 det A == aa - a21a12.

11 aa 21 Пример 2.2.1. Вычислить определитель.

Р е ш е н и е.

= 41 - 3 2 = 4 - 6 = -2.

Ответ: –2.

Определение 9. Определителем третьего порядка квадратной матрицы - 16 aa a13 aa a 11 12 11 A = aa a23 называется число det A = aa a23, которое 21 22 21 aa a33 31 32 aaa 31 можно вычислять следующими способами:

1) по правилу треугольника:

aa a11 aa a23 11aa a33 += a12a23a31 + a21a32a13 -.

21 22 aa a31 - aa a13 - a32a23a11 - a21 12aa.

31 22 Пример 2.2.2. Вычислить определитель 54 6 по правилу треугольника.

Р е ш е н и е.

54 6 = 51 9 + 2 6 7 + 4 8 3 - 7 5 3 8 - 6 1 - 4 2 9 = 45 + 84 + 96 -105 - 48 - 72 = Ответ: 0.

2) по правилу Саррюса: припишем к определителю справа два первых столбца и составим сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которой затем вычтем сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали:

aa a13 11 aa 11 12 aa a23 21 aa aa a33 += a12a23a31 + a13a21a32 - 21 22 22 11 aa a33 31 aa 31 32 - 17 - aa a13 - a32a23a11 - a33a21a12.

31 Пример 2.2.3. Вычислить определитель 54 6 по правилу Саррюса.

Р е ш е н и е.

21 3 54 6 54 = 51 9 + 2 6 7 + 3 4 8 - 7 53 - 86 1- 9 4 2 = 87 9 = 45 + 84 + 96 -105 - 48 - 72 = Ответ: 0.

2.3. Определители n-го порядка Определение 10. Определителем n –го порядка квадратной матрицы aa... a1n 11 aa... a2n 21 A =............

aa... ann nn называется алгебраическая сумма n! слагаемых (членов определителя).

Каждый член определителя естьпроизведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца, при этом произведение 21... n aa... an n берется со знаком “+”, если перестановка 21... n четная, и со знаком “ – ”, если нечетная.

№ 252 (Ф-С). Выписатьвсе слагаемые, входящие в определитель 5- го порядка и имеющие вид aa a3 a4 43 a5 5.

14 - 18 Р е ш е н и е.

Составим перестановку, соответствующую данному элементу:

21 3 4. Очевидно, что =,1 2, 5 (i = 3, 4, 5).

i 43 Рассмотрим все возможные варианты (их будет 3!):

34 число инверсий знак 43 34 1 2 5 5 34 1 5 2 6 + 34 2 15 7 34 2 1 5 6 + 34 5 1 2 7 34 5 2 1 8 + 2.4. Свойства определителя 1) При транспонировании определитель квадратной матрицы не меняется.

Cледствие. Всякое утверждение, справедливое для строк определителя, справедливо и для его столбцов.

2) Если в определителе две строки поменять местами, то определитель изменит свой знак.

Следствие. Если в определителе естьдве одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

3) Если в определителе все элементы некоторой строки умножить на некоторое число, то сам определитель умножится на это число.

Следствие. Определитель, содержащий двепропорциональные строки, равен нулю.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.