WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В.

ПОТАПЕНКО А.А.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В.

ПОТАПЕНКО А.А.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005 2 Утверждено редакционно-издательским советом университета.

УДК 517 (070) Афанасьева О.В., Потапенко А.А. Функциональный анализ в задачах управления: Учеб. пособие. – СПб: СЗТУ, 2005. – 97---с.

Учебное пособие предназначено для студентов пятого курса факультета Системного анализа и естественных наук, изучающих дисциплину «Функциональный анализ в задачах управления».

В учебном пособии излагаются основы функционального анализа (линейные пространства, евклидовы пространства, метрические пространства, линейные операторы), показаны приложения этого аппарата при изучении операторных уравнений, в теории квадратичных форм, для нахождения приближенных решений уравнений.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки магистра 553000 – «Системный анализ и управление».

Рецензенты: В.Е. Марлей, док. техн. наук, проф., зам. Директора СПИРАН;

А.А. Кондратьев, док. техн. наук, проф., директор института экономики и управления транспортными системами АГА.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2005 © Афанасьева О.В., Потапенко А.А., 2005 3 Предисловие Дисциплина «Функциональный анализ в задачах управления» является основой ряда дисциплин: «Основы теории эффективности сложных систем», «Теория принятия решений» и других дисциплин.

Указанную дисциплину изучают на первом курсе подготовки магистра по направлению 553000 – «Системный анализ и управление». Теоретической базой для освоения являются материалы дисциплин «Математика», «Математические методы системного анализа и теории принятия решений», «Системный анализ и принятие решений».

В учебном пособии излагаются основы функционального анализа, показаны приложения этого аппарата при изучении линейных операторов, в теории квадратичных форм, нахождения приближенных решений уравнений и других вопросов.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса подготовки магистра по направлению 553000 – «Системный анализ и управление».

Введение Функциональный анализ имеет множество приложений в различных областях математики; его методы проникают в смежные технические дисциплины.

Описать все прикладные методы функционального анализа в одном учебном пособии не представляется возможным, поэтому в нём освещаются лишь некоторые из методов, играющие важную роль.

В данном учебном пособии излагаются некоторые теоретические положения и результаты функционального анализа в теории линейных пространств, эвклидовых пространств, метрических пространств и линейных операторов, а также показаны их применения при решении операторных уравнений, в теории квадратичных форм, для нахождения приближенных решений уравнений.

Целью данного учебного пособия является сделать методы функционального анализа, позволяющие получать определённые решения в задачах управления, более понятными для тех, кто занимается приложением математики к получению определённых управленческих решений в конкретных практических задачах.

Глава 1. Линейные пространства § 1. Введение Рассмотрим три множества:

A – множество всех свободных векторов на плоскости;

B – множество всех квадратных матриц третьего порядка;

C – множество всех многочленов не выше 5 степени с вещественными коэффициентами. Обратим внимание только на две операции с элементами этих множеств.

1. Сложение.

2. Умножение на вещественное число.

Напомним их определения.

Для A. Сумма векторов a и b – вектор, найденный по правилу треугольника, построенного на векторах a и b ; произведение вектора a на число – вектор, имеющий длину, равную | a |, и направленный в сторону вектора a, если > 0, и в противоположную, если < 0.

Для B. Сумма матриц M и N – матрица с элементами, равными суммам соответствующих элементов матриц M и N; произведение матрицы M на число – матрица с элементами, равными произведениям числа на соответствующие элементы матрицы М.

Для C. Сумма многочленов P и Q – многочлен, коэффициенты которого равны суммам коэффициентов членов с одинаковыми степенями многочленов;

произведение многочлена P на число – многочлен, коэффициенты которого равны произведению числа на соответствующие коэффициенты многочлена P.

На первый взгляд кажется, что, так как природа элементов множеств A, B, C различна, а операции «сложения» и «умножения на вещественные числа» для каждого из этих множеств определяются по-разному, то указанные операции не имеют ничего общего друг с другом, кроме названия. Однако если присмотреться внимательней, то можно заметить, что в каждом из множеств A, B, C операция сложения обладает перестановочным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами, которые выражаются соответствующими равенствами a + b = b + a, (1.1) (a + b) + c = a + (b + c), (1.2) где в качестве a, b, c можно взять произвольные элементы любого из множеств: либо из A, либо из B, либо из C. Точно также в каждом из множеств A, B, C удовлетворяется распределительное (дистрибутивное) свойство умножения произвольного вещественного числа на сумму элементов (a + b) и суммы числа ( + ) на элемент a (a + b) = a + b; (1.3) ( + )a = a + a. (1.4) Естественно, что в каждом из множеств A, B, C вместе с указанными свойствами сохраняют свою силу и все те соотношения, которые выводятся только из этих свойств. Если нас интересуют только такие общие вопросы, то нет необходимости учитывать конкретную природу элементов множеств.



