WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 27 |
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ 1 С ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 2 А. Скопенков Abstract. This book is purely expositional and is in Russian. It is shown how in the course of solution of interesting geometric problems (close to applications) naturally appear main notions of algebraic topology (homology groups, obstructions and invariants, characteristic classes). Thus main ideas of algebraic topology are presented with minimum technicalities. Familiarity of a reader with basic notions of topology (such as 2-dimensional manifolds and vector fields) is desirable, although definitions are given at the beginning. The book is accessible to undergraduates and could also be an interesting easy reading for mature mathematicians.

Посвящается памяти Юрия Петровича Соловьева 1 Изд-во МЦНМО, Москва, в печати. Выложено на http://arxiv.org/ с разрешения издательства.

Решения некоторых задач временно удалены (в связи с чтением курса по этой книге в МФТИ). Они будут восстанавливаться по мере их разбора на занятиях.

2 Московский Физико-Технический Институт, Независимый Московский Университет, Инфо:

www.mccme.ru/skopenko. Частично поддержан Российским Фондом Фундаментальных Исследований, Гранты номер 07-01-00648a, 06-01-72551-NCNILa и 12-01-00748-a, Грантом Президента РФ МД-4729.2007.1, стипендией П. Делиня, основанной на его Премии Бальзана 2004 года, а также грантами фонда Саймонса 2011 и 2012 гг.

1 ОГЛАВЛЕНИЕ §1. Введение. Зачем эта книга. Содержание и используемый материал. Для знатоков.

Благодарности. Основные понятия теории графов.

ГЛАВА 1. Двумерные многообразия.

§2. Диски с ленточками. Наглядные задачи. Топологическая эквивалентность дисков с неперекрученными ленточками. Топологическая эквивалентность дисков с перекрученными ленточками.

§3. Двумерные многообразия. Двумерные симплициальные комплексы. Триангуляции двумерных многообразий. Линейные тела (вложения) двумерных симплициальных комплексов.

Гомеоморфность двумерных симплициальных комплексов. Инварианты двумерных многообразий. Классификация двумерных многообразий. Формула Эйлера и графы на поверхностях.

§4. Утолщения графов. Реализуемость иероглифов на плоскости. Реализуемость иероглифов на двумерных многообразиях. Определения и примеры утолщений. Реализуемость утолщений. Ориентируемость и классификация утолщений.

§5. Гомологии двумерных многообразий. Ориентируемость 2-многообразий. Форма пересечений.

§6. Инволюции. Примеры инволюций. Классификация инволюций. Другое доказательство теоремы классификации инволюций.

ГЛАВА 2. Векторные поля и их наборы.

§7. Векторные поля на плоскости. Интересные примеры и теоремы. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений. Число оборотов вектора и его применения. Гомотопическая классификация векторных полей на подмножествах плоскости.

§8. Векторные поля на двумерных многообразиях. Векторные поля на сфере и торе.

Векторные поля на других поверхностях. Поля направлений. Обобщение на двумерные многообразия. Касательные векторные поля: общее положение. Касательные векторные поля: триангуляции. Нормальные векторные поля для двумерных многообразий. Препятствие Уитни к вложимости.

§9. Векторные поля на многомерных многообразиях. Определение трехмерных многообразий (набросок). Основные результаты о существовании ненулевых касательных векторных полей. Основные результаты о существовании ненулевых нормальных векторных полей.

Основные результаты о классификации ненулевых касательных векторных полей. Построение гомотопического инварианта векторных полей.

§10. Классификация сечений и интегрируемые системы. Классификация сечений и зейфертовых сечений. Применение к интегрируемым гамильтоновым системам.

§11. Наборы векторных полей. Основные результаты о существовании наборов касательных векторных полей. Параллелизуемость некоторых трехмерных многообразий. Характеристические классы для 3-многообразий. Характеристические классы для 4-многообразий.

Характеристические классы для n-многообразий.

§12. Непогружаемость и невложимость. Основные результаты о невложимости. Наборы нормальных векторных полей. Препятствие Уитни к вложимости.

§13. Расслоения и их применения. Простейшие расслоения. Векторные расслоения.

Степени двойки и классы Штифеля-Уитни (набросок). Классификация расслоений.

ГЛАВА 3. Гомологии многообразий.

§14. Простейшие методы вычисления гомологий (набросок). Определения. Вычисление по определению. Гомологии пары. Вырезание. Точные последовательности. Реализация циклов подмногообразиями (набросок).

§15. Двойственности Пуанкаре и Александера-Понтрягина. Простая часть двойственности Пуанкаре. Сложная часть двойственности Пуанкаре. Двойственность Александера и ее применения. Другая двойственность Александера. Коэффициент зацепления. Двойственность Александера-Понтрягина.

§16. Препятствия к кобордантности. Препятствия к кобордантности. Числа ШтифеляУитни. Сигнатура и числа Понтрягина (набросок). Построение нестандартных сфер Милнора.

ГЛАВА 4. Гомотопическая классификация отображений.

§17. Отображения графов. Фундаментальная группа и накрытия (набросок). Отображения графа в окружность. Отображения графа в проективное пространство. Эквивариантные отображения графа.

§18. Теорема Брауэра-Хопфа.

§19. Обобщения теоремы Хопфа (набросок). Отображения трехмерной сферы в двумерную. Отображение Хопфа как обобщение накрытия. Точная последовательность вложения (Баррата-Пуппе). Отображения полиэдра в сферу меньшей размерности. Отображения в пространства Эйленберга-Маклейна.

§20. Погружения, вложения, заузливания и гомотопические сферы. Выворачивание сфер наизнанку. Введение: проблемы вложимости и заузливания. Общее положение. Идея дополнения. Инвариант дополнения для узлов в коразмерности 1 и 2. Общий инвариант дополнения. Общий инвариант окрестности. Комбинация инвариантов дополнения и окрестности.



Перестройки и классификация гомотопических сфер.

Литература.

1 Введение Nothing was changed, but now it made sense.

U. K. Le Guin, The Beginning Place.

Зачем эта книга.

Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и для любой фундаментальной части науки, ее основные мотивировки и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний. Такому изложению посвящена настоящая книга (вместе с [ST04], [BE82], [Fo92], [Pr95], [An03] и, возможно, другими книгами). Ее особенность возможности познакомиться с этими мотивировками и идеями при сведении к необходимому минимуму языка. Демонстрируя основные идеи на простейших частных случаях, свободных от технических деталей, я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной неспециалистам (в первую очередь студентам).

Процесс появления полезных алгебраических понятий продемонстрирован на примере наиболее наглядных топологических задач (о вложениях графов в плоскость, о построении и классификации векторных полей, погружений и вложений, о гомотопической классификации непрерывных отображений). Такое изложение является не нововведением, а, напротив, возвращением к подходу первооткрывателей (которое, впрочем, автору обычно приходилось сначала переоткрывать и лишь потом убеждаться, что классики рассуждали так же). Такое изложение было обычным в ’добурбакистский’ период [ST04], [CL95]. Изложение ’от простого к сложному’ и в форме, близкой к форме рождения материала, продолжает устную традицию, восходящую к Лао Цзы и Платону, а в современном преподавании математики представленную, например, книгами Пойа и журналом ’Квант’.

Вслед за классиками, я ориентируюсь на объекты, которые основательнее всего укореняются в памяти (или подсознании). Это отнюдь не системы аксиом и не формально-логические схемы доказательств, а естественные построения для решения интересных проблем или изящные доказательства красивых теорем, формулировки которых ясны и доступны. Более того, именно по таким построениям и доказательствам, при наличии некоторой математической культуры, читатель сможет восстановить более абстрактный теоретический материал.