Чтобы не получать для каждого из конкретных множеств в отдельности [при условии выполнения равенств (1.1), (1.2), (1.3), (1.4)] всех тех результатов, которые могут быть получены из перечисленных четырех свойств, рассмотрим некоторое абстрактное множество L (без учета конкретной природы элементов) при условии, что над его элементами можно производить два действия, именуемые условно «сложение» и «умножение на вещественное число», которые обладают свойствами, выражаемыми равенствами (1.1), (1.2), (1.3), (1.4). Каков конкретный смысл этих свойств – нельзя сказать до тех пор, пока природа элементов не указана (при решении прикладных задач природа элементов и оба указанные действия всегда известны).

Ниже мы введем термин «линейное пространство». Под этим термином мы будем понимать совокупность объектов любой природы при условии, что указанные два действия, именуемые чисто условно «сложение» и «умножение на вещественное число», удовлетворяют указанным четырем условиям и еще некоторым довольно общим условиям.

Элементы линейного пространства мы будем называть векторами, несмотря на то, что их конкретная природа может не иметь ничего общего с привычными для нас терминами. В дальнейшем будет видно, что употребление термина «вектор» оправдано тем, что привычные геометрические представления, связанные с векторами, помогут не только уяснить, но и предвидеть важные результаты.

§ 2. Определение линейного пространства Определение. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если:

I. Дано правило, указывающее, как для любых двух элементов a, b из L найти в L некоторый элемент, называемый их суммой и обозначаемый символом a + b.

II. Дано правило, указывающее, как для любого вещественного (или комплексного) числа и любого элемента a из L найти в L новый элемент, называемый произведением на a и обозначаемый символом a или a.

III. Определено понятие равенства элементов в L, обозначаемое знаком «=».

IV. I и II операции называются соответственно сложением и умножением на число и удовлетворяют следующим восьми условиям:

1) сложение коммутативно a + b = b + a; (1.5) 2) сложение ассоциативно (a + b) + c = a + (b + c); (1.6) 3) умножение ассоциативно ( a) = ( )a; (1.7) 4) умножение дистрибутивно по отношению к сложению элементов из L (a + b) = a + ; (1.8) 5) умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел ( + )a = a + a; (1.9) 6) существует такой элемент 0, называемый нулевым, что a + 0 = a (1.10) для любого элемента a;

7) для любого элемента a a · 1 = a; (1.11) 8) для любого элемента a существует такой элемент –a, называемый противоположным элементу a, что a + (–a ) = 0. (1.12) Если произведение aопределено только для вещественных чисел, то линейное пространство L называется вещественным, если же произведение a определено для любого комплексного числа, то линейное пространство L называется комплексным. Элементы линейного пространства называются векторами (или точками) и обозначаются буквами a, b, x, y.

§ 3. Свойства линейного пространства Основные примеры линейных пространств будут указаны ниже, а вначале приведем (без доказательства) простейшие свойства, которые непосредственно вытекают из определения линейного пространства.

Свойство 1. В каждом линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

Свойство 2. В каждом линейном пространстве для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Свойство 3. В любом линейном пространстве для всякого вектора имеет место равенство 0 · a = О. (1.13) В левой части равенства символ 0 означает число нуль, а в правой – нулевой вектор О.

Свойство 4. Произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, т. е.

· О = О. (1.14) Свойство 5. Для каждого элемента a противоположный элемент равен произведению этого элемента на число – 1, т. е.

– a = (– 1) · a. (1.15) Если природа элементов, входящих в L, а также правила образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны (причем III пункт и аксиомы IV пункта выполнены), то линейное пространство называют конкретным.

Примеры конкретных линейных пространств Пример 1. Множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения чисел является вещественным линейным пространством.

Пример 2. Множество всех свободных векторов в пространстве представляет собой линейное пространство, ибо все аксиомы IV пункта выполнены (операции сложения векторов по правилу параллелограмма и умножения вектора на число определены обычным образом).

Пример 3. Пусть a = (1,2,...,n ) и b = (1,2,...,n ) означают два решения некоторой системы линейных однородных уравнений a (i =1,2,..., n).

a xj = ij (1.16) j =Ранее было показано, что их сумма a + b = (1 + 1,2 + 2,...,n + n ) и произведение любого из них (для определенности a) на произвольное вещественное число C C a = (C 1,C 2, …, C n ) также будут решениями системы (1.16).





Нетрудно показать, что множество всех решений однородной системы (1.16) является линейным пространством, у которого нулевым элементом является элемент О (0, 0,..., 0), а противоположным для элемента (1,...,n ) является элемент (–1,...,–n ). Это утверждение следует,2,–из выполнимости восьми условий IV пункта, в чем легко убедиться в результате элементарной проверки каждого из них.

Пример 4. Множество Tn, элементами которого служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел a = (1,...,n ).

,Множество Tn можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит n вещественных упорядоченных чисел. При этом две строки а = (a1,a2,...,an ) b = (b1,b2,...,bn) считаются различными, если нарушено хотя бы одно из равенств a1 =b1, a2 =b2,...,n =bn.