Алгебраическая топология основана на следующей простой идее, часто встречающейся при решении школьных (в частности олимпиадных) задач: невозможность проделать некоторую конструкцию можно доказывать путем построения алгебраического препятствия (или инварианта) например, из соображений четности. Точно так же неэквивалентность конструкций часто доказывается путем построения алгебраического инварианта, их различающего (этот инвариант является препятствием к эквивалентности). Многие непохожие друг на друга задачи топологии аналогичным образом естественно приводят к похожим друг на друга препятствиям. Именно ветви алгебраической топологии, непосредственно связанной с теорией гомологий и теорией препятствий, посвящена настоящая книга.

Изложение алгебраической топологии, начинающееся с длительного освоения немотивированных абстрактных понятий и теорий делает малодоступными ее замечательные применения. Приведу лишь один пример из многих. Еще в 19 веке был придуман очень простой, наглядный и полезный инвариант многообразий форма пересечений (умножение в гомологиях многообразий).

Замечательным открытием Колмогорова и Александера 1930-х годов явилось обобщение этого инварианта на произвольные полиэдры (умножение в когомологиях). Умножение КолмогороваАлександера менее наглядно и определяется более громоздко, чем форма пересечений (но зато имеет более продвинутые применения). Определение формы пересечений через умножение Колмогорова-Александера делает малодоступными ее замечательные применения (для получения которых не требуется умножения Колмогорова-Александера). Поэтому форму пересечений иногда просто переоткрывают [Mo89].

Ничего не изменилось, но теперь все было понятно. У. К. Ле Гуин, Изначальное место (пер. автора).

Замечу, что важнейшие геометрические проблемы, ради которых была создана алгебраическая топология, в свою очередь были мотивированы предыдущим развитием математики (прежде всего анализа и алгебры). Мотивировать эти геометрические задачи не входит в цели настоящей книги. Я либо привожу ссылки, либо аппелирую к непосредственной любознательности читателя.

Надеюсь, принятый стиль изложения не только сделает материал более доступным, но позволит сильным студентам (для которых доступно даже абстрактное изложение) приобрести математический вкус с тем, чтобы разумно выбирать проблемы для исследования, а также ясно излагать собственные открытия, не скрывая ошибок (или известности полученного результата) за чрезмерным формализмом. К сожалению, такое (бессознательное) сокрытие ошибок часто происходит с молодыми математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах (происходило и с автором этих строк; к счастью, почти все мои ошибки исправлялись перед публикациями).

Чтение этой книги и решение задач потребуют от читателя усилий, однако эти усилия будут сполна оправданы тем, что вслед за великими математиками 20-го века в процессе изучения геометрических проблем читатель откроет некоторые основные понятия и теоремы алгебраической топологии. Надеюсь, это поможет читателю совершить собственные настолько же полезные открытия (не обязательно в математике)! Содержание и используемый материал.





Книга предназначена в первую очередь для читателей, не владеющих алгебраической топологией (хотя возможно, что часть этого текста будет интересна и специалистам). Все необходимые алгебраические объекты (со страшными названиями группы гомологий, характеристические классы и т. д.) естественно возникают и строго определяются в процессе исследования геометрических проблем. В большей части книги знакомство с алгебраическим понятием группы не обязательно, и это слово можно воспринимать как синоним слова ’множество’ (кроме тех мест, где оговорено противное).

Для чтения большой части книги достаточно геометрической интуиции и интуитивного представления о двумерных (кое-где трехмерных) многообразиях. Для удобства читателя в главе приведены определения и используемые свойства графов, двумерных и трехмерных многообразий.

Заметим, что эта глава ни в коем случае не исчерпывает теории этих объектов; хотя формально она не опирается на другие источники, читателю может оказаться полезным ознакомиться с более подробным изложением ее материала [BE82], [MF90].