Операции сложения элементов a и b множества Tn, умножения элемента a на вещественное число C определим правилами a1, a2,..., an + b1, b2,..., bn = a1+b1, a2+b2,..., an+bn ;

( ) ( ) ( ) C a1, a2,..., an = Ca1, Ca2,..., Can.

( ) ( ) Если в качестве нулевого элемента возьмем совокупность n нулей О = (0, 0, …, 0), а элементом, противоположным для элемента a1,a2,...,an, будет элемент -a1,-a2,...,-an, то справедливость условий ( ) ( ) IV пункта устанавливается элементарной проверкой каждого из них.

Пример 5. Множество всех многочленов Pn x от одной переменной x, ( ) степень которых меньше либо равна заданному числу n. Легко видеть, что сумма любых двух многочленов Pn x и Qn x из L есть также многочлен, ( ) ( ) степени не выше n, т. е. принадлежит L, а произведение произвольного числа C на любой многочлен Pn x из L есть тоже многочлен степени не выше n, ( ) и, следовательно, принадлежит L. Понимая, как обычно, под равенствами многочленов Pn x и Qn x равенство их коэффициентов при одинаковых ( ) ( ) степенях x, легко непосредственно проверить, что все аксиомы IV пункта выполнены. Заметим, что под нулевым элементом понимается многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю.

Пример 6. Множество всех непрерывных функций от одной переменной t [a,b] C[a,b], которое обозначают символом, так как для любых [a,b] непрерывных на функций x t и y t их сумма x t + y t непрерывна ( ) ( ) ( ) ( ) [a,b] на как сумма непрерывных функций и произведения числа и функции C[a,b] x t также непрерывна, то является линейным пространством.

( ) § 4. Линейная зависимость При изучении векторной алгебры было введено понятие линейной комбинации векторов. Обобщим это понятие на случай линейного пространства.

Пусть a1, a2,..., an означают произвольные векторы линейного пространства L.

Определение 1. Линейной комбинацией векторов a1, a2,..., an, называется сумма произведений этих элементов на произвольные вещественные числа C1,C2,...,Cn, т. е. вектор C1a1 +C2a2 +...+Cnan. (1.17) Числа C1,C2,...,Cn, называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение 2. Векторы a1, a2,..., an называются линейно * зависимыми, если существуют n чисел C1,C*,...,C* не все равные нулю, 2 n такие, что выполняется равенство * C1a1,C*a2,...,C*an = 0. (1.18) 2 n Если же равенство (2.18) возможно только в единственном случае, когда * C1 = C* =...= C* = 0, 2 n то векторы a1,a2,...,an называются линейно независимыми.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Обратимся к линейному пространству L, элементами которого являются многочлены Pn x от одной переменной x, степень ( ) которых меньше либо равна заданному числу n.

Элементы пространства L 1, x, x2,..., xn (1.19) образуют в этом пространстве линейно независимую систему. Линейная независимость системы (1.19) следует из того, что соотношение C11+C2 x+C3x2 +...+Cn+1xn =может быть выполнено для любого x только в том случае, если C1 = C2 = C3 =...= Cn+1 = 0.

Пример 2. В линейном пространстве, элементами которого являются свободные векторы на плоскости, любые три вектора a,b, c линейно * * * зависимы, т. е. существуют такие числа C1, C2, C3, не равные нулю одновременно, что выполняется соотношение * * * C1 a+C2 b+C3 c =0.

Пример 3. Функции a1 =sin2t, a2 =cos2t, a3 =1 линейно зависимы, так как соотношение C1sin2t +C2 cos2t +C31=выполняется тождественно, если положить C1 =1, C2 =1, C3 = -1.

Теорема. Если векторы a1, a2,..., an линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Доказательство. Действительно, если векторы a1, a2,..., an линейно зависимы, т.е. выполняется соотношение (1.18), и при этом допустить для * определенности, что Cn 0, то * * * * Cnan = -C1a1 -C2a2 -...-Cn-1an-* или, поделив обе части последнего равенства на Cn получим * * * an = -C1 a1 -C2 a2 -...-Cn*1an.

* * Cn Cn Cn Ясно, что верно и обратное утверждение. Последнее равенство называется разложением вектора an по векторам a1, a2,..., an-1.

§ 5. Базис и координаты Определение 1. Система n линейно независимых векторов e1, e2,..., en линейного пространства L называется базисом этого пространства, если всякий вектор a из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов e1, e2,..., en, т.е.

a = a1e1 +a2e2 +...+anen, (1.20) где a1, a2,..., an означают коэффициенты линейной комбинации.

Теорема. Коэффициенты a1, a2,..., an в разложении (2.20) определяются единственным образом.

Доказательство. Действительно, допустим напротив, что для вектора a существует два разложения по векторам e1, e2,..., en :

a = a1e1 +a2e2 +...+anen ;

a = a1e1 +a2e2 +...+anen.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.