Совершенно не обязательно начинать изучение книги с полного прочтения главы 1. Действительно, большая часть главы 7 использует только графы. Трехмерные многообразия существенно используются только в последних параграфах глав 2 и 3, в параграфе ’двойственность Пуанкаре’ главы 4 (для двумерных многообразий содержание этого параграфа покрывается параграфом ’форма пересечений’ главы 2), в главе 5 и в отдельных местах главы 6 (которые могут быть пропущены без ущерба для понимания материала, не касающегося трехмерных многообразий). В этой книге n-мерные многообразия не определяются. Их определение легко придумать по аналогии с приведенным определением двумерных и трехмерных многообразий. Можно также в тех местах, где встречаются n-мерные многообразия, считать, что n = 2, 3 (впрочем, глава 5 интересна именно для n 4).

Заметим, однако, что характеристические классы по-настоящему незаменимы только для многообразий размерности выше трех. Поэтому наше изложение материала о векторных полях на двумерных многообразиях в главе 3 менее наглядно и более абстрактно, чем изложение в [BE82], [Pr95]. Достоинство нашего изложения в том, что оно дает более непосредственное представление об общих методах, применимых к многомерным многообразиям.

Главы 2, 3, 6 и 7 практически независимы друг от друга (впрочем, в главе 3 рассматриваются примеры, аналогичные главе 2, но в среднем более сложные). Начинать изучение книги можно с любой из них (при необходимости предварительно ознакомившись с необходимыми понятиями по главе 1). При этом сложность материала (и количество используемых понятий) внутри каждой главы растет. Поэтому вполне разумно переходить к новой главе, отложив на потом изучение конца старой. Более того, разобрав по главам 2, 3, 6 или 7 несколько примеров, мотивирующих понятие групп гомологий, можно ознакомиться с абстрактным изложением этого понятия в главе 4. После этого разумно возвращаться к отложенному материалу. Формально глава 4 не зависит от предыдущих глав. Но в ней нет ответа на вопрос ’зачем’, важного для начала изучения любой теории.

Наиболее блистательные применения некоторой теории теоремы, в формулировках которых нет понятий из этой теории (но при доказательства которых без данной теории не обойтись).

Такие применения есть и у алгебраической топологии (в частности, теории гомологий). Для удобства читателя такие теоремы выделены жирным шрифтом в тексте, в главе 3 собраны в начале параграфов, а в главе 5 собраны в начале главы.

Доказательства этих теорем разбиваются на два шага. Первый и обычно более простой шаг получение необходимого условия на языке теории препятствий приводится в этой книге.

Второй и более сложный шаг вычисление появляющихся препятствий приводится лишь в виде наброска, цикла задач или просто ссылки (поскольку, по мнению автора, второй шаг лучше описан в литературе, чем первый). Замечу, что для большинства простейших геометрических проблем очевидно, что полученное необходимое алгебраическое условие является достаточным.

А вот для более сложных геометрических проблем, которые здесь не приводятся (например, о классификации многообразий или вложений), наиболее трудно именно доказать достаточность полученного алгебраического условия.

Больш часть материала сформулирована в виде задач, обозначаемых жирными числами.

ая Следует подчеркнуть, что многие задачи не используются в остальном тексте. Красивые наглядные задачи, для решения которых не нужно никаких знаний, приведены уже в самом начале.

Для понимания и решения большинства задач достаточно знакомства с настоящим текстом (точнее, его части, предшествующей формулировке задачи). Если используемые в условии термины не определены в этом тексте и вам незнакомы, то соответствующую задачу следует просто игнорировать. Отметим, что для решения задач достаточно понимания их формулировок и не требуется никаких дополнительных понятий и теорий (кроме, быть может, задач со звездочками).

Приводимые задачи являются примерами интересных и полезных фактов, и читателю будет полезно ознакомиться с самими фактами, даже если он не сможет их самостоятельно доказать.

Например, в некоторых задачах изложен план доказательства теорем, который полезно понимать, даже если детали этого плана останутся недоступными. Поэтому приводимые формулировки задач могут быть путеводителем по другим учебникам по алгебраической топологии, позволяя намечать интересные конечные цели и отбрасывать материал, не являющийся для этих целей необходимым.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 27 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.